Universita degli Studi di Ancona Ingegneria delle Costruzioni edili e del Recupero Prova scritta di Analisi Matematica (teoria) del 18 marzo 2008

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1 Prova scritta di Analisi Matematica (teoria) del 18 marzo Fornire la definizione di funzione continua e dare un esempio delle tre diverse speci di discontinuità. Scrivere per esteso con ɛ e δ cosa significa che lim x 2 f(x) = Enunciare e dimostrare il Teorema di Rolle 3. Siano a n e b n due successioni tali che a n = o(b n ) e b n 0 per n +. Provare di ciascuna delle seguenti affermazioni se è vera o falsa. A. lim n + a n + 2b n = 0 Vero Falso B. Esiste n 0 tale che a n b n per n n 0. Vero Falso C. 1 lim n + a n b n = + Vero Falso 4. Sia f(x) una funzione derivabile in R con f (x) > 0 per ogni x 0; sia F (x) = x f(s)ds. Provare di ciascuna delle seguenti affermazioni se è 0 vera o falsa. A. F (x) è strettamente crescente per ogni x 0 Vero Falso B. F (x) è concava per ogni x 0 Vero Falso C. Se f(0) = 2 e f(1) = 3 allora esiste c (0, 1) tale che F (c) è un min locale per F. Vero Falso

2 Prova scritta di Analisi Matematica (teoria) del 16 aprile Fornire la definizione di derivata ed il suo significato geometrico. Scrivere cosa significa che lim n + a n = Enunciare e dimostrare il criterio del rapporto per le serie. 3. Siano a n e b n due successioni regolari e positive tali che lim n + a n /b n = 0. Provare di ciascuna delle seguenti affermazioni se è vera o falsa. (a A. Se b n 0 allora lim n) 2 n + b n = 0 Vero Falso a B. Se b n 0 allora lim n n + (b n = 0. Vero Falso ) 2 sin(a C. Se b n + allora lim n) n + b n = 0 Vero Falso 4. Sia f(x) derivabile per ogni x R e tale che f(0) = 0, f(2) = 4, f(4) = 2. Provare di ciascuna delle seguenti affermazioni se è vera o falsa. A. Esiste c (0, 4) tale che f (c) = 0 Vero Falso B. Se esiste c (0, 4) tale che f(c) = 1 allora c (0, 2) Vero Falso C. Esiste c (0, 4) tale che f (c) = 1 Vero Falso

3 Prova scritta di Analisi Matematica (teoria) del 23 giugno Enunciare (senza dimostrare) il criterio di monotonia e di stretta monotonia. Spiegarne in breve l utilità nello studio di funzione e in particolare esaminare il caso di f 1 (x) = x 2, f 2 (x) = x 3 + x e f 3 (x) = x Enunciare e dimostrare la condizione necessaria per la convergenza di una serie. lim x f(x) = Siano a n e b n successioni a termini nonnegativi tali che bn a n di ciascuna delle seguenti affermazioni se è vera o falsa. 0. Provare A. Se a n 0 allora n=1 a n converge Vero Falso B. n=1 a n converge se e solo se n=1 (a n + b n ) converge Vero Falso C. Sia a n tale che n=1 a n converge e c n = 0 per n dispari e c n = a n per n pari. Allora n=1 [( 1)n c n ] converge Vero Falso 4. Sia f : R R di classe C 1 e convessa Provare di ciascuna delle seguenti affermazioni se è vera o falsa. A. f ammette minimo su R Vero Falso B. Se esiste c R tale che f (c) = 0 allora f(c) e un minimo relativo Vero Falso C. Se lim x f(x) = 0 allora f(x) > 0 per ogni x R. Vero Falso

4 Prova scritta di Analisi Matematica (teoria) di luglio Enunciare (senza dimostrare) il criterio di monotonia e di stretta monotonia. Spiegarne in breve l utilità nello studio di funzione e in particolare esaminare il caso di f 1 (x) = x 2, f 2 (x) = x 3 + x e f 3 (x) = x Enunciare e dimostrare la condizione necessaria per la convergenza di una serie. Scrivere per esteso (con ɛ) cosa significa che lim n + a n = Siano a n e b n successioni a termini nonnegativi tali che bn a n di ciascuna delle seguenti affermazioni se è vera o falsa. 0. Provare A. Se a n 0 allora n=1 a n converge Vero Falso B. n=1 a n converge se e solo se n=1 (a n + b n ) converge Vero Falso C. Sia a n tale che n=1 a n converge e c n = 0 per n dispari e c n = a n per n pari. Allora n=1 [( 1)n c n ] converge Vero Falso 4. Sia f : R R di classe C 1 e convessa Provare di ciascuna delle seguenti affermazioni se è vera o falsa. A. f ammette minimo su R Vero Falso B. Se esiste c R tale che f (c) = 0 allora f(c) e un minimo relativo Vero Falso C. Se lim x f(x) = 0 allora f(x) > 0 per ogni x R. Vero Falso I risultati positivi compariranno sulla pagina web. Chi preferisce che venga scritto il numero di matricola e non il nome, scriva MATRICOLA in fondo a questo foglio. Chi non volesse nè nome nè numero di matricola sul web, lo specifichi in fondo al foglio.

5 Prova scritta di Analisi (teoria) dell 11 settembre Fornire la definizione di derivabilità e continuità di una funzione in un punto. Spiegare con dimostrazioni ed esempi la relazione tra questi 2 concetti. 2. Enunciare e dimostrare il Teorema della permanenza del segno. Scrivere cosa significa che lim x 2 f(x) =. 3. Siano a n e b n successioni a termini positivi tali che b n an ciascuna delle seguenti affermazioni se è vera o falsa. 0. Provare di A. Se a n 0 allora n=1 a n converge Vero Falso B. Se n=1 a n converge allora c n = 1/a n + Vero Falso C. a n n=1 bn diverge a + Vero Falso 4. Sia f : R R una funzione continua e positiva per ogni x R e tale che lim x + f(x) = 1. Sia F (x) = x f(s)ds. Provare di ciascuna delle 0 seguenti affermazioni se è vera o falsa. A. F (x) è crescente Vero Falso B. lim x + F (x) = + Vero Falso C. Esiste c > 0 tale che F (c) = 1 Vero Falso I risultati positivi compariranno sulla pagina web. Chi preferisce che venga scritto il numero di matricola e non il nome, scriva MATRICOLA in fondo a questo foglio. Chi non volesse nè nome nè numero di matricola sul web, lo specifichi in fondo al foglio.

6 Prova scritta di Analisi (teoria) del 12 dicembre Fornire la definizione di derivata e spiegarne il suo significato geometrico. Scrivere cosa significa che lim x 2 f(x) = + e cosa trovo nel grafico di y = f(x). 2. Enunciare e dimostrare la condizione necessaria per la convergenza di una serie. E anche una condizione sufficiente? Motivare la risposta. 3. Siano a n e b n due successioni regolari e positive tali che lim n + a n /b n = 0. Provare di ciascuna delle seguenti affermazioni se è vera o falsa. A. Se b n 0 allora sin(a n ) + 2b n 0. Vero Falso B. Se b n 0 allora (a n) 2 b n 0. Vero Falso C. Se b n + allora lim n + sin(b n ) a n = 0 Vero Falso 4. Sia f(x) continua e positiva per ogni x R e F (x) = x f(s)ds. Provare 0 di ciascuna delle seguenti affermazioni se è vera o falsa. A. F (x) e crescente Vero Falso B. F (x) > 0 per x > 0 Vero Falso C. I limiti lim x + f(x) e lim x F (x) esistono ma non sono finiti Vero Falso I risultati positivi compariranno sulla pagina web. Chi preferisce che venga scritto il numero di matricola e non il nome, scriva MATRICOLA in fondo a questo foglio. Chi non volesse nè nome nè numero di matricola sul web, lo specifichi in fondo al foglio.