Equazioni alle differenze finite lineari

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1 Equzioni lle differenze finie lineri

2 DEFINIZIONE : Si un funzione d e si hun cosne per cui hè nel dominio di se lo è. Allor D, l differenz primdi è quell funzione il cui vlore in, indico con D è do d: D h- il simbolo D indic l operore differenz il numero h è chimo inervllo dell differenz.

3 h h [ ] h 3 h h h h h h [ ] h h L differenz dell differenz prim si chim differenz second [ ] 3 h h 3 h h h

4 ANALOGIE TRA DIFFERENZE FINITE E DERIVATE h h h D h h lim lim Definizione 3 : Un equzione lle differenze finie è un equzione che mee in relzione i vlori di un funzione ed un o più sue differenze h si suppone cosne 3 7 / 3 [ ] [ ] h k

5 DISCRETIZZAZIONE DI UN EQ. DIFFERENZIALE EQUAZIONE ALLE DIFFERENZE, f d d h h h d d lim, f h h, f h h, f h EULERO equzione lle differenze finie I meodi di risoluzione numeric delle equzioni differenzili si chimno nche meodi di discreizzzione.

6 RISOLVERE UN EQUAZ. ALLE DIFFERENZE FINITE vuol dire rovre lmeno un successione di vlori :,,... k,... che soddisf m f, m, m,..., L soluzione si può clcolre prire d m vlori inizili e clcolndo l m-esimo vlore e così vi.

7 Linere o non linere? m L equzione è linere se f è linere f, m, m,..., r ln k / linere linere non linere non linere Un sisem dinmico si dice non uonomose f dipende esplicimene dl empo: f, 3 non uonomo uonomo

8 Ordine? Un equzione si dice discreo si dice di ordine mse è del ipo: m f, m, m,..., cioè servono mvlori precedeni di per deerminre il successivo. ordine linere 4 4 ordine linere

9 Soluzioni PUNTI D EQUILIBRIO O FISSI Un puno nel dominio di fè deo essere puno d equilibrio di f è un puno fisso di f : f c, c cosni Un modo per risolvere l equzione è quello di rsformre l evoluzione di nell evoluzione dell su devizione d.

10 omogene Non omogene c c c c c c

11 STABILITA SOLUZIONI DI EQUAZIONI ORDINE c < è sinoicmene sbile > è insbile diverged non si può dire niene

12 STUDIO GRAFICO DELLA STABILITA c f < < f

13 Esercizio equilibrio In un piccolo pese del Vresoo, bini, il sso di morlià nnuo è del %; forunmene ogni nno nscono bmbini. Qul è nel empo l evoluzione dell popolzione? Si esingue, umen dismisur, si sbilizz? Soluzione. cioè:.8 e dll condizione inizile:. Quindi.8

14 5 è funzione solo di.8 e e non del vlore inizile : provre clcolre il puno fisso o equilibrio :c/-/-.85

15 Esempio sbilià di un equilibrio Un pigro qurnenne decide di vivere di rendi. Dispone di un cpile di. euro che produce ogni mese ineressi pri l %; per vivere sim di ver bisogno di euro l mese. Ce l frà?

16 M. Si r di un equilibrio ssi precrio. Che cos succede se il cpile inizile è seppur di poco diverso d.? Se <. nche solo di un cenesimo di euro llor il nosro signore è desino prim o poi ll rovin. Se invece >. nche solo di un cenesimo di euro llor il cpile umen indefinimene. Dopo circ nni4 mesi nel primo cso il cpile si esingue, nel secondo cso rddoppi. L cus s nel fo che.>. ;

17 Insbilià numeric Sudimo l successione 4 con / 3. n n Ques è l successione cosne /3. uvi se provimo con Mlb osservimo che dll -esim ierzione in poi form long l successione inizi divergere e ende inf. N.B. il coeff di n 4 implic che sposndosi d poco dl vlore di eq. ci si llonn rpidmene d esso.

18 8 vole /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3.... /3 /3 8738/ / / /496 34/4 85/56 /64 5/6 /

19 COBWEB Descrive l ndmeno del prezzo di un bene in un merco gricolo. Le sue prime formulzioni sono dovue Ezekiel 938, H. Schulz, J. Tinbergen, U. Ricci, N. Kldor e furono sollecie si dll esigenz di spiegre le fluuzioni empiriche dei prezzi ipiche di moli merci sopruo quelli gricoli si d quell di pprofondire il conceo di equilibrio del merco. Nel cso più semplice, considerndo funzioni di domnd e di offer lineri ed ipoizzndo che l domnd di oggi D si funzione del prezzo di oggi p : D bp,,b > L offer di oggi S si funzione del prezzo di ieri p, c,d > S c dp

20 ciò per ener cono del fo che l produzione inrpres in bse l prezzo di ieri richiede empo e può essere offer sul merco solo oggi. Imponendo l condizione di equilibrio: 3 D S 4 c b bp c dp p p d b c d p p p b b c b b b d c b d 5 p d c p b b d b c d p prezzo ll inizio del periodo p prezzo ll equilibrio Dll 5 si vede che se p p, il prezzo seguirà nel empo oscillzioni cosni, esplosive o smorze second che d b, d > b, d < b

21 Osservzione: d < b sbilià geomericmene vuol dire che l pendenz in modulo di S rispeo p è minore dell pendenz di D rispeo p, cioè l produzione S vri più lenmene dell domnd D l vrire del prezzo. Conclusione: I prezzi possono fluure nche se le relzioni r domnd e offer sono sbili cioè l loro relzione con il prezzo non cmbi. Si h sbilià per d < b

22 p p p p p p p p f p p p p p p

23 METZLER ORDINE ggiusmeno pssivo dell invenrio µ s υ,,... produzione o vendie mgz. invesim. Supponendo che : s ovvero ue le merci vengono prodoe per essere vendue e non si pres enzione ll scor del mgzzino non vuol dire che il mgzzino si vuoo µ υ cos < < υ,,... ord

24 υ puno fisso soluzione nliic : sbilià: { } < < se se > <

25 EQUAZIONI ORDINE A COEFF. COSTANTI OMOGENEE b, b cosni equzione crerisic λ λ b λ λ

26 . rdici reli disine c λ c λ. rdici reli coincideni λ, λ R λ λ r c r 3 c 4 r 3. rdici complesse coniuge λ i λ i Rcosθ Rsinθ R θ n R [ c3 cos θ c4 sin θ ]

27 Esempi r λ ± 9 λ λ λ, s λ c c soluzione generle dell omogene se 5 e 4 3 soluzione pricolre dell omogene

28 esempio 4 4, 6 4 λ λ 4 λ λ r 4, c c 3 4 soluzione generle dell omogene c c 3 3 r c 4 r c c r r soluzione pricolre dell omogene

29 esempio 6, 4 λ 4λ 6, 48 λ 4 ± 6 64 ±, i 48 in coordine polri R cosθ R 4 π θ sinθ R 4 4 cos π 3 c 4 sin π c soluz. generle dell omogene c c 3 3 4cosπ c 3 4 4sin π 3 c c sin 6 3 π soluz. pricolre dell omogene

30 EQUAZIONI DEL ORDINE A COEFF. COSTANTI NON OMOGENEE b g equzione comple Si dimosr che l soluzione generle dell eq. comple GC è : GC GO PC gen.comple gen.omogene pricolre comple GO si ricv risolvendo l eq. omogene b PC, nel cso di eq. coeff.cosni, si ricv usndo il meodo dei coefficieni indeermini

31 Meodo dei coefficieni indeermini Il meodo consise nel supporre l form dell soluzione pricolre dell comple e sosiuirl nell eq. comple. k k PC g PC c k c c... c k c c... ck c sin b c cos sin b c cosb k c c... ck k d d... d k sin b, cosb b sinb, k cosb c k sin b, cosb sin b cos b k

32 Qundo il ermine noo é cosne b c, cosne c GC GO PC PC l si cerc r le cosni PC é come cercre il puno fisso b c c b b N.B. Cos succede se b? Si cerc un polinomio di grdo in, invece che di grdo.

33 Esempio: b non posso usre provo con un moving equilibrium PC PC λ 4 GO : λ 5λ 4 λ, 5 ± 5-6 λ 4 c 4 c GC c c 4 3 GO

34 COMPORTAMENTO ASINTOTICO STABILITA DELLE SOLUZIONI DELLE EQ. DEL ORDINE OMOGENEE A COEFF. COSTANTI Teorem { } Tue le soluzioni convergono λ, λ le rdici dell equzione crerisic omogene. Teorem D l equzione m < dove e λ b c b >, b >, b > le condizioni sono necessrie e sufficieni ffinché GC puno fisso sinoicmene λ sono

35 Sisemi lineri omogenei do soluzione nliic A A si può sempre esprimere in funzione dell su form di Jordn: PDP A dove µ λ D oppure λ λ D oppure b b D µ λ oppure µ λ

36 Per clcolre le mrici P e D in Mlb: >>form r, se si vuole il formo in frzioni, >>[P,D]jordnA >>invp Avendo P e D si può clcolre mno A PD P λ λ D D µ µ λ λ λ D D λ λ b cos θ D D R b sin θ sin θ cos θ

37 Sisemi lineri non omogenei c c Soluzione nliic si clcol il puno fisso: c c puno fisso Si risolve il sisem omogeneo: Si esplicino e

38 Sbilià soluzione c c Si clcol l soluzione nliic e poi il limie per inf Si clcolno gli uovlori di A: λ < l soluzione è sinoicmene sbile m i i se m λ i i l soluzione può essere o sbile o insbile 3 Condizioni sui coefficieni di A: r A < de A de A < soluzione sinoicmene sbile 4 l sbilià si può visulizzre nche geomericmene

39 STUDIO GRAFICO DELLA STABILITA DI UN SISTEMA LINEARE IN R NELLE VICINANZE DEL UN PUNTO FISSO µ Bµ : sisem omogeneo µ puno fisso µ CASO : SELLA se B λ < λ < < µ µ

40 CASO : NODO B λ < λ µ < µ STABILE B λ < λ < λ STABILE µ λ λ < µ se λ µ > NODO INSTABILE

41 CASO 3 : FUOCO STABILE R<, INSTABILE R> se B b cosθ - sinθ R se sen cos R b b θ θ < θ > θ <

42 CASO 4 : CENTRO R θ > θ < A mrice rele l dinmic d ess gener v A v srà quliivmene ugule quell gener dll su form di Jordn u B u

43 EQUAZIONI DI ORDINE COME SISTEMI Equzione ordine 3,,..., Soluzione : λ 3λ λ, λ A B imponendo, A B A B A - B

44 Sisem 3 3 A u u Au u Soluzione : A u u P PD A A u A

45 TEOREMI STABILITA SOLUZIONI SISTEMI LINEARI Equzione crerisic equz. ordine polinomio crerisico mrice b eq. cr λ λ b b A b Vle per eq. di ordine n A λ I λ λ b λ λ b

46 ESEMPIO INDAGINE Si vuole sudire l evoluzione dell opinione di un gruppo d individui cmpione rppresenivo di un cer popolzione. Si suppone che il cmpione si sooposo d un domnd ll qule si poss rispondere solo si o no. L sess domnd viene ripropos in inervise successive. Il soggeo può mnenere o cmbire l su rispos d un inervis ll lr. Quindi si possono vere le segueni rnsizioni indice dlle rispeive probbilià: si si si no no si no no e sono le probbilià con cui un individuo cmbi l su rispos d si no e vicevers,.

47 Se conoscimo l opinione inizile numero di persone che hnno risposo si, e che hnno risposo no ll domnd nell prim inervis deno con, e supponimo che le rispose successive di ogni individuo sino governe dlle probbilià di rnsizione sopr menzione, llor simo in grdo di clcolre l sequenz di opinioni del cmpione n di si e n di no nelle inervise successive denoe con,, 3,... invece del n di si e no si possono usre le rispeive probbilià ovvero: p n si /n o probbilià di dire si nell inervis -esim q n no /n oprobbilià di dire no nell inervis -esim quindi p p q,,,... q p q,,,...

48 Voglimo rovre espressioni per p e q in funzione delle probbilià inizili p e q, delle probbilià e e del empo ovvero l soluzione nliic Si V il veore colonn delle incognie con componeni p e q : V A,,,... p q p V AV,,,... V q Per complere il clcolo dobbimo esplicire A.

49 Scomposizione mrice in Mlb e invers di P APDP - >> sms b >> A[- b; -b]; >> [P,D]JordnA P [ b/b, /b] [ /b, -/b] D [, ] [, -b-] >> invp ns [, ] [, -b/] N.B. Mlb sceglie uoveori di modulo diverso m l direzione non cmbi

50 P PD A A A quindi, ricordndo che A V V ed il fo che p q si h : q p A V V q q p p

51 INTERPRETAZIONE DELLA SOLUZIONE q p q q p p,,,... Se e llor le si riducono q q p p,,, 3,..., Il secondo cso e è leggermene più ineressne. L diven : p q q p,,, 3,...,

52 Il cso in cui < < è quello più ineressne. A queso proposio riornimo lle soluzioni del sisem di equzioni lle differenze. Ripeimo p : p p,,, 3,..., Due domnde sono di pricolre ineresse: Esise un vlore limie dell probbilià p ll umenre di? Supponendo che il vlore limie esis, come esso dipende di vlori inizili di p e q?