Angoli e loro misure

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1 Angoli e loro misure R s Unità di misura: gradi, minuti, secondi 1 o =60' 1'=60'' Es: 35 o 41'1'' radianti α(rad) s R Angolo giro = 360 o = R/R = rad R=1 arco rad Es.: angolo retto R Arco 4 : se R=1 π R ra d Angolo giro 360 o 70 o 3/ piatto 180 o retto 90 o / 60 o /3 45 o /4 30 o /6

2 Angoli e loro misure Conversione da gradi a radianti Quindi: α :360 = α rad : π o rad rad o o o

3 Conversione gradi radianti 360 o 1 rad : x gradi = : 360 o 8 o rad? : 360 o = x : 8 o o 360 x 8 o 8 o 360 o x x o o 0,078 0,49

4 Angoli e loro misure Determiniamo a) La misura in gradi dell angolo che misura π/3 rad b) La misura in radianti dell angolo che misura 135 L ampiezza di un angolo è 75,347, esprimila in gradi, primi e secondi e in radianti.

5 Angoli e loro misure Come usare la calcolatrice: la lettera D (degree) sta per gradi la lettera R (radiant) sta per radianti

6 -1 1 O Le funzioni goniometriche y cos 1 x cos sen 0 o o = /6 3 / 1/ 45 o = /4 60 o = /3 1/ / / 3 / 90 o = / o = o = 3/ sen θ,cos θ 1 sen +cos =1

7 Le funzioni goniometriche sen θ cos θ tg θ

8 Le funzioni goniometriche Calcoliamo con la calcolatrice e rappresentiamo gli angoli sulla circonferenza goniometrica sin(5,6) cos(15,34) tan(63,9) 3 sin 5 cos(,3) tan(,78)

9 Proprietà Z k k Z k k Z k k con tan ) tan( con cos ) cos( con sin ) sin( 1 sin cos

10 Grafici delle funzioni goniometriche La funzione seno

11 Grafici delle funzioni goniometriche La funzione coseno

12 Grafici delle funzioni goniometriche La funzione tangente

13 Triangoli Triangolo rettangolo Teorema di Pitagora c a a b c b a b c c a b Triangolo rettangolo isoscele Triangolo equilatero l d d l d l l 60 o h l h l l 4 3 l l 45 o 60 o l/ 60 o l/

14 I teoremi sui triangoli rettangoli In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale a quella dell ipotenusa moltiplicata per il seno dell angolo opposto al cateto, o moltiplicata per il coseno dell angolo acuto adiacente C AC = CB sen AB = CB cos AC +AB =CB (sen +cos )=CB A B

15 I teoremi sui triangoli rettangoli In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale a quella dell altro cateto moltiplicata per la tangente dell angolo opposto al primo cateto AC = CB sen AB = CB cos AC +AB =CB (sen +cos )=CB A B AC AB CBsen CBcos tg AC = AB tg

16 Esercizi Determina la lunghezza dell ipotenusa di un triangolo rettangolo, in cui un angolo acuto è 5, sapendo che il perimetro del rettangolo è 5 cm. Nel triangolo rettangolo ABC l ipotenusa BC è lunga 6 cm e tan( ABC ˆ ) Determina perimetro e area del triangolo.

17 Grandezze vettoriali Una grandezza vettoriale, o semplicemente vettore, è una grandezza descritta in modo completo dall insieme di tre informazioni: il modulo, o intensità, ossia il valore della misura in relazione all unità propria della grandezza la direzione il verso A

18 Esempi Grandezze scalari massa lunghezza tempo temperatura energia potenza carica elettrica Grandezze vettoriali forza spostamento velocità accelerazione quantità di moto momento angolare campo elettrico

19 Moltiplicazione di un vettore per uno scalare Il prodotto un vettore che ha: di un numero k per un vettore è o il modulo uguale al prodotto di A per il valore assoluto di k o la stessa direzione del vettore o il verso di negativo B A ka A se k è positivo e verso opposto se k è A

20 Addizione e differenza di vettori La somma di due vettori è il vettore che corrisponde all azione complessiva di essi Due metodi metodo punta-coda metodo del parallelogramma Il vettore differenza di due vettori è la somma del primo con l opposto del secondo

21 Somma di vettori Es: spostamento da A a C passando per B Metodo grafico (regola del parallelogramma) B a A C D AB + BC = AB + AD = AC b a + b = c

22 Differenza tra vettori Metodo grafico (regola del parallelogramma) a b = c -b c a b c a b c a b = a + ( -b ) = c b + c = a

23 Componenti di un vettore Nel piano cartesiano bidimensionale (x,y) un vettore può essere scomposto nelle sue due componenti ortogonali v x e v y v x = v cos v y = v sen y v x + v y = = v cos + v sen = = v (cos +sen ) = v v y v v x x v v v x vy

24 Somma e differenza y v 1y v 3y o v 1 v 1x Somma di vettori v x v 3 v 3x v v 3 = v 1 + v v 3x = v 1x + v x v 3y = v 1y + v y 3 v3 v3x v3y v y v tg α v v 3y 3x Differenza di vettori v 3 = v 1 - v v 3x = v 1x - v x v 3y = v 1y - v y

25 Il prodotto scalare Il prodottoscalare di due vettori A e B è il numero AB cos θ, dove θ è l' angolo formato dai due vettori Proprietà commutativa A B B A distributiva rispetto all addizione ( A B)C AC B C

26 Il prodotto scalare b a b = a b cos b' a b' = b cos : componente di b lungo a Es.: = 0 o a b a b = ab cos f=ab = 90 a b a b = ab cos =0 = 180 a b a b = ab cos = ab

27 Esempio Il lavoro è una grandezza scalare ottenuta a partire da due vettori: una forza e uno spostamento L F s Fs cos

28 Prodotto vettoriale Il prodottovettoriale di due vettori A e B è il vettorec A B che ha : o modulo C AB sin θ, dove θ 180 è l' angolo formato dai due vettori direzione perperpendicolare al piano che contiene i vettori A e B verso dato dalla regola della mano destra, cioé il verso uscente dal palmo della mano destra seil pollice è postonel verso di A e le altre dita nel verso di B

29 Prodotto vettoriale c c = a b a Direzione di c: ortogonale ad a e b b b" Modulo di c : c = a b sen = a b b b a b'' b : componente di b ortogonale ad a verso di avanzamento di una vite che ruota sovrapponendo a su b Verso di c:

30 Regola della mano destra Prima formulazione Si dispone il pollice lungo il primo vettore Si dispone l indice lungo il secondo vettore Il verso del medio individua il verso del prodotto vettoriale Seconda formulazione Si chiude a pugno la mano destra mantenendo sollevato il pollice Le dita chiuse a pugno devono indicare il verso in cui il primo vettore deve ruotare per sovrapporsi al secondo in modo che l angolo θ di rotazione sia minore di 180 Il verso del pollice individua il verso del prodotto vettoriale a b b a b b a a