Programma di Fisica Trigonometria essenziale

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1 Programma di Fisica Trigonometria essenziale (Per la scuola superiore) Autore: Enrico Campanelli Prima stesura: Giugno 013 Ultima revisione: Giugno 013 Per segnalare errori o per osservazioni e suggerimenti di qualsiasi tipo, potete contattarmi al seguente indirizzo info@studiobells.it Il titolare dei diritti d autore di quest opera è lo studio didattico Studio Bells nella persona di Enrico Campanelli ( Quest opera è rilasciata secondo i termini della licenza: Creative Commons 3.0 Italia Attribuzione - Non Commerciale - Condividi Allo Stesso Modo (

2 Indice Premessa iii 1 Una nuova unità di misura per gli angoli: il radiante 1 Tre nuove quantità matematiche.1 Seno di un angolo Coseno di un angolo Tangente di un angolo Alcune osservazioni sui valori di seno, coseno e tangente Seno, coseno e tangente come funzioni matematiche Angoli negativi Angoli maggiori di Come si calcolano i valori di seno, coseno e tangente? Applicazione ai triangoli rettangoli 10 4 Alcuni esercizi 1 ii

3 Premessa Questa dispensa è rivolta agli studenti del primo anno di scuola superiore, in particolare del liceo scientifico, che affrontano per la prima volta lo studio della Fisica. In essa si introducono in modo semplice ma rigoroso gli elementi basilari di goniometria, ossia il radiante e le nozioni di seno, coseno e tangente, proposte sia nel senso di funzioni matematiche, sia nel senso più geometrico di rapporto tra segmenti. Il punto di vista geometrico è utile per la risoluzione dei triangoli rettangoli e per la scomposizione dei vettori, argomenti questi, che lo studente incontrerà durante lo svolgimento dei primi esercizi di cinematica e di dinamica. Poiché lo studio organico della goniometria si fa in genere negli anni successivi, ma le nozioni di base risultano utili fin dal primo anno, spesso lo studente proveniente dalla scuola media si trova disarmato di fronte ad alcuni problemi di Fisica, soprattutto se l insegnante non introduce adeguatamente questi argomenti. Questa dispensa dovrebbe aiutare lo studente proprio in questa prima fase. Il linguaggio usato ed i riferimenti nozionistici sono stati scelti in modo da essere adeguati ad uno studente appena uscito dalla scuola media. iii

4 (a) (b) Figura 1: Misurare gli angoli in radianti.(a) Angolo di ampiezza pari ad un radiante. (b) Elementi geometrici per il calcolo della misura di un angolo in radianti. 1 Una nuova unità di misura per gli angoli: il radiante Nella scuola media si è imparato a misurare gli angoli in gradi. Il grado è definito come la 360-esima parte dell angolo giro. In questo modo, l intero angolo giro misura 360, l angolo retto misura 90, l angolo piatto misura 180 e così via. Un altra unità di misura per gli angoli è il radiante, e si indica con rad. Il radiante è definito come quell angolo che, su una circonferenza centrata nel vertice dell angolo, individua un arco di lunghezza pari al raggio. Con riferimento alla figura 1a, nella quale un radiante è rappresentato dall area ombreggiata, si ha øab = OA (1) Usando questa nuova unità, la misura di un generico angolo α è data dal rapporto tra la lunghezza dell arco di circonferenza individuato dall angolo, ed il raggio della circonferenza stessa (vedi figura 1b) AB ø α = () OA Vediamo ora quanto misurano in radianti gli angoli più comuni. L angolo giro, ad esempio, individua un arco lungo quanto l intera circonferenza e quindi angolo giro = πoa OA = π L angolo piatto, invece, individua un arco lungo come mezza circonferenza, quindi angolo retto = πoa OA = π 1

5 L angolo retto individua un arco pari ad un quarto di circonferenza, per cui angolo retto = πoa 4 OA = π Possiamo anche determinare la corrispondenza tra gradi e radianti. Poiché in un angolo giro di 360, ci sono π radianti, per sapere a quanti gradi corrisponde un radiante basta calcolare 1 rad = 360 π 57, (3) Tre nuove quantità matematiche Parleremo ora di tre nuove quantità matematiche che hanno a che fare con gli angoli e sono molto usate nello studio della Fisica. Per descrivere queste nuove quantità è molto utile rappresentare gli angoli sulla circonferenza trigonometrica, detta anche circonferenza goniometrica, cioè su una circonferenza con il centro nell origine di un sistema di assi cartesiani, come abbiamo illustrato nella figura. In genere la circonferenza trigonometrica si prende con il raggio pari ad 1, ma per ora conviene considerarla di raggio qualsiasi. Ad esempio, nella figura, abbiamo rappresentato gli angoli AOP Ö (che chiameremo per brevità α) e BOP Ö (che chiameremo per brevità β) entrambi con il vertice nell origine degli assi ed il primo lato coincidente con il segmento OP. Rappresentando gli angoli in questo modo, si ha che ad ogni angolo possiamo associare il punto sulla circonferenza trigonometrica coincidente con l estremità del secondo lato. Ad esempio, all angolo AOP Ö resta associato il punto A, all angolo BOP Ö resta associato il punto B e così via..1 Seno di un angolo La prima nuova quantità di cui parleremo si chiama seno ed è sempre riferita ad un angolo. Per indicare, ad esempio, il seno di un dato angolo γ, scriveremo sin γ e si leggerà seno di gamma. Il seno di un qualsiasi angolo γ è definito come il seguente rapporto

6 Figura : La circonferenza trigonometrica.. sin γ = coordinata y del punto della circonferenza trigonometrica associato all angolo γ raggio della circonferenza trigonometrica (4) Ad esempio, per gli angoli α e β di figura avremo che sin α = A y OP ; sin β = B y OP (5). Coseno di un angolo L altra quantità importante si chiama coseno ed è anch essa sempre riferita ad un angolo. Per indicare, ad esempio, il coseno di un dato angolo γ, scriveremo e si leggerà coseno di gamma. cos γ Il coseno di un qualsiasi angolo γ è definito come il seguente rapporto 3

7 cos γ = coordinata x del punto della circonferenza trigonometrica associato all angolo γ raggio della circonferenza trigonometrica (6) Ad esempio, per gli angoli α e β di figura, avremo che cos α = A x OP ; cos β = B x OP (7).3 Tangente di un angolo La terza quantità importante si chiama tangente ed è anch essa sempre riferita ad un angolo. Per indicare, ad esempio, la tangente di un dato angolo γ, scriveremo e si leggerà tangente di gamma. tan γ La tangente di un qualsiasi angolo γ è definita come il seguente rapporto tan γ = coordinata y del punto della circonferenza trigonometrica associato all angolo γ coordinata x del punto della circonferenza trigonometrica associato all angolo (8) Per i nostri soliti angoli α e β di figura, avremo quindi che tan α = A y A x ; tan β = B y B x (9) Ora osserviamo che la tangente di un angolo corrisponde al rapporto tra il seno ed il coseno di quell angolo e cioè tan γ = sin γ cos γ (10) Per vedere che il rapporto tra il seno ed il coseno di un angolo è proprio uguale alla tangente di quell angolo, prendiamo per esempio l angolo α e consideriamo la prima delle equazioni (5) e la prima delle equazioni (7). Si trova subito che 4

8 Ay sin α cos α = OP A x OP = A y OP OP A x che coincide proprio con il valore di tan α dato nell equazione (9). = A y A x (11).4 Alcune osservazioni sui valori di seno, coseno e tangente Dalle definizioni di seno, coseno e tangente, è facile dedurre che: i valori del seno, del coseno e della tangente di un angolo possono essere sia positivi che negativi. Ciò si vede facilmente considerando che, riferendosi alla figura, il segno delle coordinate dei punti A e B può essere sia positivo che negativo. Ad esempio sin α è positivo perché A y è positiva, mentre cos β è negativo perché B x è negativa; i valori del seno e del coseno di un angolo sono sempre compresi tra 1 e +1. Questo dipende dal fatto che, ad esempio, il modulo delle coordinate del punto A non può mai essere superiore al valore del raggio della circonferenza, e quindi il loro rapporto è sempre minore o uguale ad 1; i valori della tangente, a differenza di quelli del seno e del coseno, non sono limitati tra 1 e +1 ma possono essere qualsiasi; per gli angoli di 0 e di 90, i valori del seno e del coseno si ricavano facilmente osservando la figura : se fosse α = 0, si avrebbe A y = 0 e quindi sin 0 = 0; inoltre si avrebbe A x = OP e quindi cos 0 = 1 se fosse α = 90, si avrebbe invece A y = OP e quindi sin 90 = 1; inoltre si avrebbe A x = 0 e quindi cos 90 = 0.5 Seno, coseno e tangente come funzioni matematiche Durante la scuola media, probabilmente si è già incontrato il concetto di funzione matematica. Detto molto semplicemente, una funzione matematica è una formula tramite 5

9 la quale ad ogni valore di una variabile, se ne associa uno di un altra variabile. Ad esempio, una funzione matematica è la formula y = 3x (1) tramite la quale ad ogni valore della variabile x si associa il valore della variabile y ottenuto sostituendo al posto della x il suo valore numerico. Ad esempio, al valore x = si associa il valore y = 3 = 1, al valore x = 5 si associa il valore y = 3 5 = 75 e così via. Un semplice tipo di funzione matematica che si è certamente visto in terza media è l equazione di una retta, come ad esempio y = x + 1 (13) Tramite questa funzione, data la coordinata x di un punto P che si trova sulla retta, si può calcolare il corrispondente valore della coordinata y del punto P. La retta rappresentata dalla funzione y = x + 1 si chiama grafico della funzione, ed è composta da tutti i punti del piano cartesiano la cui coordinata y si ricava dalla coordinata x tramite la formula espressa dalla funzione. Anche il seno, il coseno e la tangente di un angolo possono essere visti come funzioni. Se scriviamo ad esempio y = sin x (14) diciamo che essa è la funzione che ad ogni valore dell angolo x, associa il valore y dato dal seno dell angolo x. Analogamente, si possono considerare le altre due funzioni y = cos x y = tan x (15) Queste funzioni si chiamano funzioni goniometriche o anche funzioni trigonometriche. Nella figura 3 sono riportati i grafici delle tre funzioni goniometriche che, ovviamente, non sono delle linee rette ma sono linee curve. I grafici delle funzioni seno e coseno, in particolare, hanno una forma che ricorda le onde del mare e, come già osservato, si vede che i valori di queste due funzioni oscillano sempre tra 1 ed 1. 6

10 (a) Grafico della funzione y = sin x. (b) Grafico della funzione y = cos x. (c) Grafico della funzione y = tan x. Figura 3: Grafici delle principali funzioni goniometriche..6 Angoli negativi Si sarà notato che i grafici in figura 3 sono disegnati anche per valori negativi dell angolo x: ma che significato ha un angolo negativo? Per capirlo, ritorniamo ancora sulla figura della circonferenza trigonometrica. Come si vede, su di essa abbiamo rappresentato gli angoli α e β orientati in verso antiorario, ma è possibile anche orientare gli angoli in verso orario. Per i segni, vale la seguente regola: gli angoli orientati in verso antiorario vengono considerati positivi, mentre quelli orientati in verso orario vengono considerati negativi. Ad esempio, nella figura 4a, abbiamo disegnato un angolo positivo α = 60 ed un angolo negativo β = 45. Per determinare il valore delle funzioni goniometriche per gli angoli negativi, si procede normalmente usando le stesse definizioni viste prima, e cioè dobbiamo considerare le coordinate del punto della circonferenza associato all angolo ed usare le formule (4) e (6). Osserviamo, infine, che può accadere che un angolo positivo ed uno negativo abbiano lo stesso punto associato; in questo caso, le coordinate del punto associato sono le stesse 7

11 (a) Angoli negativi. Figura 4: Angoli positivi e negativi. (b) Angoli diversi con stesso punto associato. per entrambi gli angoli e quindi per essi le funzioni goniometriche assumeranno gli stessi valori. Ad esempio, è facile vedere dalla figura 4b che un angolo positivo α = 315 ed un angolo negativo β = 45 hanno lo stesso punto associato C..7 Angoli maggiori di 360 Si sarà anche notato che i grafici sono disegnati anche per valori dell angolo x che superano il valore π e cioè 360 : ma che significato ha un angolo maggiore di 360? Per capirlo, guardiamo ancora la figura della circonferenza trigonometrica. Se immaginiamo di disegnare un angolo che diventa sempre più grande, dopo aver superato il valore di 360 si vede che il punto associato all angolo ricomincia a percorrere un nuovo giro sulla circonferenza trigonometrica, ritornando sulle stesse posizioni del giro precedente. Ad esempio, se disegnamo un angolo di 390, si vede che il punto associato all angolo andrà ad occupare la stessa posizione del punto associato ad un angolo di 30 (infatti 390 = ), ed un angolo di 450 è equivalente ad un angolo di 90 (infatti 450 = ). In generale, ogni volta che il valore di x supera un multiplo di 360, i valori delle funzioni goniometriche si ripetono uguali. Questa proprietà si esprime dicendo che le funzioni goniometriche sono funzioni periodiche di periodo pari a

12 Tabella 1: Valori delle funzioni seno e coseno per alcuni angoli notevoli. α ( ) α (rad) sin α cos α π 6 45 π 4 60 π π π π π π Come si calcolano i valori di seno, coseno e tangente? A questo punto ci si chiederà come si fa in pratica a calcolare il seno di un angolo e cioè quali calcoli bisogna fare sul valore di un angolo per ricavarne il seno. La risposta è semplice: non è possibile calcolare il seno o il coseno di un angolo tramite addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni o divisioni da eseguire sul valore dell angolo, e quindi tali valori vanno calcolati direttamente a partire dalla circonferenza trigonometrica e misurando con il righello i valori delle coordinate del punto associato ad un angolo e la lunghezza del raggio. Per fortuna, tutto questo lavoro è già stato fatto da qualcuno ed i risultati sono stati inseriti nelle tavole numeriche e nelle memorie delle calcolatrici. Nella tabella 1 sono riportati i valori delle funzioni seno e coseno per alcuni importanti valori dell angolo (nella tabella gli angoli sono espressi sia in gradi che in radianti). Ricordiamo che i valori della funzione tangente possono essere ricavati semplicemente facendo il rapporto tra i valori del seno e del coseno. Ad esempio, per un angolo di 30 (ossia di π rad), si ha 6 tan π 6 = sin π 6 cos π 6 = 1 3 = 1 =

13 Se usiamo la calcolatrice, poiché gli angoli si possono misurare sia in gradi che in radianti, bisogna prima impostarla nella modalità giusta, e cioè nel modo gradi se inseriamo il valore dell angolo in gradi, oppure nel modo radianti se usiamo i radianti. Tale impostazione si fa tramite il tasto MODE presente sulla calcoltrice (i dettagli su come si fa dipendono dal modello di calcolatrice) e la modalità in cui si trova la calcolatrice è indicata dalla scritta DEG (per il modo gradi ) o RAD (per il modo radianti ) che compare nella parte bassa o alta del display. Se ad esempio vogliamo calcolare sin 30, dobbiamo prima impostare la calcoltrice nel modo gradi, poi scrivere 30 e poi premere il tasto SIN (oppure, a seconda del modello di calcolatrice, prima premere il tasto SIN e poi scrivere 30) ed otterremo il risultato sin 30 = 0, 5 Se invece vogliamo fare lo stesso calcolo usando i radianti, osserviamo innanzi tutto che 30 corrispondono a π radianti e cioè a circa 0, 536 radianti. Impostiamo poi la calcoltrice 6 nel modo radianti, eseguiamo il calcolo inserendo il valore in radianti ed otteniamo sin 0, 536 = 0, 5 Come si vede, il valore che si ottiene per il seno è ovviamente sempre lo stesso, indipendentemente dall unità di misura usata. I tasti da usare per le altre due funzioni goniometriche sono COS per il coseno e TAN per la tangente. 3 Applicazione ai triangoli rettangoli Una applicazione molto utile delle funzioni goniometriche è quella ai triangoli rettangoli. Riferiamoci ancora alla figura e consideriamo il triangolo rettangolo OA x A, che ha per ipotenusa il segmento OA e per cateti i segmenti OA x e A x A (ricordiamo che A x è la coordinata x del punto A ma qui abbiamo usato il simbolo A x per indicare anche la proiezione del punto A sull asse x). Se invertiamo le prime equazioni delle (5) e delle (7), si trova subito che A y = OA sin α A x = OA cos α (16) 10

14 Figura 5: Relazioni tra le funzioni seno e coseno e gli elementi di un triangolo rettangolo. Guardando la figura, si vede che il valore di A y corrisponde alla lunghezza del cateto A xa e cioè del cateto opposto all angolo α, mentre il valore di A x corrisponde alla lunghezza del cateto OA x e cioè del cateto adiacente all angolo α. Possiamo quindi ricavare queste due importantissime regole, valide per i triangoli rettangoli: il cateto opposto ad un angolo acuto è uguale al prodotto dell ipotenusa per il seno dell angolo il cateto adiacente ad un angolo acuto è uguale al prodotto dell ipotenusa per il coseno dell angolo Per aiutare la memoria a ricordare queste due importantissime relazioni, e cioè per ricordarci che per il cateto opposto ci vuole il seno e per il cateto adiacente ci vuole il coseno, possiamo sostituire il termine adiacente con il termine accostato, poiché esso ci ricorda la parola coseno. Possiamo quindi scrivere: cateto opposto = ipotenusa sin α, (17) cateto accostato = ipotenusa cos α (18) La figura 5 può aiutare ulteriormente a imprimere nella mente queste relazioni. In essa abbiamo indicato con a l ipotenusa e abbiamo mostrato entrambi gli angoli acuti. Notiamo come un cateto possa essere calcolato usando la funzione seno oppure la funzione coseno a seconda che si usi un angolo acuto oppure l altro. 11

15 C L L V A α L O B Figura 6: La salita e gli spostamenti orizzontale e verticale possono essere rappresentati tramite i lati di un triangolo rettangolo. 4 Alcuni esercizi Mostreremo ora alcune importanti applicazioni delle formule viste qui sopra. Esercizio Una salita ha una pendenza di α = 30 rispetto all orizzontale ed è lunga L = 10 m. Calcolare di quanto si sposta in orizzontale ed in verticale un auto che percorre l intera salita. Soluzione In figura 6 è rappresentata schematicamente la salita. Si vede subito che il problema si descrive bene tramite un triangolo rettangolo la cui ipotenusa è la salita ed i cui cateti sono gli spostamenti richiesti dal problema. Lo spostamento orizzontale L O corrisponde al segmento AB, che è il cateto accostato all angolo α, e quindi si trova subito (usando i valori della tabella 1) Lo spostamento verticale L V L O = L cos α = L opposto all angolo α, richiede la funzione seno 3 3 = 10 = 5 3 = 8, 66 m corrisponde invece al segmento BC che, essendo il cateto L V = L sin α = L 1 = 101 = 5 m 1

16 R F α F 1 Figura 7: Le forze F 1 ed F e la loro risultante R possono essere rappresentate tramite i lati di un triangolo rettangolo. Esercizio La forza F 1 (orizzontale) di intensità F 1 = 15 N e la forza F (verticale) hanno per risultante la forza R che forma un angolo α = 60 rispetto all orizzontale. Calcolare l intensità di R e di F. Soluzione In figura 7 sono rappresentate le forze F 1 ed F e la loro risultante R ottenuta con il metodo punta-coda. Si vede subito che il problema si descrive bene tramite un triangolo rettangolo la cui ipotenusa è R ed i cui cateti sono F 1 ed F. Poiché F 1 è il cateto accostato all angolo α, si ha che F 1 = R cos α Da questa equazione, possiamo ora ricavare facilmente R (dividiamo entrambi i membri per cos α) R = F 1 cos α = F 1 cos 60 = 15 1 = 15 = 30 N Ora che conosciamo R, possiamo ricavare F osservando che essa è il cateto opposto all angolo α e quindi F = R sin α = R sin 60 = 30 3 = 15 3 = 5, 98 N 13