Lezione 2 Cenni di meccanica quantistica

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1 Lzion Cnni di mccanica quantistica Fisica dllo Stato Solido Lzion n. Cnni di mccanica quantistica- M. Bruzzi

2 Sommario. Introduzion - Funzioni d onda dnsità di probabilità. Equazion di Schrodingr 3. Opratori in mccanica quantistica 4. Principi dlla mccanica quantistica 5. Esmpi di calcolo dll quazion di Schrodingr a particlla libra; b particlla in buca di potnzial monodimnsional; c particlla in buca di potnzial tridimnsional; d oscillator armonico; atomo ad un solo lttron: numro quantico principal, quantizzazion dl momnto angolar, quantizzazion spazial d fftto Zman, quantizzazion di Spin d sprimnto di Strn-Grlach. 7. Gradino di potnzial 8. Pntrazion di una barrira: fftto Tunnl Approfondimnti Lzion n. Cnni di mccanica quantistica- M. Bruzzi Laura magistral in Inggnria

3 Abbiamo visto com all inizio dl novcnto vngano formulati, a partir da nuov vidnz sprimntali, nuovi conctti com la quantizzazion dll nrgia, l intrazion dlla radiazion con la matria spigata in trmini di mission/assorbimnto di fotoni, il principio di indtrminazion di Hisnbrg, ch ci impon di rinunciar ad una dscrizion dttagliata dl moto dll particll atomich nl snso dlla mccanica classica. A sguito di qust vidnz, un nuovo formalismo, la mccanica quantistica, vin sviluppato ngli anni 0 principalmnt dai fisici Louis d Brogli, Ma Born, Paul Dirac, Erwin Schrodingr, Wrnr Hisnbrg.. Funzion d onda dnsità di probabilità Il principio di indtrminazion di Hisnbrg ci mostra com non sia possibil parlar in snso strtto di traittoria dlla particlla atomica. In figura mostriamo la traittoria dlla particlla nl caso a classico b quantistico nllo spazio dll fasi cioè nl diagramma momnto vs. posizion. Nl caso quantistico la posizion il momnto sono lgati dalla rlazion DDp ~h quindi la traittoria risulta allargata sulla banda D,Dp. Com dscrivr allora il moto dlla particlla? Si utilizza il conctto di onda o campo di matria : la particlla prsnt in una crta rgion dllo spazio vin considrata com un onda, indicata com f. Sappiamo ch l intnsità di un onda è proporzional al quadrato dl suo modulo, quindi l intnsità di qusto campo di matria sarà dato appunto da f,y,z. Poiché il campo di matria dscriv il moto dlla particlla, possiamo dir quindi ch l rgioni dllo spazio in cui è più probabil trovar la particlla sono qull in cui f,y,z è maggior. Lzion n. Cnni di mccanica quantistica- M. Bruzzi 3

4 Ad smpio, qui mostriamo la funzion d onda di una particlla confinata nlla rgion tra A B lungo, sotto è riportata la rlativa distribuzion f. La probabilità di trovar la particlla dscritta dalla funzion d onda f nll intrvallo d intorno al punto è f d. f è una probabilità pr unità di lunghzza o dnsità di probabilità. La probabilità di trovar la particlla nlla rgion finita V dllo spazio è: P V V f, y, z ddydz Poiché la particlla dv comunqu trovarsi in qualch luogo dllo spazio, s stndiamo l intgral allo spazio intro ottniamo la condizion di normalizzazion: PV tutto f, y, z ddydz lo spazio ssa comporta ch la funzion f,y,z abbia alcun carattristich fondamntali pr smpio, f dv diminuir rapidamnt al crscr di,y,z in modo ch l intgral su tutto lo spazio possa ssr finito. Lzion n. Cnni di mccanica quantistica- M. Bruzzi 4

5 . Equazion di Schrödingr Lzion n. Cnni di mccanica quantistica- M. Bruzzi 5 Nl 96 Erwin Schrodingr formula la sgunt quazion: t t r i t r t r U m,,, Si vrifica ch, s U è indipndnt dal tmpo ma dipnd solo dall coordinat spaziali: Ur,t = Ur = U,y,z, è smpr possibil sparar la dipndnza tmporal dlla funzion d onda da qulla spazial: dov fr dipnd solo dall coordinat spaziali. Sostitundo nlla * qusta sprssion ottniamo l quazion:, r t r t i f f f U m *

6 Mtodo dlla sparazion dll variabili L quazion di Schrodingr è in tr dimnsioni, ssa può prò ssr spsso ridotta a un numro minor di dimnsioni. S : U,y,z = U + U y + U 3 z allora l soluzioni sono dl tipo: f,y,z = f f y f 3 z. Sostitundo f d U nll quazion di Schrodingr ottniamo : Ogni trmin dl primo mmbro è funzion di una sola coordinata,, y, o z, mntr nl scondo mmbro abbiamo il trmin indipndnt. Il solo modo pr soddisfar qusta quazion è ch ciascuno di tr trmini dl primo mmbro sia ugual ad una costant i i =,,3 tal ch: =. f f f f f f z z U z m z y y U y m y U m Lzion n. Cnni di mccanica quantistica- M. Bruzzi 6

7 S poi U,y,z = U il sistma si riduc ad una sola quazion monodimnsional in. L soluzioni pr la funzion d onda l nrgi pr l altr du dimnsioni y z sono qull dlla particlla libra: ; Dov A y d A z sono l costanti di normalizzazion pr l soluzioni dll onda piana nll dirzioni y z. ikz iky z y A A z y,, f f m k k E E z y Com risultato ottniamo tr quazioni monodimnsionali, molto più smplici da risolvr z E z z U dz d m y E y y U dy d m E U d d m f f f f f f Lzion n. Cnni di mccanica quantistica- M. Bruzzi 7

8 3. Opratori in mccanica quantistica In trmini matmatici diciamo ch l sprssion H m U, y, z è un oprator ch, quando agisc su una funzion f,y,z, produc una nuova funzion com risultato di una sri di oprazioni splicitamnt contnut nlla dfinizion di H. In particolar, possiamo riscrivr l quazion di Schrödingr com: Hf, y, z f, y, z * Cioè l fftto di H su f,y,z è qullo di moltiplicar f,y,z pr. Ovviamnt, in gnral, quando H opra su una funzion arbitraria il risultato non è ncssariamnt la stssa f,y,z moltiplicata pr una costant. L funzioni ch soddisfano la * sono chiamat autofunzioni dll oprator H d i valori corrispondnti autovalori dll oprator. Lzion n. Cnni di mccanica quantistica- M. Bruzzi 8

9 Esmpio Indicar qual dll sgunti funzioni sono autofunzioni pr l oprator d/d: f a = ik ; f b = a ; f c = snk d vntualmnt indicarn l autovalor. Si ripta l srcizio pr l oprator d /d. Soluzion. L funzioni indicat sono autofunzioni pr l oprator d/d s si puo scrivr df/d = af con a = autovalor. Ottniamo ch f a f b sono autofunzioni con autovalori rispttivamnt ik d a, mntr f c non lo è. Invc si vrifica ch tutt tr sono autofunzioni pr l oprator d /d con autovalori:-k, a, -k. Lzion n. Cnni di mccanica quantistica- M. Bruzzi 9

10 4. Principi dlla mccanica quantistica. Ad ogni grandzza fisica Ar,p, ch è funzion dlla posizion dl momnto di una particlla, corrispond un oprator quantistico ottnuto ffttuando la sostituzion: p i. I soli valori possibili ch possono ssr ottnuti quando si misura la grandzza fisica Ar,p sono gli autovalori dll oprator quantistico : A r, i Grandzza fisica Dfinizion classica Oprator Quantistico Nlla tablla sotto sono riportati gli opratori quantistici di alcun grandzz fisich. Posizion r r Momnto Momnto angolar Enrgia cintica Enrgia total p rp p m p m U P i ir m m U p Lzion n. Cnni di mccanica quantistica- M. Bruzzi 0

11 5. Esmpi di calcolo dll quazion di Schrodingr. Particlla libra In qusto caso U = U = 0, l quazion divin: f, y, z Ef, y, z m f, y, z in una dimnsion: Ef, y, z m p Pr una particlla libra val: E : p k m Quindi: k E l quazion divin: f 0 k f m quazion di un onda stazionaria di lunghzza d onda : k ik L quazion ammtt soluzioni dl tipo: ; f f La prima rapprsnta una particlla ch si muov in vrso positivo risptto all orintamnto dll ass, l altra in dirzion opposta. La soluzion gnral Può ssr scritta com combinazion linar dll du soluzioni: ik f A ik B ik Lzion n. Cnni di mccanica quantistica- M. Bruzzi

12 Qusta funzion non corrispond ad una dirzion prfrnzial di moto, ssndo la sovrapposizion di du soluzioni pr moto nll dirzioni positiva ngativa. E infatti la stssa situazion dll ond stazionari pr smpio una corda ch vibra tra du strmi fissati. Notiamo inoltr ch: f f * f a ik ik Il fatto ch f sia costant indica ch la probabilità di trovar la particlla è la stssa in ogni punto. Qusto è in accordo con il principio di indtrminazion di Hisnbrg dato ch l onda ik ha Dp = 0 quindi D. Pr avr informazioni riguardo la posizion dlla particlla D dv ssr finito, il ch è ottnibil sovrapponndo ond Ak ik con valori di k in un dominio Dk, cioè un pacchtto d onda. Tal pacchtto può ssr sprsso com: f A k ik dk Lzion n. Cnni di mccanica quantistica- M. Bruzzi

13 . Particlla in buca di potnzial Pnsiamo ad un potnzial rttangolar dl tipo di figura buca di potnzial. Avrmo U = 0 pr 0< < a U pr > a < 0. Qusto significa ch sistono dll forz molto lvat ch costringono la particlla a rimanr ntro la buca di potnzial, quindi f = 0 pr a 0. All intrno dlla buca la particlla si muov libramnt dato ch qui E p = 0, quindi in qusta rgion il problma si riconduc al caso discusso prcdntmnt: f k f 0 me ik ik con: k ; f A B. L condizioni al contorno impongono ch: ik ik ; f 0 A B 0 A B f A iasnk f a iasn n a a ka 0 k n p k. p n m ma Qust ultima sprssion indica i valori prmssi di momnto. Corrispondntmnt, i valori prmssi di nrgia sono dati da: E U 0 a Lzion n. Cnni di mccanica quantistica- M. Bruzzi 3

14 I livlli nrgtici prmssi pr la particlla in buca di potnzial sono: p E m n ma. con n=,, 3, E E 4 = 6E n=4 L nrgia non può assumr un valor arbitrario, risulta quantizzata. Qusta situazion avvin in gnral quando l quazion di Schrodingr vin risolta pr un potnzial ch confina la particlla in una rgion limitata dllo spazio. Notiamo ch l nrgia minima dlla particlla non è zro, ma pari a: E Qusto driva dal principio di indtrminazion di Hisnbrg. L indtrminazion sulla posizion h ma 8ma E 3 = 9E E = 4E sia D ~ a, la particlla si muov avanti inditro con momnto p, pr cui Dp ~p, DDp h ap h E E. E n=3 n= n=

15 I valori di k prmssi pr la particlla in buca di potnzial sono: k n. a L funzioni d onda ch corrispondono ai valori di k prmssi sono: f n Csn n. a con C = ia, ch infatti corrispondono a ond stazionari ch vibrano con strmità fiss, pr l quali val: a; a; a;... a. 3 n L prim tr funzioni d onda pr una particlla in buca di potnzial l corrispondnti dnsità di probabilità sono mostrat nlla figura a fianco Lzion n. Cnni di mccanica quantistica- M. Bruzzi 5

16 Compltiamo la discussion dtrminando la costant C utilizzando la condizion di normalizzazion: a d 0 f a d a n sn C 0 Il valor dll intgral è : a a d a n sn 0 Prciò ottniamo:. a C a C l autofunzioni normalizzat sono prciò:. a n sn a n f Lzion n. Cnni di mccanica quantistica- M. Bruzzi 6

17 3. Particlla in buca di potnzial tridimnsional Considriamo ora un particlla confinata in una rgion tridimnsional di dimnsioni a, b, c com in figura. Estndndo il ragionamnto dl caso prcdnt, ottniamo: con n, n, n 3 intri. Notiamo ch l nrgia dipnd solo dalla somma n +n +n 3, prciò tutti gli stati ch hanno stsso valor pr qusta somma hanno stssa nrgia ma divrsa funzion d onda. Quando qusto succd diciamo ch abbiamo dgnrazion di livlli nrgtici corrispondnti. L ordin di dgnrazion di un livllo nrgtico, dsignato con g, è ugual al numro di divrs indipndnti funzioni d onda soluzion dll quazion di Schrodingr pr qulla nrgia. a n p b n p y c n p z 3 3 c n b n a n m m p E.,, 3 c z n sn b y n sn a n Csn z y f a b c y z Lzion n. Cnni di mccanica quantistica- M. Bruzzi 7

18 4. Atomo di idrogno / atomi ad un solo lttron Nl caso dll lttron lgato al nuclo nll atomo di idrogno l nrgia potnzial è: U r 4 r quindi l quazion di Schrodingr divin*: * Con m massa ridotta dl sistma 0 f f Ef m 4 r La soluzion di qusta quazion è al di là dgli scopi di qusto corso. Darmo qui solo alcun indicazioni sul risultato di tal calcolo. 0 Data la simmtria sfrica dll nrgia potnzial atomico l quazion di Schrodingr si scriv utilizzando l coordinat sfrich r,q,j l soluzioni hanno la forma mtodo di sparazion dll variabili: z q r Fr,q,j = f rf qf 3 j. La probabilità ch l lttron si trovi nlla rgion di spazio tra r d r + dr è data da: dp F dv F 4 r dr j y Lzion n. Cnni di mccanica quantistica- M. Bruzzi 8

19 Nl caso dll lttron lgato al nuclo nll atomo di idrogno l nrgia potnzial è: U r 4 r quindi l quazion di Schrodingr divin*: 0 f f Ef m 4 r La soluzion di qusta quazion è al di là dgli scopi di qusto corso. Darmo qui solo alcun indicazioni sul risultato di tal calcolo. 0 a. Quantizzazion dll nrgia Dfiniamo costant di Rydbrg: 4 m 7 R h c m 0 Allora i livlli nrgtici possibili pr gli stati stazionari dll lttron dll atomo di idrogno sono dati dall sprssion: R E n hc n con n =,,3, d n è dtto numro quantico principal. * Con m massa ridotta dl sistma Lzion n. Cnni di mccanica quantistica- M. Bruzzi 9

20 Fr,q,j = f n,l r f l,m q,j Orbitali atomici Fattor radial Fattor angolar Effttuando la risoluzion si vrifica ch il fattor radial risulta dipndr da du numri quantici dnominati n d l, mntr il fattor angolar dipnd sia dal numro quantico l ch da un ultrior numro quantico m. n numro quantico principal I livlli nrgtici possibili pr gli stati stazionari dll lttron dll atomo di idrogno sono dati dall sprssion: R E n hc Con: n =,,3, n 4 m 7 R costant di Rydbrg : R h c m 0 Lzion n. Cnni di mccanica quantistica- M. Bruzzi 0

21 Pr un atomo con un unico lttron lgato ad un nuclo con Z protoni: E n R hcz n Z 3.6 n V. Lzion n. Cnni di mccanica quantistica- M. Bruzzi

22 . Quantizzazion dl modulo di L Nl caso dlla particlla nlla buca di potnzial abbiamo visto ch nrgia momnto, costanti dl moto, sono ntramb quantizzat. In un moto dovuto ad un campo di forza cntral non solo l nrgia, ma anch il momnto angolar è costant dl moto: da un analisi sia torica ch sprimntal si mostra ch in qusto caso anch il momnto angolar risulta quantizzato. La quantizzazion sul modulo dl momnto angolar L si sprim con la rlazion: L l l b. Quantizzazion dl momnto angolar L con l = 0,,, 3,..,n- Quindi: in un campo Coulombiano pr ogni valor di n ci sono n valori distinti possibili pr il momnto angolar, da l = 0 a l = n-. I divrsi valori di l sono solitamnt dsignati con lttr s l=0, p l=, d l=, f l=3 così via. l è dtto numro quantico azimutal.. Quantizzazion spazial Oltr alla limitazion sul modulo si mostra sprimntalmnt fftto Zman ch sist una rstrizion nlla dirzion dl momnto angolar quantizzazion spazial: i valori dlla componnt z dl momnto angolar L z, risultano infatti quantizzati scondo la rlazion: LZ m l Lzion n. Cnni di mccanica quantistica- M. Bruzzi con m l = 0, ±, ±, ±3,.. ± l

23 Ovviamnt il numro quantico m l non può ssr suprior ad l. m l si dic numro quantico magntico. z z z L z L = rp m l =+ m l = 0 m l =- m l =+ m l =+ m l = 0 m l =- m l =- 0 l = l = r p y Quindi pr ciascun valor dl momnto angolar, ci sono l+ valori di m l. La quantità g = l+ è dtta dgnrazion ssnzial di ogni stato con un dtrminato momnto angolar. Ossrviamo ch, s la forza in gioco non è funzion dll invrso dl quadrato dlla distanza, qui livlli ch hanno lo stsso valor di n ma divrso valor di l non hanno ncssariamnt la stssa nrgia. S prò la forza è comunqu cntral, l nrgia non dipnd da m l prché l orintazion dll orbita è irrilvant. Lzion n. Cnni di mccanica quantistica- M. Bruzzi 3

24 Efftto Zman Efftto ossrvato nl 896 poi spigato mdiant la quantizzazion spazial, prcui.g. una lina spttral di un atomo a un lttron divnta un tripltto a causa dlla prsnza di un campo magntico. L lttron ch dscriv una orbita circolar con vlocità angolar w corrispond ad una spira di corrnt: ch può ssr vista com un dipolo magntico di momnto: M L I A w r L m vr w r I dq dt T w Dato ch il momnto angolar è pari a: ottniamo la sgunt rlazion tra momnto di dipolo magntico momnto angolar: M L m poiché la carica dll lttron è ngativa M L L sono vttori con stssa dirzion vrso opposto. L Lzion n. Cnni di mccanica quantistica- M. Bruzzi 4

25 In gnral, si vrifica ch la rlazion, da noi mostrata L classicamnt, risulta valida anch in mccanica quantistica pr un moto arbitrario con momnto angolar L. La componnt z dl momnto magntico orbital risulta: con B M m Lz m L z m 5 V T m l M m B l m L = magnton di Bohr. Applichiamo ora un campo magntico B, il sistma acquisisc l nrgia magntica: E B M L B m L B E sul dipolo magntico agisc il momnto dlla forza magntica: M M L B m LB Lzion n. Cnni di mccanica quantistica- M. Bruzzi 5

26 Tal momnto fa compir una prcssion dl sistma attorno alla dirzion dl campo magntico. Assumiamo ch il campo magntico sia in dirzion z: E B M Lz B m B B l Qusta rlazion mostra ch l nrgia dl sistma assum l+ valori quantizzati scondo il numro quantico m l, tutti quispaziati dlla quantità B B. Passaggio da un livllo singolo p ad un tripltto in prsnza di campo magntico L fftto non si ossrva con un livllo s, prché l = 0 quindi m l = 0. Il risultato è una riga spttral ch si trasforma in un tripltto. Lzion n. Cnni di mccanica quantistica- M. Bruzzi 6

27 c. Quantizzazion di Spin Sappiamo ch la Trra, contmporanamnt al moto di rivoluzion intorno al sol, compi un moto rotatorio intorno al suo ass in ingls = to spin: il suo momnto angolar total è somma vttorial dl momnto angolar di rivoluzion di qullo di rotazion. In analogia con qusta vidnza possiamo immaginar ch l lttron lgato all atomo oltr al moto orbital ruoti su s stsso quindi possgga momnto angolar di spin. E ovvio ch, non avndo l lttron struttura intrna, non ha snso considrarlo com particlla sfrica ch ruota su s stssa, tal raffigurazion è comunqu un modllo valido pr la dscrizion di alcuni importanti fnomni sprimntali. L sistnza dllo spin lttronico è stata mssa in vidnza dall sprimnto di Strn Grlach 94, l ida è stata proposta da Uhlnbck Goudsmith 96 pr spigar tal sprimnto d alcun carattristich spttrali dgli atomi ad un lttron. S non possiamo calcolar il momnto angolar di spin com facciamo pr la Trra, comunqu, varrà smpr ch, s S è il momnto angolar di Spin d L qullo orbital, il momnto angolar total dll lttron sarà J = S + L. Dato ch l lttron è una particlla carica lo spin lttronico produrrà un momnto di dipolo magntico M S. Nl smplic modllo di un corpo rigido sfrico ruotant su s stsso, la rlazion tra M S d S sarà la stssa ch abbiamo trovato tra M L d L. In raltà qullo ch si ha è un po divrso: g S è dtto rapporto giromagntico dll lttron, di valor sprimntal g S =.004. Il momnto di dipolo magntico di un lttron ch orbita ruota è quindi: M M L M S m Lzion n. Cnni di mccanica quantistica- M. Bruzzi M S g L g S S S m S 7

28 Esprimnto di Strn- Grlach Supponiamo ch un fascio di atomi ad un solo lttron passi attravrso un campo magntico non omogno. L fftto di qusto campo magntico sul dipolo magntico è qullo di srcitar una forza la cui dirzion modulo dipndono dall orintazion rlativa dl campo magntico dl dipolo.g. s il dipolo è orintato paralllamnt al campo B sso tndrà a muovrsi nlla dirzion in cui il campo B crsc, mntr s è antiparalllo, si muovrà nlla dirzion in cui il campo B diminuisc. Nll sprimnto di Strn-Grlach il campo disomogno è ottnuto modificando la forma dll facc di poli magntici, ad smpio in modo ch il campo aumnti andando da Sud a Nord. S gli atomi a un solo lttron dl fascio sono nllo stato fondamntal l = 0 hanno momnto angolar orbital nullo quindi M L = 0, prciò la dviazion dl fascio dipndrà solo dalla dirzion di M S, cioè di qulla dllo spin S. Il risultato dll sprimnto è ch il fascio ch passa tra i du poli magntici vin diviso in du. Qusto dimostra ch: Lo spin lttronico può avr solo du orintazioni rlativ al campo magntico: parallla o antiparallla. Lzion n. Cnni di mccanica quantistica- M. Bruzzi 8

29 Ricordando ch la dgnrazion ffttiva dl momnto angolar è g = l +, poiché nl caso dllo spin g = dobbiamo avr l = ½. Indicando il numro quantico di spin com s invc ch com l d il numro quantistico corrispondnt alla componnt z, S z, com m s invc ch m l avrmo: z s ; S s s m S S z m s 3 4 m s =+½ m s =-½ S 3 Concludiamo quindi ch pr dscrivr compltamnt lo stato di un lttron in un campo cntral sono ncssari quattro numri quantici: n, l, m l, m s. Lzion n. Cnni di mccanica quantistica- M. Bruzzi 9

30 Orbitali atomici Data la simmtria sfrica dll nrgia potnzial atomico l quazion di Schrodingr si scriv utilizzando l coordinat sfrich r,q,j l soluzioni hanno la forma mtodo di sparazion dll variabili: Fr,q,j = f rf qf 3 j. Effttuando la risoluzion si vrifica ch il fattor radial risulta dipndr dai numri quantici n d l, mntr il fattor angolar dai numri quantici l d m. Inoltr, ogni orbital ha quindi la possibilità di contnr du lttroni, data la moltplicità di spin. z Fr,q,j = f n,l r f l,m q,j q r Fattor radial Fattor angolar La probabilità ch l lttron si trovi nlla rgion di spazio tra r d r + dr è data da: j y dp F dv F 4 r dr Lzion n. Cnni di mccanica quantistica- M. Bruzzi 30

31 Orbitali atomici Fattori radiali angolari Lzion n. Cnni di mccanica quantistica- M. Bruzzi 3

32 fattori radiali conformazion radial di orbitali atomici Fattori radiali jr Fattori r j r Lzion n. Cnni di mccanica quantistica- M. Bruzzi 3

33 Esrcizio La funzion d onda dll idrogno nllo stato fondamntal sia: φ s = πa 0 3 r/a 0, con a 0 = raggio di Bohr. a Calcolar il valor più probabil di r pr un lttron ch si trovi in tal stato fondamntal. b Calcolar la probabilità ch l lttron nllo stato fondamntal sitrovi all strno dl raggio di Bohr. Soluzion: Avndo il problma simmtria sfrica, la probabilità di trovar la particlla nlla rgion tra 0 d r è: P = φ s dτ = 0 r πa 0 3 r/a 04πr dr. a La funzion: f r = 4r a 0 3 r/a 0 fornisc la dnsità di probabilità di trovar la particlla nl punto di coordinata r. Pr avr il valor di r più probabil: df r r r/a 0 r a 0 r/a 0 = 0 da cui si ottin: r = a 0. dr = 0 b Pr conoscr la probabilità ch la particlla si trovi nlla rgion oltr a 0 è ncssario calcolar l intgral: P = a0 πa 0 3 r/a 04πr dr = 4 a 0 3 a0 r r/a 0dr. Ponndo = r/a 0, abbiamo: P = d = + + = 5 =

34 Configurazion lttronica strna Configurazion lttronica Struttura lttronica di un atomo od una molcola. Corrispond al modo di distribuirsi dgli lttroni ngli orbitali dll'atomo o dlla molcola. E particolarmnt important qulla dlla shll più strna. Z = Numro atomico configurazion lttronica strna TAVOLA PERIODICA DEGLI ELEMENTI Lzion n. Cnni di mccanica quantistica- M. Bruzzi 34

35 Enrgia Rimpimnto orbitali atomici con lttroni n=3; l = m = -; 0 ; n=3; l = 0 3p 3p y 3p z 3s n=; l = m = -; 0 ; n=; l = 0 p p y p z s n=; l = 0 s Lzion n. Cnni di mccanica quantistica- M. Bruzzi 35

36 Enrgia Rimpimnto dgli orbitali atomici d n=4; l = m = -; 0 ; n=3; l = m =-, -; 0 ; ; n=4; l = 0 4p 4p y 4p z 4s n=3; l = m = -; 0 ; 3d y 3d z 3d yz 3d -y 3d z n=3; l = 0 3p 3p y 3p z 3s n=; l = m = -; 0 ; n=; l = 0 p p y p z s Lzion n. Cnni di mccanica quantistica- M. Bruzzi 36

37 Nota: ni mtalli nobili la configurazion più stabil richid ch gli orbitali d siano pini. Un lttron s vin prciò trasfrito in un orbital d. Cu Z = 9 4s 3d 0 Ag Z = 47 5s 4d 0 Au Z = 79 6s 5d 0 4f 4 In altri mtalli invc, quali Cr Mo, la configurazion più stabil prvd il trasfrimnto di lttroni in modo da avr orbitali d smipini. Cr Z = 4 4s 3d 5 Mo Z = 4 5s 4d 5 Lzion n. Cnni di mccanica quantistica- M. Bruzzi 37

38 6. Gradino di potnzial U = 0 pr < 0; U = U o pr > 0 A. L nrgia dlla particlla è minor dl gradino : < U 0 Rgion I: U = 0 quindi la particlla è libra. Equazion di Schrodingr: Ch dà soluzion: f I A d fi m f 0 I d ik B ik I U O II U 0 Dov ik rapprsnta l onda incidnt, -ik rapprsnta qulla riflssa dalla barrira. rgion II. U = U 0 con q. di Schrodingr:. Dfinndo:, l quazion divin : II con Soluzion: U d fii m 0 f II d m U0 a d f a f 0 II d a f C II pr la mccanica classica la particlla non potrbb trovarsi nlla rgion > 0, pr la mccanica quantistica c una probabilità non nulla di trovar la particlla in tal rgion. Lzion n. Cnni di mccanica quantistica- M. Bruzzi 0

39 Pr dtrminar l costanti A,B,C imponiamo l condizioni al contorno pr l rgioni I/II, cioè la continuità dlla funzion d onda dlla sua drivata prima. f d f f d d d In = 0:, da cui si ha: A + B = C ika-b = -a C. Riscrivndo: ik f ik a A B ik a ika C ik a Ottniamo : pr cui : cos L funzioni f f figura. ik ik a f A ik a A f ik a ik a ik a f A. ik a ik k i sn k ik ik a, si ottin: ik dato ch val: ik a f A cos k sn k ik a k a mno dl trmin complsso ik/ik-a sono rapprsntat in Lzion n. Cnni di mccanica quantistica- M. Bruzzi

40 Ossrviamo ch più grand è il fattor U 0 risptto all nrgia dlla particlla, più grand è il valor di a più vlocmnt la funzion f va a zro pr > 0. Nl limit di U 0 la funzion f va a zro la particlla non può pntrar nlla rgion II: tutt l particll vngono riflss in = 0. In qusto caso l sprssion di f divin: f iasn k Csn k Lzion n. Cnni di mccanica quantistica- M. Bruzzi

41 B. L nrgia dlla particlla è maggior dl gradino : > U 0 Classicamnt la particlla può suprar la barrira d ntrar nlla rgion II, ad = 0 soffr di una dclrazion dato ch la sua nrgia cintica divin più piccola. Dal punto di vista quantistico la soluzion nlla rgion I è smpr data da: f = A ik +B -ik, assumndo ch part dll particll possano vnir riflss. Pr la rgion II, dfinndo: I U II k' m U l quazion di Schrodingr è: 0 d fii d k ' f II 0 O U 0 con soluzion f II = C ik rapprsnta la particlla ch viaggia vrso dstra. Lzion n. Cnni di mccanica quantistica- M. Bruzzi

42 Applicando l condizioni al contorno a = 0 abbiamo: A + B = C ka-b = k C, l cui soluzioni sono : B k k' A k k' C ka k k' ik k k' ik fi A ; k k' f II k k k' A ik'. Il fatto ch B non sia nullo indica ch alcun particll sono riflss, un risultato divrso da qullo dlla mccanica classica. Qusto fnomno carattristico di campi ch, nlla loro propagazion, incontrano una rgion di discontinuità nll proprità fisich dl mzzo: un fatto bn noto nl caso pr smpio di ond lastich o lttromagntich. Lzion n. Cnni di mccanica quantistica- M. Bruzzi

43 7. Pntrazion di una barrira di potnzial - Efftto Tunnl Considriamo la barrira di potnzial di altzza U 0 spssor a. Pr <U 0 avrmo soluzioni dl tipo: U f I f f II III A A ik A' a ik' B B ik a I U 0 O II a III Dov k, a k hanno significato dato prcdntmnt. La forma d onda è com in figura. E quindi possibil ch la particlla con nrgia infrior a U 0 pntri la barrira onda f 3. Applicando l condizioni al contorno a = 0 d = a possiamo dtrminar i cofficinti A,B,C,D,A. Lzion n. Cnni di mccanica quantistica- M. Bruzzi

44 Pr > U 0 la dscrizion classica indichrbb ch tutt l particll vngono trasmss oltr la barrira. In mccanica quantistica invc, com pr il gradino di potnzial, alcun particll possono ssr riflss ad = 0 d = a. Quindi l funzioni d onda sono: I U U 0 O II a III f I A ik B ik f II C ik' D ik' f III A' ik Applicando l condizioni al contorno a = 0 d = a possiamo dtrminar i cofficinti A,B,C,D,A. La trasmission dlla barrira è valutata com : T = A / A In figura è mostrata in funzion dl rapporto /U o Lzion n. Cnni di mccanica quantistica- M. Bruzzi /U0

45 Esmpio: diodo tunnl Scoprto da L. Esaki nl 958 Ph.D. dissrtation work. Com anomalia dlla curva I-V di una giunzion p-n in cui tutt du l rgioni n p sono dgnri. In qusto caso il tunnling può ssr analizzato considrando una barrira di potnzial triangolar.

46 3a quilibrio 3b tnsion dirtta : una banda di nrgia con stati occupati a dstra dlla barrira si affianca ad una banda di stati non occupati a sinistra. Elttroni possono pntrar la barrira dal lato n a qullo p producndo corrnt di tunnling. 3c incrmntando la tnsion dirtta l du band si assottigliano fino a ch l orlo dlla n BC = orlo dlla p BV. Non ci sono piu stati disponibili pr gli lttroni: la corrnt ditunnling siriduc a zro. 3d corrnt dirtta dovuta a diffusion di maggioritari snza tunnling; Lzion n. Cnni di mccanica quantistica- M. Bruzzi