Interpolazione con una retta per l origine

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1 84 Captolo Stme d parametr.4 Interpolazone de dat con una curva 85 Così come abbamo dmostrato che, al fne d correggere questa sottostma (n meda) per le msure rpetute, occorre dvdere la somma de quadrat degl scart per nvece che per, s potrebbe analogamente dmostrare che una corretta stma dell errore de punt msurat s ha, n meda, dvdendo l analoga somma per ; n defntva, che la corretta stma d y è data dalla formula ] [(a+bx ) y y = In essa a numeratore compare la somma de quadrat de resdu, coè delle dstanze de punt msurat(x,y ) dalla retta nterpolante d equazone a+bx calcolate secondo la drezone parallela all asse delle ordnate. Questa formula permette una corretta stma dell errore de dat nterpolat, qualora sa mpossble (o scomodo) determnarl per altra va; l errore è stmato da resdu de dat spermental, ed è qund scentfcamente affdable. Il fatto che la corretta stma dell errore s ottenga dvdendo per nvece che per deve essere messo n relazone con l fatto che gl scart, nvece che rspetto al valore vero, sono calcolat rspetto ad un valore stmato che dpende da due parametr, che sono a loro volta stat preventvamente determnat sulla base de dat spermental: coè due coeffcent a e b dell equazone della retta. ell analogo caso della stma dell errore quadratco medo d una varable casuale undmensonale, gl scart erano calcolat rspetto ad un valore che, unca grandezza necessara, venva preventvamente determnato sulla base delle msure: appunto la meda artmetca. In generale, dsponendo d dat spermental da qual possamo determnare un valore dell errore quadratco medo che dpende da M parametr che debbano essere preventvamente dervat da dat stess, la modfca da apportare alla formula per ottenere una corretta valutazone dell errore della popolazone consste nel dvdere la somma de quadrat degl scart per un fattore M..4.3 Interpolazone con una retta per l orgne Se conoscamo altr vncol cu debba soddsfare la legge che mette n relazone valor delle varabl msurate x e y, possamo mporre che la retta corrspondente appartenga ad un partcolare sottonseme delle rette del pano; ad esempo, un caso che s può presentare è che la retta sa vncolata Una formula equvalente (ma pù semplce) per l calcolo d y s può trovare nell equazone (C.8) alla pagna 64.. a passare per una poszone partcolare, che supporremo qu essere l orgne degl ass coordnat. Una generca retta per l orgne ha equazone y = mx; ammesso ancora che gl error commess rguardno soltanto la msura della y e non quella dellax, che tutt vary abbano error dstrbut secondo la legge normale e tra loro ugual, e che le msure sano tra loro ndpendent, l problema dell nterpolazone lneare s rduce a trovare tra le nfnte rette passant per l orgne quella che rende massma la funzone d verosmglanza L(x,y,x,y,...,x,y ;m) = e y π ( ) mx y y. Passando al logartmo naturale d L, è facle vedere che la soluzone rcercata è sempre quella che rende mnma la somma de quadrat de resdu da punt msurat: che coè mnmzza la funzone f(m)= ( ) mx y. La dervata prma df vale df dm = ( ) mx y x = m x x y e, mponendo che essa sa nulla, l estremante s ha per m= x y x e corrsponde n effett ad un mnmo. La legge d propagazone degl error è esatta anche n questo caso, perché m è una combnazone lneare delle varabl affette da errore (ley ); l coeffcente dy nella combnazone vale e qund m = x kx k ( ) x y = kx k y ( kx k ) e la formula per l calcolo degl error a posteror dventa y = ( ) mx y x = y kx k vsto che l parametro da cu l errore quadratco medo dpende e che deve essere stmato sulla base de dat è uno soltanto:m.

2 86 Captolo Stme d parametr.4.4 Interpolazone lneare nel caso generale Le condzon ) e ) sugl error delle grandezze msuratex ey date nel paragrafo.4. non potranno ovvamente ma essere verfcate esattamente; come c s deve comportare quando nemmeno n prma approssmazone le possamo consderare vere? Se gl error quadratc med delle y sono tra loro dvers, non è pù possble raccoglere a fattore comune / nell espressone del logartmo della verosmglanza; e cascun addendo sarà dvso per l corrspondente errore. In defntva la retta pù verosmle s trova cercando l mnmo della funzone [ ] (a+bx ) y f(a,b)=. Questo avvene quando a = [( x b = [( n cu s è posto ( = ) ( ) ( ) ( y ) x y ) ( x ( Le varanze daedbsaranno po date dalle a b ) = = x x ) ( ) ( ( ) x. x ) x y ] y S deve tuttava osservare che per applcare questo metodo è necessaro conoscere, per altra va e preventvamente, tutte le varanze. Cò può essere molto laboroso o addrttura mpossble, e non rsulta convenente rnuncare ad una stma unca e ragonevole y d queste varanze per tener conto d una varazone, generalmente debole, delle n un ntervallo lmtato d valor dellax. Volendo tener conto dell errore su entrambe le varabl x ed y, non è generalmente possble usare un metodo, descrtto n alcun test, consstente nel cercare la retta che rende mnma la somma de quadrat delle dstanze )].4 Interpolazone de dat con una curva 87 da punt, msurate però ortogonalmente alla retta stessa: a prescndere dalla complcazone della soluzone d un sstema d equazon non lnear, resta l fatto che sexedy sono due grandezze fsche dverse, o anche soltanto msurate con strument e metod dvers, loro error quadratc med sono generalmente dfferent; mentre la dstanza sul pano attrbusce lo stesso peso agl scart nx ed a quell ny. Per applcare questo metodo s dovrebbe conoscere, per va ndpendente, almeno l rapporto tra x e y ; e rappresentare valor msurat(x,y ) non gà sul pano{x,y}, bensì su quello delle varabl rdotte{x/ x,y/ y }. Per solto nella pratca s prefersce consderare affetta da errore una soltanto delle varabl, ad esempo la y, la scelta cadendo generalmente su quella determnata n manera pù ndretta, e che rsente percò degl error d tutte le altre grandezze msurate drettamente; così, n un dagramma veloctà tempo trascorso o veloctà spazo percorso, s assumerà affetta da errore la sola veloctà. Un eventuale errore sulla x s propagherà attraverso la relazone funzonale anche allay, e, se l errore quadratco medo y è stmato da dat spermental, esso congloberà anche l ndetermnazone dovuta allax. Per meglo charre l concetto, consderamo la leggev=v(t)=v 0 +gt che descrve la caduta d un grave, e pensamo d msurare la sua veloctà n un certo stante: nell potes orgnale t sarebbe determnable esattamente, ma l mprecsone nella msura delle veloctà c darebbe valor d v compres n un ntervallo d ampezza non nulla (dpendente dall errore quadratco medo v ). Se delle due grandezze, al contraro, fosse la veloctà ad essere conoscble esattamente, l mpossbltà d determnare con precsone l stante t n cu essa deve essere msurata c darebbe ugualmente valor d v dstrbut n un ntervallo d ampezza non nulla (legata stavolta ag t ). Indcando, nsomma, con x e y gl error (sempre suppost costant) d ognuna delle determnazon (sempre supposte ndpendent)x ey, la formula dell errore a posteror c permette d rcavare da dat una ragonevole stma non tanto del solo y quanto, puttosto, della combnazone (quadratca) dell errore ntrnseco delle ordnate e d quello ntrnseco delle ascsse propagato sulle ordnate: y +(b x ) (oveb è l valore vero della pendenza della retta).

3 88 Captolo Stme d parametr.4.5 Interpolazone non lneare Formule analoghe a quelle trovate s possono rcavare per rsolvere l problema dell nterpolazone d curve d ordne superore al prmo (parabole, cubche, polnomal n genere) ad un nseme d dat spermental, sempre usando l metodo della massma verosmglanza. el caso po c s trovasse d fronte ad una curva d equazone dversa da un polnomo, n parecch cas è possble lnearzzare la relazone cambando varable: così, ad esempo, se due grandezze hanno tra loro una relazone d tpo esponenzale, l logartmo naturale ne avrà una d tpo lneare: y=ke bx lny = lnk bx = a bx..5 Altre applcazon della stma d massma verosmglanza Per concludere l captolo, presentamo altre tre applcazon del metodo della massma verosmglanza: la stma delle probabltà gnote d un nseme d modaltà esclusve ed esaurent cu può dar luogo un fenomeno casuale; la stma sa della meda che della varanza d una popolazone normale; e la stma del range d una popolazone unforme..5. Stma d probabltà Supponamo che un fenomeno casuale possa dare orgne ad un numero fntom d eventualtà, ognuna delle qual sa assocata ad un valorep gnoto della probabltà; se, esegute prove ndpendent, ndchamo con n la frequenza assoluta con cu ognuna dellem eventualtà s è presentata nel corso d esse, quale è la stma d massma verosmglanza, p, per le ncognte probabltàp? La funzone d verosmglanza è, vsto che la generca dellem eventualtà, d probabltàp, s è presentatan volte, data 3 da M L(n;p)= p n 3 A meno d un fattore moltplcatvo costante, corrspondente al numero d mod n cu oggett s possono rpartre tram grupp n modo che ogn gruppo sa composto dan oggett; numero delle partzon ordnate (ved n proposto l paragrafo A.7)..5 Altre applcazon della stma d massma verosmglanza 89 (n cu abbamo ndcato sntetcamente con due vettor, n e p, entramb d dmensone M, l nseme degl M valor n e quello degl M valor p rspettvamente); ed l suo logartmo da M lnl(n;p)= n lnp. (.) Il problema della rcerca del massmo della (.) è complcato dal fatto che valor dellep non sono lber, ma vncolat dalla condzone M p =. (.3) Usamo qund l metodo de moltplcator d Lagrange, costruendo la funzone M M f(n;p) = n lnp λ p (.4) e rsolvendo l sstema dellem+ equazon, nellem+ ncogntep eλ, composto dalla (.3) e dalle altrem ottenute dervando la (.4) rspetto ad ognuna dellep k : f = n k λ = 0 (k=,,...,m). p k p k Da quest ultma s rcava e, sosttuendo nella (.3), s ottene p k = n k λ M p = M n = λ λ = λ= per cu n defntva la soluzone d massma verosmglanza è (cosa non sorprendente) data dalle p = n.

4 90 Captolo Stme d parametr.5. Meda e varanza d una popolazone normale Abbamo gà vsto nel paragrafo.3 che, ammessa nota la varanza d una popolazone normale, l suo valore medoµ ha come stma d massma verosmglanza la meda artmetca x d un campone d stme ndpendent; voglamo ora stmare contemporaneamente sa µ che da dat, usando sempre l metodo della massma verosmglanza. La denstà d probabltà vale ed l suo logartmo f(x;µ,)= π e ( x µ ) lnf(x;µ,) = ln ln π ( ) x µ. Il logartmo della funzone d verosmglanza è e dunque lnl(x;µ,) = lnf(x ;µ,) lnl(x;µ,) = ln ln π (x µ) ; e le sue dervate parzal prme sono e µ lnl = lnl = + 3 (x µ) = (x µ) = 3 x µ (x µ). Il sstema ottenuto annullando le due dervate parzal prme ha l unca soluzone (n effett un massmo) data da µ= x= x e = ( x µ )..5 Altre applcazon della stma d massma verosmglanza 9 Questo era gà noto: entrambe le stme, come sappamo, sono consstent; però la seconda non è mparzale (ma può essere resa tale moltplcandola per un opportuno fattore d correzone). In sostanza l fatto che la varanza della popolazone abba un determnato valore (come assunto nel paragrafo.3) non camba l fatto che la nostra mglore stma del valore medo della popolazone sa comunque data dalla meda artmetca del campone: vedremo po nel paragrafo. che l valore medo del campone e la sua varanza sono varabl casual statstcamente ndpendent tra loro..5.3 Range d una popolazone unforme Sa una varable casualex dstrbuta unformemente tra un estremo nferore noto, che senza perdere n generaltà possamo supporre sa lo zero, ed un estremo superore gnoto A; n questo caso dobbamo nnanz tutto osservare sa che l domno d defnzone della funzone d frequenza f(x) dellaxdpende dal parametro che dobbamo stmare, sa chef(x) e la sua dervata prma hanno de punt d dscontnutà: e non possamo n conseguenza garantre a pror né la consstenza, né la massma effcenza asntotca del metodo usato. Comunque, ntroducendo la cosddetta funzone gradno (o step functon) S(x), defnta attraverso la S(x)=0 (x< 0) S(x)= (x 0) la funzone d frequenzaf(x) s può anche scrvere e la funzone d verosmglanza f(x) = A S(x)S(A x) L(x,x,...,x ;A)= A S(x mn)s(a x max ). Come sappamo, ammesso noto l valore del parametro A essa rappresenta la denstà d probabltà d ottenere gl valorx [,+ ]; se nvece s consdera A come l unca varable e s ammettono not gl valor x, rappresenta la denstà d probabltà che un datoaabba prodotto dat osservat. Ma n quest ultmo casos(x mn ), e la funzone d verosmglanza s rduce alla L(A)= A S(A x max) (.5)

5 9 Captolo Stme d parametr.5 Altre applcazon della stma d massma verosmglanza 93 che è nulla pera<x max e monotona strettamente decrescente pera x max ; ed ammette qund un unco massmo all estremo del domno, che vale Â=x max. (.6) Valore medo e varanza della stma valgono, come gà sappamo dal paragrafo 8..3, e E(Â) = A A + = + A Var(Â) = (+ ) (+ ) (A ) e qund la stma è consstente, ma non mparzale; una stma mparzale è nvece Ā = + ( x max = x max + ) d varanza ovvamente superore per un fattore(+/). È anche ovvo, dalla forma sa della (.5) che della (.6), cheâèuna stma suffcente da..5.4 Stma della vta meda d una partcella el processo d decadmento d una partcella nstable, ndchamo con τ l ncognta vta meda e con t temp (propr) d decadmento osservat; temp che (come sappamo) seguono la dstrbuzone esponenzale: f(t;τ)= E(t)=τ τ e t τ Var(t)=τ Ammettendo per semplctà che l osservazone avvenga con una effcenza untara, o, n altre parole, che tutt decadment vengano osservat, la funzone d verosmglanza s scrve L = f(t k ;τ) = k= τ e τ kt k,, ed l suo logartmo vale ln(l) = lnτ τ ( ) t t k = τ + lnτ Dervando rspetto al parametro e cercando gl estremant, d ln(l) dτ k= = τ ( t τ) = 0 ; e qund l unco estremante della funzone d verosmglanza s ha per Se calcolamo la dervata seconda, ˆτ= t. d ln(l) dτ = τ 3 ( t τ ) essa, calcolata per t = t è negatva; qund l unco estremante è effettvamente un punto d massmo. La soluzone d massma verosmglanza ˆτ = t è consstente ed mparzale (essendo l valore medo del campone); d varanza mnma (per l teorema d Cramér Rao); noltre la stma è suffcente (rassume nsomma tutta l nformazone del campone). ormalmente l effcenza non è però untara; ad esempo l nostro rvelatore può avere dmenson confrontabl col cammno medo delle partcelle, che possono qund uscrne prma d decadere. In questo caso, vsto che decadment possono essere stat osservat solo essendo avvenut all nterno d un ntervallo compreso tra un valore temporale mnmo (eventualmente nullo) ed uno massmo (ad esempo dpendente dalla poszone del decadmento, dalla drezone d emssone de suo prodott, dalle dmenson del rvelatore,... ) ntervallo dfferente per ognuno de decadment dovremo costrure la funzone d verosmglanza consderando le probabltà d osservazone condzonate dall essere l decadmento esmo avvenuto tra un certo(t mn ) ed un certo(t max ) : L= τ e t τ e (t mn ) τ e (tmax) τ. (.7)

6 94 Captolo Stme d parametr Il denomnatore della (.7) rappresenta nfatt la probabltà d decadere tra l tempot mn e quellot max, come è mmedato rcavare dalla funzone d dstrbuzone della denstà d probabltà esponenzale, che vale F(t) = dalla (.7) s rcava po e, posto per brevtà t x 0 τ e τ dx = e t τ ; { ln(l)= lnτ+ t [ ]} τ ln e (t mn ) τ e (tmax) τ Captolo La verfca delle potes (I) s arrva alla ϕ (τ)= (t mn) (t mn ) e τ (t max ) e (tmax) τ e (t mn ) τ e (tmax) τ d ln(l) dτ = [ t ϕ τ (τ) ] τ = 0 che bsogna rsolvere n modo numerco. on s può noltre n questo caso garantre che le propretà precedentemente delneate per ˆτ (consstenza, normaltà, effcenza,... ) sano ancora valde, almeno per fnto. Può dars che la funzone d verosmglanza ammetta pù d un massmo, e non s sa a pror quale d ess convergerà versoτ ; e, per fnre, l errore della stma deve essere rcavato dalla concavtà della funzone d verosmglanza, supposta approssmatvamente normale. Una volta eseguta una msura, s può voler controllare se nostr rsultat possono confermare o rgettare una determnata potes rguardante l fenomeno fsco che l ha prodott; naturalmente, vsto che rsultat d una msura comunque lontan dal valore vero sono sempre possbl (anche se con probabltà sempre pù pccole al crescere dello scarto), una qualunque potes sulla grandezza fsca msurata potrà essere confermata o rgettata da dat solo ad un certo lvello d probabltà. Qu c occuperemo noltre d alcune funzon d frequenza collegate a quella d Gauss, ossa della dstrbuzone delχ, d quella d Student e d quella d Fsher; e dell uso che d esse s può fare per la verfca d potes statstche: qual ad esempo quella che un campone d dat spermental provenga da una popolazone descrtta da una denstà d probabltà nota a pror; o quella che l valore vero della grandezza msurata concda con un valore determnato, noto anch esso a pror.. La dstrbuzone delχ Se le varabl casual x, tra loro statstcamente ndpendent, sono varabl normal standardzzate (ovverosa dstrbute secondo la legge normale con meda 0 e varanza ), s può dmostrare che la nuova varable Student è lo pseudonmo con cu vennero pubblcat lavor statstc d Wllam Gosset, scenzato nglese vssuto dal 876 al 937. Uno de poner d questo ramo della matematca, svolse le sue rcerche essendo dpendente (prma come chmco, po come drgente) della Gunness Brewery d Dublno. 95

7 96 Captolo La verfca delle potes (I). La dstrbuzone delχ 97 casuale X= x (ovvamente non negatva) è dstrbuta con una denstà d probabltà data dalla ( ) dp dx = f(x;) = K X e X (.) (dstrbuzone del ch quadro); la costantek vene fssata dalla condzone d normalzzazone, ed l parametro prende l nome d numero d grad d lbertà della dstrbuzone. La funzone caratterstca della X s può trovare faclmente consderando che, se lax è una varable normale standardzzata, l suo quadratoy =x ha una funzone caratterstca φ y (t)=e ( e ty) Fgura a La dstrbuzone delχ per alcun valor del parametro = = = 3 = 5 = 0 =E (e tx) + = e tx e x dx π = + e x π ( t) dx + = e u du t π =( t) (s è eseguta la sosttuzone d varableu=x t; l ntegrale defnto è quello d una dstrbuzone normale(u; 0, ) e vale dunque ). D conseguenza, applcando l equazone (6.), la funzone caratterstca della X vale φ X (t)=( t). (.) Per dmostrare che la funzone d frequenza della X è effettvamente la (.), s parte po dall espressone (.) della funzone caratterstca e le s applca la trasformazone nversa d Fourer gà defnta nella (6.0). Con sml passagg s potrebbe rcavare la funzone generatrce de moment, che vale M X (t)=( t)

8 98 Captolo La verfca delle potes (I). La dstrbuzone delχ 99 e, da queste, s ottene nfne che l valore medo e la varanza d una varable casuale dstrbuta come lχ a grad d lbertà sono E(X) = e Var(X) = mentre coeffcent d asmmetra e d curtos valgono γ = e γ =. La dstrbuzone delχ tende asntotcamente ad una dstrbuzone normale con la stessa meda e la stessa varanza ; nfatt la funzone caratterstca della varable standardzzata vale, rcordando la (6.7), Passando a logartm natural, y = X = X φ y (t)=e t [ t ] lnφ y (t)= t ( ln t ) e, svluppando n sere d McLaurn l logartmo, lnφ y (t)= t [ t ( ) t ( ) ] +O 3 da cu ( ) = t +O lm φ y(t)=e t che è appunto la funzone caratterstca d una dstrbuzone normale standardzzata. In defntva: Quando assume valor suffcentemente grand, la dstrbuzone del χ è ben approssmata da una dstrbuzone normale avente la stessa meda e la stessa varanza ; tale approssmazone s può rtenere n pratca gà buona quando è superore a 30.. Inoltre s potrebbe analogamente dmostrare che la varable casuale X, anche per valor relatvamente pccol d, ha una dstrbuzone che è assa bene approssmata da una funzone normale con meda e varanza ; l approssmazone è gà buona per 8. Dalla defnzone (o dalla funzone caratterstca (.)) dscende mmedatamente la cosddetta regola d somma delχ : ossa che, sex edy sono due varabl casual statstcamente ndpendent entrambe dstrbute come lχ, con edm grad d lbertà rspettvamente, la loro sommaz=x+y è una varable casuale ancora dstrbuta come lχ ; però con+m grad d lbertà. Ovvamente, se le x (con =,...,) sono varabl casual statstcamente ndpendent tra loro e provenent da una stessa dstrbuzone normale con medaµe varanza, dscende da quanto detto che la nuova varable casuale ( ) X x µ = è dstrbuta come lχ a grad d lbertà. Indchamo ora, al solto, con x la meda artmetca dellex : voglamo dmostrare che la varable casuale X = ( x x è dstrbuta ancora come lχ, ma con grad d lbertà. A questo scopo faccamo dapprma alcune consderazon, ndpendent dalle potes prma fatte sulle x e che rsultano qund valde per varabl casual qualunque: supponamo d defnre nuove varabl y come generche combnazon lnear delle x j, con coeffcent che ndcheremo col smboloa j ; n modo nsomma che rsult y = ) A j x j. j= La somma de quadrat delley è data da y = A j x j j= k= A k x k = jk x jx k A ja k ; è possble che questa somma rsult uguale alla somma de quadrat delle x qualunque sa l valore d queste ultme? Ovvamente questo avvene se e

9 00 Captolo La verfca delle potes (I). La dstrbuzone delχ 0 solo se vale la 0 perj k A ja k = δ jk = (.3) perj=k (l smboloδ jk, che assume l valore quando gl ndc sono ugual e 0 quando sono nvece dvers, s chama smbolo d Kronecker o delta d Kronecker). Consderamo gl A j come gl element d una matrce quadrata A d ordne; glx j e ley s possono nvece consderare come le component d due vettor X edy defnt n uno spazo dmensonale ossa come gl element d due matrc rettangolar con rghe ed colonna. La trasformazone che mutax ny s può scrvere, n forma matrcale, comey =AX; la somma de quadrat dellex j o delley altro non è se non l prodotto scalare, d X ed Y rspettvamente, per loro stess: ovverosa la loro norma, l quadrato della loro lunghezza nello spazo a dmenson. Quella che abbamo rcavato adesso è la condzone perché una trasformazone lneare applcata ad un vettore ne conserv la lunghezza: occorre e basta che la matrceasa ortogonale. Infatt la (.3) s può scrvere ÃA= ossa Ã=A (à è la matrce trasposta d A, d element à j = A j ; è la matrce untà, d element j =δ j ;A è la matrce nversa da; ed una matrce per cu Ã=A s dce, appunto, ortogonale). Consderamo adesso una trasformazone lneare defnta dalle seguent relazon: y = (x +x + +x ) y = (x x ) y 3 = (x +x x 3 ) 6 [ ] y = x +x + +x ( )x ( ) (.4) e per la quale la matrce d trasformazone abba, nsomma, element A j defnt come A j : >: j<: j=: j>: 0 ( ) ( ) on è dffcle controllare che la matrce A è ortogonale; noltre la prma rga è stata scelta n modo tale che e qund y = x = Inoltre rsulta (per>) e, per ogn, A j = j= x = x = x j= y = x + y. A j = j= = = 0 (.5) ( ) ( ) ( ) Aà = δ =. (.6) Tornando al nostro problema, supponamo ora che tutte lex j sano varabl avent dstrbuzone normale; che abbano tutte valore medoµ e varanza ; ed noltre che sano tra loro tutte statstcamente ndpendent. Una qualsas loro combnazone lneare, qund anche ognuna delley legate alle x j da quella partcolare matrce d trasformazone (.4) che abbamo prma defnta, è anch essa dstrbuta secondo la legge normale; noltre rsulta

10 0 Captolo La verfca delle potes (I). Verfche basate sulla dstrbuzone delχ 03 (x x) = = = = x x x + y x y. Applcando alley = ja j x j le formule per la meda e la varanza delle combnazon lnear d varabl casual statstcamente ndpendent gà rcavate nel captolo 5, s trova faclmente (tenendo present la (.5) e la (.6)) che la varanza d ognuna d esse è ancora ; e che, per, l loro valore medo è 0. D conseguenza, per ley / sono varabl casual normal avent meda 0 e varanza : e questo mplca che X = = ( ) x x (.7) sa effettvamente dstrbuta come lχ a grad d lbertà. È nteressante confrontare questo rsultato con quello precedentemente rcavato, e rguardante la stessa espressone n cu però gl scart erano calcolat rspetto alla meda della popolazoneµ. el prmo caso la dstrbuzone era ancora quella delχ, ma con grad d lbertà: rferendoc nvece alla meda artmetca del campone, grad d lbertà dmnuscono d una untà. Questo è conseguenza d una legge generale, secondo la quale l numero d grad d lbertà da assocare a varabl che seguono la dstrbuzone delχ è dato dal numero d contrbut ndpendent: ovvero l numero d termn con dstrbuzone normale sommat n quadratura (qu, uno per ogn determnazonex ) dmnuto del numero d parametr che compaono nella formula e che sono stat stmat da dat stess (qu uno: appunto la meda della popolazone, stmata usando la meda artmetca delle msure). Un ultma notevole conseguenza del fatto che la varable casualex defnta dalla (.7) sa dstrbuta come lχ a grad d lbertà è la seguente: la stma della varanza della popolazone ottenuta dal campone,s, vale s =X (.8) e, essendo proporzonale ax, è anch essa dstrbuta come lχ a grad d lbertà; qund la sua denstà d probabltà è data dalla (.) e dpende solamente da ; non dpende, n partcolare, dalla meda del campone x. Qund: Il valore medo x e la varanza camponara s, calcolat su valor estratt a caso da una stessa popolazone normale, sono due varabl casual statstcamente ndpendent tra loro. Questo rsulta anche ntutvamente comprensble; se nfatt c è noto che un certo campone d dat ha una dspersone pù o meno grande, questo non deve alterare la probabltà che l suo valore medo abba un valore puttosto che un altro; né, vceversa, l fatto che l campone sa centrato attorno ad un certo valore deve permetterc d prevedere n qualche modo la sua dspersone.. Verfche basate sulla dstrbuzone delχ.. Compatbltà de dat con una dstrbuzone Supponamo d avere de dat raccolt n un stogramma, e d voler verfcare l potes che dat provengano da una certa dstrbuzone; ad esempo, dalla dstrbuzone normale. Ora, per una msura, la probabltàp d cadere nell ntervallo esmo (d ampezza prefssata x e corrspondente alla generca classe d frequenza usata per la realzzazone dell stogramma) è data dal valore medo della funzone denstà d probabltà nell ntervallo stesso moltplcato per x. Il numero d msure effettvamente ottenute n una classe d frequenza su prove deve obbedre po alla dstrbuzone bnomale: l loro valore medo è qundp, e la loro varanzap ( p ); quest ultmo termne s può approssmare ancora conp se s ammette che le class d frequenza sano suffcentemente rstrette da poter trascurare termn np rspetto a quell np (coè sep ). In questo caso l numero d msure n cascuna classe segue approssmatvamente la dstrbuzone d Posson; questa è nfatt la funzone d frequenza che governa l presentars, su un grande numero d osservazon, d event avent probabltà trascurable d verfcars sngolarmente n ognuna: dstrbuzone nella quale l errore quadratco medo è effettvamente dato dalla radce quadrata del valore medo, = p ( p ) p. e lmt n cu l numero d msure attese n una classe è suffcentemente elevato da poter confondere la relatva funzone d dstrbuzone con

11 04 Captolo La verfca delle potes (I). Verfche basate sulla dstrbuzone delχ 05 la funzone normale, la quanttà X = M (n p ) p = M (O A ) A (.9) coè la somma, su tutte le class d frequenza (l cu numero abbamo supposto sam), del quadrato della dfferenza tra l numero d msure v attese (A = p ) ed v effettvamente osservate (O = n ), dvso per la varanza del numero d msure attese (approssmata da p = A ), ha approssmatvamente la dstrbuzone del χ, con M grad d lbertà; l motvo d quest ultma affermazone è che esste un vncolo sulle O, quello d avere per somma l numero totale d msure effettuate (che vene usato nella formula (.9), medante la quale abbamo defnto X, per calcolare l numero A d msure attese n ogn ntervallo). La condzone enuncata s può n pratca supporre verfcata se lea n ogn ntervallo sono almeno par a 5; o, meglo, se l numero d class d frequenza n cu c s aspetta un numero d msure mnore d 5 è trascurable rspetto al totale (meno del 0%). In realtà, se le class d frequenza s possono sceglere arbtraramente, la cosa mglore consste nel defnrle d ampezze dfferent: n modo tale che quegl ntervall dove cadono poche msure vengano runt asseme n un unca classe pù ampa, ove n valga almeno 5 (ma nemmeno troppo ampa, per soddsfare al vncolo d avere p p ; n genere s cerca d runre asseme pù class n modo da avere degln 5 0). Tornando al problema nzale, per la verfca dell potes statstca che dat vengano dalla dstrbuzone usata per l calcolo dellea basta: fssare arbtraramente un lvello d probabltà che rappresent l confne tra event ammssbl nell potes della pura casualtà ed event nvece tanto mprobabl da far supporre che l loro verfcars sa dovuto non a fluttuazon statstche, ma al non essere verfcate le potes fatte n partenza (l provenre dat dalla dstrbuzone nota a pror): ad esempo l 95% o l 99%. Cercare nelle apposte tabelle l valore d taglo corrspondente alla coda superore della dstrbuzone del χ ad M grad d lbertà avente area par al lvello d confdenza desderato; ossa quell ascssa Alcun valor numerc d questo tpo sono tabulat nell appendce G. È bene anche rcordare che quando l numero d grad d lbertà è superore a 30 s può far rfermento alla dstrbuzone normale con meda ed errore quadratco medo ; e che, gà per pccol, χ è approssmatvamente normale con meda e varanza. ξ che lasca alla propra snstra, sotto la curva della dstrbuzone del χ adm grad d lbertà, un area par a tale valore. Calcolare X; ed nfne rgettare l potes (al lvello d confdenza prescelto) perché ncompatble con dat raccolt, sex rsultasse superore a ξ (o, altrment, consderare l potes compatble con dat al lvello d confdenza prescelto e qund accettarla). Quanto detto a proposto della partcolare dstrbuzone delχ da usare per l la verfca della nostra potes, però, è valdo solo se le caratterstche della dstrbuzone teorca con cu confrontare nostr dat sono note a pror; se, nvece, R parametr da cu essa dpende fossero stat stmat a partre da dat, l numero d grad d lbertà sarebbe nferore e par adm R. Così se lep sono state rcavate ntegrando sulle class d frequenza una dstrbuzone normale la cu meda e la cu varanza sano state a loro volta ottenute dal campone stogrammato, l numero d grad d lbertà, essendo R=, sarebbe par am 3. Per dare un dea de valor del χ che corrspondono al rgetto d una potes (ad un certo lvello d confdenza), e senza rcorrere alle tabelle numerche, nella fgura b sono rportat n grafco valorp dell ntegrale da x a+ della funzone d frequenza delχ (ovvero l complemento ad uno della funzone d dstrbuzone), per alcun valor del parametro. Le curve della fgura c permettono nvece d dentfcare (per dfferent scelte del lvello d confdenzaε) corrspondent valor d taglo delχ rdotto ovvero del rapportoχ / tra esso ed l numero d grad d lbertà. Insomma, ogn punto d queste curve al d sopra d un ascssa (ntera) ha come ordnata un numero X/ tale che l ntegrale da X a + della funzone d frequenza delχ ad grad d lbertà sa uguale adε... Il metodo del mnmoχ Supponamo d sapere a pror che nostr dat stogrammat debbano segure una data dstrbuzone, ma che essa dpenda da R parametr ncognt che dobbamo stmare a partre da dat stess; vsto che l accordo tra dat e la dstrbuzone è dato dalla X defnta nella (.9), ed è tanto mglore quanto pù l valore ottenuto per essa è basso, un metodo plausble d stma potrebbe essere quello d trovare per qual valor de parametr stess la X è mnma (metodo del mnmoχ ). Indcando conα k (k=,...,r) parametr da stmare, ognuna dellep sarà esprmble n funzone delle α k ; ed mponendo che le dervate prme dellax rspetto ad ognuna delleα k sano tutte nulle contemporaneamente,

12 06 Captolo La verfca delle potes (I). Verfche basate sulla dstrbuzone delχ 07 Fgura b L ntegrale daxa+ della funzone d frequenza delχ, per alcun valor del parametro. Fgura c I valor delχ rdotto (χ /) che corrspondono, per dfferent grad d lbertà, ad un certo lvello d confdenza..5 P χ / % 0 = % 0% 0% 0 30% 50% 68% % 95% x %

13 08 Captolo La verfca delle potes (I) ottenamo ossa X = M ( ) n p p ( ) n p X = M [ n p p + p ( n p ) p p = 0, ] p = 0. (.0) L nseme delle (.0) costtusce un sstema d R equazon, nelle R ncognteα k, che c permetterà d stmarne valor (salvo po, nel caso l sstema delle (.0) abba pù d una soluzone, controllare qual d esse corrspondono n effett ad un mnmo e quale tra queste ultme corrsponde al mnmo assoluto); le condzon sotto le qual l metodo è applcable sono quelle gà enuncate n precedenza 3, ossap p en 5. In genere però s prefersce servrs, n luogo delle equazon (.0), d una forma semplfcata, ottenuta trascurando l secondo termne nella parentes quadra: che, s può dmostrare, è molto nferore al prmo per grand (nfatt l rapporto tra due termn vale ( n p ) p p = n p = ( ) n n p p p p e converge ovvamente a zero all aumentare d ); e rsolvere, nsomma, l sstema delle ( ) M n p p = 0 (.) p (metodo semplfcato del mnmoχ ). S può dmostrare che le soluzonᾱ k del sstema delle (.) tendono stocastcamente a valor verα k (n assenza d error sstematc) al crescere d; noltre l valore dx calcolato n corrspondenza de valor rcavatᾱ k dà, se rapportato alla dstrbuzone delχ conm R grad d lbertà, una msura della bontà della soluzone stessa. Ora, le equazon (.) s possono scrvere anche ( M n p p ) p M = n p p M p 3 Se la prma d esse non s può rtenere accettable, delle equazon ancora valde ma pù complesse s possono ottenere dalla (.9) sosttuendop ( p ) al posto dp nel denomnatore.. Verfche basate sulla dstrbuzone delχ 09 e s possono ulterormente semplfcare, vsto che l ultmo termne s annulla, essendo M p = M p = 0 se s fa l ulterore potes che l ntervallo de valor ndagat copra, anche approssmatvamente, tutt quell n pratca permess; per cu l sstema d equazon da rsolvere è n questo caso quello delle M n p p = 0. (.) Per la stma d parametr ncognt a partre da dat msurat abbamo gà affermato che teorcamente è da preferre l metodo della massma verosmglanza, le cu soluzon sono quelle affette, come sappamo, dal mnmo errore casuale (almeno asntotcamente); n questo caso partcolare (dat n stogramma), come lo s dovrebbe applcare? Se le msure sono ndpendent, la probabltà d averen event nella generca classe d frequenza è data da p n ; la funzone d verosmglanza 4 da ed l suo logartmo da M L(α,...,α R )= p n (.3) M ( ) lnl= n lnp. La soluzone d massma verosmglanza (e qund d mnma varanza) s trova cercando l massmo d lnl: e rsolvendo qund l sstema delle lnl = M n p p = 0 ; n questo caso, vsta l equazone (.) n precedenza rcavata, due metod (della massma verosmglanza e del mnmo χ semplfcato) conducono dunque alla stessa soluzone. 4 Per essere precs, la probabltà chen msure s trovno nella prma classe d frequenza,n nella seconda e così va, è dato dalla espressone (.3) moltplcata per l numero d mod dfferent n cu oggett possono essere suddvs n M grupp compost da n,n,...,n M oggett rspettvamente (numero delle partzon ordnate); questo vale, come mostrato nel paragrafo A.7,!/(n!n! n M!), e rappresenta un fattore costante che non ncde nella rcerca del massmo della (.3).

14 0 Captolo La verfca delle potes (I)..3 Test d omogenetà per dat raggruppat Supponamo d avere a dsposzone Q campon d dat, ndpendent l uno dall altro e compost dan,n,...,n Q element rspettvamente; e, all nterno d ognuno d tal campon, dat sano suddvs ne medesm P grupp: ndchamo nfne col smboloν j l numero d dat appartenent al gruppo esmo all nterno del camponej esmo. Per fare un esempo, campon s potrebbero rferre alle regon talane e grupp al lvello d struzone (lcenza elementare, meda, superore, laurea): così che ν j rappresentno l numero d persone, per ogn lvello d struzone, resdent n ogn data regone; oppure (e questo è un caso che s presenta frequentemente nelle anals fsche) s abbano var stogramm all nterno d ognuno de qual dat sano stat raggruppat secondo le medesme class d frequenza: allora ν j saranno l numero d osservazon che cadono n una determnata classe n ogn stogramma. Il problema che c ponamo è quello d verfcare l potes che tutt campon provengano dalla stessa popolazone e sano percò compatbl tra loro (test d omogenetà). Indchamo con l smbolo l numero totale d dat a dsposzone; e conm (con,...,p) l numero totale d dat che cadono nell esmo gruppo n tutt campon a dsposzone. Tabella. Un esempo delle cosddette tabelle delle contngenze. Campon ν ν ν 3 ν Q m ν ν ν Q m Grupp ν 3 m 3 ν P ν P ν PQ m P n n n 3 n Q È consuetudne che dat d questo genere sano rappresentat n una tabella del tpo della., che s chama tabella delle contngenze; e rsulta. Verfche basate sulla dstrbuzone delχ ovvamente n j = m = P ν j (j=,,...,q) ; Q ν j (,,...,P) ; j= Q P = n j = j= m =,j ν j. Voglamo ora dmostrare che la varable casuale X= ( ) νj (.4) m,j n j è dstrbuta come l χ a (P )(Q ) grad d lbertà: a questo scopo supponamo nnanz tutto sa valda l potes che dat provengano tutt dalla medesma popolazone, ed ndchamo con smbolp eq j le probabltà che un componente d tale popolazone scelto a caso cada rspettvamente nel gruppo esmo o nel campone j esmo; e sappamo noltre che (ammessa però vera l potes che tutt campon provengano dalla stessa dstrbuzone) quest due event sono statstcamente ndpendent: per cu ognuno de dat ha probabltà complessvap q j d cadere n una delle caselle della tabella delle contngenze. Possamo stmare P valorp a partre da dat spermental: s tratta n realtà solo d P stme ndpendent, perché, una volta rcavate le prme P probabltà, l ultma d esse rsulterà unvocamente determnata dalla condzone che la somma complessva valga. Analogamente possamo anche stmare Qvalorq j da dat spermental, e s tratterà n questo caso d effettuareq stme ndpendent. Le stme d cu abbamo parlato sono ovvamente p = m e q j = n j (.5) e, applcando le concluson del paragrafo precedente (l equazone (.9)), la

15 Captolo La verfca delle potes (I). Verfche basate sulla dstrbuzone delχ 3 varable ( νj p q j ) X= p,j q j = ( ) νj ν j +p q j p,j q j = ( ) νj + p,j q j = ( ) νj p,j q j deve essere dstrbuta come lχ. Sosttuendo n quest ultma espressone valor (.5) perp eq j, essa s rduce alla (.4); l numero d grad d lbertà è par al numero d contrbut spermental ndpendent,pq (c è l vncolo che la somma totale sa), dmnuto del numero(p )+(Q ) d parametr stmato sulla base de dat: ovverosa propro(p )(Q ) come antcpato...4 Un esempo: dffusone elastca protone protone Fgura d Urto elastco protone protone. ϑ ϑ Gl angol ϑ vengono msurat; supponendo che l processo d msura ntroduca error che seguono la dstrbuzone normale ed abbano una enttà che (per semplfcare le cose) assumamo sa costante, nota ed ndpendente dall ampezza dell angolo, voglamo verfcare l potes che le due partcelle convolte nel processo d urto sano d massa uguale (ad esempo che sano entrambe de proton). La prma cosa da fare è quella d rcavare da dat msurat ϑ, che per potes hanno una funzone d frequenza f(ϑ;ϑ,) = π e ( ) ϑ ϑ una stma de valor verϑ. Il logartmo della funzone d verosmglanza è dato da ( lnl = ln ) π ( ϑ ϑ ) ( ϑ ϑ ) ; ma le varablϑ eϑ non sono ndpendent, vsto che l processo deve conservare sa energa che quanttà d moto. Ammessa vera l potes che le due partcelle abbano uguale massa (e restando nel lmte non relatvstco), le legg d conservazone mpongono l vncolo che l angolo tra le due partcelle dopo l urto sa d 90 (o, n radant,π/); usando l metodo de moltplcator d Lagrange, la funzone da massmzzare è ϕ(ϑ,ϑ,λ) = ( ϑ ϑ ) ( ϑ ϑ ) +λ( ϑ +ϑ π ) e, annullando contemporaneamente le sue dervate rspetto alle tre varabl, s gunge al sstema ϕ = ϑ λ +ϑ π = 0 ϕ = ( ϑ ϑ ) +λ = 0 ϑ ϕ ϑ = ( ϑ ϑ ) +λ = 0 Elmnandoλdalle ultme due equazon ottenamo ϑ ϑ = ϑ ϑ ella fgura d è schematcamente rappresentato un processo d urto elastco tra due partcelle, una delle qual sa nzalmente ferma; dopo l urto esse s muoveranno lungo traettore rettlnee ad angolϑ eϑ rspetto alla drezone orgnale della partcella urtante. e, sosttuendo l espressone perϑ rcavata dalla prma equazone, ( ) π ϑ ϑ = ϑ ϑ

16 4 Captolo La verfca delle potes (I).3 Compatbltà con un valore prefssato 5 per cu le due stme d massma verosmglanza sono ˆϑ = ϑ + ( ) π ϑ ϑ ˆϑ = ϑ + ( ) π ϑ ϑ Ammesso che queste soluzon sano buone stme de valor ver, la varable casuale X = ( ϑ ϑ ) ( ϑ ϑ ) + = ( ) π ϑ ϑ è dstrbuta come lχ ad un grado d lbertà (due contrbut, un vncolo); ed l valore d X confrontato con le tabelle del χ può essere usato per la verfca dell potes..3 Compatbltà con un valore prefssato Un altro caso che frequentemente s presenta è l seguente: s vuole controllare se un determnato valore numerco, a pror attrbuble alla grandezza fsca n esame, è o non è confermato da rsultat della msura; coè se quel valore è o non è compatble con nostr rsultat pù precsamente, a che lvello d probabltà (o, per usare la termnologa statstca, a che lvello d confdenza) è con ess compatble. Ammettamo che gl error d msura seguano la legge normale; sappamo che la probabltà per l rsultato d cadere n un qualunque ntervallo prefssato dell asse reale s può calcolare ntegrando la funzone d Gauss fra gl estrem dell ntervallo stesso. Rferamoc per comodtà alla varable scarto normalzzato t= x E(x) che sappamo gà dal paragrafo 9.3 essere dstrbuta secondo una legge che è ndpendente dall enttà degl error d msura. Se fssamo arbtraramente un numero postvoτ, possamo calcolare la probabltà che s verfch l evento casuale consstente nell ottenere, n una partcolare msura, un valore d t che n modulo super τ; come esempo partcolare, le condzon t > o t > gà sappamo che s verfcano con probabltà rspettvamente del 3.73% e del 4.55%, vsto che l ntervallo t corrsponde al 68.7% dell area della curva normale, e quello t al 95.45%. Se consderamo po un campone d msure ndpendent, avente valore medo x e provenente da questa stessa popolazone d varanza, è mmedato capre come la varable t= x E(x) soddsferà a queste stesse condzon: accadrà coè nel 3.73% de cas che t sa maggore dτ=, e nel 4.55% de cas che t sa superore aτ=. Per converso, se fssamo arbtraramente un qualunque valore ammssble P per la probabltà, possamo calcolare n conseguenza un numero τ, tale che la probabltà d ottenere effettvamente da un partcolare campone un valore dello scarto normalzzatot superore ad esso (n modulo) sa data dal numerop. Ad esempo, fssato un valore del 5% perp, l lmte pert che se ne rcava è τ =.96: nsomma e t dt = 0.95 π e solo nel cnque per cento de cas s ottene un valore dtche supera (n modulo).96. Se s fssa per convenzone un valore della probabltà che ndch l confne tra un avvenmento accettable ed uno naccettable ne lmt della pura casualtà, possamo dre che l potes consstente nell essere un certo numero ξ l valore vero della grandezza msurata sarà compatble o ncompatble con nostr dat a seconda che lo scarto normalzzato t= x ξ relatvo a tale numero sa, n valore assoluto, nferore o superore al valore d τ che a quella probabltà corrsponde; e dremo che la compatbltà (o ncompatbltà) è rferta a quel certo lvello d confdenza prescelto. La dffcoltà è che tutt quest ragonament convolgono una quanttà numerca (lo scarto quadratco medo) relatva alla popolazone e per cò stesso n generale gnota; n tal caso, per calcolare lo scarto normalzzato relatvo ad un certo valore numerco ξ non possamo che servrc, n luogo d, della corrspondente stma rcavata dal campone,s: t= x ξ s e qund s deve presupporre d avere un campone d dmenson tal che questa stma s possa rtenere ragonevole, ossa suffcentemente vcna a

17 6 Captolo La verfca delle potes (I).4 I pccol campon e la dstrbuzone d Student 7 corrspondent valor relatv alla popolazone a meno d fluttuazon casual abbastanza poco probabl. In generale s ammette che almeno 30 dat sano necessar perché questo avvenga: n corrspondenza a tale dmensone del campone, l errore della meda è crca 5.5 volte nferore a quello de dat; e l errore relatvo d s è approssmatvamente del 3%. Bsogna anche porre attenzone alla esatta natura dell potes che s ntende verfcare. Per un valore lmte dτ =.96 abbamo vsto che l 95% dell area della curva normale è compreso tra τ e+τ: superormente a+τ s trova l.5% d tale area; ed anche nferormente a τ se ne trova un altra porzone par al.5%. Tabella. Alcun valor della probabltàp e de corrspondent lmtτ sullo scarto normalzzato, per verfche two taled (τ ) o one taled (τ ). P (%) τ τ Tabella.3 I valor della probabltà per verfche two taled (P ) ed onetaled (P ) che corrspondono a valor prefssat dello scarto normalzzato τ. τ P (%) P (%) Se l potes da verfcare rguarda l essere dfferent tra loro due enttà (l presupposto valore vero della grandezza msurata e la meda artmetca de nostr dat, nell esempo precedente) quel valore d τ corrsponde n effett ad una verfca relatva ad un lvello d confdenza del 5% (usando l termne nglese, stamo effettuando un two taled test); ma se l potes rguarda l essere un valore numerco superore (od nferore) alla nostra meda artmetca (ad esempo, dat msurat potrebbero essere relatv al rendmento d una macchna, e s vuole verfcare l potes che tale rendmento msurato sa superore ad un valore prefssato), allora un lmte τ =.96 corrsponde n effett ad un lvello d confdenza del.5% (one taled test): nell esempo fatto, soltanto l ntervallo[, τ] deve essere preso n consderazone per l calcolo della probabltà. Alcun lmt relatv a dvers lvell d confdenza s possono trovare nelle tabelle. e.3; altr s possono faclmente rcavare dalle tabelle dell appendce G..4 I pccol campon e la dstrbuzone d Student Cosa s può fare rguardo alla verfca d potes statstche come quella (consderata nel paragrafo precedente) della compatbltà del rsultato delle msure con un valore noto a pror, quando s abbano a dsposzone solamente pccol campon? C rferamo, pù esattamente, a campon costtut da un numero d dat così esguo da farc rtenere che non s possa ottenere da ess con ragonevole probabltà una buona stma delle varanze delle rspettve popolazon (sempre però supposte normal). SaX una varable casuale dstrbuta come lχ ad grad d lbertà, ed u una seconda varable casuale, ndpendente dalla prma, e avente dstrbuzone normale standardzzata (u; 0, ); consderamo la nuova varable casualet defnta attraverso la t= u X. (.6) S può dmostrare che la funzone denstà d probabltà relatva alla varable casualet è data dalla f(t;)= T )+ (+ t che s chama dstrbuzone d Student ad grad d lbertà.

18 8 Captolo La verfca delle potes (I).4 I pccol campon e la dstrbuzone d Student 9 Fgura e La dstrbuzone d Student per = ed = 4, confrontata con la funzone normale Student,= Student,= 4 Gauss: (0, ) Il coeffcentet è una costante che vene fssata dalla condzone d normalzzazone; se vene po fatto tendere all nfnto l denomnatore della funzone (come s potrebbe faclmente provare partendo dal lmte notevole (9.9)) tende ae t /, e dunque la dstrbuzone d Student tende alla dstrbuzone normale (con meda 0 e varanza ). Anche la forma della funzone d Student rcorda molto quella della funzone d Gauss, come appare evdente dalla fgura e; soltanto, rspetto a dat che seguano la dstrbuzone normale, valor elevat dello scarto sono relatvamente pù probabl 5. La dstrbuzone d Student è smmetrca, qund tutt moment d ordne dspar (compreso l valore medo λ ) sono null; mentre la varanza della dstrbuzone è Var(t)= (se> ); ed l coeffcente d curtos vale γ = 6 4 (se> 4). Indcando con x la meda artmetca d un campone d dmensone, estratto a caso da una popolazone normale avente valore medo E(x) e varanza ; e con s la stma della devazone standard della popolazone ottenuta dal campone stesso, coè s = (x x) sappamo, rcordando l equazone (.8), che la varable casuale X =( ) s è dstrbuta come lχ ad grad d lbertà; noltre, ovvamente, u= x E(x) segue la legge normale, con meda 0 e varanza. D conseguenza la varable casuale t = u X = x E(x) s (.7) 5 Per valor d 35 la dstrbuzone d Student s può approssmare con la dstrbuzone normale a meda 0 e varanza.

19 0 Captolo La verfca delle potes (I).5 La compatbltà d due valor msurat segue la dstrbuzone d Student ad grad d lbertà. Insomma: se campon a dsposzone non hanno dmenson accettabl, una volta calcolato lo scarto normalzzato relatvo alla dfferenza tra la meda d un campone ed un valore prefssato occorrerà confrontare l suo valore con lmt degl ntervall d confdenza relatv alla dstrbuzone d Student e non alla dstrbuzone normale 6..5 La compatbltà d due valor msurat Un altro caso frequente è quello n cu s hanno a dsposzone due campon d msure, e s vuole verfcare l potes statstca che ess provengano da popolazon avent lo stesso valore medo: un caso partcolare è quello dell potes consstente nell essere due campon compost da msure della stessa grandezza fsca, che hanno prodotto dfferent stme come effetto della presenza n entramb degl error; error che assumamo ancora segure la legge normale. Sano ad esempo un prmo campone d msure x, ed un secondo campone dm msurey j ; ndchamo con x eȳ le mede de due campon, con x e y le varanze delle popolazon da cu tal campon provengono, e conδ= x ȳ la dfferenza tra le due mede. Sappamo gà che valor med e le varanze delle mede de campon sono legat a corrspondent valor relatv alle popolazon dalle e E( x) = E(x), E(ȳ) = E(y) Var( x) = x, Var(ȳ) = y M per cu rsulterà, se campon sono tra loro statstcamente ndpendent e se s ammette valda l potes (da verfcare) che abbano la stessa meda, e E(δ) = E( x ȳ) = E(x) E(y)=0 Var(δ) = Var( x ȳ) = x + y M. Inoltre, essendo x, ȳ (e qund δ) combnazon lnear d varabl normal, seguranno anch esse la legge normale; e la verfca dell potes che 6 Per talun pù usat valor del lvello d confdenza, lmt rlevant s possono trovare tabulat anche nell appendce G. campon provengano da popolazon avent la stessa meda s traduce nella verfca dell potes cheδabba valore vero nullo. Tale verfca, essendo δ dstrbuta secondo la legge normale, s esegue come abbamo vsto nel paragrafo precedente: s fssa arbtraramente un valore del lvello d confdenza, s determna l corrspondente valore lmte degl scart normalzzat, e lo s confronta con l valore d δ E(δ) δ = x ȳ x + y M Ovvamente vale anche qu l osservazone fatta nel paragrafo precedente: non conoscendo le devazon standard delle popolazon, x e y, samo costrett ad usare n loro vece le stme ottenute da campon, s x ed s y ; e questo s ammette generalmente lecto quando la dmensone d entramb campon è almeno par a 30. In caso contraro, presupponendo coè d avere a dsposzone pccol campon per almeno una delle due varabl, lmtamo la nostra anals al caso n cu s sappa con scurezza che le due popolazonx edy abbano la stessa varanza, x = y e defnamo la grandezzas (varanza globale de campon) come S M = [x +M x] [ + yj ȳ ] = ( )s x +(M )s y +M. j= Sapendo, dall equazone (.8), che le due varabl ( ) s x e (M ) s y sono entrambe dstrbute come l χ, con ed M grad d lbertà rspettvamente, sfruttando la regola d somma enuncata a pagna 99 s rcava che la varable casuale X = ( )s x +(M )s y. = (+M ) S è dstrbuta come lχ ad+m grad d lbertà; essendo noltreδ= x ȳ una varable normale con meda e varanza date da E(δ)=E(x) E(y) e δ = + M