I POLINOMI. La forma normale di un polinomio. Un polinomio è detto in FORMA NORMALE se in esso non compaiono monomi simili.

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1 I POLINOMI Un polinomio è una somma algebrica tra monomi Sono polinomi le seguenti espressioni 2ab + 4bc -5a 2 b + 2ab - 5c 5x + 2y + 8x in esse infatti troviamo somme o differenze tra monomi La forma normale di un polinomio Un polinomio è detto in FORMA NORMALE se in esso non compaiono monomi simili. Esempi: i seguenti polinomi sono in forma normale perchè rispondono alla definizione appena data: 3ab + 5bc -4x 2 y 2x + 5ab 5a 2 b 3 c + 2bc i seguenti, invece, pur essendo polinomi, non sono in forma normale: 2x + 3y - 5x -3x 2 y + 5x 2 y 3xy I polinomi che non sono in forma normale possono essere ridotti alla forma normale applicando le regole e le proprietà già studiate sugli insiemi numerici e le regole di riduzione dei monomi simili per cui possiamo scrivere: 2x + 3y - 5x = 3y - 3x che è in forma normale -3x 2 y + 5x 2 y 3xy = 2x 2 y 3xy che è in forma normale Osservazione Alcuni polinomi sono individuati da nomi particolari, in relazione al numero di monomi che li compongono: BINOMIO: polinomio formato da due monomi TRINOMIO: polinomio formato da tre monomi QUADRINOMIO: polinomio formato da quattro monomi IL GRADO Per ogni polinomio è possibile definire il grado, caratteristica molto importante da usare principalmente per controllare la correttezza delle operazioni. GRADO COMPLESSIVO: il grado complessivo di un polinomio è il grado massimo dei monomi che lo costituiscono.

2 Esempi: Polinomio Grado primo Grado secondo Grado terzo Grado Complessivo 2x 2 yz + 3xy - 5z abc 2ab + 5b GRADO RISPETTO AD UNA LETTERA: il grado rispetto ad una lettera di un polinomio è semplicemente l'esponente più grande di quella lettera in tutto il polinomio. Esempi: Polinomio Grado X Grado Y Grado Z 2x 2 yz + 3xy - 5z x 3 y 2 z 2x 2 y 2 + 5xz Polinomio OMOGENEO Un polinomio in forma normale si dice omogeneo se tutti i monomi che lo compongono hanno lo stesso grado complessivo. Di conseguenza anche il polinomio avrà lo stesso grado dei monomi che lo compongono. Polinomio Grado primo Grado secondo Grado terzo Omogeneo 2x 2 yz + 3xy - 5z NO 4a 2 bc 2a 2 b 2 + 5b SI Polinomio COMPLETO Un polinomio si dice completo rispetto ad una lettera se quella lettera compare elevata a tutti gli esponenti dal grado massimo a 0. Esempi: 2a 2 5a Questo polinomio è un trinomio che contiene solo la lettera a. L'esponente massimo a cui tale lettera risulta elevata è 3. Quindi per essere completo è necessario che siano presenti tutti i monomi dal grado 3 al grado 0 secondo la lettera a. In questo caso possiamo osservare che il polinomio non è completo in quanto manca il di grado 1. 3b 2 + 4b + 2b 3 5 Anche questo polinomio ha esponente massimo 3 per la lettera b, ma, a differenza dell'esempio

3 precedente, sono presenti tutti gli esponenti (3, 2, 1 e 0) per la lettera b. Questo polinomio è, quindi, completo. Osservazione Nel caso in cui un polinomio non fosse completo è possibile completarlo aggiungendo i monomi dei gradi mancanti e ponendo a zero i loro coefficienti. Tale operazione non modifica il valore del polinomio ed è molto utile per effettuare alcune operazioni sui polinomi. 2a 2 5a abbiamo visto precedentemente che tale polinomio non è completo, ma è possibile completarlo aggiungendo il di grado 1. 2a 2 5a a in questo modo il polinomio diventa completo. Polinomio ORDINATO Un polinomio si dice ordinato secondo una lettera se gli esponenti di quella lettera sono ordinati in modo crescente (dal più piccolo al più grande) o decrescente (dal più grande al più piccolo) Esempi: 2a 2 5a Questo polinomio è un trinomio che contiene solo la lettera a. L'esponente massimo a cui tale lettera è elevata è 3. Ma la sequenza degli esponenti (2, 3 e 0) non è ordinata né in senso crescente, né decrescente. Il polinomio non è quindi ordinato. 2b 3 5b + 7 Anche questo polinomio ha esponente massimo 3 per la lettera b, ma, a differenza dell'esempio precedente, la sequenza degli esponenti (3, 1 e 0) è ordinata in senso decrescente. Osservazione Nel caso in cui un polinomio non fosse ordinato è possibile ordinarlo modificando l'ordine dei monomi che lo compongono. Per la proprietà commutativa tale operazione non modifica il valore del polinomio ed è molto utile per effettuare alcune operazioni sui polinomi. 2a 2 5a abbiamo visto precedentemente che tale polinomio non è ordinato, ma è possibile ordinarlo modificando l'ordine dei monomi che lo compongono. -5a 3 + 2a in questo modo il polinomio diventa ordinato in senso decrescente. Oppure 7 + 2a 2-5a 3 in questo modo il polinomio diventa ordinato in senso crescente.

4 Gli zeri di un polinomio Dato un polinomio in una sola lettera viene definito ZERO del polinomio quel valore numerico che, sostituito al posto della lettera, lo fa diventare zero. Per scoprire, quindi, se un valore numerico è uno zero per un certo polinomio è sufficiente sostituirlo al posto della lettera, fare i calcoli e verificare se il valore risultato ottenuto è uguale a zero. Dato il polinomio 2a 2 3a 1, nella sola lettera a possiamo osservare che il valore numerico 1 è uno zero per tale polinomio. Infatti sostituendolo al posto della a otteniamo: P 1 = = = = 0 Il valore 2 NON è invece uno zero per il polinomio dato in quanto sostituendolo al posto della lettera a NON fa diventare zero il polinomio. P 2 = = = = 3 La definizione degli zeri di un polinomio sarà molto importante per alcune operazioni da effettuare sui polinomi. Somma e differenza tra polinomi La somma tra due o più polinomi può essere effettuata sempre. Per sommare due o più polinomi è sufficiente scriverli di seguito e ridurre a forma normale il polinomio così ottenuto, riducendo eventuali monomi simili che possono essere riconosciuti. A=4a 3 2ab 5b 2 e B=5a 3 2b 2 La somma A+B si ottiene scrivendo i due polinomi di seguito 4a 3 2ab 5b 2 5a 3 2b 2 per poi ridurre i monomi simili secondo le regole studiate nei monomi. A B=9a 3 2ab 3b 2 L'opposto di un polinomio è ancora un polinomio che si ottiene cambiando i segni di tutti i monomi presenti nel polinomio di partenza.

5 Dato il polinomio 4a 3 3ax 2a 2 b è possibile definire il suo opposto invertendo i segni di tutti i suoi monomi, ed ottenendo il polinomio 4a 3 3ax 2a 2 b L'opposto di un polinomio è utile per realizzare l'operazione di sottrazione tra polinomi. Infatti così come già visto per i numeri Z, anche per i polinomi l'operazione di sottrazione è definita come somma con l'opposto. Ciò significa che per sottrarre un polinomio da un altro è necessario trasformare la sottrazione in somma con l'opposto e poi effettuare l'operazione di somma. A=4a 3 2ab 5b 2 e B=5a 3 2b 2 La differenza A-B si ottiene calcolando prima di tutto l'opposto del polinomio B (che si scrive -B ) B= 5a 3 2b 2 e successivamente effettuando la somma tra il polinomio A ed il polinomio -B (opposto di B) 4a 3 2ab 5b 2 5a 3 2b 2 anche in questo caso si riducono poi i monomi simili secondo le regole studiate nei monomi. A B= a 3 2ab 7b 2 Prodotto tra e polinomio Ricordiamo che per moltiplicare tra loro due o più monomi è necessario separare il calcolo tra parte numerica e parte letterale. Parte numerica: si effettua l'operazione di moltiplicazione tra le parti numeriche seguendo tutte le regole di calcolo studiate negli insiemi N, Z e Q; come le regole dei segni e le regole per moltiplicare tra loro due frazioni. Parte letterale: si prendono in considerazione le lettere presenti nei monomi da moltiplicare e, nel caso una lettera fosse presente più volte, se ne sommano gli esponenti. Nel caso di moltiplicazione tra un ed un polinomio (formato da due o più monomi) è sufficiente moltiplicare il per ogni del polinomio. Il risultato così ottenuto sarà ancora una volta un polinomio sul quale verificare la possibilità di una riduzione in forma normale. (3a 2 b) * (4a 2 bc + 4ab 2 c) Moltiplico il 3a 2 b per il primo del polinomio 4a 2 bc (3a 2 b) * (4a 2 bc) = 12 a 4 b 2 c Moltiplico il 3a 2 b per il secondo del polinomio 4ab 2 c (3a 2 b) * (4ab 2 c) = 12 a 3 b 3 c

6 Il risultato finale sarà perciò (3a 2 b) * (4a 2 bc + 4ab 2 c) = 12 a 4 b 2 c + 12 a 3 b 3 c che è un polinomio già ridotto in forma normale visto che non contiene monomi simili. Osservazione: Ricordiamo che la moltiplicazione gode della proprietà commutativa, per cui è possibile scambiare l'ordine dei fattori della moltiplicazione senza modificare il risultato. Prodotto tra polinomi Per moltiplicare tra loro due polinomi è necessario moltiplicare ogni del primo polinomio con ogni del secondo polinomio. Il risultato così ottenuto sarà ancora una volta un polinomio sul quale verificare la possibilità di una riduzione in forma normale. (3X + 2Y) * (5X 3Y) Moltiplico il primo 3X per il primo 5X 3X * 5X = 15X 2 Moltiplico il primo 3X per il secondo -3Y 3X * -3Y = -9XY Moltiplico il secondo 2Y per il primo 5X 2Y * 5X = 10XY Moltiplico il secondo 2Y per il secondo -3Y 2Y * -3Y = -6Y 2 Il risultato finale sarà perciò 15X 2-9XY +10XY -6Y 2 che, avendo due monomi simili, può essere ridotto in forma normale: 15X 2 +XY -6Y 2 Se, infine, devo moltiplicare tra loro più polinomi è necessario raggrupparli applicando la proprietà associativa ed effettuando le corrispondenti moltiplicazioni. (a + b) * (c + d) * (e + f) In questo caso eseguo la moltiplicazione tra (a + b) e (c + d) (a + b) e (c + d) = (ac + ad + bc + bd). Tale risultato lo moltiplico poi per il binomio (e + f) (ac + ad + bc + bd) * (e + f) = ace + ade + bce + bde + acf + adf + bcf + bdf Divisione tra polinomio e Ricordiamo che per dividere tra loro due monomi è necessario, ancora una volta, separare il calcolo tra parte numerica e parte letterale. Parte numerica: si effettua l'operazione di divisione tra le parti numeriche seguendo tutte le regole di calcolo studiate negli insiemi N, Z e Q; come le regole dei segni e le regole per dividere tra loro due frazioni. Parte letterale: si prendono in considerazione le lettere presenti nei monomi da dividere e se ne sottraggono gli esponenti. Da ricordare, infine, che l'operazione di divisione tra due monomi non sempre è possibile. Nei

7 monomi che abbiamo studiato, infatti, non sono stati presi in considerazione gli esponenti negativi. Per questo motivo è possibile effettuare l'operazione di divisione tra monomi solo nel caso in cui tutti gli esponenti della parte letterale del primo siano maggiori o uguali dei corrispondenti esponenti del secondo. Nel caso di divisione tra un polinomio (formato da due o più monomi) ed un è sufficiente dividere ogni del polinomio per il. Il risultato così ottenuto sarà ancora una volta un polinomio sul quale verificare la possibilità di una riduzione in forma normale. (12 a 4 b 2 c + 12 a 3 b 3 c) : (3a 2 b) Divido il primo del polinomio 12 a 4 b 2 c per il 3a 2 b (12 a 4 b 2 c) : (3a 2 b) = 4a 2 bc Divido il secondo del polinomio 12 a 3 b 3 c per il 3a 2 b (12 a 3 b 3 c) : (3a 2 b) = 4ab 2 c Il risultato finale sarà perciò (12 a 4 b 2 c + 12 a 3 b 3 c) : (3a 2 b) = (4a 2 bc + 4ab 2 c) che è un polinomio già ridotto in forma normale visto che non contiene monomi simili. Divisione tra polinomi Per poter effettuare la divisione tra polinomi è necessario verificare che il polinomio dividendo sia ordinato in modo decrescente e completo, mentre il polinomio divisore sia ordinato in modo decrescente. Nel caso in cui i polinomi non rispettino tali richieste è necessario ordinarli e, solo nel caso del divisore, completarlo. 1 3x 3 2x 2 4x 4 : x 2 1 Il polinomio dividendo è di terzo grado e risulta essere ordinato in modo decrescente, ed è anche completo. Il polinomio divisore è ordinato in modo decrescente. In questo esempio non è, quindi, necessario modificare nulla per eseguire l'operazione di divisione. 2 x 2 3x 3 3 : 1 x 2 Il polinomio dividendo è di terzo grado ma non è ordinato in modo decrescente, né completo. Per cui è necessario ordinarlo e completarlo. Anche il polinomio divisore non è ordinato, per cui va ordinato. 3x 3 x 2 0x 3 : x 2 1 Una volta sistemati i polinomi dividendo e divisore è possibile iniziare l'operazione di divisione che prevede come risultato un quoziente ed (eventualmente) un resto. E', infine possibile, controllare la

8 correttezza della divisione applicando una regola che vale anche per la divisione tra numeri. Dividendo = (Divisore * Quoziente) + Resto -3x 3 + x 2 + 0x + 3 : -x Eseguo la divisione tra i monomi di grado maggiore del dividendo e del divisore -3x 3 : - x 2 = 3x Moltiplico il risultato ottenuto per tutti i monomi del divisore e riporto i risultati cambiati di segno incolonnandoli ai monomi simili del dividendo -3x 3 + x 2 + 0x + 3 : -x x 3 + 3x 3x Sommo il dividendo con i monomi così ottenuti -3x 3 + x 2 + 0x + 3 : -x = 3x +3x 3 + 3x + x 2 + 3x + 3 Resto Devo ripetere il procedimento finchè il grado del resto è maggiore o uguale al grado del divisore. Eseguo la divisione tra i monomi di grado maggiore del resto e del divisore x 2 : - x 2 = -1 Moltiplico il risultato ottenuto per tutti i monomi del divisore e riporto i risultati cambiati di segno incolonnandoli ai monomi simili del dividendo -3x 3 + x 2 + 0x + 3 : -x = 3x x 3 + 3x + x 2 + 3x x Sommo il resto con i monomi così ottenuti -3x 3 + x 2 + 0x + 3 : -x = 3x x 3 + 3x + x 2 + 3x x x +4 Resto In questo caso il grado del resto (1) è minore del grado del divisore (2) per cui l'operazione termina. Dividendo: -3x 3 + x Divisore: -x Quoziente: 3x - 1 Resto: 3x + 4 Divisione di un polinomio per un binomio usando la tabella di Ruffini In alcuni casi è possibile semplificare il procedimento utilizzando una tabella per effettuare la

9 divisione. Ciò è possibile solo se: Il divisore è un binomio Il divisore è di primo grado Il coefficiente numerico del di primo grado del divisore è 1. Anche in questo caso è necessario ordinare e completare il dividendo, ed ordinare il divisore. (x 3-3x 2 + 3x - 5) : (x - 3) In questo caso il divisore soddisfa le condizioni necessarie per l'applicazione del metodo usando la tabella La prima riga della tabella viene costruita con i coefficienti del dividendo, il termine noto del divisore viene cambiato di segno Al termine della compilazione, nella parte bassa della tabella possiamo leggere i coefficienti numerici del quoziente, ed il resto della divisione. Dividendo: x 3-3x 2 + 3x 5 Grado 3 Divisore: x 3 Grado 1 Quoziente: x Grado 2 Resto: + 4 Numero Osservazione Per questo tipo di divisione accade sempre che il resto sia un numero e che il grado del quoziente sia 1 in meno rispetto il grado del dividendo.