EQUILIBRIO DI UN PUNTO MATERIALE, DI UN SITEMA DI PUNTI EDIUNCORPORIGIDO

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1 EQUILIBRIO DI UN PUNTO MATERIALE, DI UN SITEMA DI PUNTI EDIUNCORPORIGIDO Equilibrio di un Punto Materiale Definizione 1 Un punto materiale è in una posizione di equilibrio quando posto in quella posizione con velocità nulla, vi rimane in quiete. Condizione Necessaria e Sufficiente 1 per l equilibrio di un punto materiale libero (da vincoli) è che il risultante delle forze applicate ad esso sia nullo R =0 (1) Supponiamo che il punto sia vincolato. Esempio: un oggetto appoggiato ad un tavolo. Cosa impedisce all oggetto di cadere, nonstante la presenza della forza peso? Se la presenza del vincolo ha l effetto di modificare il comportamento che l oggetto P avrebbe se fosse libero è naturale ammettere che l azione del vincolo si manifesti con una forza su P. A tale forza si dà il nome di Reazione Vincolare. Postulato 1 (delle Reazioni Vincolari) Un punto vincolato si può considerare libero, pur di aggiungere alle eventuali forze attive, la Reazione Vincolare che traduce l azione del vincolo sul punto. Condizione Necessaria e Sufficiente 2 per l equilibrio di un punto materiale è che sia nullo il risultante di tutte le forze attive e reattive sul punto. In formule: R = F + Φ =0. (2) 1. Ammettiamo l esistenza di vincoli incapaci di contrastare spostamenti di P tangenti al vincolo stesso. In questo caso si parla di vincolo liscio. La reazione vincolare Φ ha direzione normale al vincolo. 2. Se il punto è appoggiato ad una superficie allora il vincolo impedisce spostamenti in cui c è penetrazione al di sotto della superficie. La reazione vincolare è diretta dalla superficie verso il corpo. Se il punto è appoggiato ad una superficie liscia è quindi fissata la direzione di Φ eilsuoverso. 3. Un vincolo è scabro quando è in grado di contrastare, entro certi limiti, una forza tendente a far compiere al punto spostamenti tangenti al vincolo. In questo caso siamo in presenza di attrito. La rezione vincolare corrispondente non è più necessariamente normale al vincolo. L esperienza ci porta ad ammettere il seguente Postulato 2 C.N.S. per l equilibrio di un punto vincolato con attrito è che F + Φ =0 (3) 5

2 6 con Φ chesoddisfaalladisequazione Φ T µ Φ N Relazione di Coulomb (4) Φ = Φ T + Φ N, (5) dove Φ N èilvettorenormalealvincoloe Φ T è il vettore tangente al vincolo. Principio di Azione e Reazione (III Legge di Newton) Consideriamo due punti materiali P e Q. Supponiamo che su P agisca una forza F dovuta a Q (nel senso che se Q viene rimosso, F sparisce). L esperienza ci dice che all azione F esercitata da Q su P corrisponde una forza opposta esercitata da P su Q. Più precisamente: dati due punti P e Q, se F è la forza che si esercita su P per azione di Q, F èlaforzachesiesercitasuq per azione di P.Inoltre le due forze hanno come retta di applicazione la retta PQ. Osservazione 1 IL principio di azione e reazione è valido sia in condizioni di equilibrio, sia in condizioni di moto. Equilibrio di un Sistema di punti Definizione 2 Un sistema materiale è in equilibrio in una configurazione se ogni suo punto è in equilibrio. Per ogni punto del sistema abbiamo N equazioni vettoriali F i + f i + Φ i + φ i =0 i =1,...,N., (6) corrispondenti a 3 N equazioni scalari, dove F i è il risultante delle forze esterne, f i èilrisultantedelleforzeinterne, Φ i è il risultante delle reazioni vincolari esterne, φi è il risultante delle reazioni vincolari interne. NX NX NX NX F i + f i + Φ i + φi = i=1 i=1 i=1 i=1 L ultima espressione può essere riscritta come NX F i + i=1 NX Φ i =0. (7) i=1 R est + R 0 est =0 dove ½ Rest = P N i=1 F i R 0 est = P N i=1 Φ i. (8) Calcoliamo il momento rispetto ad un polo O delle forze agenti sui punti P i ³ P i O Fi + f i + Φ i + φ i =0. (9)

3 7 Sommando sugli N punti NX i=1 ³ P i O Fi + Φ i =0 ovvero M(O),est + M (O),est 0 =0. (10) Ciò implica che Condizione Necessaria per l equilibrio è che (Equazioni Cardinali della Statica) ( R est + R est 0 =0 M (O),est + M (O),est 0. (11) =0 Equilibrio di un Corpo Rigido Consideriamo un Corpo Rigido. Le equazioni (11) sono, non solo necessarie, ma anche sufficienti per l equilibrio. Infatti se il sistema di forze esterne soddisfa il sistema (11) è equipollente al sistema nullo, pertanto non può produrre alcun effetto meccanico sul corpo rigido. Quindi se il corpo è in quiete, permane nello stato di quiete. Condizione Necessaria e Sufficiente 3 per l equilibrio di un Corpo Rigido ( R est + R est 0 =0 M (O),est + M (O),est 0. (12) =0 Queste sono due equazioni vettoriale equivalenti a 6 equazioni scalari ottenibili proiettando il sistema (11) sugli assi di una terna di assi cartesiani. Un corpo rigido libero nello spazio possiede 6 gradidilibertà.supponendoche le forze esterne siano posizionali ½ Rest =0 M (O),est =0. (13) Il sistema di equazioni (13) è formato da 6equazioni in 6 incognite = possiamo determinare le configurazioni di equilibrio. Se il corpo è vincolato e non vi sono vincoli superflui, le equazioni (11) consentono di determinare le configurazioni di equilibrio e le reazioni vincolari in condizioni di equilibrio. (in questo caso il problema è staticamente determinato). Osservazione 2 ( R est + R est 0 =0 M (O),est + M (O),est 0. (14) =0 Se scriviamo anche l equazione M (B),est + M 0 (B),est =0, (15) questa è linearmente dipendente dalle precedenti. Infatti M B = M O + O B R. (16)

4 8 Esaminiamo un C.R. libero nel caso piano R x + R 0 x =0 R y + R 0 y =0 M (O),est + M 0 (O),est =0. (17) Queste sono 3 equazioni indipendenti. Ogni altra equazione ottenibile, ad esempio, annullando il momento rispetto ad un altro polo è combinazione lineare delle precedenti. Infatti M B = M O + O B R. (18) Nelle applicazioni al posto del sistema (17), può essere considerato il sistema M C + M 0 C =0 M B + M 0 B =0 M A + M 0 A =0, (19) dove A, B e C non sono allineati. Oppure può essere considerato il sistema R x + R 0 x =0 M B + M 0 B =0 M A + M 0 A =0, (20) purchè l asse x non sia ortogonale alla retta AB. Questa equivalenza dipende dall identità M A = M B + B A R, (21) la quale ³ esprime la legge di cambiamento del polo. In sostanza se ho due momenti nulli B A R =0. Dimostrazione. Se M A =0e M B =0 = B A R =0 = R = R x i + R y j. (22) Se poniamo B A = l con l k x si ottiene che da B A R =0= lr y =0 = R y =0. (23) Se l asse x fosse ortogonale alla retta AB, nella precedente equazione avremmo R x =0= R 0 x =0e quindi una equazione in meno.

5 9 Reazioni Vincolari Esempio 1 Cerniera. Toglie 1 grado di libertà. Componenti incognite: 2 (24) Esempio 2 Carrello. Vincolo bilatero. Componenti incognite: 1 Esempio 3 Appoggio. Toglie 1 grado di libertà. Componenti incognite: 1 con direzione e verso noti (25) (26)

6 10 Esempio 4 Pattino. Toglie 2 gradi di libertà. Componenti incognite: 2 Esempio 5 Incastro. Toglie 3 gradi di libertà. Si oppone alle rotazioni e alle traslazioni. Componenti incognite: 3 ( 2 componenti della reazione più una coppia di momento Γ (27). (28)