Aldo Bonet L arcaico Diagramma dei Gromatici veteres Aprile 2015

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1 ALDO BONET L ARCAICO DIAGRAMMA DEI GROMATICI VETERES Introduzione. Devo fare un aggiornamento importante a questo mio articolo precedente: Ho trovato in rete, un nuovo mosaico romano presente nella Basilica Patriarcale di Aquileia (UD) la quale, fu costruita inizialmente sopra le rovine di una Domus romana del I sec. d.c. e, nella quale, è sopravvissuto un nuovo tipo di Diagramma a modulo quadrato che andrà ad aumentare la lista delle località italiane di epoca romana che conservano questo motivo geometrico. Ho inoltre trovato, in lingua italiana, - due articoli di Paolo Caressa - La matematica degli antichi romani I/II incuriosito, ho approfondito con il libro Gli agrimensori di Roma antica - di O.A.W. Dilke Edagricole - Bologna trovando una prima conferma alle mie supposizioni sulla probabile conoscenza algebrica degli antichi romani dell arcaico Diagramma di argilla, che avevo ipotizzato nel mio precedente articolo attraverso l osservazione dell arte musiva presente nelle Domus del I/II sec. d. C. Difatti, sia all inizio dell articolo di P.Caressa La matematica degli antichi romani II, sia a pag. 24 del Libro di Dilke Gli agrimensori di Roma antica si trova un corretto algoritmo risolutivo di un problema algebrico - geometrico di 2 grado che ha come figura di riferimento un triangolo rettangolo contenuto nel paragrafo terzo del Liber Podismus, un estratto del Corpus Agrimensorum Romanorum, quest ultimo, sappiamo che è una fonte importante sull arte degli agrimensori romani. Il Corpus è una raccolta di opere tecniche trascritte in latino dal IV / V sec. d. C. in poi, che si rifanno a manuali originali più antichi di Autori romani. Analizzando i passaggi algebrici esposti in forma retorica, a torto attribuiti al mensor et theoricus Marcus Jiunius Nipsus (II sec.d.c.) - si evince, come dimostrerò facilmente nel presente articolo, che il problema n 3, così come l omologo n 2, furono abilmente risolti poiché supportati dall arcaico Diagramma di argilla a modulo quadrato. Una foto in bianco/nero di una miniatura nel Liber Diazographus, contenuto nel Corpus Agrimensorum Romanorum, presenta graficamente un tracciato topografico disposto in modo singolare, la disposizione modulare è analoga a quella del Diagramma di argilla: Miniatura nel Liber Diazographus Corpus Agrimensorum Romanorum - Carl Thulin 1913 Aldo Bonet Aprile

2 Diagrammi a modulo quadrato sopravvissuti nei mosaici delle Domus romane del I secolo: Mosaico romano presente nella Cripta degli scavi. Basilica Patriarcale di Aquileia (UD) Fig. 1/A -Modulo quadrato (o a stuoia) mosaico - tipo A1 Mosaico romano presente nella Villa di via San Mauro a Montegrotto Terme (PD) Fig. 1/B. Modulo quadrato (o a stuoia) mosaico - tipo A2 Aldo Bonet Aprile

3 Mosaico romano presente a Trento nella Casa del mosaico di Orfeo Fig. 2. Modulo quadrato mosaico - tipo B TRENTO Il Diagramma dei Gromatici veteres- Aprile 2015 I Romani consideravano l Arimensura, una pratica di origini remote Il sistema educativo romano era per lo più basato su un istruzione che avvantaggiava le Belle Arti. L educazione che si praticava in Roma riferita alle scienze, non era né limitata, né scarsa. Marco Vitruvio Pollione (Architetto romano del I sec. a. C.), nel suo De Architectura scrisse che l architetto ideale doveva avere un ampia preparazione culturale per ingegnarsi in molteplici settori e, tra le numerosissime materie alle quali doveva attenersi, c era anche: la Geometria, la Matematica (per risolvere difficili problemi) e la Storia. L architetto, scriveva Vitruvio, doveva conoscere molto bene la storia perché nelle costruzioni spesso si mettevano degli ornamenti decorativi che risalivano al passato e occorreva essere in grado di spiegarne la provenienza a chi lo avesse chiesto. Si può pensare che una simile preparazione in senso lato sia stata data anche agli aspiranti agrimensori romani tratto da O.A.W. Dilke Gli agrimensori di Roma antica Edagricole- Bologna Cap.3-4. Aldo Bonet Aprile

4 ALDO BONET 1 Mosaico presente negli scavi di Ercolano (Na) Fig. 3. Moduli quadrati (o a stuoia) con rosone centrale mosaico romano - tipo C Per contatti: aldo@storiadellamatematica.it 1. Aldo Bonet Aprile

5 Mosaici presenti nella Villa romana a Desenzano sul Garda (BS) Mosaico romano a duplice motivo: rombo / quadro tipo D1 Fig. 4/a. Motivo disposto a incastro di quadrati e rombi concentrici. Il Diagramma a modulo quadrato fu adattato a quello romboidale. Mosaico romano a duplice motivo: rombo / quadro tipo D2 Fig. 4/b. Motivo disposto a damiera di quadrati e rombi inscritti in rettangoli. Notare le croci baricentriche sui quadrati. Aldo Bonet Aprile

6 Questo mosaico nella Villa romana di Desenzano è molto particolare. Nel quadrato concentrico intermedio, si vedono quattro capisaldi in neretto sui lati interni e fuori asse di tassellatura rispetto a quello opposto sull altro lato, questo fu fatto probabilmente di proposito per allineare correttamente, tramite i quattro capisaldi, due cordicelle incrociate che nel sovrapporsi, suddividono i quadrati in quattro parti uguali, così come qui di seguito evidenziate in rosso nella Fig. 4 /c: Fig. 4/c Croce baricentrica sui tre quadrati concentrici che li divide in quattro parti uguali. Ancor meglio si può vedere l allineamento incrociato in Fig. 4/d, dentro questo quadrato adiacente che ha in aggiunta altri quattro capisaldi minori e collocati nei lati del quadrato concentrico più interno: Fig 4/d Aldo Bonet Aprile

7 Mosaico presente nell Istituto Veronica Gambara a Brescia. Fig. 5/a. Modulo quadrato (o a stuoia) mosaico - tipo E Fig.5/b. Modulo quadrato (o a stuoia) mosaico - tipo F Aldo Bonet Aprile

8 L IMPORTANZA DEL MATTONE E DEL DIAGRAMMA DI ARGILLA NELLA STORIA. I mattoni, sin dall alba dei tempi (A.T. Libro della Genesi 11), dopo che furono inventati dall uomo mesopotamico e in seguito standardizzati in gran quantità, contribuirono non solo alla più grande rivoluzione edilizia di tutti i tempi ma da quell arte edile primordiale scaturì, obbligatoriamente dalle leggi della statica e della posatura a secco, un diagramma in mattoni a modulo quadrato che diede impulso e forma al primordiale pensiero algebrico - geometrico prescientifico e a tutto lo sviluppo che ne seguì, vedere Fig. 6. Fig.6- Babilonesi intenti con progetti e problemi algebrici - geometrici, mediante mattoni. In Fig.6, le prime tre imbastiture del Diagramma di argilla, visibili a sinistra (A B C) e con quella in (B) utilizzata come base per tutte le altre (A-C-D), servivano rispettivamente a risolvere i problemi di 1 e di 2 grado e, indifferentemente sia quelli diretti ( x ± a = b. x 2 ± a x = c) che quelli con sistema: Le tassellature a destra (D = E) invece, servivano per la dimostrazione iniziale del loro teorema di Pitagora dell alta antichità: Il quadrato costruito sulla diagonale del mattone (D) è uguale all unione del quadrato costruito sul fianco più quello costruito sul fronte del mattone stesso (E). Senza la comparsa del mattone, senza la scoperta del diagramma di argilla, senza l avvento di quell arcaico pensiero algebrico nato in simbiosi contemplativa con i mattoni grazie agli artigiani-costruttori 2 mesopotamici che lo scoprirono come un gioco logico-enigmistico e, senza aver assimilato prima, una certa maturità con una vera consapevolezza dell uomo di poter sfidare e conquistare facilmente l incognito mediante una costante preparazione mentale algebrico - geometrica, sarebbe stata impossibile, se non addirittura impensabile, la realizzazione delle più grandi sfide e conquiste future dell umanità. - 2 Anche la matematica indiana dei mattoni, nella cultura Harappa (3000 a.c.), come quella degli altari Vedici, era affidata agli artigiani. Aldo Bonet Aprile

9 Utilizzato come una sorta di gioco logico-enigmistico, questo Diagramma a modulo quadrato fatto di mattoni movimentabili e sovrapponibili, migliaia di anni dopo, anche i primi pionieri ellenici lo videro in funzione dentro le rinomate scuole degli scribi delle millenarie civiltà potamiche (dei grandi fiumi). Fortunatamente, tra i primi pionieri ellenici, nel VI sec.a.c., vi fu anche Pitagora di Samo che andò a visitare la Mesopotamia, l India e l Egitto, probabilmente consigliato dal suo Maestro, Talete di Mileto, con la missione di acquisire quel maggior sapere che le primordiali scuole dell Ellade, bisognose di conoscenze, ancora non disponevano. Pitagora, verosimilmente affascinato dalla semplicità e versatilità didattica di questa ricreativa macchina algebrica in mattoni di argilla, la introdusse in Patria, a Crotone, nella Magna Grecia. IL DIAGRAMMA DI ARGILLA NELL ARTE DECORATIVA DELLA ROMA IMPERIALE. Questo arcaico diagramma a modulo quadrato, si trova raffigurato e posato anche interamente in alcuni pavimenti a mosaico di epoca imperiale romana del I sec. d.c., tuttora esistenti: 1. Arezzo, nell area della Fortezza Medicea, scoperta archeologica nel Febbraio Brescia nel piano interrato dell Istituto scolastico Veronica Gambara Desenzano sul Garda (Brescia) Villa romana : 4. Montegrotto Terme (PD) nella Villa di via San Mauro Trento, in via Rosmini, nella Casa del mosaico di Orfeo 6 6. Luni (La Spezia) nella Casa degli affreschi 6 7. Pompei (Napoli) VII Regia insula 16 Domus Ostia (Roma), nel Santuario della Bona Dea e nell isolato IX, Regio IV, testacea spicata tiburtina 6 9. Corfino (Aquila) Loc. Piano S. Giacomo,Edificio porticato pavimentazione musiva in ambiente a) Ercolano (Napoli) Insula VI, Casa del colonnato Tuscanico-cubicolo diurno (14) Roma, mosaico dell area del Doloceum, sull Aventino, Domus di Via di San Domenico 8 e nell Aedes Concordiae, pavimento in Opus Sectile di età Augustea. 12. Nell Etrusca Pyrgi (Santa Severa) foto n 9/18 : Tivoli (Roma) - Villa Adriana: Aquileia (Udine) Basilica Patriarcale: _3 _4 _5 _6 Atti del III /XVI Colloquio, Associazione Italiana per lo Studio e la Conservazione del Mosaico-1995/ pagg / Tavola tipologica dei pavimenti Fig.1,3 di pag. 271; Fig. 6 pag. 493, Fig. 8 e 9 pag _7 _8 Aldo Bonet Aprile

10 Repertorio modulare geometrico - pavimenti musivi - Villa Adriana - Tivoli (Roma) : Moduli geometrici semplici - Opus Sectile - Villa Adriana: Fig. 7. Il Diagramma di argilla corrisponde al modulo quadrato I, B 12. Aldo Bonet Aprile

11 Repertorio modulare dei pavimenti musivi - Villa Adriana -Tivoli (Roma) : Moduli geometrici misti Opus Sectile - Villa Adriana: Fig. 8 Il Diagramma di argilla a modulo quadrato rientra nel modulo tipo III, A 1 e quello tipo III, A 3 di Fig. 8, è interessante notare che questi due moduli assieme a quello semplice - tipo I, B 12 di Fig. 7, sono molto presenti nell intero complesso dell Alhambra di Granada e nei pavimenti dei principali palazzi delle città della Spagna islamica. Nell Arte decorativa, greci, romani, arabi e bizantini, usarono una tecnica musiva che utilizzava anche motivi geometrici (triangoli, quadrati, rettangoli ecc) per decorare i pavimenti e le pareti delle loro case e i palazzi pubblici. La ricerca sul Diagramma a modulo quadrato si potrebbe estendere anche alle Domus romane della Spagna. Nella Spagna di epoca romana sono interessanti, alla buona causa del Diagramma di argilla, questi due mosaici nei quali si ritrova sia il Diagramma a modulo triangolare che romboidale: Aldo Bonet Aprile

12 E inoltre, un particolare modulo quadrato (Fig. 9) con un quadrifoglio che sembra orientato con la croce algebrica della semisomma e della semidifferenza, dove, il prolungamento degli assi passa perfettamente sui confini tra i quadrati che contengono quello scuro concentrico (o della semidifferenza) e i rispettivi rettangoli confinanti. Questo particolare modulo getta, a mio parere, una nuova luce sulla conoscenza o meno da parte dei romani di questa macchina algebrica: Fig. 9 Questo particolare mosaico romano a modulo quadrato e stato rinvenuto nel 2013, assieme ad altri adiacenti di genere prevalentemente geometrico, nella cittadina di Alcalá del Río a nord di Siviglia, fanno parte di una o due stanze di una Domus tra la fine del I secolo e l inizio del II sec. d.c. dell antica Ilipa Magna, un insediamento di origini millenarie, teatro di una tremenda battaglia tra i romani e i cartaginesi nel 206 a.c.; un insediamento, che aveva raggiunto il suo apice intorno al I sec. d.c. Questo particolare Diagramma ha una fortissima analogia con quelli romani a modulo quadrato rinvenuti nel nord della Spagna a Clunia Sulpicia (Coruña del Conde - Burgos) 9 : Questi motivi geometrici a modulo quadrato (o a stuoia) sono stati chiaramente catalogati assieme ai numerosi e molteplici disegni geometrici a mosaico rinvenuti dagli studiosi dell antica civiltà romana. 10 È verosimile, così come per gli altri disegni geometrici rinvenuti, che questi motivi a modulo quadrato, triangolare ecc., affondino le loro radici nelle più antiche culture millenarie e furono carpiti dagli antichi romani alle conquistate civiltà talassiche e potamiche contemporanee e precedenti all epoca imperiale romana. Per questa ragione, il Diagramma di argilla, ricompare (con le sue varie tipologie) in forma decorativa nei pavimenti di diverse Domus romane sparse un po ovunque sul territorio dell antico impero; resta da capire se fu conosciuto dai romani solo come elemento decorativo o anche come Diagramma algebrico risolutivo di problemi algebrici geometrici, già conosciuto dai Greci e scoperto dai Sumeri. Pertanto, la mia lista delle Domus romane sopravvissute in Italia (o presso gli altri territori assoggettati all impero romano) che contengono il Diagramma di argilla, è ancora agli esordi e sono certo che si potrà estendere ulteriormente a dismisura, con sopralluoghi nei vari siti archeologici o con ricerche ad hoc. Il Diagramma di argilla, quasi a voler testimoniare la sua arcaica importanza storico-scientifica per l uomo, giace impresso e nella sua forma matematica più vera (Gruppo di simmetrie 442), nei pavimenti e negli infissi principeschi dell Alhambra di Granada in Andalusia 11, un gioiello di arte islamica nel sud della Spagna conosciuta anche col nome di: Medina della simmetria. _9 _10 Le Décor Géometrique de la Mosaïque Romaine Picard Paris répertoire graphique et descriptif des compositions linéaires et isotropes A.A. V.V. pag. 95 e pag _11 Gli Europei medievali ricercarono in Spagna quel sapere orientale che fu poi importante per il Rinascimento. Aldo Bonet Aprile

13 GLI ANTICHI AGRIMENSORI ROMANI Le nozioni matematiche geometriche topografiche e astronomiche degli agrimensori romani (denominati agri-mensores, finitores o gromatici) provenivano essenzialmente dalla Mesopotamia, dall Egitto e dalla Grecia. I romani furono dei grandi utilizzatori di quelle nozioni immediatamente applicabili a situazioni pratiche. Queste scienze furono inizialmente coltivate presso le civiltà potamiche con intenti pratici, di calcolo e con una connotazione all Agrimensura. È un dato di fatto che, nei documenti matematici sopravvissuti di queste millenarie civiltà potamiche (tavolette di argilla e papiri) non sono presenti dimostrazioni rigorose, poiché sviluppate in seguito dai Greci, ma spesso enunciazioni e risoluzioni di problemi esposti in forma retorica, ottenute con l ausilio di strumenti di supporto. Ciò non toglie che le scienze delle costruzioni e le nozioni algebriche geometriche avevano comunque raggiunto, in queste civiltà potamiche, un notevole livello. Nella Roma imperiale, gli agri-mensores a volte erano greci, qualche volta di ceppo italico e, la matematica, era insegnata soprattutto da maestri di origine greca, che il popolo dell antico Impero ebbe a disposizione. I romani furono abili, nell aver fatto proprie le varie arti, tecniche e strumentazioni scientifiche sviluppate dai popoli assoggettati, preferendo quelle per i loro fini pratici; questa capacità pragmatica, è uno dei tanti meriti degli antichi romani. L'arte di misurare la terra e di suddividerla (Agrimensura), fu una scienza strettamente interconnessa all origine e sviluppo delle prime civiltà comparse attorno e ad oriente del mediterraneo e in ogni epoca, che accompagnò di pari passo e in un reciproco destino, il fiorire, l ascesa e il loro declino, così come la rinascita. 12 Leggendo i due articoli di Paolo Caressa: La matematica degli antichi romani I/II 13 riguardo l algoritmo algebrico risolutivo, attribuibile (a torto) a Marco Giunio Nipso ( attivo nel II sec.d.c.) per giungere alla soluzione del problema posto e, nell esaminare, passo dopo passo, il suo procedimento seguito, il responso mi ha fatto pensare che: Gli antichi romani conoscevano il Diagramma di argilla a modulo quadrato anche nella forma puramente algebrica! A mio parere, questa macchina algebrica in mattoni, di origine Sumera, fu probabilmente impiegata didatticamente dai romani anche attraverso una schematicità grafica bidimensionale, poiché, secondo i miei studi, era verosimilmente conosciuta da tutte le civiltà potamiche e, al pari dell abaco utilizzato a supporto del calcolo, era uno strumento didattico di valido ausilio impiegato a supporto degli algoritmi risolutivi per i vari problemi algebrici geometrici riporto qui di seguito, con mie aggiunte esplicative in parentesi tonde, il problema in disamina n 3, presente in un estratto del Corpus Agrimensorum Romanorum, denominato: Liber Podismus (misurazioni secondo l unità di misura del pes), esposto in forma retorica dal theoricus et mensor Marcus Junius Nipsus? 14 - riportato anche nel libro di O.A.W. Dilke - Gli agrimensori di Roma antica- Bologna- 1979, Cap.4- pag. 24- si può vedere inoltre in Appendice, il testo in lingua latina trascritto dal monaco francese- Costantino- nel Giugno del 1004: << Liber Podismus Problema n 3 - Testo e Dati noti: Sia dato un triangolo rettangolo la cui, somma del cateto e base, in tutto fa 23 piedi - l area è di 60 piedi (quadrati) e l ipotenusa è di 17 piedi, si possono determinare cateto e base come segue - Procedimento:si fa il quadrato dell ipotenusa ( 17 x 17). Fa 289. Da questo si sottrae quattro volte l area (4 x 60); e fa 240. Il rimanente ( ) è di 49 (piedi quadrati). Prendiamone la radice quadrata che è 7. Sommiamola al cateto e base, cioè ai 23 piedi (23 + 7). Fa 30 piedi. Prendiamo la metà. Fa 15 piedi. Questa sarà la base e di conseguenza il cateto sarà di 8 piedi ( 23-15) >> Esaminiamo nella pagina seguente l origine mesopotamica dell algoritmo sopraindicato, passo dopo passo, mediante l arcaico Diagramma di argilla 12 Agrimensura Treccani: _13 La matematica degli antichi romani I/II - Paolo Caressa- Giugno 2013: I) file:///c:/users/ema/documents/downloads/17_19_xlatangente_39_ii-libre%20(1).pdf e.. II) file:///c:/users/ema/documents/downloads/17_20_xlatangente_38_i-libre.pdf _14 L autore Karl Lachmann Gromatici Veteres - aveva attribuito a Marcus Junios Nipsius tre estratti: Fluminis varatio - Limitis repositio Podismus. Tuttavia, oggi, l attribuzione del Podismus a Nipsus, non è sicura. Aldo Bonet Aprile

14 In un mio articolo precedente Il Teorema di Pitagora ai tempi di Ötzi 15 abbiamo ripercorso assieme, secondo la mia teoria, le verosimili fasi cruciali degli anonimi artigiani Sumeri che scoprirono questa importante Regola empirica: relazione tra la diagonale e i lati di un mattone rettangolare qualsiasi. I Sumeri crearono così con i mattoni, un piacevole gioco di argilla, un originale macchina algebrica destinata ad accompagnare l uomo mesopotamico fuori dalla preistoria e nella sua evoluzione sociale e rivoluzione culturale. Un arcaico strumento didattico di facile utilizzo che si diffuse rapidamente presso tutte le prime civiltà arcaiche dei grandi fiumi. Vediamo ora l originale impostazione arcaica del problema in precedenza esposto e del suo algoritmo o procedimento algebrico risolutivo, usato dall autore del liber Podismus 16, e mettiamolo in relazione con il Diagramma di argilla, attraverso queste fasi artigianali: Si prendono quattro mattoni rettangolari (area della faccia superiore del mattone = a x b) sui quali è stata tracciata la diagonale (d). FASE 1: Si dispongono quindi in circolo. Fase 2 : Si uniscono i mattoni a testa d angolo e con una tipica disposizione a modulo quadrato. Fase 3 _15 _16 Giustamente il Dilke, nel suo libro Gli agrimensori di Roma antica - al Cap.4- pag. 24 sottolinea il carattere puramente algebrico o teorico - accademico di questo problema contenuto nel Podismus, che sembra contrastare con la natura prevalentemente tecnico pratica dell intero Corpus Agrimensorum Romanorum, tanto che, il Liber Podismus (assieme ad altri Excerpta ) appare distinguersi più come un manuale didattico di algebra - geometrica. Aldo Bonet Aprile

15 FASE 3: Si chiude l apertura con un mattone quadro al centro [di lato = a b, e area = ( a-b) 2 ] Fase 4: Nota: Certamente gli antichi romani, così come i popoli delle grandi civiltà potamiche, avevano fatto ampio uso dei mattoni e, questa macchina algebrica trae la sua origine proprio dall arte del costruire e dalle numerose combinazioni per la posatura dei laterizi. La sezione a modulo quadrato scaturì, quasi obbligatoriamente, dalle leggi della statica di quest arte o scienza delle costruzioni delle antiche civiltà. Aldo Bonet Aprile

16 Siamo così giunti all imbastitura della base del Diagramma di argilla a modulo quadrato! Area = 8xaxb/2 + (a-b) 2 FASE 5: Fronte del mattone = b = cateto del triangolo rettangolo; Fianco del mattone = a = base del triangolo rettangolo; Diagonale del mattone = d = ipotenusa del triangolo rettangolo. La base quadrata dell arcaica macchina algebrica (il Diagramma di argilla), così come ci appare in Fase 5, ci suggerisce sia il testo, sia i dati noti, sia l algoritmo risolutivo del problema, quello poi, effettivamente usato nel Liber Podismus; sezioniamo pertanto il testo del problema in argomento e mettiamolo in relazione con l arcaico Diagramma mesopotamico: - Testo e Dati del problema, vedere Fase 5: Sia dato un triangolo rettangolo (mezzo-mattone triangolare) la cui, somma (b + a) del cateto e della base (Lato della base del Diagramma) in tutto fa 23 piedi - l area (del mezzo-mattone triangolare = (a x b)/2 ) è di 60 piedi (quadrati) e l ipotenusa (diagonale del mattone = d) è di 17 piedi. -Procedimento: Si possono determinare cateto (Fronte del mattone = b) e base (Fianco del mattone = a) come segue. Fase 6: si fa il quadrato dell ipotenusa (quadrato sulla diagonale dei mattoni = d 2 = 17 x 17). Fa 289. Fase 6: d 2 = 4xaxbx1/2 + (a-b) 2 Aldo Bonet Aprile

17 -Da questo (quadrato costruito sulla diagonale dei mattoni) si sottrae quattro volte 17 - [si tolgono i quattro mezzi-mattoni triangolari] - l area (4 x 60); e fa 240 Fase 7: -Il (mattone quadrato) rimanente ( ) è di 49 (piedi quadrati) = (a-b) 2 Fase 8: (b + a) = 23 piedi 17 Questo è un passaggio importante dell algoritmo, poiché l Autore per ricavare (a - b) 2 sottrae quattro volte l area del triangolo rettangolo: 4. a.b.1/2. Questo si spiega, se ipotizziamo che l Autore era visivamente ancorato al Diagramma di argilla. Aldo Bonet Aprile

18 -Prendiamone la radice quadrata (il lato solido 18 del mattone quadrato) che è 7. Fase 9: -Sommiamola al cateto e base, cioè ai 23 piedi (23 + 7). Fa 30 piedi = 2a Fase 10: -Prendiamo la metà. Fa 15 piedi = a. -Questa sarà la base e di conseguenza il cateto (b) sarà di 8 piedi; b = = (b + a) - a. La soluzione si poteva ottenere anche sottraendo la radice quadrata (a-b) = 7 dalla somma del cateto più la base (b + a) = 23, in altre parole: (23-7) = 16 = 2 b = doppio cateto, questo risultato si divide per due e così si ottiene, prima il cateto = b = 8 piedi e poi di conseguenza, la base sarà di 15 piedi, ( 23-8). 18 Il lato mesopotamico (in accadico: imtaḫar), una sorta di radice quadrata solida, era materialmente un regolo di argilla solida impugnabile, da contrapporre all area quadrata costruita o risultante nel Diagramma, con il quale poi, si eseguivano le dovute operazioni successive. Quest algebra -geometrica artigianale fatta di mattoni, lati solidi o unitari di argilla, linee larghe con spessore da omogeneizzare con superfici, si è trascinata per molti secoli e ha influenzato le antiche civiltà. Difatti, quest algebra potamica la ritroviamo non solo con le definizioni iniziali sulle tre dimensioni geometriche del Liber Podismus, che ricalcano quelle del trattato Expositio et ratio omnium formarum di Balbus, peraltro presente nello stesso Excerpta Agrimensorum Romanorum, che a loro volta, riecheggiano con la Metrica di Erone di Alessandria e la Geometrica pseudo eroniana, ma ancora, la ritroviamo nell algebra islamica di Al- Kuwarizmi e in Omar Khayyam quando parla di numero solido considerato come altezza di un parallelepipedo con base quadrata di area uguale a uno. Aldo Bonet Aprile

19 Se, per ipotesi, L Autore del Podismus non avesse utilizzato il Diagramma di argilla nella forma più originale, quella tridimensionale fatta con i mattoni, vista prima, 19 si può supporre in alternativa, che il corretto procedimento algebrico applicato al problema esaminato in precedenza, fu ricavato dallo stesso Autore seguendo uno schema disegnato a parte, o su papiro o con l ausilio di un catalogo consultivo (entrambi non rinvenuti) che erano di supporto al Liber Podismus, e nei quali, era probabilmente compreso anche l arcaico Diagramma di argilla raffigurato in forma bidimensionale o plano-altimetrica convenzionale, come qui di seguito ipoteticamente riprodotto (Fig.10) con la simbologia tecnica raffigurata negli Excerpta Agrimensorum, in altre parole, con le misure solide convenzionali annesse alle figure geometriche con spessore, presenti nel trattato Expositio et ratio omnium formarum di Balbus ( Vedere Fig.12 - Appendice - Gromatici Veteres F. Bluhme, K. Lachmann e AA.VV pag. 97 e Figg pag. 437) e, con una connotazione algebrica che qui ho voluto esprimere in lettere alfabetiche per evidenziarne la generalità del problema trattato: Fig. 10 A fornirci una successiva conferma di quanto sopra citato, è il seguente problema del tutto simile che, come si potrà notare, sarà risolto ancora una volta dall Autore con lo stesso schema del Diagramma di Fig. 10. Il problema n 2, che andremo ora a vedere a pagina seguente, è contenuto nel Liber Podismus e si colloca peraltro in una posizione antecedente al problema n 3 già esaminato 19 Nel Corpus Agrimensorum Romanorum III - Podismus et Textes Connexes di J.Y. Guillaumin Ed..Jovene Napoli 1996, a pag. 95 si legge - traduco in italiano : «la prima definizione (del Podismus) sui tre tipi di dimensioni (lineare / rectum, di superficie / planum e solida / solidum) la possiamo benissimo paragonare al preambolo di un manuale accademico di geometria. Il Podismus, sembra così annunciare un trattato che si occuperà anche di solidi geometrici anziché di sole figure piane come invece in realtà si occuperà in modo esclusivo e, senza mai citare peraltro, un solo problema che riguarda i solidi geometrici». Credo invece, che non ci sia contraddittorietà nel Podismus ma solo promiscuità pragmatica. Se si osserva bene, la misura solida annunciata è quella con spessore (solidum est cuius longitudinem et latitudinem et crassitudinem metimur) e non quella con altezza (et altitudinem) specifica per i volumi. Nonostante l influenza degli Elementi di Euclide già evidente in questi Excerpta, la misura solida del Podismus veniva forse anticipata per alcuni algoritmi applicabili a un algebra - geometrica più vicina alla Metrica di Erone, quindi, ritenuta didatticamente più efficace se supportata anche dall arcaico Diagramma di argilla mesopotamico. Aldo Bonet Aprile

20 Testo del problema n 2 in lingua latina: PODISMVS: Problema n 2 - (Fig. 11). In trigono orthogonio cuius< hypotenusae> podismus est ped. XXV, embadum ped. CL, dicere cathetum et basim separatim. S Q. Semper multiplico hypotenusam in se: fit DCXXV; ad hanc summam adicio IIII embada, quae faciunt ped. DC; utrumque in unum: fiunt ped. MCCXXV; huius sumo latus, quod fit ped. XXXV; deinde, ut interstitio duarum rectarum inueniatur, faciam hypotenusae numerum in se: fit DCXXV; hinc tollo IIII embada, remanent XXV; huius < sumo latus >, fit V: erit interstitio; quam mitto ad duas iunctas, id est ad XXXV; fiunt ped. XL. Huius sumo semper dimidiam partem; fit ped. XX: erit basis trigoni. Si tollo de XX interstitionem, id est ped. V, reliqui sunt ped. XV; erit cathetus eiusdem trigoni. Traduzione in lingua italiana: << PODISMVS: Problema n 2 - (Fig. 11). In un triangolo rettangolo, la cui misura in piedi < dell ipotenusa > è di XXV (25) piedi e la sua superficie è di CL (150) piedi (quadrati); si possono determinare cateto e base come segue S. Q. Come sempre, si fa il quadrato dell ipotenusa. Fa DCXXV (625). A questo quadrato si aggiunge IIII (4) volte l area (del triangolo rettangolo) che fa DC (600) piedi (quadrati). Il (quadrato) dei due lati (cateto + base) sommati: fa MCCXXV (1225) piedi (quadrati); Si prende il lato di questo quadrato (la radice quadrata): fa XXXV (35) piedi. In seguito, per trovare la differenza dei due lati (base cateto), si considera ancora il quadrato dell ipotenusa: fa DCXXV (625). Da questo quadrato si toglie IIII (4) volte l area, rimane XXV (25) piedi; da questo < si prende il lato> e (la radice quadrata) fa V (5) piedi. Questa è la differenza. Si aggiunge (la differenza) alla somma delle due dimensioni (dei due lati), cioè a XXXV (35) e fa XL (40) piedi. Come sempre, si fa la metà del risultato. Fa XX (20) piedi. Questa è la base del triangolo. Di conseguenza, se da XX (20) si toglie la differenza, cioè V (5) piedi, rimangono XV (15) piedi; questo è il cateto del medesimo triangolo >> L algoritmo risolutivo, si può verificare, che è perfettamente collegato allo schema del Diagramma di argilla disegnato in Fig. 10. Fig. 11 Pagina 17- r (Fig.12) manoscritto in latino, degli Excerpta Agrimensorum Romanorum - trascritti da un monaco medievale francese nel Ho incorniciato le definizioni sulle misure solide convenzionali annesse ai disegni delle figure geometriche con spessore, presenti nel trattato Expositio et ratio omnium formarum di Balbus considerate nel presente articolo in Fig. 10. Fig. 12 Aldo Bonet Aprile

21 APPENDICE L edizione più completa e recente del Corpus Agrimensorum Romanorum è stata avviata da studiosi prevalentemente francesi all interno del progetto europeo COST (Coopération européenne dans le domaine de la recherche scientifique et technique) Action G2-Paysages antiques et structures rurales, sotto la direzione di M.Clavel-Lévêque e A. Gonzáles. Il Corpus è provvisto di apparato critico e soprattutto di una traduzione dei testi in lingua francese. Per il Podismus - introduzione, traduzione e note di J.-Y. Guillaumin: Lo stesso problema, in lingua latina, si trova sul libro- Gromatici Veteres F. Blume, K. Lachmann e AA.VV Podismus- pag. 298: alse Copia del testo del problema n 3 del Podismus in lingua latina: PODISMVS: problema n 3 - (Fig. 13). Si datum fuerit trigonum orthogonium et dati fuerint cathetus et basis in se, ped. XXIII, embadum huius trigoni, ped. LX, et hypotenusa, ped. XVII, dicere cathetum et basim separatim. S.Q. Facio hypotenusae numerum in se: fit CCLXXXVIIII; hine tollo IIII embada, quod fit CCXL; reliquum XLVIIII; huius semper sumo latus, fit VII; hoc semper adicio ad duas iunctas, id est ad XXIII: fiunt ped. XXX. Huius semper sumo dimidiam, fit XV: erit basis eiusdem trigoni. De duabus iunctis, id est de XXIII, tollo ped. XV: reliqui ped. VIII; erit cathetus. Traduzione in lingua italiana: Fig.13 << PODISMVS: problema n 3 - (Fig. 13). Sia dato un triangolo rettangolo la cui, somma del cateto e base, in tutto fa XXIII (23) piedi - l area è di LX (60) piedi (quadrati) e l ipotenusa è di XVII ( 17) piedi, si possono determinare cateto e base come segue S. Q. si fa il quadrato dell ipotenusa. Fa CCLXXXVIIII (289). Da questo si sottrae IIII (4) volte l area che fa CCXL (240). Il rimanente è di XLVIIII (49) piedi quadrati. Prendiamone la radice quadrata che è VII (7). Sommiamola al cateto e base, cioè ai XXIII (23) piedi. Fa XXX (30) piedi. Prendiamo la metà. Fa XV (15) piedi. Questa sarà la base. Di conseguenza da XXIII (23) tolgo la base di XV (15) piedi. Rimane VIII (8) piedi; questo è il cateto>> L algoritmo risolutivo, si può verificare, che è perfettamente collegato allo schema del Diagramma di argilla disegnato in Fig. 10. Pagina 9-v del manoscritto in latino del Liber Podismus nella quale compaiono i due problemi studiati nel presente articolo: Aldo Bonet Aprile

22 Alhambra di Granada (secolo XIII - XIV) Fig. 14. Sala del Trono - Diagramma a modulo quadrato - nel pavimento e nelle grate lignee delle bifore. Tavoletta Babilonese BM Fig Tavoletta Babilonese BM 15285: impronte residue di disegni geometrici. Contorni marcati con linee bianche per evidenziare un probabile diagramma a modulo quadrato che si scorge a fatica sul retro della tavoletta; risalente al 1800 a. C. circa. Il testo cuneiforme sottostante al disegno è andato purtroppo distrutto. Il disegno geometrico ipoteticamente ricostruito sarebbe pressoché identico al Diagramma di argilla. Questo tipo di Diagramma, secondo la mia teoria, serviva a risolvere i problemi con sistema di 2 grado nella forma standard: x. y = c; x ± y = b. Aldo Bonet Aprile

23 Tavoletta Babilonese BM Fig Tavoletta Babilonese BM 15285: impronte residue di disegni geometrici. Contorni marcati con linee bianche per evidenziare un probabile diagramma a modulo quadrato che si scorge a fatica sul retro della tavoletta; risalente al 1800 a. C. circa. Il testo cuneiforme sottostante, fortunatamente sopravvissuto, ha permesso la fedele ricostruzione geometrica del disegno, il quale, descrive un quadrato unitario suddiviso in sedici quadratini. È facile osservare come il disegno sia pressoché identico al Diagramma di argilla. Questo Diagramma in mattoni così imbastito, secondo la mia teoria, serviva a risolvere problemi di 2 grado diretti del tipo: x 2 ± ax = c, presenti sulla tavoletta BM Lastra votiva Fig. 17- Lastra votiva, in calcare (cm 39 x 47), proveniente da Ḡirsu (nel distretto di Lagash), risalente al XXV secolo a.c. e conservato nel Museo del Louvre (Parigi). Nella parte superiore della lastra, a sinistra, si vede il re Ur-Nanshe che porta una grande cesta sul capo, contenente dei mattoni pieni, ed è indicato nella rappresentazione tradizionale come "costruttore di templi". Nella parte inferiore la figura principale seduta è sempre Ur-Nanshe, rappresentato a destra mentre banchetta per festeggiare l'avvenuta costruzione del tempio. Questa lastra votiva è rappresentativa di come i mattoni erano venerati anche dagli stessi re sumeri. Notare inoltre, come la disposizione dei quattro bassorilievi che compongono la Lastra votiva sia stata impostata a girandola o a girotondo attorno al quadratino centrale forato. Una disposizione in circolo tipica e analoga a quella del Diagramma di argilla. Arte sumera: Aldo Bonet Aprile

24 Fig. 18. La costruzione di una città- fine III mill. a.c.- stele di Ur-Nammu fondatore della III dinastia di Ur. I primi sovrani mesopotamici erano raffigurati nell atto di costruire o di partecipare ai lavori, al pari di un qualsiasi artigiano del proprio regno e questo, fu rappresentativo di come gli artigiani costruttori erano considerati di grande rango sociale e proprio dagli stessi re sumeri ai quali s immedesimavano. Con il re Gudea di Lagash, il programma rappresentativo cambia radicalmente e mostra il sovrano come realizzatore del progetto edilizio e non più come semplice operaio che aiuta al trasporto del materiale edile necessario alla costruzione. Fig. 19- Particolare del re architetto Gudea di Lagash ( a.c.) con la planimetria del suo progetto, statua in diorite, Parigi-Louvre. Portare in scala, sul piano bidimensionale, ciò che solitamente o più comodamente si manipola e si progetta in tre dimensioni mediante i modellini in mattoni, fu senz altro, per l epoca, un salto mentale di qualità straordinario del XXII sec. a.c.. Purtroppo, in Mesopotamia, la progettazione bidimensionale non ebbe un sopravvento decisivo o popolare sulla più pratica e palpabile modellistica architettonica in mattoni, poiché le tavolette di argilla erano sì pratiche nell imprimere la scrittura cuneiforme ma molto meno per la grafica Aldo Bonet Aprile

25 geometrica; ci basti pensare che nell Ellade, i greci attesero prima l ingresso del papiro egizio ( VI sec. a.c.) e poi l Accademia di Platone, per ottenere un salto mentale così raffinato e definitivo che culminò intorno al 350 a. C negli Elementi di Euclide. Il Diagramma di argilla fu una macchina ludica, a fini didattici - educativi, al pari dei primi e più antichi giochi da tavolo allora conosciuti presso le civiltà potamiche: il Senet Egizio, il Gioco reale di Ur rinvenuto anche nel sud dell Iran a Shahr - i- Sokhta, il Go (gioco) Cinese e il Tangram la cui tecnica, era paragonabile alla costruzione degli altari di fuoco della matematica Vedica Indiana, i SulbaSūtra. Pitagora apprese così non solo un importante Regola millenaria che impropriamente la tradizione poi, attribuì allo stesso Pitagora come suo famoso Teorema, ma molto altro ancora tramite quest unica macchina algebrica mesopotamica, oggi, da me coniata e nota come il: Diagramma di argilla a modulo quadrato Fig. 20: Fig. 20. Gioco Reale di Ur Fig Il Gioco reale di Ur,si riferisce ad alcune tavole da gioco trovate nel cimitero reale dell antica città-stato di Ur (capitale dei Sumeri, la biblica Urim) da Charles Leonard Woolley durante una campagna archeologica tra il 1922 e il 1934 e datate in un periodo compreso tra il 2600 e 2400 a.c. Due di questi tavolieri sono integri e completi di pedine e dadi da gioco, e conservati al British Museum ( Londra). È considerato tra i più antichi reperti completi di un gioco da tavolo che sia mai stato scoperto. La tavola più semplice è in ardesia decorata con motivi geometrici in madreperla mentre altre sono decorate anche con inserti in lapislazzuli e corniola. Una tavola da gioco simile realizzata in legno è stata scoperta nell'iran meridionale negli scavi di Shahr-i Sokhta, un insediamento dell età del bronzo (circa 3200 a.c.). Aldo Bonet Aprile

26 Insieme all antico gioco egizio Senet risalente tra il periodo predinastico e la prima dinastia dell Antico Egitto ( a.c.) è considerato da alcuni uno dei predecessori del moderno backgammon. Spagna - Camarzana de Tera Comunità Autonoma di Castiglia e León ( Zamora) Fig. 22 Mosaico geometrico romano - al centro - Diagramma di argilla a modulo quadrato. L autore, Aldo Bonet, ha deciso di distribuire i contenuti con licenza Creative Commons Creative Commons, Attribuzione Non commerciale 2.5 Italia License ossia, mettere gratuitamente l articolo a disposizione a patto che gli sia attribuita la paternità e si accetti di non alterarlo sia nei contenuti sia nelle immagini né di trasformarlo o estrapolarlo anche solo parzialmente per crearne altri, come pure di non utilizzarlo per fini commerciali perché l autore crede fermamente nella nobile condivisione dei contenuti. Ogni riproduzione (totale o parziale) o citazione futura del presente articolo e di tutte le ricerche personali dell autore, predilige il cautelativo benestare dall autore stesso. Il presente articolo è pubblicato da Luigi Gaudio sul Portale ATUTTASCUOLA Aprile 2015 su richiesta dell autore. Aldo Bonet Aprile

27 BIBLIOGRAFIA: -AA. VV. (1985). Le Décor Géometrique de la Mosaïque Romaine, répertoire graphique et descriptif des compositions linéaires et isotropes. Parigi: Picard. - Baldoni R. (2013). Dalla fatica al piacere di contare. Matematica antica. Vol. 1. Mateureka - Museo del calcolo. -Bartocci C.e Odifreddi P. (2007). La Matematica i Luoghi e i tempi. Torino: Einaudi. - Blume F. - Lachmann K. e Rudorff A. ( 1848). Gromatici Veteres. Berlino. -Boyer C. B. (2008). Storia della Matematica. Milano: Mondadori. -Bonet A. (1989). Le possibili origini geometriche del principio della semisomma e semidifferenza delle incognite in uso presso i Babilonesi e sue applicazioni. L educazione matematica, Anno X Serie II Vol.4 n 3 Dic., pag Bonet A. (2008). Il diagramma di argilla, geometrico risolvente a modulo quadrato, che governava l intera arte algebrica degli antichi scribi. Un paradigma che ha aperto le porte alla Cultura Matematica delle civiltà arcaiche. Periodico di Matematiche, n. 3, Set-Dic, Vol. 1, Serie X, Anno CXVIII, pag Bonet A. (2009). La Scienza di Talete. Canada: Lulù.com di Robert Young. Scaricabile gratuitamente da: e da -Bonet A. (2009/10/11/12/13). Genesi del Teorema di Pitagora Piccolo approfondimento su Bhaskara I Lettera dello Scriba, Il Teorema di Pitagora ai tempi di Ötzi, ecc. su : -Bortolotti E. (1935). La scienza algebrica degli Egizi e dei Babilonesi. Bologna: Azzaguidi. -Bortolotti E. (1936) Interpretazione storica dei testi matematici babilonesi. Periodico di Matematiche, n 2. pag Bortolotti E. (1936). I problemi di secondo grado nella matematica babilonese. Periodico di Matematiche, n 3.pag ; Bortolotti E. (1937). Concetti, immagini, cognizioni, metodi nella matematica babilonese. Milano. Tip. Turati Lombardi e C. -Bortolotti E. (1938). Prodomi di metodo matematico nei problemi babilonesi. Milano: Tip. Turati Lombardi e C -Bronowski J. (1973). The Ascent of Man. Boston: Little Brown. Jacob Bronowski Teorema di Pitagora: -Bruins E. M. e Rutten M. ( 1961). Textes Mathématiques de Suse, Parigi : Librairie Orientaliste Paul Geuthner. -Bürk A. (1902). Das Āpastamba-Śulba-Sūtra. Zeitschrift der Deutschen morgeländischen Gesellschaft. Vol.LVI -Campbel J. e Pryce W. (2003). Il mattone e la sua storia, 8000 anni di architettura. Bergamo: Bolis Edizioni. - Dilke O.A.W. (1979). Gli Agrimensori di Roma Antica. Bologna: Ediagricole. -Du Sautoy M. (2007). Il Disordine Perfetto. Milano: Rizzoli. -Ferguson K. (2009). La musica di Pitagora. Milano: Longanesi. -Frajese A e Maccioni L. (1970). Gli Elementi di Euclide. Torino: U.T.E.T. -Friberg J. (2002). Storia della Scienza. Enciclopedia Treccani, Vol I. pag Friberg J. (2005). Unexpected links between Egyptian and Babylonian Mathematics. Londra: World Scientific. Aldo Bonet Aprile

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29 Thureau-Dangin.Volume n , Parigi: Librairie Ernest Leroux -Thureau-Dangin F. (1938). Textes Mathématiques Babyloniens. Laiden (Olanda): E.J. Brill -Van Der Waerden L.B. (1954) Science Awakening. Groningen ( Olanda): P. Noordhoff. -Van Der Waerden L.B. (1983). Geometry and Algebra in Ancient Civilizations. Berlino: Springer. -Zellini P. (1999). Gnomon, una indagine sul numero. Milano: Adelphi. Mensor o Gromatico Romano Utilizzo della groma per tracciare allineamenti tra loro ortogonali. Aldo Bonet Aprile