Il Value at Risk secondo l approccio parametrico: un esempio semplificato

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1 Universià degli Sudi di Napoli Federico II Caedra di Economia delle Aziende di Assicurazione Il Value a Risk secondo l approccio paramerico: un esempio semplificao Domenico Curcio, Ph. D.

2 Value a Risk (VaR) Si definisce VaR la massima perdia poenziale che uno srumeno finanziario o un porafoglio di srumeni finanziari può subire, dao un cero livello di confidenza, nel corso di un deerminao orizzone emporale; in ermini analiici, indicando con c il livello di confidenza e con L la massima perdia poenziale, il VaR è quel valore che soddisfa la seguene relazione: Pr(L VaR) la definizione di VaR ammee la possibilià di perdie superiori al VaR sesso (con probabilià -c) ma non fornisce alcuna indicazione circa la dimensione della perdia nel caso in cui quesa sia superiore al VaR sesso. c

3 Consideriamo i rendimeni logarimici giornalieri dell indice di borsa Mib 30 relaivi ad un periodo di 00 giorni. Indicando con S il valore dell indice al giorno si ha: r lns lns ln S S S S sulla base di ali dai è possibile simare la media e la deviazione sandard pari, rispeivamene, a -0,03% e,65%; in base all analisi grafica della disribuzione di probabilià dei rendimeni logarimici non è irragionevole pensare che i dai in quesione provengono da una disribuzione normale. La funzione di densià di probabilià di una variabile casuale x che si disribuisce secondo una normale è: n(x; ; ) e x 3

4 daa r daa r daa r daa r -giu-98 0,0% 6-lug-98 0,47% 0-ago-98-0,58% 4-se-98,03% -giu-98 0,% 7-lug-98-0,3% -ago-98 -,3% 5-se-98 0,77% 3-giu-98-0,96% 8-lug-98,0% -ago-98,4% 6-se-98 0,75% 4-giu-98,% 9-lug-98-0,67% 3-ago-98-0,86% 7-se-98 -,58% 5-giu-98,7% 0-lug-98 0,50% 4-ago-98 -,4% 8-se-98 0,% 8-giu-98 0,7% 3-lug-98 0,07% 7-ago-98,95% -se-98 0,37% 9-giu-98 0,4% 4-lug-98,06% 8-ago-98,60% -se-98 0,56% 0-giu-98-0,55% 5-lug-98-0,4% 9-ago-98-0,9% 3-se-98 3,48% -giu-98 -,60% 6-lug-98 0,78% 0-ago-98-0,59% 4-se-98 -,% -giu-98 0,39% 7-lug-98 0,3% -ago-98-0,95% 5-se-98 0,9% 5-giu-98 -,0% 0-lug-98-0,% 4-ago-98 0,64% 8-se-98 0,38% 6-giu-98 0,98% -lug-98 -,6% 5-ago-98 0,43% 9-se-98 0,03% 7-giu-98,78% -lug-98-0,09% 6-ago-98-0,80% 30-se-98-3,0% 8-giu-98-0,07% 3-lug-98 -,% 7-ago-98-3,9% -o-98-3,06% 9-giu-98-0,5% 4-lug-98 0,09% 8-ago-98 -,49% -o-98,63% -giu-98 0,4% 7-lug-98 0,57% 3-ago-98-7,04% 5-o-98 -,4% 3-giu-98,46% 8-lug-98 -,50% -se-98 3,79% 6-o-98-0,40% 4-giu-98,9% 9-lug-98-0,45% -se-98-0,38% 7-o-98 -,4% 5-giu-98-0,3% 30-lug-98,56% 3-se-98-0,83% 8-o-98 -,6% 6-giu-98 0,35% 3-lug-98 -,97% 4-se-98-0,86% 9-o-98,57% 9-giu-98 0,47% 3-ago-98-0,74% 7-se-98,5% -o-98,34% 30-giu-98-0,4% 4-ago-98-3,69% 8-se-98,45% 3-o-98-0,9% -lug-98,9% 5-ago-98 0,86% 9-se-98 -,70% 4-o-98,07% -lug-98-0,9% 6-ago-98 0,76% 0-se-98 -,6% 5-o-98 4,09% 3-lug-98 0,47% 7-ago-98-0,0% -se-98,90% 6-o-98 0,85% 4

5 5 0 Effeivo Normale

6 La probabilià che x assuma valori inferiori o uguali a una cera soglia u è daa dalla funzione di riparizione (o funzione di densià cumulaa) della normale: N(x; ; ) u e x dx se anziché una variabile casuale x uilizziamo i nosri rendimeni la suddea relazione si dimosra molo uile per calcolare la probabilià associaa ad un deerminao livello dei rendimeni; ad esempio, la probabilià che r sia inferiore a una soglia u=,6% (ossia la media più una vola la deviazione sandard) è pari a: N( x; ; ) N(,6%; 0,03%;,65%) 84,% 6

7 È possibile calcolare le probabilià associae a una daa soglia anche facendo ricorso alla disribuzione normale sandard e alla sua funzione di densià cumulaa: N( per uilizzare la funzione di densià cumulaa normale sandard è dunque necessario sosiuire u con α : N(x; u ; ) N u u ;0, ) ( ) in relazione all esempio precedene:,6% ( 0,03%),65% N( ) N() 84,% 7

8 È possibile sabilire una corrispondenza biunivoca ra i diversi valori di α e i corrispondeni livelli di probabilià che resa valida indipendenemene dai valori assuni da μ e σ: α = N(α) α 99,99% 3,79 99,98% 3,500 99,97% 3,43 99,90% 3,090 99,87% 3,000 99,50%,576 99,38%,500 99,00%,36 98,00%,054 97,7%,000 97,50%,960 97,00%,88 96,00%,75 95,00%,645 93,3%,500 84,3%,000 È possibile, quindi, radurre un livello di probabilià scelo α in un opporuno faore α a cui corrisponde, mediane la (*), una soglia massima u per r daa dalla media più α vole la deviazione sandard. Se la disribuzione degli r è normale, la probabilià di oenere un rendimeno inferiore alla media aumenaa di re vole la deviazione sandard è 99,87%; di conseguenza la probabilià di oenere un rendimeno superiore a ale soglia è di circa lo 0,3%. N(,645)=95% dalla simmeria della normale segue che N(-,645)=5%. 8

9 Se la nosra banca deiene una posizione lunga in azioni dell indice Mib30, scegliamo il valore di α in modo ale da isolare la coda sinisra della disribuzione. Se per esempio vogliamo isolare il 5% dei rendimeni più bassi scegliamo un valore di α=-,645. Il valore soglia sarà pari a: u 0,03%,645,65%,75% si raa della massima perdia probabile in un arco di empo pari a un giorno ed a un livello di confidenza pari a -α del 95%; ale perdia è espressa in ermini di perdia percenuale, per conoscere la perdia assolua occorre moliplicarlo per il valore di mercao del porafoglio di azioni deenuo dalla banca. 9

10 α = N(α)=5% VaR(95%)=-,7% u = μ+ασ = -,75% μ= E(r )=-0,03% 0

11 i. ipoesi semplificarice: rendimeni dei faori di mercao con media nulla; ale ipoesi è acceabile in virù del fao che l aivià di negoziazione ha un orizzone emporale di breve ermine; ii. alernaivamene se si riiene che la media dei rendimeni sia diversa da zero è possibile concenrasi solo sulla componene di perdia inaesa, considerando le possibili variazioni fuure come differenza rispeo alla media. u 0,645,65%,7%

12 il VaR è espresso in ermini di perdia percenuale; per oenere la perdia assolua è necessario moliplicarlo per il valore di mercao del porafoglio di azioni Mib30 deenuo dalla banca; in generale si ha la seguene formulazione analiica: VaR VM VM 7, il VaR di una singola posizione può essere oenuo come prodoo di re elemeni: i. il valore di mercao della sessa (VM); ii. il faore scalare α che consene, daa l ipoesi di disribuzione normale dei rendimeni del faore di mercao, di oenere una misura di rischio corrispondene al livello di confidenza desiderao; iii. la volailià simaa del faore di mercao pari a σ.