Analisi dei Sistemi. Soluzione del compito del 26 Giugno ÿ(t) + (t 2 1)y(t) = 6u(t T ). 2 x1 (t) 0 1

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1 Analisi di Sistmi Soluzion dl compito dl 26 Giugno 23 Esrcizio. Pr i du sistmi dscritti dai modlli sgunti, individuar l proprità strutturali ch li carattrizzano: linar o non linar, stazionario o tmpovariant, dinamico o istantano, a paramtri concntrati o distribuiti, con o snza lmnti di ritardi, proprio (strttamnt o mno) o improprio. Motivar l rispost.. ( punti) Lgam ingrsso-uscita: ÿ(t) + (t 2 )y(t) 6u(t T ). Il sistma dscritto da tal modllo è: linar: l quazion diffrnzial è una combinazion linar di sgnali di uscita, di ingrsso dll loro drivat; tmpovariant: il cofficint dl trmin y(t) val t 2 dunqu non è costant ma dipnd dal tmpo; dinamico: l quazion diffrnzial è di ordin n 2 > ; a paramtri concntrati: non vi sono drivat parziali; con lmnti di ritardo: l quazion lga l uscita la sua drivata al tmpo t con l ingrsso al tmpo (t T ); strttamnt proprio: l ordin massimo di drivazion dll uscita val n 2 mntr l ordin massimo di drivazion dll ingrsso val m dunqu n > m. 2. ( punti) Rapprsntazion in variabili di stato: ẋ (t) ẋ 2 (t) 2 x (t) x (t) + u(t) y(t) x (t) + 3 u(t). Il sistma dscritto da tal modllo è: non linar: la rapprsntazion non è nlla forma standard costituita da n quazioni diffrnziali linari dl primo ordin da una trasformazion linar d uscita prché val ẋ (t) 2x (t) + x (t) + u(t); stazionario: ẋ (t) non ha una dipndnza splicita dal tmpo; dinamico: il sistma di quazioni è di ordin n 2 > ; a paramtri concntrati: non vi sono drivat parziali;

2 snza lmnti di ritardo: non vi sono argomnti in t argomnti traslati nl tmpo dlla forma (t T ); proprio ma non strttamnt prché l quazion di stato val y(t) C x(t) + Du(t) con D non nulla: dunqu l uscita al tmpo t dipnd non solo dallo stato x(t) ma anch dall ingrsso u(t). Esrcizio 2. Si considri un sistma il cui lgam ingrsso uscita è dscritto dalla sgunt quazion diffrnzial: d3 d2 y(t) + 2 dt3 dt 2 y(t) + d d2 y(t) dt dt 2 u(t) + d u(t) + u(t). dt. (5 punti) Calcolar la funzion di trasfrimnto W (s) la riposta impulsiva w(t) pr il sistma dato. La funzion di trasfrimnto val: W (s) s 2 + s + s(s 2 + 2s + ). Il dnominator ha tr poli p, p 2,3.3 ± j. dunqu la W (s) ha il sgunt sviluppo di Havisid W (s) R s + R s +.3 j. + R s j. dov R(s) R (s) lim s s2 + s + s 2 + 2s lim s 2 + s j.3.9j2.96 s.3+j. s(s j.) antitrasformando si ottin la risposta impulsiva (l du form sono quivalnti) w(t) ( t cos(.t ) ) δ (t) ( t cos.t 6.3t sin.t ) δ (t) 2. (6 punti) Si tracci il diagramma di Bod dlla W (s) dtrminata al punto prcdnt. La funzion di trasfrimnto in forma di Bod val Dunqu i paramtri significativi sono: W (s) 2 5 ( +.5s) ( +.5s) ( + 2.s + s 2. ) Guadagno K 2 5., Numro poli nll origin ν ; K db 8; Zro ral p 2, τ.5, / τ 2; Zro ral p 2, τ.5, / τ 2; Coppia di poli complssi z, z.3 ± j., ω n.5, ζ.6, M db 2db, ω s.3, ω d 2; 2

3 il diagramma è mostrato in figura (l curv trattggiat indicano il diagramma risultant satto). Diagramma di Bod (asintotico) 2 Modulo M db Fas φ gradi Pulsazion ω rad/s Esrcizio 3. È data la rapprsntazion in trmini di variabili di stato di un sistma linar stazionario a paramtri concntrati ẋ (t) x (t) + u(t) ẋ 2 (t) 5 6 y(t) 2 x (t). ( punti) Si dtrmini mdiant la formula di Lagrang l voluzion libra dllo stato x l (t) dll uscita y l (t) a partir da condizioni iniziali dllo stato x() 2 T. La matric A ha polinomio carattristico P (λ) λ 2 + 6λ + 5 l cui radici sono λ λ 2 5. Pr dtrminar la matric At mdiant lo sviluppo di Sylvstr scriviamo il sistma { λ t α (t) + λ α (t) λ 2t α (t) + λ 2 α (t) { t α (t) α (t) 5t α (t) 5α (t) da cui si ricava { α (t).25 t.25 5t α (t).25 t.25 5t 3

4 Dunqu At α (t)i 2 + α (t)a (.25 t.25 5t ) (.25 t.25 5t ) (.25 t t ) (.25 t t ) Possiamo dunqu calcolar immdiatamnt l voluzion libra dllo stato ch pr t val: (.25 t x l (t) At.25 5t ) (.25 t.25 5t ) 2 x() (.25 t t ) (.25 t t ) (2.75 t.75 5t ) ( 2.75 t t ) mntr l voluzion libra dll uscita pr t val: (2.75 t.75 5t ) y l (t) C x l (t) 2 ( 2.75 t t ) (2.75 t t ) 2. ( punti) Si dtrmini una trasformazion di similitudin z(t) P x(t) ch porti ad una rapprsntazion in cui la matric di stato è in forma diagonal si calcolino tutt l matrici dlla nuova rapprsntazion. In gnral la trasformazion di similitudin ch consnt di passar ad una rapprsntazion in cui A è diagonal usa com matric P la matric modal, costituita dagli autovttori di A. Inoltr, ssndo la matric A in forma compagna la matric modal è data dalla matric di Vandrmond, ovvro: P λ λ 2 5 P mntr la nuova rapprsntazion val A P AP 5 B P B.5,.5 C CP 3, D D. 3. (3 punti) Dtrminata la condizion inizial z() corripondnt alla x() data al punto, si calcoli l voluzion libra dllo stato pr la nuova rapprsntazion. Ch rlazion c è tra l voluzion libra x l (t) z l (t)? Pr il nuovo sistma { z(t) A z(t) + B u(t) val z() P x() 3 y(t) C z(t) T.

5 Essndo la matric A diagonal possiamo immdiatamnt scrivr A t t 5t dunqu l voluzion libra dllo stato val pr t : z l (t) A t z() t 3 2t.. (2 punti) Ch rlazion ci si asptta tra l voluzion libra y l (t) dll uscita calcolata al punto l voluzion libra dll uscita calcolata a partir dal sgnal z l (t)? I du valori dvono ovviamnt concidr prché una trasformazion di similitudin corrsipond ad una divrsa sclta dll variabili di stato ma non modifica il comportamnto strno dl sistma (s i du valori iniziali dllo stato sono lgati anch ssi mdiant la stssa trasformazion). Ciò può anch vdrsi analiticamnt. Dtto y l (t) C z l val: y l (t) C z l (t) CP A t z() CP A t P x() C At x() y l (t). 5

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