Nome.Cognome. 12 Febbraio 2009 Classe 4D. VERIFICA di MATEMATICA

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1 Nome.Cognome. Febbraio 009 Classe D VERIFIC di MTEMTIC Problemi ) Nel triangolo C si sa che ˆ 7 cos C =, tan C ˆ = e CM = a, essendo CM l altezza relativa ad. Determinare le misure dei lati del triangolo. ) Nel triangolo C si sa che = a e C ˆ = ˆ C. Conduci una semiretta r avente origine, che incontri il lato C in P e tale che P ˆ = Pˆ. Posto C ˆ =, determina l espressione di P H f ( ) = + + essendo H la distanza di dalla semiretta r. Traccia il grafico della C P funzione trovata. ) Sia C un triangolo equilatero di lato l. Considera un punto P Sulla semicirconferenza di diametro C, esterna al triangolo. Determina in funzione di = Pˆ C l espressione di: f ( ) = P + PH, essendo PH la distanza di P dalla retta C. Qual è il massimo valore di f()? ) Sia M il punto medio del segmento = a. In uno dei due semipiani da, si fissi un punto P tale che cos( PM ˆ ) =. Posto P M ˆ =, determina per quali valori P + PM = a. Disequazioni cos + sin ) < 0 tg + sin cos ) 0 cos cos + ) sin cos < Grafici Per ciascuna delle seguenti funzioni traccia il grafico e determina massimo e minimo (quando esistono) ) sin + sin = ) = cos ) = cos( ) sin() sin Verifica di trigonometria febbraio

2 Soluzioni verifica di matematica D febbraio 009 Problema Nel triangolo C si sa che ˆ 7 cos C =, tan C ˆ = e CM = a, essendo CM l altezza relativa ad. Determinare le misure dei lati del triangolo. Utilizzando la calcolatrice è possibile vedere che C ˆ 7, 7 e C ˆ, e quindi fare il disegno corrispondente. C CM C = sin C ˆ M = CM tan C ˆ (CM rettangolo) a CM C = sin C ˆ M = CM tan C ˆ (CM rettangolo) M Dalle relazioni tra funzioni goniometriche: ˆ ˆ sin C = cos ˆ C = ; ˆ sin C tan C = = ; sin C ˆ = cos C ˆ 7 7 quindi: C = a ; C = a ; M = a ; M = a ; = a tan C ˆ + tan C ˆ = Problema Nel triangolo C si sa che = a e C ˆ = ˆ C. Conduci una semiretta r avente origine, che incontri il lato C in P e tale che P ˆ = Pˆ. Posto C ˆ =, determina l espressione di P H f ( ) = + + essendo H la distanza di dalla semiretta r. Traccia il grafico della funzione C P trovata. C P H Posto C ˆ = si ha 0 < < (poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è ) a H = sin = a sin (H rettangolo) a P = = (P isoscele) cos cos asin C = sin = (C) sin( ) sin() sin() Sostituendo nella relazione, semplificando il parametro a si ottiene: f ( ) = + sin cos +. cos sin Ricordando la formula di duplicazione del seno si può scrivere: sin( ) = sin( ) = sin() cos() sin()cos() f ( ) = + sin() + = cos() + sin() +. sin() Verifica di trigonometria febbraio

3 Utilizzando il metodo dell angolo aggiunto si ha: f ( ) = 0 cos( arccos ) + = 0 cos ( arccos ) + 0 ( arccos 7, 7 ) 0 0 disegno il grafico di cos, contraggo orizzontalmente di sposto a sinistra l asse verticale di arccos 0 dilato verticalmente di 0 / / / / / / abbasso l asse orizzontale di massimo: 0 + minimo: 0 + Problema Sia C un triangolo equilatero di lato l. Considera un punto P Sulla semicirconferenza di diametro C, esterna al triangolo. Determina in funzione di = Pˆ C l espressione di: f ( ) = P + PH, essendo PH la distanza di P dalla retta C. Qual è il massimo valore di f()? l H C Posto Pˆ = C si ha: 0 P = C cos = l cos (PC rettangolo) PH = P sin = l cos sin (PH rettangolo) P = + P P cos + = (P) = l + l cos 8l cos cos + P f ( ) = l = l = l + l + l + cos cos 8l 8l Sostituendo nella funzione di ha: cos cos + + l cos sin = cos cos sin + l ( + ) l sin cos = l + ( + ) l sin() cos sin = Senza bisogno di disegnarla, la funzione ( ) l ( ) l sin() f ( ) = ( + ) l quando sin( ) =, cioè solo in = f = + + avrà massimo pari a (tenendo conto delle limitazioni) Verifica di trigonometria febbraio

4 Problema Sia M il punto medio del segmento = a. In uno dei due semipiani da, si fissi un punto P tale che cos( PM ˆ ) =. Posto P M ˆ =, determina per quali valori P + PM = a. Utilizzando la calcolatrice P ˆM = γ e dalle relazioni tra le funzioni goniometriche: sin( PM ˆ ) = P Posto P M ˆ = si ha: 0 γ M a P = sin( ( + γ)) = sin( + γ) (PM) sin γ M a MP = sin = sin (PM) a M a sin γ Sostituendo nella relazione si ha: P + PM = a a sin( + γ) + a sin = a utilizzando la formula di addizione del seno: ( sin + cos ) + sin = ; sin + cos = si ottiene così un equazione lineare che si può risolvere con il metodo della circonferenza: Y = X + X + Y = di conseguenza si hanno le soluzioni: = k = + k, accettabili sono solo = 0 = cos + sin Disequazione < 0 tg + La disequazione è fratta, si studiano quindi separatamente numeratore e denominatore: cos + sin > 0 cos + + sin > 0 utilizzando la formula di bisezione: tan > tan > La prima disequazione è lineare, si può risolvere facilmente con il metodo della circonferenza: Y > X + Y = quindi la soluzione è: γ Verifica di trigonometria febbraio

5 7 + k < < + k + k < < + k + k sin cos Disequazione 0 cos cos + La disequazione è fratta, si studiano quindi separatamente numeratore e denominatore: sin cos cos 0 la prima disequazione è omogenea, la seconda è di grado in cos: cos + > 0 tan 0 tan cos < cos > tan La soluzione è: 7 + k < < + k + k < < + k + k < + k Disequazione sin cos < La disequazione con il modulo è equivalente a: < sin cos <, sin > cos cioè si tratta di un sistema di due disequazioni lineari:, sin < cos + Y > X risolvendolo con il metodo della circonferenza si ha: Y < X + X + Y = La soluzione è: k < < + k sin + sin Grafico = per disegnare la funzione è necessario sin semplificare, eseguendo per esempio la divisione con la regola di Ruffini. Si ottiene quindi: sin + sin (sin + )(sin ) = = = sin sin (sin ) Con la condizione + k. / / / / traccio il grafico di sin, dilato verticalmente di faccio il simmetrico rispetto all asse delle ascisse, alzo l asse orizzontale di 7 Verifica di trigonometria febbraio 8 9-0

6 data la C.E. elimino i punti corrispondenti a massimo:- minimo: non c è = + k Grafico = cos Occorre prima abbassare di grado, utilizzando le formule di duplicazione: + cos() = = cos() disegno il grafico di cos, contraggo orizzontalmente di alzo l asse orizzontale di ribalto le parti negative (cioè tutto) massimo: minimo: / / Grafico = cos( ) sin() Occorre prima utilizzare il metodo dell angolo aggiunto per riscrivere la somma di seno e coseno: = cos( + ) = cos ( ) + / / / / disegno il grafico di cos, contraggo orizzontalmente di dilato verticalmente di sposto l asse verticale a destra di alzo l asse orizzontale di massimo: minimo: - Verifica di trigonometria febbraio