F 1 F 2 F 3 F 4 F 5 F 6. Cosa è necessario per avere una rotazione?

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1 Cosa è necessaio pe avee una otazione? Supponiamo di vole uotae il sistema in figua intono al bullone, ovveo intono all asse veticale passante pe, usando foze nel piano oizzontale aventi tutte lo stesso modulo ma diezione e punto di applicazione divesi. F F F 3 F 4 F 5 F 6 sseviamo che: a) la foza F non genea otazione b) la foza F fa uotae il sistema, c) la foza F 3 fa uotae il sistema ma più facilmente che nel caso b d) la foza F 4 fa uotae il sistema ma più facilmente che nel caso c e) la foza F 5 fa uotae il sistema ma più difficilmente che nel caso d, f) la foza F 6 non genea otazione Cosa cambia fa i casi a,b,c,d? la distanza () fa il punto di applicazione della foza ed il punto intono al quale il sistema può uotae. Se =0 (caso a) non c è otazione Cosa cambia fa i casi d,e,f? la diezione della foza ispetto all asse delle distanze. Se la foza è paallela all asse (caso f) non c è otazione. Pe avee le otazioni sono impotanti,: a) l intensità della foza, b) la distanza fa il punto di applicazione e il punto c) la diezione della foza in una specifica combinazione che pende il nome di momento di una foza.

2 Definizione di momento di una foza Data una foza F applicata in un punto P, detto il vettoe posizione di P ispetto al punto fisso, si definisce momento della F ispetto al punto il vettoe τ = F z τ P F y x τ = Fsen = ( sen ) F = F Si sottolinea che se F // τ = 0 Equazione della dinamica di otazione di un punto mateiale. Consideiamo un punto mateiale di massa m in moto cicolae lungo una ciconfeenza di aggio e cento. Se vogliamo vaiae il modulo della velocità di m, dobbiamo agie con una foza F che abbia una componente tangente alla taiettoia F t =Fsen. F t F n Pe la legge della dinamica del punto: F t = ma t con a t = α F t = mα Fsen =mα moltiplicando pe Fsen =mα icodando che τ = F τ = Fsen Segue τ = m α ossia il momento della foza, ispetto ad, applicato a m è effettivamente esponsabile della sua acceleazione angolae. (equazione della dinamica di otazione di un punto). Pe poseguie è necessaio definie il momento della quantità di moto.

3 Definizione di momento della quantità di moto Dato un punto mateiale di massa m e velocità v, posto in un punto P, e detto il vettoe posizione di P ispetto al punto fisso, si definisce momento della quantità di moto di m, ispetto al punto fisso, il vettoe l = p con p = mv. z l P p y x l = psen = ( sen ) p = p si sottolinea che se p // l = 0 elazioni fa τ ed l pe un punto mateiale. Se su un punto mateiale di massa m agisce una foza F, la velocità v della massa cambia e quindi cambia la sua quantità di moto p dp (secondo la elazione F = ); di conseguenza anche il momento della quantità di moto l ; ma cosa è esponsabile delle vaiazioni di l nel tempo? l = p con p = mv, deivando ispetto a t dl d d dp d dp = ( p) = p + dove si osseva che = v e = F dl = v p + F. ssevando che v p = v mv = 0 peché v e m v sono due vettoi paalleli e che F = τ abbiamo che: dl () = τ ossia le vaiazioni di l pe un punto mateiale sono deteminate da τ, momento delle foze agenti su esso. 3

4 Momento angolae totale di un sistema e sue vaiazioni nel tempo Dato un sistema di N punti mateiali, il momento angolae totale L è definito come: L = l N i. Vogliamo capie cosa detemina le vaiazioni di L nel tempo. Consideiamo il sistema minimo: due paticelle, m ed m, inteagenti fa loo e con il moto eno. m F, F F m F, F = F Il momento angolae totale L è L = l + l dl dl dl dl = + = τ + τ ma τ = e τ = F, F ossia dl = F + F, F quindi icodando F = F e posto τ = F, dl =τ ( ) F dove il secondo temine è il podotto vettoiale fa vettoi paalleli, petanto nullo. dl Genealizzando, pe un sistema di N punti mateiali, abbiamo che = τ ovveo: il momento angolae totale L di un sistema di punti mateiali, ispetto ad un punto fisso, vaia solo pe azione del momento isultante delle foze ene, τ, calcolato ispetto ad. 4

5 Consevazione del momento della quantità di moto Se su un sistema dl τ = 0, = τ = 0 L = cost Legge di consevazione della quantità di moto: se la isultante dei momenti eni agente sul sistema è nulla, il momento della quantità di moto a costante. L = l + l + l +... = cost 3 se = 0 τ Singoli l i possono vaiae ma in modo che L tot imanga costante (n.b. deve essee τ = 0, ma non necessaiamente F = 0 ) Una conseguenza impotante della consevazione di L tot Il moto di un copo soggetto ad una foza centipeta si svolge su un obita piana. Infatti consideiamo il moto ) di una massa m legata con una coda ) e/o moto di un pianeta L = p = mv, essendo v si ha L=mv con diezione pependicolae al piano individuato da e v. v Le foze in gioco sono: F n ) F n = T ( tensione della coda) GmM ) F n = τ = F, ma è paallelo ad F τ = 0 L = cost in modulo L= mv = costante in diezione e veso il piano Π che contiene e F non può cambiae v deve ae nel piano Π obita piana 5