DALLA FORMA ALLA STRUTTURA DEL TRIANGOLO

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1 Delimitato da una spezzata chiusa costruita da tre segmenti, il triangolo è il poligono avente il minor numero di lati possibile ed è privo di diagonali. I triangoli sono classificabili tenendo conto sia dei loro lati e sia dei loro angoli. Rispetto ai lati un triangolo si dice: equilatero, quando ha i tre lati uguali; isoscele, quando ha due lati uguali; il lato diverso si chiama base; scaleno, quando nessuno dei tre lati è uguale. Rispetto agli angoli un triangolo viene invece detto: acutangolo, quando ha tutti gli angoli acuti; ottusangolo, quando ha un angolo ottuso (gli altri sono necessariamente acuti); rettangolo, quando ha un angolo retto (gli altri sono necessariamente acuti); i lati che concorrono a formare l'angolo retto si dicono cateti, mentre il lato opposto all'angolo retto prende il nome di ipotenusa.

2 Nei triangoli, oltre ai lati e agli angoli, si considerano anche le altezze, le mediane, le bisettrici e gli assi. Altezza di un triangolo è ciascuna delle perpendicolari condotta da un vertice al lato opposto. Il punto di incontro delle tre altezze si chiama ortocentro: se il triangolo è acutangolo l'ortocentro è interno; se è ottusangolo, l'ortocentro è esterno; se è rettangolo, l'ortocentro coincide con il vertice dell'angolo retto. Mediana di un triangolo è ciascun segmento che congiunge un vertice con il punto medio del lato opposto. Le tre mediane si intersecano in un punto, chiamato baricentro, che è sempre interno al triangolo. Bisettrice del l'angolo di un triangolo è la semiretta che, uscendo da un vertice, divide l'angolo in due parti uguali. Le tre bisettrici si incontrano in un punto, detto incentro, che è il centro della circonferenza inscritta nel triangolo. Asse di un triangolo è ciascuna delle perpendicolari condotta nel punto medio di ciascun lato. Gli assi si incontrano in un punto, detto circocentro, che è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo. I punti di incontro delle altezze, delle mediane, delle bisettrici e degli assi costituiscono i punti notevoli dei triangoli.

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4 Osservando i marchi pubblicitari riprodotti nelle fìgg. 1 e 2, è facile rendersi conto che, pur nella loro diversità, essi obbediscono tutti a un medesimo criterio compositivo. Tale criterio è determinato dalla struttura portante del triangolo equilatero, che assieme al quadrato e al cerchio è una delle figure geometriche fondamentali. In termini strettamente ingegneristici, per struttura portante si intende l'insieme degli elementi capace di garantire la stabilità di una costruzione, mettendola in grado di resistere a diversi carichi e sollecitazioni.

5 Osservando i marchi pubblicitari riprodotti nelle fìgg. 1 e 2, è facile rendersi conto che, pur nella loro diversità, essi obbediscono tutti a un medesimo criterio compositivo. Tale criterio è determinato dalla struttura portante del triangolo equilatero, che assieme al quadrato e al cerchio è una delle figure geometriche fondamentali. Più in generale, si parla di struttura portante ogni qualvolta è riscontrabile la presenza di elementi che hanno la funzione di dare forma e sostegno alle cose. Pertanto sono esempi di strutture portanti lo scheletro dei vertebrati, le nervature delle foglie, i fili disposti radialmente nelle ragnatele e via di questo passo.

6 In definitiva il termine struttura, nella sua più ampia accezione, sta a significare un sistema di rapporti fra elementi. Ecco allora che anche nelle figure geometriche diventa possibile individuare un tale sistema di rapporti, sia pure in maniera più o meno evidente. Per verificare quanto siamo andati dicendo, soffermiamoci ad esaminare il triangolo equilatero. In esso i tre lati costituiscono l'aspetto più immediatamente percepibile. Tuttavia, come abbiamo già detto, al suo interno possiamo tracciare altre tre linee che sono al tempo stesso altezze, mediane, bisettrici e assi del triangolo medesimo (fig. 3). Su queste linee poggiano tutti gli infiniti triangoli equilateri possibili e immaginabili, dai più piccoli ai più grandi (fig.4).

7 Si tratta quindi di una vera e propria struttura portante, della quale fanno parte integrante anche i tre Iati della figura cosicché l'intero sistema strutturale risulta composto da sei linee e sette nodi o intersezioni (fig.5). Prendere coscienza della struttura di una figura è di notevole aiuto ogni qualvolta si voglia effettuare degli interventi sulla figura stessa, senza snaturare quelle che sono le sue caratteristiche fondamentali, ma traendo anzi da esse utili suggerimenti per conseguire una maggiore varietà di trasformazioni e modifiche formali.

8 Consideriamo ora un secondo tipo di struttura, quella che viene definita struttura modulare. Vediamo di cosa si tratta. Se dividiamo in parti uguali i lati del triangolo equilatero e poi, a partire da ogni punto di divisione, tracciamo delle parallele a ciascun lato, il risultato finale è la scomposizione del triangolo iniziale in tanti sottomultipli (fig. 8), ognuno dei quali rappresenta un modulo. Vale a dire una forma base combinabile tanto con altri moduli uguali a essa, quanto con i suoi multipli e sottomultipli. Fig.8 Struttura modulare del triangolo equilatero. Fig.9 II reticolo a maglie triangolari equilatere porta a individuare con immediatezza varie configurazioni derivanti dalle combinazioni per rotazioni e traslazioni del modulo base.

9 Prolungando le linee della struttura modulare del triangolo equilatero su tutta la superficie del foglio da disegno, ciò che si ottiene è una griglia o reticolo a maglie triangolari equilatere. Operando su un reticolo del genere, diventa più facile e rapido sviluppare ricerche compositive addizionando, dividendo, ruotando i moduli sul piano, fino a individuare una soluzione soddisfacente (figg. 10 e 11 ). Si tenga infine presente che nell'architettura moderna il concetto di modulo costituisce il punto di partenza per la produzione di elementi prefabbricati, ripetuti in serie e componibili fra loro in quanto complementari gli uni con gli altri. Figg Configurazioni complesse in reticoli triangolari. Nel primo esempio, dovuto al designer Pino Tovaglia, il modulo base da origine a una serie di multimoduli variamente combinati fra loro. Nel secondo esempio, tratto da una ornamentazione araba, il modulo base determina un solo multimodulo che, fatto ruotare attorno a un punto esterno alla figura, delimita uno spazio a forma di stella.

10 A conclusione di quanto è stato fin qui detto a proposito dei triangoli, ecco una breve rassegna intesa a richiamare la vostra attenzione su varie configurazioni triangolari che siamo andati spigolando nei campi della storia, della scienza e della tecnica. Tutto ciò vuole essere di stimolo ad affrontare i problemi del disegno geometrico collocandoli in una visione più allargata, istituendo una trama di corrispondenze che a partire dalle procedure degli antichi egizi giunge alle complesse e un po' inquietanti forme dei moderni frattali.

11 Il triangolo sacro. Per delimitare sul terreno un angolo retto, i geometri dell'antico Egitto utilizzavano una corda divisa in dodici parti uguali. Infatti essi avevano scoperto che per costruire un triangolo rettangolo bastava congiungere le estremità di questa corda e quindi tenderla in modo da formare un triangolo che avesse per lati rispettivamente 3,4 e 5 parti della lunghezza totale: così facendo, l'angolo compreso tra i due lati minori risulta sempre un angolo retto (fig.1 ). Gli egizi denominarono "sacro" il triangolo di lato 3, 4 e 5, dal quale ricavarono nel modo illustrato in fig. 2 anche le proporzioni della sezione diagonale della piramide di Cheope.

12 Il triangolo sacro. Nel disegno riportato in figura, desunto da un trattato cinese dell'xi secolo, sono riconoscibili otto triangoli sacri.

13 Triangoli magici. Prendono questo nome i triangoli dove la somma dei numeri allineati lungo i lati, o disposti nelle suddivisioni interne al triangolo stesso, fornisce sempre il medesimo risultato. Nella figura 4, i numeri dall'1 al 27 sono distribuiti in maniera da avere la costante 96 come somma delle cifre contrassegnate in giallo (triangolo esterno ), e la costante 61 per le cifre indicate in azzurro (triangolo interno ).

14 Triangoli magici. Nel triangolo della fig. 5 si hanno invece le seguenti costanti: = = = = = = 17

15 Triangoli magici. Nel triangolo della fig. 5 si hanno invece le seguenti costanti: = = = = = = 17

16 Triangoli magici. Nel triangolo della fig. 5 si hanno invece le seguenti costanti: = = = = = = 17

17 Triangoli magici. Nel triangolo della fig. 5 si hanno invece le seguenti costanti: = = = = = = 17

18 Triangoli magici. Nel triangolo della fig. 5 si hanno invece le seguenti costanti: = = = = = = 17

19 Triangoli magici. Nel triangolo della fig. 5 si hanno invece le seguenti costanti: = = = = = = 17

20 Triangoli curvi. Sono triangoli i cui lati curvi vengono ottenuti con archi di cerchio aventi il centro nei vertici di un triangolo equilatero (figg. 7 e 8).

21 Triangoli curvi. Sono triangoli i cui lati curvi vengono ottenuti con archi di cerchio aventi il centro nei vertici di un triangolo equilatero (figg. 7 e 8). Il teorema di Napoleone. È noto che Napoleone Bonaparte nutriva molto interesse per lo studio della matematica, tanto che gli viene attribuito il seguente teorema: se si costruiscono tre triangoli equilateri sui lati di un triangolo qualsiasi, i centri dei cerchi che circoscrivono ciascun triangolo equilatero sono i vertici di un altro triangolo equilatero (fig. 9).

22 Esercizi Fig. 4 - Reticolo modulare del triangolo equilatero Esercizi Fig. 5 - Esempi di divisione in due parti del triangolo equilatero. Le linee di divisione seguono il reticolo di fig. 4.