1 ANTENNE IN TRASMISSIONE SU PIANO DI MASSA

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1 1 ANTENNE IN TRASMISSIONE SU PIANO DI MASSA Per una serie i applicazioni legate allo stuio elle antenne interessa valutare come si moifica il comportamento i una antenna in presenza el suolo. Per frequenze non troppo alte, il suolo può essere consierato con ottima approssimazione un piano i massa e cioè un conuttore elettrico perfetto. Questo consente sia i calcolare, utilizzano il teorema elle immagini, il campo prootto alla antenna in questa nuova situazione, sia i eterminare se, e come, si moifica la istribuzione i corrente sulla antenna. Limitanoci ancora alle antenne filiformi, si può imostrare che, per antenne non troppo lunghe (ma anche per antenne lontane al suolo, inipenentemente alla loro lunghezza), la istribuzione i corrente non varia rispetto al caso ella stessa antenna in spazio libero 1. C.E.P. Fig. 1a Antenna filiforme in assenza el suolo. Fig. 1b Antenna filiforme in presenza el suolo. Per calcolare il campo i una antenna lunga 2l, posta a istanza a un piano perfettamente conuttore, come in Fig. 1b, occorre quini eterminare la istribuzione i corrente ella antenna in spazio libero, sostituire alla antenna la istribuzione i corrente inotta (Fig. 2 a sinista) e poi applicare, alle correnti, il teorema elle immagini (Fig. 2 a estra). La istribuzione i corrente immagine è posta in posizione speculare rispetto al C.E.P. e poich si tratta i una corrente elettrica verticale avrà la stessa ampiezza e la stessa fase ella corrente inotta sulla antenna reale. Consieriamo ora un sistema i ue antenne allineate, lunghe entrambe 2l, e poste a istanza 2, come in Fig. 3. Alimentiamo le ue antenne con la stessa corrente (in moulo e fase) usata per l antenna i Fig La corrente su i una antennapotrebbe variare a causa ella interazione ella antenna col piano conuttore, che moifica il campo iffuso alla antenna, ovvero il campo prootto alla corrente inotta sulla antenna, in conseguenza el teorema elle immagini. L eventuale variazione ella corrente è quini un effetto ella interazione ella antenna col suolo. Per antenne non troppo lunghe, abbiamo visto che la istribuzione i corrente è inipenente alla presenza i altre antenne vicine. Ne segue che, analogamente, la istribuzione i corrente sarà inipenente alla presenza el suolo. 1

2 J in J in C.E.P. J imm Fig. 2a: Distribuzione i corrente inotta sulla antenna in presenza el suolo (sinistra). Fig. 2b: Correnti ottenute al teorema elle immagini (estra). r 1 θ r 2 cos θ 2 cos θ r 2 Fig. 3 Fig. 4 Due antenne in spazio libero. Differenze i cammino per il sistema i Fig. 3 (e i Fig. 2b). Se la lunghezza i ciascuna antenna è tale a garantire istribuzione i corrente inipenente alla presenza ell altra antenna, allora la istribuzione i corrente inotta complessivamente sulle ue antenne è ientica a quella i Fig. 2b (salvo che ora entrambe le correnti 2

3 sono correnti inotte reali). Ne segue che il campo elle correnti i Fig. 2b è lo stesso i quello prootto alle ue antenne i Fig. 3. Passiamo ora al calcolo el campo lontano ella situazione i Fig. 3 (campo che coincie con quello i Fig. 2b e quini, per il teorema elle immagini, con quello i Fig. 1, almeno al i sopra el C.E.P.). La prima cosa a notare è che ora il iametro ella antenna non è più pari a 2l, come per l antenna i Fig. 1 in spazio libero, ma iventa l+2+l = 2(+l), e pertanto la istanza a cui inizia il campo lontano è maggiore (eventualmente molto maggiore) i quella a cui inizia il campo lontano per la antenna i Fig. 1a. Per calcolare il campo, ovvero il fattore i interferenza, per il sistema i Fig. 3, inziamo a calcolare le ifferenze i cammino. Dalla Fig. 4, in cui sono rappresentati solo i centri i fase elle antenne, a sceglieno il centro ella antenna completa nel punto meio, ovvero sul piano i massa esattamente sotto le antenne, si trova Il campo vale allora (vei (53)) r 1 = r cosθ r 2 = r +cosθ ] E(r) = j 2λr e jβr h (θ)e jβcosθ + h (θ)e jβcosθ = j 2λr e jβr h (θ) 2cos ( βcosθ )] (2) esseno h (θ) la altezza efficace ella antenna singola 2 (quella i Fig. 1a). Nel caso i Fig. 1b, è la corrente i alimentazione ella antenna ipolo più piano i massa, e quini il termine in parentesi quara al secono rigo ella (2) è (per θ π/2) la altezza efficace h S (θ) ella antenna in presenza el piano i massa (ovvero ella antenna i Fig. 1b). Si ha cioè h S (θ) = { 2h (θ) cos ( βcosθ ) θ π 2 π 2 θ π (3) Consieriamo come esempio il caso i una antenna a λ/ 2, la cui altezza efficace h (θ) è ata alla (46). Se =λ/ 2, allora il iametro ella antenna iventa pari a D = 1.5λ, e la conizione i campo lontano risulta verificata se vale la secona elle (24), ovvero per r > 3λ. Il fattore ella (3) ovuto alla interazione col suolo, ovvero 2cos ( βcosθ ) = 2cos ( πcosθ ) ha nulli quano l argomento el coseno vale π/ 2 +nπ, ovvero per θ = 6 o, e massimi quano l argomento vale oppure π, che corrisponono a θ = 9 o e θ = rispettivamente. In Fig. 5 sono riportati gli anamenti (normalizzati al massimo) i h e el fattore preceente. In Fig. 6 è invece riportato il moulo ella altezza efficace complessiva (3). 2 A rigori, la antenna immagine (più precisamente la istribuizione i corrente immagine) è ribaltata rispetto al piano i massa, e non semplicemente traslata. Quini il secono termine ella (2) ovrebbe contenere h (π θ). Poiché però la istribuzione i corrente ella antenna i Fig. 1a è simmetrica rispetto alla mezzeria, anche la altezza efficace è simmetrica, ovvero h (π θ) = h (θ). (1) 3

4 Fig. 5: Anamenti (normalizzati al massimo) i h e i 2cos(πcosθ). (È rappresentato, ovviamente, solo il semispazio per z, e in particolare il campo in tutto un piano verticale)..5 1 Fig. 6: Anamento (normalizzati al massimo) i h S (θ) per =λ/ 2. Se aumenta, il fattore cos(β cos θ) varia più rapiamente. Se consieriamo, come esempio, la stessa antenna a λ/ 2, ma posta a = 5λ, allora la altezza afficace complessiva (3) varia molto più rapiamente, come si vee alla Fig. 7. Ovviamente, usare l altezza efficace per ottenere il campo è corretto solo in campo lontano, che ora inizia a r = 22λ..5 1 Fig. 7: Anamento (normalizzati al massimo) i h S (θ) per = 5λ. L aggiunta i un piano i massa a una antenna verticale non moifica la simmetria, e 4

5 mquesto rene la trattazione preceente abbastanza semplice. La simmetria si pere nel caso i antenne filiformi orizzontali (o, airittura, oblique), e quini verranno solo consierati alcuni casi particolari. Cominciamo a consierare una antenna filiforme parallela al piano i massa (Fig. 8a). C.E.P. 2 - Fig. 8a: Antenna orizzontale in presenza el suolo (sinistra). Fig. 8b: Coppia i antenne che forniscono lo stesso campo ella Fig. 8a (estra). Assumeno che la istribuzione i corrente sulla antenna non varia per la presenza el piano i massa, possiamo (analogamente a quanto fatto per antenne verticali) sostituire alla antenna la istribuzione i corrente inotta, che irraia in presenza el piano i massa. Il campo che questa prouce si ottiene al teorema elle immagini, sostitueno il piano conuttore con una istribuzione i correnti immagini. Possiamo poi notare che la istribuzione i correnti, inotta più immagine, è la stessa che si ottiene consierano ue antenne uguali in spazio libero (come in Fig. 8b). Va però notato che, esseno la antenna reale posta orizzontalmente, allora la corrente sulla antenna immagine eve essere opposta. Le ifferenze i cammino sono ancora ate alle (1), e teneno conto elle corenti opposte, si trova, come campo ] E(r) = j 2λr e jβr h e jβcosθ h e jβcosθ = j 2λr e jβr h 2jsin ( βcosθ )] (4) ove θ è quello i Fig. 4 e h è la altezza efficace ella antenna orizzontale isolata. Questa altezza efficace è funzione ell angolo tra la antenna e la irezione el punto campo, angolo che ora non coincie con θ. Pertanto, non è possibile ricavare una espressione semplice ella altezza efficace h S = h 2jsin(βcosθ)] ella antenna in presenza el suolo che sia anche valia ovunque (come invece è la (3)). Consiereremo allora solo ue casi particolari. Nel piano ella 5

6 Fig. 8, e per φ = (ovvero nella sola parte estra ella figura), l angolo a cui ipene h risulta il complementare i θ. Pertanto, per una antenna a λ/ 2, l uso ella (46) fornisce h S (θ,φ = ) = 2j λ π cos ( π 2 sinθ) ] sin ( βcosθ ) cosθ e la irezione è nel piano ella figura. Se invece consieriamo un piano ortogonale alla antenna (e quini ortogonale al preceente) la altezza efficace h vale sempre λ/π, e quini ( h S θ,φ = ± π ) = 2j λ 2 π sin( βcosθ ) In Fig. 9 sono riportati i campi nel piano che contiene l antenna, e nel piano ortogonale (ovvero gli anamenti elle ue espressioni preceenti) per =.75 λ Fig. 9: Anamenti (normalizzati) el campo i una antenna orizzontale su piano i massa. A sinistra il campo nel piano elle antenne e a estra quello nel piano ortogonale. Resta a calcolare l impeenza i ingresso, e a questa gli altri parametri ella antenna in presenza el piano i massa. Se possiamo ancora assumere che il piano i massa non moifica la istribuzione i corrente, allora l impeenza i ingresso ella antenna i Fig. 1b (rispettivamente 8a), è l impeenza attiva ella antenna superiore nella Fig. 3 (rispettivamente 8b). In altri termini, per una antenna in presenza el piano i massa, l impeenza i ingresso si ottiene sempre usano l impeenza mutua tra la antenna e una antenna immagine. A esempio, per una antenna a λ/ 2 orizzontale, assumeno i poter calcolare la mutua impeenza Z m in campo lontano, e ricorano che le correnti sono opposte, si ha Z in,s = Z Z m = Z j 4λ e j2β ( ) 2 λ (5) π che è unabuonaapprossimazione per >λ/ 4 (e è facilmente generalizzabile a lunghezze iverse, moificano l ultimo fattore). Z è l impeenza ella antenna isolata (e ipene eventualmente anch essa alla lunghezza). Il iscorso è più complesso per una antenna verticale, in quanto calcolare la mutua impeenza in campo lontano conuce a Z m =, che è accettabile solo le la antenna reale e la antenna immagine sono effettivamente in campo lontano. Il che richee (si veano i paragrafi 6

7 2 e 14) che > 1.25λ per una antenna a λ/ 2 3 Ne segue che, per istanze tra antenna e suolo uguali o superiori a 1.25 λ, l impeenza i ingresso ella antenna in presenza el suolo risulta uguale a quella in assenza el suolo. Per istanze inferiori, esiste una mutua impeenza ovuta alla componente i r el campo prootto, che moifica significativamente l impeenza i ingresso. 2 MONOPOLO IN TRASMISSIONE SU PIANO DI MASSA Consieriamo una antenna filiforme i lunghezza 2l, alimentata al centro (Fig. 1). Se preniamo un sistema i riferimento con asse z lungo l antenna e origine al centro, la ensità i corrente inotta è simmetrica rispetto a z J(z) = J( z) e questo prouce un campo anch esso simmetrico. In particolare il campo prootto ha, per z =, la sola componente verticale. Pertanto. se inseriamo in z = un piano i conuttore elettrico perfetto (linea tratteggiata in Fig. 1), le conizioni la contorno non cambiano, e in particolare i campi e le correnti restano ientici. L C.E.P. Fig. 1: Antenna filiforme completa Fig. 2: Monopolo equivalente su C.E.P. In questo moo si ottiene un nuovo tipo i antenna, ovvero un monopolo, lungo l, posto su i un C.E.P., e alimentato rispetto al conuttore (Fig. 2). La corrente che si inuce su tale monopolo è esattamente la stessa che si inuce sulla parte superiore i un ipolo lungo 2l, a parità i corrente i alimentazione. Il campo corrisponente coincie, nel semispazio z >, con quello el ipolo lungo 2l, e è ovviamente nullo per z <, come si si ottiene anche al teorema elle immagini. Per valutare i parametri i un monopolo lungo l, conviene prenere come riferimento un ipolo lungo 2l, e collegare i parametri el monopolo, che inicheremo col peice M, a quelli el ipolo, che inicheremo col peice D. Si ha, per l altezza efficace (che non ipene a ϕ) 3 Questo valore limite aumenta o iminuisce linearmente con la lunghezza ella antenna, anche se eve sempre essere superiore a (5/2π)λ per essere in campo lontano. 7

8 h D (ϑ) per ϑ π 2 h M (ϑ) = per ϑ > π (6) 2 A partire alla altezza efficace si possono calcolare gli altri parametri. La potenza irraiata, con una corrente i alimentazione, vale (vei (26)) P irr,m = (2λ) 2 2π π/2 h M (ϑ) 2 sinϑϑ = (2λ) 2 2π mentre quella irraiata al ipolo corrisponente vale π/2 h D (ϑ) 2 sinϑϑ iventa P irr,d = (2λ) 2 2π π h D (ϑ) 2 sinϑϑ Ma h D (ϑ) è simmetrica attorno a π/2 (vei(42)) e quini la espressione preceente P irr,d = (2λ) 2 2π 2 π/2 h D (ϑ) 2 sinϑϑ Dalla (33) segue allora 2D D (ϑ,ϕ) per ϑ π 2 D M (ϑ,ϕ) = per ϑ > π 2 ] = 2 P irr,m (7) (8) e in prima approssimazione le efficienze sono uguali 1, per cui la relazione preceente vale anche tra i guaagni. La relazione (7) tra le potenze irraiate (a parità i corrente i alimentazione) conuce a relazioni ientiche tra le resistenze i ingresso e i irraiazione R irr,m = 1 2 R irr,d R in,m = 1 2 R in,d (9) Per quanto riguraa la reattanza i ingresso, va ricorato che questa reattanza serve a compensare la ifferenza tra le energie elettriche e magnetiche attorno all antenna (poiché subito oltre la zona elle sorgenti il vettore i Poynting iventa reale). Nel caso el monopolo, le energie immagazinate sono separatamente la metà i quelle immagazinate attorno al ipolo corrisponente, e quini imezza anche la reattanza i ingresso. Si ha quini Z in,m = 1 2 Z in,d (1) 1 Se assumiamo il piano conuttore effettivamente i conuttoreperfetto, le efficienze sono eattamente uguali, visto che su mezzo ipolo, e quini sul monopolo, si issipa esattamente la metà ella potenza che si issipa su tutto il ipolo. Se invece ci sono perite sul piano ocnuttore, ovvero la sua conucibilità non è infinita, allora η M < η D. 8