Modello di studio delle dinamiche di oscillazione in un impianto idroelettrico

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1 niversità degli studi di Firenze Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria per l Ambiente ed il Territorio Corso di Teoria dei Sistemi rof. Alessandro Casavola A.A. / Modello di studio delle dinamiche di oscillazione in un impianto idroelettrico Colpo d ariete e oscillazioni di massa Buccelletti Francesco Giorni Daniele

2 Indice Introduzione..3. Lo studio idraulico: le equazioni..4. Oscillazioni elastiche..4. Oscillazioni di massa.3. Studio del sistema 4. Identificazione e descrizione 4. Dati reali Linearizzazione Stabilità dell equilibrio Ricerca dei punti di equilibrio Caratterizzazione del tipo di equilibrio Studio in frequenza 7 5. Guadagno in continua 7 5. Risposta a regime per segnali sinusoidali.8 6. Legge di controllo.3 Appendice.38 Bibliografia..4

3 Introduzione Tra i problemi dell idraulica, particolare interesse viene rivolto allo studio dei fenomeni che riguardano il moto vario nelle condotte in pressione, come le oscillazioni. Aspetto fondamentale di questi fenomeni è la continua variazione istante per istante e sezione per sezione della condotta dei termini che identificano l energia della corrente, come velocità e pressione.tali fenomeni si presentano allorché in un impianto si verificano delle variazioni nelle condizioni di moto permanente. Si può affrontare lo studio dal punto di vista sistemistico del problema, considerando le condizioni successive a queste variazioni come un transitorio al termine del quale si reinstaurano condizioni di regime permanente. Le oscillazioni sono delle particolari condizioni di moto vario e si suddividono in due categorie fondamentali: oscillazioni di massa e oscillazioni elastiche. Le seconde (la cui fase iniziale è più nota con il nome di colpo d ariete), sono sostanzialmente onde con energia che si trasmette o con perturbazioni di pressione o di velocità. Hanno inoltre elevata celerità ( m/s) e si propagano a causa della comprimibilità del fluido e dell elasticità della condotta. Le cause di queste oscillazioni risiedono per lo più nelle variazioni di velocità provocate ad esempio dalle manovre di chiusura o apertura delle valvole in una condotta, dall attacco e stacco della pompa in una condotta di pompaggio. Le prime, invece, sono spostamenti in blocco che la colonna di liquido subisce quasi rigidamente fra due serbatoi a pelo libero collegati fra loro. La celerità di queste onde è quindi da considerarsi infinita. Schema di un impianto Idroelettrico a serbatoio In molti impianti idraulici, ad esempio negli impianti idroelettrici a serbatoio dotati di pozzo piezometrico (vedi figura) possono presentarsi entrambi i tipi di oscillazione. uelle elastiche all interno della condotta forzata, all estremità inferiore della quale si trovano gli organi di chiusura; le oscillazioni di massa nel sistema lago-galleriapozzo piezometrico. E proprio a questa situazione che si ispira il nostro studio che cercherà di esaminare il fenomeno dal punto di vista fisico, elaborare tramite tale schema un modello che poi, sulla base di dati e misure reali, permetterà uno studio del fenomeno più approfondito e generale. 3

4 4. Lo studio idraulico: le equazioni Veniamo ora alla fisica del problema e alla scrittura delle equazioni che regolano i due tipi di oscillazione. Essi devono essere trattati con ipotesi diverse, data la diversità delle grandezze in gioco. Nelle condizioni di moto vario valgono le due seguenti equazioni: considerando la conservazione della massa e della quantità di moto, si ottiene: / / ) ( J t V g x p g V p z x γ γ γ ) ( ) ( t x c ρ ρ dove V è la velocità della corrente (puntuale), J è la perdita di carico, Ù c è la sezione della condotta e p è la pressione. La prima esprime l equazione dinamica del moto vario di una corrente.. Oscillazioni elastiche osto V, ricaviamo ) ( ) ( t p p p x V x V c c c c ρ ρ ρ ρ na volta note le leggi (p) e ρρ(p) che esprimono la dipendenza della densità del fluido e della sezione della condotta dalla pressione, ovvero la comprimibilità del fluido e la deformabilità della sezione, si giunge attraverso alcune ipotesi alle equazioni differenziali del moto vario t h dp d x V t V g x h c c ε γ dove h è la quota piezometrica hzp/γ e ε è il modulo di elasticità di volume del liquido ερdp/dρ. Le ipotesi effettuate sono: a)il valore del modulo di elasticità di volume è elevato e costante al variare della pressione. b)le condotte si considerano cilindriche con sezione e spessore costanti e costruite con materiali dotati di modulo elastico E molto elevato. c)la velocità della corrente è limitata.

5 5 d)i processi di colpo d ariete si esplicano in tempi brevi a causa della celerità e quindi le resistenze non hanno modo di entrare in gioco e si trascurano. Definendo la celerità delle perturbazioni come ES D a ε ρ ε dove E è il modulo elastico della condotta e S il suo spessore,si ottiene t g x h c x g a t h c e derivando la prima rispetto a x e la seconda rispetto a t si trova t h a x h che è l equazione delle corde vibranti studiata da D Alambert. L integrale di questa forma è noto essere [ ] ) / ( ) / ( ) / ( ) / ( ) / ( a x t f a x t F a g V V a x t f a x t F h h Le due funzioni F sono nulle nel regime permanente che precede la manovra. All istante t nella sezione x ove è posto l organo di manovra ha origine l onda F che si propaga verso l imbocco xl. In questo momento all imbocco si origina l onda f che percorre la condotta in verso opposto alla F. uindi il tempo necessario alla propagazione di un onda di pressione lungo tutta la condotta è a L / ϑ che è chiamata durata di fase, relativamente alla quale si definiscono manovre lente quelle per cui il tempo di manovra τ è superiore alla durata di fase, e manovre brusche le altre.

6 La perturbazione F viene riflessa all imbocco negativamente, ovvero torna indietro cambiata di segno. Le condizioni ai limiti che si impongono sono:. hh per la sezione xl.. La legge di variazione della velocità in x. La seconda di tali condizioni si ricava schematizzando l ugello come una luce a battente di area variabile ω, per cui la portata defluente in regime permanente è Cv gh dove Ù V è la sezione della valvola dell otturatore e C il coefficiente di efflusso. In ogni istante avrò Cω gh Dividendo fra loro le ultime due si ottiene V V η h h che vale nella sezione x e dove η è il grado di apertura dell otturatore riferito alle condizioni Ù V di regime permanente. Date queste condizioni al contorno, è possibile fare diverse semplificazioni. Innanzi tutto, dalla condizione su xl ottengo che F(t- L/a)f(tL/a). uindi posso scrivere la soluzione generale integrata, solo in funzione di F come h( t) h V( t) V F( t) F( t ϑ) g / a( F( t) F( t ϑ) Scelta una successione di tempi in modo tale che ogni istante disti dal precedente ϑ, e il primo cada all interno della prima durata di fase, con semplici operazioni algebriche si ottengono le equazioni concatenate del carico di Allievi h( ti ) h h( t h ) V( ti Al V i Valide nella sezione x, dove Al è il numero di Allievi av Al gh ) V( t V ueste equazioni molto importanti consentono di ricavare nella sezione di sbocco e istante per istante, i valori del carico piezometrico h(t) in funzione della manovra di chiusura. La scelta del primo istante di tempo è arbitraria, purché minore di ϑ, e quindi è possibile migliorare l indagine discretizzando l intervallo ϑ e ripetendo per ogni intervallo di tale discretizzazzione il procedimento iterativo prima indicato. Importante è notare che le condizioni con il pedice non si riferiscono sempre alla situazione di moto permanente prima della manovra, ma nel caso di aperture da i ) 6

7 otturatore chiuso fanno riferimento alle condizioni permanenti dopo la manovra. Inoltre, ω no si riferisce al grado di chiusura assoluto dell otturatore, bensì alla sezione effettivamente impegnata dal defluire della portata all otturatore. Dalla trattazione analitica di tali equazioni si ricava che per manovre brusche si raggiunge il valore più alto di pressione all otturatore pari a p max p p max p ρav e tale valore non dipende dal tempo di manovra, purché questo sia appunto minore della durata di fase. Le manovre lente, producono una progressiva diminuzione del massimo della perturbazione al crescere del τ tempo di manovra. Tramite un programma in Matlab (Appendice) è stato possibile eseguire una discretizzazione della durata di fase in passi da. secondi, e implementare la procedura di Allievi costruendo così l andamento della sovrapressione rispetto al valore di regime permanente all otturatore per il nostro impianto secondo i grafici seguenti. 7

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10 Le manovre di apertura, portano a valori di sovrapressione molto meno accentuati e quindi interessano relativamente l aspetto tecnico del fenomeno.

11 Fatto questo, è facile ricavare la perturbazione in velocità all ingresso della condotta, in quanto le condizioni al contorno imposte nella risoluzione del problema portano a far sì che l energia della perturbazione, mentre all otturatore si rispecchia in una variazione di pressione, all imbocco della condotta viene ad essere una variazione in velocità, sfasata di 9, in quanto il massimo di pressione corrisponde a un valore nullo di velocità, ritardata di un tempo ϑ/ cioè il tempo che la perturbazione impiega a percorrere la condotta dall otturatore all imbocco, e scalata di un fattore g/a, in quanto a F( t) F( t ϑ ) V g Si ricavano così i grafici della velocità all imbocco della condotta forzata. Tutto questo è conseguenza della conservazione dell energia della perturbazione che, a causa dei vincoli al contorno, si trasforma alternativamente in energia cinetica o di pressione. I punti lungo la condotta diversi dalla sezione d imbocco e dall otturatore sono soggetti ad ambedue le forme di energia.

12 uesti sono dunque gli andamenti di velocità all imbocco della condotta forzata. E interessante notare dai grafici di pressione che esiste una saturazione, ovvero il massimo di sovrapressione che si ottiene per τ<ϑ (ovvero per manovre brusche), non varia al variare di τ, e l andamento del grafico si avvicina sempre più ad un onda quadra. er τ>ϑ (ovvero per manovre lente), il picco si smorza invece all aumentare del tempo di manovra. Inoltre, i valori massimi si ottengono sempre per manovre di totale chiusura. La periodicità delle perturbazioni è sempre ϑ. er l impianto che abbiamo preso in considerazione, la durata di fase è di 3.3 secondi (vedi più avanti). Infine, è interessante sottolineare che abbiamo verificato che il cambiamento del tipo di manovra è pressoché ininfluente sull andamento delle perturbazioni, e modifica soprattutto la parte iniziale, cioè quella di colpo diretto, che coincide con la prima durata di fase per la sezione x; si definisce fase di colpo diretto per la sezione xs, il tempo t d t d L s a per questa durata, le equazioni che regolano il sistema si riducono a p γ h ρc ( V V ) relazione che è quindi valida per ogni legge di variazione di velocità. La fase successiva, o di contraccolpo, è quella caratterizzata dalla sovrapposizione delle onde f e F, e la perturbazione risultante si ricava con le equazioni di Allievi. Lo smorzamento delle oscillazioni, che non si considera in questo modello, avviene comunque in tempi rapidi, in virtù soprattutto delle dissipazioni che accompagnano le trasformazioni di energia.

13 . Oscillazioni di massa L aspetto tecnico del problema delle oscillazioni di massa si può far riferimento al sistema lago-galleria-pozzo piezometrico in un impianto idroelettrico. L utilizzo della potenza idraulica in questi impianti è spesso condotta a mezzo di un impianto costituito da una galleria in pressione di debole pendenza (fatta o con tubazioni in cemento o direttamente scavata nella roccia), alla quale segue una condotta forzata (di norma realizzata con condutture metalliche) che alimenta le turbine. Il raccordo fra le due opere di convogliamento è in comunicazione libera con l atmosfera tramite un pozzo, o vasca di oscillazione. Esso può arrivare a parecchie decine di metri di lunghezza. In condizioni di regime permanente esso indica la quota piezometrica dell acqua in galleria. Allorché avviene una manovra all otturatore, che possiamo ritenere istantanea in quanto avviene in tempi molto brevi rispetto alla dinamica del fenomeno, la portata in galleria non subisce variazioni ma invece di entrare nella condotta forzata sale nel pozzo piezometrico. Supponendo invariato il livello del lago, si instaura un regime di oscillazioni che pian piano si smorzano per via degli attriti e che interessano sia la portata in galleria sia il livello del pozzo. Nello studio fisico si fanno le seguenti ipotesi: a) serbatoio (lago) molto grande con livello invariato. b) pozzo di lunghezza limitata rispetto alla galleria, dimodoché è possibile trascurare l inerzia dell acqua contenuta in esso. c) velocità nel pozzo limitata e quindi perdite in esso limitate. d) moto in galleria turbolento. e) fluido incomprimibile. f) trascuriamo le perdite di imbocco e nelle strozzature. g) galleria indeformabile. La f) è facilmente rimovibile, ma per il nostro studio abbiamo preferito semplificare il tutto. Le equazioni che regolano il fenomeno sono la conservazione della massa e della quantità di moto della portata in galleria dove d g ( ) λ h h dt LG D dz ( ) dt h α z ( ) g è la portata in galleria, la sezione della galleria, D il suo diametro, L G la lunghezza, z la quota nel pozzo, h la quota del lago, λ il coefficiente di resistenza dato dalla scabrezza delle pareti, p la sezione del pozzo e infine la portata defluente nella condotta forzata e α il coefficiente di ragguaglio dell energia cinetica. In condizioni stazionarie,. 3

14 Data la modesta pendenza della galleria e gli obiettivi del lavoro, può essere accettabile approssimare h h.. Studio del sistema. Identificazione e descrizione A questo punto è possibile fare una considerazione. I due tipi di oscillazione sono in un impianto idroelettrico strettamente collegati. Infatti quando da un regime permanente qualsiasi si agisce sull otturatore in fondo alla condotta forzata, in questa si instaura un fenomeno del tipo di colpo d ariete, e la perturbazione in velocità (e quindi in portata) che si forma all ingresso della condotta stessa agisce da ingresso per il sistema dato dalle oscillazioni di massa nel sistema galleria-pozzo. Le perturbazioni che nascono in seguito alle manovre di chiusura o apertura degli otturatori in condotta forzata risalgono fino al pozzo piezometrico, il quale mantiene costante il livello del carico all imbocco della condotta e funziona da polmone nell assorbimento e nel rilascio di volume d acqua. L aspetto tecnico dei problemi, riguarda soprattutto la pressione massima che si raggiunge durante le manovre all otturatore: i valori possono essere anche molto elevati ed è per questo che la condotta forzata deve avere caratteristiche meccaniche elevate. Infatti la sua lunghezza è limitata e per questo si ricorre alla strategia di posizionare il pozzo alla fine della galleria, cosicché la sovrapressione non si possa propagare in quest ultima. Inoltre possono insorgere problemi di cavitazione se la pressione scende molto all interno della condotta. Lo stato che possiamo considerare è X z e il nostro sistema diventa dove X& g & ( ) λ h h LG D z & ( ) h α z ( ) g 4

15 ossiamo prendere come uscita una componente dello stato, e tecnicamente la più interessante è z, ovvero la quota nel pozzo. LCT LC h h h Lg Z Z L Lo schema del sistema può quindi essere Sistema galleria- pozzo z L espressione completa (rappresentazione di stato) del sistema è X& g & ( ) λ h h LG D z & ( ) [ ] X z Y Nell analisi dei due tipi di fenomeni interconnessi, ci si accorge facilmente di una semplificazione molto importante: nella trattazione delle oscillazioni di massa, data la grossa diversità di portate e tempi in gioco, è possibile approssimare tutta la fase di perturbazione con il suo valore medio, che sarebbe quello a regime dopo la manovra. uesto è vero sia perché il tempo di esaurimento del transitorio per la condotta forzata è trascurabile rispetto ai tempi di oscillazione nel pozzo e inoltre l ampiezza 5

16 delle oscillazioni in portata, combinata con la loro alta frequenza, porta a valori di trascurabili per quanto riguarda il transitorio del colpo d ariete. E possibile semplificare a questo punto la trattazione ponendo l organo di intercettazione all imbocco della condotta forzata, usando così un semplice legame con la portata dato dalla formula della luce a battente. Lo studio del sistema per quanto riguarda la simulazione è stato effettuato mediante la schematizzazione in Simulink come in figura: 6

17 Integratore della Livello del lago in galleria -C- Sez.pozzo h double double double double double C ortata s nella galleria double double double double double s double double Integratore del livello C Livello z z nel pozzo double del pozzo u double double double piezometrico double double u double ortata double double C3 all'ingresso della cond. forzata in ingresso. Dati reali er lo studio del sistema abbiamo fatto riferimento ad un impianto reale. La centrale idroelettrica di Entracque che è situata in prossimità della strada provinciale per S.Giacomo (regione della iastra) in località Entracque (Cuneo). Tutta la centrale, ad eccezione della stazione elettrica, è costruita in caverna. E' il più grande impianto idroelettrico di pompaggio d'italia (. MW). La centrale, durante le ore di maggiore richiesta (generalmente le diurne) riceve l'acqua proveniente dagli invasi superiori, producendo energia grazie alla spinta dell'acqua. Durante le ore notturne (o quelle di minore richiesta di energia) funziona all'inverso prelevando l'acqua dall'invaso inferiore, e pompandola di nuovo a quelli superiori (da qui la definizione di centrale di pompaggio). Il bacino del Chiotas e il lago della Rovina sono gli invasi superiori dai quali viene prelevata l acqua durante la fase di generazione. L acqua prelevata dai bacini superiori, viene convogliata nelle condotte forzate dove, per effetto della gravità acquista la forza di spinta necessaria alla rotazione delle turbine. La portata complessive delle condotte forzate è di metri cubi al secondo, pari alla portata del fiume o a Torino; la portata di una singola turbina è 5 mc/s, sono otto e quelle delle condotte del Chiotas sono del tipo reversibile, cioè girano al contrario nella fase di pompaggio. 7

18 L invaso del Chiotas Le condotte forzate di Entracque sono tre: due provengono dal Chiotas, hanno una lunghezza di.65 metri con un salto massimo di.48 metri e un diametro che va da 3,35 a 3,8 metri. na proviene dal Rovina, ha lunghezza di 96 metri con un salto massimo di 598 metri e un diametro che va da, a,35 metri. La pendenza delle condotte è del 9%. Il serbatoio del Chiotas, posto a.978 metri s.l.m., ha una capacità utile di 7.3. metri cubi di acqua. La diga, del tipo ad arco-gravità, ha una altezza massima di 3 m con una lunghezza del coronamento di 3 m e un volume di calcestruzzo di 36. metri cubi. La diga ha uno spessore, alla base, di 37 metri. Il bacino del Chiotas è quello che abbiamo preso in considerazione per il nostro studio. Le acque della diga infatti, per arrivare all imbocco delle condotte forzate attraversano una galleria in pressione della lunghezza di 74 m e del diametro di 6. m e sul raccordo fra le due opere esiste un pozzo piezometrico dello stesso diametro della galleria ovvero 6. m. 8

19 na delle condotte forzate che dall invaso scende alla centrale di Entracque E conveniente considerare una condotta forzata unica nello studio del sistema, con portata doppia in modo da semplificare la trattazione. I risultati ottenuti saranno quindi da interpretare come relativi ad una sola condotta di sezione doppia. I dati da usare sono quindi L 65m c 9.6m v.m L 74m D 6.m h G 48m 9.9m 9.9m C.7 ϑ 3.3s La sezione a battente. V è relativa alla valvola aperta e serve nel calcolo della portata della luce 9

20 3. Linearizzazione In generale quando si ha a che fare con un sistema non lineare, schematizzato dalla seguente rappresentazione di stato, X& ( t) f ( t, X ( t), u( t)) Y ( t) η( t, X ( t), u( t)) X ( t ) X per studiarne certe caratteristiche o eseguirci determinati lavori, si rende necessario linearizzarlo. iù precisamente i sistemi lineari vengono spesso utilizzati per studiare in modo approssimato la dinamica dei sistemi non lineari. Il procedimento secondo il quale si associa un sistema lineare ad uno non lineare viene detto linearizzazione e teoricamente è regolato dal Teorema di Taylor. Generalmente l applicazione più frequente di tale tecnica si ha nello studio del comportamento di sistemi non lineari nell intorno di uno stato di equilibrio, aspetto della linearizzazione di cui anche noi nel nostro lavoro ci siamo serviti. er quanto detto fin qui siamo in grado quindi di approssimare il precedente sistema non lineare con il seguente, dove ~ X ( ) X ( ) Xˆ ( ) ˆX ( ) X ( ) soluzione nominale soluzione perturbata. X ~& ~ ( t) AX Bu~ ~ ~ Y ( t) CX Du~ A f X f X n n n R X X f n f n u ˆ uˆ X f X X n

21 m n m n n m u u X X u f u f u f u f u f B R ˆ ˆ n p n p p n u u X X X X X X X C R η η η η η ˆ ˆ m p m p p m u u X X u u u u u D R η η η η η ˆ ˆ E necessario precisare che la bontà del modello linearizzato nei confronti di quello non lineare dipende da quanto sono piccoli gli scostamenti dalla soluzione nominale nel considerare l evoluzione lineare del sistema. rocediamo alla linearizzazione del nostro sistema. La rappresentazione di stato del nostro modello non lineare è z X & & & ) ( ( ) D h h L g G λ [ ] z X Y dove g z h ) ( α Le condizioni iniziali fanno riferimento a () z X che sono le condizioni di moto permanente preesistenti alla manovra. L applicazione della linearizzazione al nostro sistema da come risultato

22 ( ) G G L g D L A λ α G L B ) ( α [ ] C, D Si noti come la matrice D è uguale a zero in quanto il sistema è strettamente causale. Sostituendo i dati numerici si nota che le matrici dipendono dai parametri e, ovvero per ogni portata nella condotta () e nella galleria () esiste una linearizzazione. na volta trovata la relazione fra e avremo le matrici del sistema linearizzato determinate con precisione. ( ) A ) ( 3.6 B [ ] C, D

23 4. Stabilità dell equilibrio 4. Ricerca dei punti di equilibrio In generale per punti di equilibrio si intendono le soluzioni, costanti nel tempo, del sistema. Nel caso Tempo Continuo, nel quale noi siamo, la condizione per la ricerca dei punti di equilibrio è X & rocediamo al calcolo dei punti di equilibrio nel nostro caso, X & &, X, X& z z & g λ ( h h) LG D ( ) da cui, LG λ z h Dg uesti valori corrispondono ai punti di equilibrio per il nostro sistema, è da notare come ad ogni valore di portata a regime permanente corrisponda un determinato punto di equilibrio. 4. Caratterizzazione del tipo di equilibrio Il sistema di cui noi vogliamo studiare l equilibrio è linearizzato, quindi l unico Teorema che abbiamo a disposizione per la caratterizzazione dell equilibrio è il Criterio di Lyapunov basato sulla Linearizzazione. 3

24 er procedere allo studio dell equilibrio con Lyapunov dobbiamo controllare gli autovalori della matrice A. λ g D L A 4 G p Segnaliamo come, volendo studiare il tipo di equilibrio del sistema, ora si stia lavorando con una linearizzazione del sistema nell intorno dei punti di equilibrio, per questo la matrice A scritta sopra assume tale aspetto. Calcolando il polinomio caratteristico otteniamo, det(a-σ I ) σ λ D λ 4D g L G σ λ D λ 4D g L G Come è evidente gli autovalori della matrice A hanno entrambi parte reale strettamente negativa quindi per il Criterio di Lyapunov basato sulla Linearizzazione i punti di equilibrio trovati sono punti di equilibrio localmente asintoticamente stabili. er verificare questo abbiamo perturbato le condizioni iniziali in Simulink, ossevando come le traiettorie tornino sempre nel punto iniziale. ~ δ X () z δ z dove δ sono perturbazioni di qualunque valore positivo o negativo. 4

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27 5. Studio in frequenza Sebbene abbiamo più volte ripetuto che le frequenze dei due fenomeni non sono comparabili, è utile quantificare queste affermazioni. er il fenomeno di onde elastiche dentro la condotta forzata (colpo d ariete), si ricava una frequenza υ. 5s ϑ mentre le oscillazioni di massa hanno frequenze dell ordine di υ 3 s otrebbe comunque essere interessante effettuare uno studio a segnali tipici cioè Y Wˆ ( σ) exp( σt) 5. Guadagno in continua La funzione di trasferimento si ricava per il sistema linearizzato da W ˆ ( s) C( si A) B D Nel nostro caso Wˆ ( s) λ ( )( s ) D λ g s s D L G Il segnale modale in ingresso che si considera è exp( σt) ovvero un segnale costante. Il guadagno dipende ovviamente dalla portata attorno a cui si è linearizzato: σ L Wˆ () λ.7 Dg G 3 7

28 5. Risposta a regime per segnali sinusoidali Si studia stavolta un ingresso exp( σt) σ jω sapendo poi che le risposte a tali segnali sono Y ( t) Wˆ ( jω) sen( ωt ϕ arg( Wˆ ( jω)) è di solito interessante verificare quali siano le condizioni di risonanza, ovvero quei valori della frequenza del segnale in ingresso per cui il modulo della funzione di trasferimento calcolata in jù tende all infinito, e tende all infinito quindi anche il modulo della risposta. W ˆ ( jω).8 8 ( ω(.3 ω 9.9((.3 ω ) ) ω.69).69ω ) Il denominatore non è mai uguale a zero ma ha un minimo per 3 ω.35 υ 5.58 Tale calcolo, eseguito sul sistema linearizzato attorno al punto di lavoro con massima (ovvero mc/s), e per un segnale in ingresso sinusoidale con ampiezza pari alla portata massima creta da una manovra brusca dell otturatore, non identifica una vera e propria risonanza per il sistema, ma come si vede dal grafico Simulink, determina comunque una massima amplificazione dell oscillazione. uindi questo studio in frequenza, pur avendo scarso significato per il sistema reale, riveste comunque una certa importanza dal punto di vista fisico: se la condotta forzata fosse tanto lunga da portare i valori della frequenza della perturbazione a questi valori, prima dello smorzamento del fenomeno si avrebbe comunque un problema di oscillazione di massa troppo elevata nel pozzo. 8

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30 6. Legge di controllo uò a questo punto essere interessante concepire una legge di controllo per le manovre di apertura o chiusura dell otturatore. Considerando l organo di manovra all imbocco della condotta forzata, è facile, come detto, stabilire un legame fra portata in ingresso e apertura. n obiettivo interessante è sicuramente quello di minimizzare l ampiezza delle oscillazioni nel pozzo piezometrico che abbiamo visto possono essere molto accentuate. Zr e -r Z -K S - Data una z di riferimento per la fine della manovra (dipenderà dalla portata finale a regime permanente r), vogliamo trovare un valore di K per cui è possibile smorzare al massimo l errore e, vincolati dal fatto che la portata da controllare non può eccedere il valore di mc/s e deve essere positiva. Inoltre le manovre suggerite dal controllore non devono essere più rapide dei tempi fisici di effettuazione reale. osto la portata sarà: e z r z ( t) K ( z z( t)) r Lo smorzamento corrisponde a trovare la nuova funzione di trasferimento del sistema e agire su K in modo da spostare gli autovalori verso la parte reale negativa. X& AX B( zr [ ] X ) K A' λ D g LG K 3

31 χ A ( σ ) σ σ ( λ D K g ) ( L G Kλ ) D Dove è la portata iniziale attorno a cui si effettua la linearizzazione. Controlliamo la raggiungibilità del nostro sistema linearizzato per poter allocare liberamente gli autovalori del nuovo sistema. R B, AB] g LG [ Che ha ovviamente rango massimo. uindi Rango[R]n e il sistema è completamente raggiungibile. E quindi possibile allocare gli autovalori. Di seguito è riportato lo schema Simulink utilizzato per lo studio del controllo. Zf e f indicano le condizioni finali e a K è stato inizialmente assegnato un valore. Livello del lago Integratore della in galleria -C- Sez.pozzo h s C ortata nella galleria s Integratore del livello z nel pozzo u C Livello z del pozzo piezometrico u C3 ortata all'ingresso della cond. forzata Saturazione zf -C- Legge di chiusura per l'otturatore (-) -k Constante per ricavare il grado di chiusura f 3

32 Gli autovalori sono con a σ λ K D a ± a g Kλ b.8 L D 4b.335 K 6 K.3 La parte reale degli autovalori è naturalmente a/ che è ovviamente funzione di K. Se poniamo K, ovviamente sono gli stessi del sistema di partenza. Aumentando K, la parte reale diventa sempre più negativa. osto K, vediamo i grafici per alcune manovre. La parte reale degli autovalori è: 3 Re( σ ). 3

33 ossiamo provare ad aumentare K, spostando così gli autovalori ancora più a sinistra, ad es. K. 33

34 La parte reale degli autovalori a partire dalla portata massima (otturatore aperto) è: Re( σ ).7 34

35 facendo uno zoom 35

36 La manovra è già molto rapida, quindi forse conviene fermarsi. A titolo di esempio vediamo l andamento per K5, ovvero per Re( σ ).84 si nota che la manovra è forse troppo rapida. Comunque lo smorzamento delle oscillazioni era già buono per K. Si può vedere inoltre che lo smorzamento interessa anche l andamento della portata nella galleria. 36

37 Infine, possiamo vedere dalla modellizzazione Simulink come il controllore che abbiamo realizzato sia efficiente anche per manovre diverse dalla chiusura totale. A titolo di esempio riportiamo il seguente grafico. 37

38 Appendice %input delle caratteristiche dell'impianto% ainput('inserisci la celerità della perturbazione '); hinput('inserisci l"altezza del serbatoio rispetto alla saracinesca: '); Linput('Inserisci la lunghezza della condotta: '); Lginput('Inserisci la lunghezza della galleria: '); omegainput('inserisci la sezione della galleria: '); Ocinput('Inserisci la sezione della condotta forzata: '); Eiinput('Inserisci il grado di chiusura iniziale della saracinesca (chiuso, aperto): '); Efinput('Inserisci il grado di chiusura finale della saracinesca (chiuso, aperto): '); Tcinput('Inserisci il tempo di manovra: '); eps5; g9.8; omegapinput('inserisci la sezione del pozzo piezometrico: '); Comega*g/Lg; Dsqrt(4*omega/pi); lambda/(*log(3.7*d*/eps))^; Clambda/(*D*omega); C3.8/(*g*omegap^); max.7*oc*sqrt(*g*h);.7*ei*oc*sqrt(*g*h); V/Oc; zh-(lambda/d)*^*lg/(*g*omega^); %Calcolo del controllore nel sistema linearizzato% k; zfh-lambda/d*(f^*lg/(*g*omega^)); f.7*ef*oc*sqrt(*g*h); %Calcolo della perturbazione in velocità %all'altezza dell'imbocco della condotta forzata per un t di periodi %con manovre lineari T*L/a; %durata di fase t[.:.:*t];% tempo per la perturbazione di pressione Ala*V/(*g*h); z[]; z(); 38

39 tau(t*); eta[:-(/tc)/:ef/ei]; eta[]; for i: eta(i)ef/ei; end eta[eta,eta]; for i:tau z(i)-al*eta(i)sqrt(eta(i)^*(al^)*al*eta()*z()-z()^); end for j:9 for i:tau z(i(j*tau))-al*eta(ij*tau)sqrt((eta(ij*tau)^)*(al^)*al*z(i(j- )*tau)*eta(i(j-)*tau)-z(i(j-)*tau)^); end end Dp98*(h*(z.^)-h); Dv.5*(Dp/98)*g/a;% calcolo della perturbazione in velocità t[.-t/:.:*t-t/];% tempo per la perturbazione di velocità end; 39

40 Bibliografia [] Appunti delle lezioni del Corso di Teoria dei Sistemi, rof. Casavola a.a.- [] Dispense del Corso di Teoria dei Sistemi, rof. Casavola [3] Sergio Rinaldi, Teoria dei Sistemi, Hoepli, Milano,977 [4] S.Rinaldi C.iccardi, I sistemi lineari: teoria, modelli, applicazioni, Città Studi Edizioni,997. [5] Citrini - Noseda, Idraulica, Ambrosiana, Milano, 987 [6] Marchi - Rubatta, Meccanica dei Fluidi, TET, Torino, 98 4