c a (seno di alfa); (coseno di alfa); (tangente di alfa).

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Lorenzo Pala
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1 Sito Personle di Ettore Limoli Lezioni di Mtemtic Prof. Ettore Limoli Sommrio Elementi di trigonometri... 1 Angoli e loro misur... Funzioni e loro grfici... 4 Usre i grfici... 5 Funzioni inverse delle funzioni trigonometriche... 6 Esempio di ppliczione ll fisic Elementi di trigonometri Dto il tringolo rettngolo ABC, retto in C, si indichi: con l ngolo di vertice A, con l ngolo di vertice B, infine con l ngolo retto di vertice C. Inoltre si l misur del lto opposto ll ngolo, con b l misur del lto opposto ll ngolo, con c l misur dell ipotenus (lto opposto ). B c A b C Ponimo per definizione: sen c b cos c sen tn c cos b c c c b b (seno di lf); (coseno di lf); (tngente di lf). D queste definizioni discendono subito i seguenti teoremi sui tringoli rettngoli: 1) = c sen ; ) b = c cos ; 3) = b tn., Espressi prole i teoremi diventno: 1

2 1) In un tringolo rettngolo, un cteto è ugule ll ipotenus per il seno dell ngolo opposto. ) In un tringolo rettngolo, un cteto è ugule ll ipotenus per il coseno dell ngolo dicente. 3) In un tringolo rettngolo, un cteto è ugule ll ltro cteto per l tngente dell ngolo opposto. Angoli e loro misur In un sistem di riferimento crtesino ortonormle, considerimo l circonferenz di centro l origine e rggio unitrio e un suo punto P del primo qudrnte. Si P l proiezione di P sull sse x e P l proiezione di P sull sse y. Nel tringolo rettngolo OPP, retto in P, per o teoremi precedenti, ricordndo che OP =1 (rggio dell circonferenz), si h: OP = cos OP = P P = sen Pertnto il punto P h coordinte: P (cos, sen ); dove è l ngolo di vertice O (vedi figur). y P P O P A x Si A (1, 0) il punto in cui l circonferenz tgli il semisse positivo delle scisse, e P un qulsisi punto dell circonferenz. Convenimo che A si l origine degli rchi AP, considerti prtire d A, percorrendo l circonferenz in senso ntiorrio (verso positivo di percorrenz), fino rggiungere P. Indicto con l ngolo l centro A(O)P, convenimo che il punto P, qulsisi si l su posizione sull circonferenz, bbi coordinte (cos, sen ) e si positivo o negtivo second che si percorre, rispettivmente, l circonferenz in senso ntiorrio oppure orrio. Un ngolo mggiore di un ngolo giro corrisponderà llo stesso ngolo che si ottiene sottrendo o ggiungendo 1 o più ngoli giri. Ad esempio: un ngolo di 400 è identico uno di 40, essendo = 40. Lo stesso si f per i vlori negtivi degli ngoli. Esistono vrie unità di misur degli ngoli, in prte legte l modo come sono trti i goniometri.

3 + + + sen sen cos cos cos sen 0 < < < < < < 70 + sen + cos cos L misur di un ngolo può superre l ngolo giro. sen 70 < < < < 450 In mtemtic pur o in fisic teoric, gli ngoli vengono misurti in rdinti. Utilizzndo quest unità di misur l ngolo pitto misur rdinti, quindi l ngolo retto misur / rd (rdinti). Quest misur h scrso vlore prtico: un ngolo pitto misur ppen 3,14 rd e quindi non consente di trre un goniometro in modo che risulti di semplice lettur. Un sistem più semplice e quello di trre i goniometri usndo i grdi decimli. Secondo quest unità di misur un ngolo retto è di 90. Il grdo è poi suddiviso in decimi, centesimi, e così vi, come si f per l mggior prte delle ltre misure. Un vrinte è dt di grdi sessgesimli; in cui il grdo e diviso in 60 primi e il primo in 60 secondi e l ngolo retto è sempre di 90. Altre unità di misur, usti in mbiti professionli specifici sono: i grdi centesimli, in cui l ngolo retto misur 100 ; e gli ettogrdi, in cui l ngolo retto misur Queste unità consentono di trre più semplicemente i goniometri ottici e, in lcuni csi, il seno o l tngente di un ngolo possono essere pprossimti con l misur dell ngolo stesso (per ngoli di piccol pertur). Sono usti, rispettivmente, di geometri e di militri. Le clcoltrici scientifiche (regoli clcoltori elettronici) vnno settte in modo d lvorre in grdi decimli (DEG), o in grdi centesimli (GRAD) o in rdinti (RAD). Offrono inoltre l possibilità di effetture conversioni in utomtico e di convertire, inoltre, i grdi sessgesimli in grdi decimli. Nell seguente tbell sono riportte le vrie modlità di funzionmento di un clcoltrice scientific. Simbolo Denominzione Angolo retto DEG Grdi decimli 90 GRAD Grdi centesimli 100 RAD Rdinti / rd 3

4 Funzioni e loro grfici Un legge che ssoci d ogni x (vribile indipendente) di un certo insieme un unico y (vribile dipendente) di un ltro insieme è dett funzione. Se si compil un tbell in cui per ogni vlore di x si clcol il corrispondente vlore di y e si rppresentno tutte le coppie ordinte (x, y) così ottenute su un digrmm crtesino, si ottiene un curv che è dett grfico dell funzione y = f(x) [leggi: effe di x]. Come esempio riportimo il grfico dell funzione y = x, che è l legge che ssoci d ogni numero il suo qudrto. x y Anlogmente si costruiscono i grfici delle funzioni goniometriche: seno, coseno e tngente. Grfico dell funzione y = sen(x) Grfico dell funzione y = cos(x) Grfico dell funzione y = tn(x) 4

5 Per ottenere il grfico di un funzione ci si può servire del foglio elettronico di clcolo o di progrmmi dedicti come Derive. Vi sono pure clcoltrici scientifiche in grdo di visulizzre il grfico di funzioni. Usre i grfici Per leggere su di un grfico il vlore y che un funzione ssume in corrispondenz di un dto vlore x, si proced come segue. y R Q x P A prtire dl punto P di sciss x, sull sse x, si trcci l perpendicolre ll sse pssnte per P. Dett perpendicolre incontrerà il grfico in un punto Q. A prtire d questo punto si trcci l perpendicolre ll sse y che intercetterà un punto R su detto sse. L ordint y del punto R, così individuto, è il vlore di y cercto. Per clcolre i vlori dell funzione invers x = f -1 (y) si prtirà dl punto R di ordint y, e procedendo l contrrio, si determinerà il punto P e il vlore x d cui y proviene. È tuttvi possibile che, procedendo l contrrio, non si bbi che fre con un funzione e che vi sino più vlori di x che hnno per corrispondente y. Se d esempio considerimo l funzione y = x, che ssoci d ogni x il suo qudrto y. Il grfico di dett funzione è riportto sotto. Quest curv si chim prbol. Se, d esempio, voglimo spere il vlore qul è quel numero il cui qudrto è 4, ssegnimo y = 4 e, dl grfico, osservimo che ci sono due x distinti che lo ssocino, e precismente x = e x = -. Diftti: (-) = 4, = 4. Il problem, in questo, st nel ftto che le clcoltrici possono dre, come risultto, un unico vlore. Il discorso è nlogo per le tvole di clcolo. Per ovvire questo inconveniente si conviene, qundo si usno le corrispondenze inverse, di restringere l funzione vlori di x cui corrisponde o solo un trtto crescente dell curv o solo un trtto decrescente. In questo modo ogni y proviene d un unico vlore di x. 5

6 Nel precedente esempio si suppone che x si non negtivo, per cui, d esempio, il vlore 4 srà il corrispondente di x = soltnto. Pertnto l clcoltrice ci dirà semplicemente che 4 ; toccherà noi spere che c è nche il vlore -. Funzioni inverse delle funzioni trigonometriche Le funzioni trigonometriche seno, coseno e tngente non sono invertibili, nel senso che fissto un y è immedito osservre che proviene d infiniti vlori dell x. Allor si conviene di utilizzre le seguenti restrizioni invertibili. Intervllo funzione rdinti grdi seno -/ x / -90 x 90 coseno 0 x 0 x 180 tngente -/ < x < / -90 < x < 90 Di seguito riportimo i grfici delle suddette funzioni ristretti ll intervllo sopr indicto (misure in rdinti). Grfico dell funzione seno Grfico dell funzione coseno 6

7 Grfico dell funzione tngente Le funzioni inverse di seno, coseno e tngente prendono, rispettivmente, il nome di rcoseno, rcocoseno e rcotngente. Nelle clcoltrici sono dte dgli stessi tsti di seno, coseno e tngente in second funzione e sono indicte, rispettivmente, come: sin -1, cos -1, tn -1. Esempio di ppliczione ll fisic. Si dto il vettore v di componenti (5, ) in un dto riferimento. Si clcoli il modulo v e l nomli di detto vettore. 3 1 v Indichimo con v x l componente di v secondo l sse x e v y l componente di v secondo l sse y. Applicndo il teorem di Pitgor l tringolo colorto in figur ottenimo il modulo del vettore v. v v x vy 5 9 5,4. Per ottenere l nomli pplichimo il teorem 3 sui tringoli rettngoli si h: vy tg 0,4 vx 5 d cui rctg 0,4 1, 8. 7

8 Ripetendo lo stesso esercizio per il vettore v (-5, ), vremo lo stesso modulo, m differente nomli. 3 v Inftti: vy tg 0,4 vx 5 rctg ( 0,4) 1, 8 M, essendo v x < 0, ssumeremo come nomli il vlore: = -1, = 158,. Essere l componente secondo l sse x negtiv vuol dire che il vettore pprtiene l o l 3 qudrnte. Poiché l invers dell funzione tngente restituisce solo ngoli che stnno nel 4 (- 90 < < 0 ) o nel 1 qudrnte (0 < < 90 ) il vlore v corretto ggiungendo 180. Ettore Limoli 8

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