ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE SUPPOSTO ALLA DIDATTICA- DOTT.SSA PICCAGLI IRENE A.A.

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1 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE SUPPOSTO ALLA DIDATTICA- DOTT.SSA PICCAGLI IRENE A.A. 2016/2017 Esercizi 2 Rendite nel regime composto Esercizio 1. Un capitale di 1500e viene costituito in un anno a regime composto con 12 versamentensili anticipati di 100e per le prime 11 mensilità e una dodicesima rata pari a R. Sapendo che il tasso di costituzione annuo è 4,907%, determinare la rata R. Soluzione. L equazione da impostare, portandosi all epoca temporale t m = 12, ossia al dodicesimo mese, è: M = (R +M ) (1+ ), dove M è il montante di una rendita periodica, posticipata, a rata costante pari a R, costituita da 10 termini e capitalizzata poi di un mese per portarla all epoca t m = 11 piú la capitalizzazione della rata R dall epoca t = 0 all epoca t = 11, ossia: M = R (1+ ) 11 +R s 10 im (1+ ) = = R (1+ ) 11 +R (1+) 10 1 (1+ ). Allora abbiamo che: M=(R +M ) (1+ )=R (1+ )+R (1+ ) 12 +R (1+) 10 1 (1+ ) 2 da cui si ricava R = M R (1+ ) 11 R (1+) 10 1 (1+ ). 1+ Ricordando la conversione periodale di tassi si ha dunque che = 12 1+i 1, R = M 12 1+i R (1+i)11/12 R (1+i)5/ i i = 367,27e. 1

2 2 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA Rendimento di un B.O.T. Esercizio 2. Acquistate a 1600e un B.O.T. di durata 12 mesi e valore nominale pari a 2125e, poi lo vendete dopo 8 mesi ad un prezzo tale che il vostro rendimento sia doppio dell acquirente, supposto che quest ultimo porti il titolo a scadenza. Quanto é il vostro rendimento? Soluzione. Per voi che vendete il B.O.T., l equazione è P = A (1+ 2 ) 3 r, ove P è il prezzo di vendita dopo 8 mesi, A = 1600, mentre r è il rendimento. Per l acquirente che porta a scadenza il titolo, l equazione è ( N = P r ), 2 ove N è il nominale, mentre al posto di r abbiamo messo r/2, perché abbiamo ipotizzato che il rendimento dell acquirente sia la metà del vostro. Eliminando P (che non si conosce), ricavandolo da ambo le equazioni, si trova A (1+ 2 ) 3 r = N 1+ r, 6 da cui 1 9 r2 + 5 r 0, = 0. 6 La suddetta equazione di secondo grado nell incognita r ha come unica soluzione positiva r = 37,5%. Esercizio 3. Una banca si offre di acquistare per voi sul mercato un titolo a zero coupon di nominale N = 1000e, in scadenza tra 18 mesi, al prezzo di acquisto A = 980e, maggiorato dell aliquota fiscale del 12, 5% sul plusvalore. Siccome siete un ottimo cliente, la banca vi concede uno sconto del 4% sull importo complessivo da pagare. A quanto ammonta il rendimento netto finale? Soluzione. Applicare l aliquota fiscale del 12, 5% al plusvalore al momento dell acquisto, vuole dire che, in realtá, oltre ad A = 980e, si paga anche 0,125 (N A) che diviene à = A+0,125 (N A) = 980+0,125 ( ) = 980+2,50 = 982,50e. Se poi la banca concede uno sconto del 4% sull importo complessivo da pagare, allora dobbiamo in realtà pagare al momento dell acquisto A = à 0,04à = 0,96à = 0,96 982,50 = 943,20e.

3 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA 3 Il rendimento netto finale r si ricava dall equazione: N = A (1+ 3 ) 2 r ossia r = 2 ( N A ) 3 = 2 ( ,20 ) A 3 = 0, = 4,0147%. 943, 20 Piani di ammortamento Esercizio 4. Un debito di 1000e viene rimborsato a tasso annuo i = 10% in 5 anni, ma con sole 3 rate costanti pari a R, alle epoche t = 1,3,5. Stilare il piano di ammortamento in 2 modi: nel primo, visualizzate le voci fondamentali (quota capitale, quota interesse, rata e debito residuo) solo relativamente alle epoche t = 0, 1, 3, 5, mentre nel secondo, visualizzate le voci fondamentali relative a tutte le epoche, con il vincolo che le rate, alle epoche t = 1,3,5, siano sempre pari a R. Attenzione: almeno un tipo di piano va stilato in funzione di R. Soluzione. Nel primo modo, la prima riga del piano è assolutamente standard, sapendo che I 1 = 100 e la rata è R, quindi C 1 = R 100 e D 1 = 1100 R. Per le altre due righe, relative alle epoche t = 3 e t = 5, le formule relative alla rata e al debito residuo sono le stesse, mentre per la quota interesse bisogna usare quella col salto di epoche, che, in questo caso, in cui il salto è sempre di due anni, è data da I 3 = D 1 [(1+i) 2 1] = 0,21D 1 e, allo stesso modo, I 5 = 0,21D 3. Dunque, partendo alla seconda e terza riga sempre dalla quota interesse, e, ricordando che la rata è sempre R, passando poi alla quota capitale e infine al debito residuo, si trova il seguente piano: k C k I k R k D k R R 1100 R 3 1,21R ,21R R ,21R ,21R 3,21R 1331 R 0 Dall equazione (dovuta al fatto che devo imporre che l ultimo debito residuo sia nullo) D 5 = D 3 (1+i) 2 R = 0, ricavo che R = 1610,51 2,6741R

4 4 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA da cui R 438,341. Nel secondo modo, si scrivono le voci relative a tutte le epoche, con le formule standard, ma alle epoche t = 2,4 la voce relativa alle rate è nulla. In tal modo, il piano è automatico: la prima riga è uguale a quella precedente, k C k I k R k D k R R 1100 R 2 0,1R ,1R ,1R 3 1,11R ,11R R ,21R 4 0,221R 133,1 133,1 0,221R ,1 2,431R 5 1,2431R 146,41 146,41 0,2431R R 0 poi si va sempre avanti prima con la quota interesse, poi la rata (o zero o R), poi la quota capitale, infine il debito residuo. Alla fine il piano risulta come sopra. Dall equazione(dovuta al fatto che devo imporre che lultimo debito residuo sia nullo) D 4 = C 5 ricavo che da cui R 438, ,1 2,431R = 1,2431R 146,41 Esercizio 5. Un prestito di 40000e viene rimborsato in 60 mesi a rata costante al tasso mensile = 0,3675%. Dopo 30 mesi, si decide una proroga del rimborso per una durata complessiva pari a 120 mesi. a) Determinare la rata R pagata nei primi 30 mesi; b) determinare la rata R pagata nei successivi 90 mesi, se la proroga é a costo nullo; c) determinare la rata R pagata nei successivi 90 mesi, se la proroga comporta una penale dell 1% sul debito residuo; d) tornando al caso (b), dimostrare che il tasso mensile effettivo si é abbassato rispetto a, ma é maggiore dello 0,35%. Soluzione. a) Sia D 0 = 40000e. La rata nei primi 30 mesi corrisponde alla rata mensile costante del rimborso del prestito in 60 mesi, ossia senza la proroga, quindi R = D 0 1 (1+ ) 60 = , (1,003675) 60 = 744,085e.

5 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA 5 b) Calcoliamo il debito residuo dopo 30 mesi, abbiamo che D 30 = D 0 1 (1+) (1+ ) 60 = (1,003675) 30 1 (1,003675) 60 = 21099,36978e. Allora, la rata R pagata nei successivi 90 mesi, se la proroga é a costo nullo, è pari a R = D 30 1 (1+ ) 90 = 21099, , (1,003675) 90 = 275,767e. c) La rata R pagata nei successivi 90 mesi, se la proroga comporta una penale dell 1% sul debito residuo, è pari a R = (D 30 +0,01D 30 ) 1 (1+ ) 90 = = 1,01D 30 1 (1+ ) 90 = 1,01R = 278,525e. d) Sia x m il tasso mensile effettivo nel caso in cui la proroga sia a costo nullo. Questo significa che x m è il corrispettivo mensile del TIR associato al discountedcash-flowdell interaoperazionefinanziaria,ossiax m él unicasoluzione appartenente al dominio finanziariamente significativo ] 1, + [ dell equazione G(x m ) = 0, ove (1) G(x m ) = R 1 (1+x m) 30 x m +R 1 (1+x m) 90 x m (1+x m ) 30. Si ricordi anche come la funzione G(x m ) sia monotona strettamente decrescente sul suo dominio e, come detto, si annulli solo per x m = x m. Pertanto, il fatto che, sostituendo nella formula (1) x m con = 0,3675%, otteniamo G( ) = R 1 (1,003675) 30 0, ci permette di dedurre immediatamente che > x m. +R 1 (1,003675) 90 (1,003675) 30 < 0, 0, Sostituendo invece nella formula (1) x m con 0,35% otteniamo G(x) = R 1 (1,0035) 30 0, R 1 (1,0035) 90 0, 0035 (1,0035) 30 > 0, quindix m > 0,35%.Possiamoconcluderedunquechex m ]0,35%;0,3675%[.

6 6 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA Applicazioni del TIR: il TAEG Esercizio 6. Un esercente vende televisori LCD, ciascuno di valore 926, 44766e, a rate costanti, su 8 mesi, con TAEG pari al 10% e rata pari a R = 120e. a) Se l esercente offre l opzione per cui, pagata la penultima rata, il cliente in difficoltà possa pagare l ultima rata immutata un mese dopo, qual è il tasso realmente applicato tra il settimo e il nono mese? b) Tornando ad un piano senza interruzioni, supponiamo che la rata effettivamente pagata sia maggiorata dell 1% rispetto a R a causa di commissioni bancarie caricate sui clienti. Fornire allora una stima per difetto ed eccesso del TAEG effettivamente applicato con differenza massima tra i tassi per eccesso e difetto di un punto percentuale. Soluzione. a) Nel piano classico, il cash-flow dell operazione è il seguente: (a 0,R,R,R,R,R,R,R,R), ove R = 120e. Tra il settimo e l ultimo mese, il debito residuo all epoca t = 7/12 è pari a: 120 D 7 =, (1+x ) 1 12 ovex rappresentailtirdell operazionechesappiamocoinciderecoltaeg, ossia il 10%. La suddetta formula esprime il fatto che l attualizzazione dell ultima rata deve coprire il debito residuo rimasto al mese precedente. Se invece l esercente offre l opzione per cui, pagata la penultima rata, il cliente in difficoltà possa pagare l ultima rata immutata un mese dopo, il cash-flow è il seguente: (a 0,120,120,120,120,120,120,120,0,120). Pertanto, se consideriamo il debito residuo all epoca t = 7/12, abbiamo che 120 D 7 =, (1+x ) 2 12 perché questa volta l attualizzazione è relativa ad un periodo di due mesi, ma a tasso annuo x incognito. Uguagliando le due espressioni di D 7 trovate, risulta ossia (1+x ) 1 12 = (1+x ) 2 12 (1+x ) = (1+x ) 2, x = 1+x 1 = 1,1 1 = 0,0488 = 4,88%.

7 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA 7 Dunque, sempre stando ad un confronto tra tassi annui, il tasso effettivamente applicato negli ultimi due mesi con l opzione si è parecchio abbassato rispetto a quello del 10% applicato senza opzione. b) Supponiamo che in realtà la rata effettivamente pagata sia maggiorata dell 1% rispetto alla rata R = 120e. Dunque, la nuova rata è pari a R = R+0,01R = 121,20e. La rata R, nel piano classico, é data da x m (2) R = D 0 1 (1+x m ) 8 e, trasformando il tasso mensile in annuale, si trova che (3) R = D 0 (1+x) 1. 1 (1+x) 2 3 Ora, basta riscrivere la (3) con R al posto di R, ossia (4) R = D 0 (1+x ) 1, 1 (1+x ) 2 3 dove x è il nuovo tasso annuo effettivo globale TAEG. Confrontando la (3) con la (4), otteniamo, essendo R > R, che x m > x m, quindi il nuovo TAEG deve essere superiore al vecchio, ossia TAEG > 10%. Se poniamo x = 12% nella formula (4), otteniamo D 0 (1+x ) 1 1 (1+x ) 2 3 = 926,44766 (1,12) 1 1 (1,12) 2 3 Se poniamo x = 13% nella formula (4), otteniamo D 0 (1+x ) 1 1 (1+x ) 2 3 = 926,44766 (1,13) 1 1 (1,13) 2 3 = 120,805 < R = 121,204 > R Dunque il tasso incognito deve stare tra il 12% e il 13%, ossia 12% < TAEG < 13%(tral altro,èvicinissimoal13%,perchér = 121,20).