a Vm g Essendo il lato del corpo pari a l = 10.0 cm, il volume dell acqua presente nel recipiente è = m 3 V m,i V m

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1 Università degli Studi di Udine, Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale A.A. 2014/2015, Esame di FISICA GENEALE I (12 CFU) Appello Straordinario, Prova scritta del 14 Dicembre 2015 TESTI E SOLUZIONI DEI POBLEMI POBLEMA 1 Si abbia un recipiente di vetro a base uadrata di sezione A = 900 cm 2 con la parte superiore aperta. Sul suo bordo è poggiata un asticella rigida al cui punto di mezzo è appesa una molla ideale di costante elastica k. All altro estremo della molla è agganciato un corpo omogeneo di forma cubica di massa m = 0.90 kg e volume V m = 1.00 dm 3. Nel recipiente è presente unauantità di acua di volume V 0 tale (vedi figura), che uando il corpo è in euilibrio statico esso risulta immerso per metà, la molla risulta allungata di un y 0 = 8.00 cm e la faccia inferiore del corpo si trova ad una distanza h 0 = 5.00 cm dal fondo del recipiente. Determinare: a) la costante elastica k della molla; b) il volume V 0 (espresso in litri) dell acua presente nel recipiente. Supponendo poi che venga aggiunta altra acua fino a che la faccia inferiore del corpo si porti ad una distanza dal fondo pari a h m 1 = 12.0 cm, si determini: c) per uale frazione della sua altezza il corpo risulta immerso; h 0 d) il volume finale V 1 (espresso in litri) dell acua presente nel recipiente; [Supporre che la molla abbia massa trascurabile e che rimanga sempre verticale.] Soluzione Se il corpo è in euilibrio statico allora la risultante delle forze che agiscono su di esso è nulla. Pertanto m g g g+ F F Fe + S S SA = 0 F e +S A mg = 0, dove F F Fe e S S SA sono rispettivamente la forza elastica (diretta verso l alto) espressa dalla molla e la spinta di Archimede (anch essa verso l alto). Essendo il corpo immerso per metà abbiamo S A = 1 2 ρ av m g e uindi F e = mg 1 2 ρ av m g = ρ m V m g 1 2 ρ av m g = (ρ m 1 2 ρ a)v m g, dove abbiamo indicato con ρ m = m/v m = kg/m 3 e ρ a = kg/m 3 le densità del corpo e dell acua. Tenendo presente che è F e = k y 0 si ricava ( ρm 1 2 k = ρ ) a Vm g = 49.1 N/m. y 0 Essendo il lato del corpo pari a l = 10.0 cm, il volume dell acua presente nel recipiente è V 0 = A (h ) l 1 2 V m = m 3 = 8.50 l. Dopo l aggiunta dell acua la faccia inferiore del corpo si porta ad una distanza h 1 dal fondo del recipiente e uindi l allungamento della molla si è ridotto a y 1 = 1.00 cm. Pertanto l euilibrio statico del corpo comporta F e +S A mg = 0 S A = m g F e = mg k y 1, e conseguentemente, essendo S A = ρ a V m,i g si ricava V m,i = mg k y 1 ρ a g = m 3 V m,i V m = Dall ultima relazione si vede che il corpo risulta immerso per l 85% del suo volume e uindi anche della sua altezza. Conseguentemente, il volume d acua presente nel recipiente è V 1 = A(h l) 0.85 V m = m 3 = 17.6 l. POBLEMA 2 Unalastra di massa M = 20.0 kg è appoggiata sul pavimento e puòscivolare su di esso con attrito trascurabile. Sulla lastra è posto un cilindro omogeneo di raggio = 15.0 cm e massa m = 10.0 kg (vedi figura). Lastra e cilindro sono inizialmente in uiete. Ad un certo istante alla lastra viene applicata una forza costante, parallela al pavimento, di modulo F = 100 N.

2 Supponendo che il cilindro non scivoli rispetto alla lastra, m determinare: a) l accelerazione a l della lastra; b) l accelerazione angolare α c del cilindro; c) il minimo valore di µ s, µ s,min, affinchè il cilindro effettivamente non scivoli. [Supporre che l asse del cilindro sia perpendicolare alla direzione di moto della lastra] Soluzione Dall istante in cui la lastra è soggetta alla forza F il cilindro risentirà di una forza di attrito diretta nella stessa direzione di F F. In assenza di slittamento si parlerà di forza di attrito statico f fs ; al contrario, con scivolamento parleremo di forza di attrito dinamico f fk. Si noti che in entrambi i casi, per il principio di azione e reazione, sulla lastra, oltre ad F F, agirà una forza uguale ed opposta alla forza di attrito agente sul cilindro. Durante l avanzamento della lastra anche il c.d.m. del cilindro avanzerà, ma il cilindro ruoterà in verso antiorario. In assenza di scivolamento l applicazione della 2 a legge della dinamica in forma lineare a lastra e cilindro ci permette di scrivere le seguenti { Mal = F f s ( ) ma c = f s a l = F f s M ; a c = f s m ; dove a c è l accelerazione del c.d.m del cilindro rispetto al suolo. D altra parte, la 2 a legge della dinamica in forma angolare applicata alla rotazione del cilindro ci porta alla seguente Iα c = f s α c = 2f s m, dove I = 1 2 m2 è il momento d inerzia del cilindro rispetto all asse pasante per il suo c.d.m. In assenza di scivolamento il cilindro segue un moto di puro rotolamento rispetto alla lastra e uindi, se indichiamo con a c l accelerazione del c.d.m. del cilindro rispetto alla lastra, dovrà essere α c = a c /. Pensando al moto relativo tra cilindro e lastra è facile notare che tra le accelerazioni vale la seguente e che uindi è a c = a l +a c a c = a c a l, α c = a c = a c a l. Sostituendo uest ultima nella ( ) e introducendo nella stessa le espressioni di a l e a c ottenute nella ( ) si ricava la seguente a c a l = 2f s m f s m F f s M = 2f s m, dalla uale con ualche passaggio si ottiene ( m+m mm + 2 ) f s = F m M f s = mf m+3m. Pertanto per le accelerazioni si ricava M F F F ( ) a l = F f s M = 3F m+3m = 4.29 m/s2 ; a c = f s m = F m+3m = a l 3 ; α c = a c a l = 2F (m+3m) = 2a l 3 = 19.0 rad/s2. Si noti che uest ultima relazione poteva essere ricavata anche per altra via. 1 1 Mettiamoci nel sistema di riferimento (non inerziale) solidale con la lastra e applichiamo la 2 a legge della dinamica in forma angolare all asse passante per il punto di istantaneo contatto tra lastra e cilindro. La non inerzialità del sistema introduce anche le forze apparenti; e in effetti, rispetto all asse considerato solo la forza apparente m a a a l ha momento e possiamo scrivere la seguente euazione I Pα c = ma l, dove I P = 3 2 m2 è il momento d inerzia del cilindro rispetto all asse per il punto di istantaneo contatto. Esplicitando I P si ricava immediatamente la relazione α c = 2a l identica a uella citata. 3

3 Se il cilindro effettivamente non scivola sulla lastra, allora f s f s,max = µ s N = µ s mg Da tale relazione, tenendo presente l espressione che abbiamo ottenuto per f s, si ricava µ s µ s,min = f s mg = F (m+3m)g = POBLEMA 3 Si abbia una uantità di acua V 0 = 5.00 l alla temperatura iniziale T 0 = 20 C. Alla pressione p 0 (p 0 = 1.00 atm) l acua viene portata a 100 C e completamente vaporizzata; poi, dopo aver portato la pressione a p 1 = 2.00 atm, il vapore viene portato alla temperatura finale T 1 = 500 K. Trattando il vapore come un gas ideale biatomico, determinare: a) la uantità di calore totale Q tot fornita al sistema acua/vapore nell intero processo; b) il volume V 1 del vapore così ottenuto. Il vapore viene poi compresso lungo un adiabatica reversibile fino ad un volume finale V 2 = V 1 /2. Calcolare: c) la temperatura T 2 e la pressione p 2 finali del vapore; d) il lavoro che deve essere fatto per comprimerlo. [Calore specifico dell acua c a = J/(kg K); calore latente di evaporazione λ v = J/kg; massa di una mole di acua m mol = 18 g.] Soluzione Fino a completa vaporizzazione a pressione atmosferica all acua viene fornita una uantità di calore Q 1 = m a c a (T e T 0 )+m a λ v, dove T e = 100 C è la temperatura di ebollizione dell acua mentre c a e λ v sono il calore specifico e il calore latente di evaporazione dell acua. Essendo V 0 = 5.0 l, la massa di acua è m a = 5.00 kg. Pertanto è Q 1 = J. Se il vapore viene trattato alla stregua di un gas ideale biatomico, il calore necessario per portarlo, a pressione costante (pari a p 1 ), fino a T = T 1 può essere espresso come Q 2 = nc p (T 1 T e ), dove n è il numero di moli di acua presenti e c p = 7 2. Utilizzando la massa molare dell acua m mol abbiamo n = m/m mol = e uindi Q 2 = J. Pertanto il calore totale fornito nell intero processo è Per il volume del vapore abbiamo Q tot = Q 1 +Q 2 = J. p 1 V 1 = nt 1 V 1 = nt 1 p 1 = 5.70 m 3. Lungo una trasformazione adiabatica reversibile di un gas ideale valgono le relazioni pv γ = cost. e TV γ 1 = cost. dove, per un gas biatomico si ha γ = 7 5. Quindi possiamo scrivere e ( ) γ 1 T 2 V γ 1 2 = T 1 V γ 1 V1 1 T 2 = T 1 = T 1 2 γ 1 = 1.32 T 1 = 660 K, V 2 ( ) γ p 2 V γ 2 = p 1V γ V1 1 p 2 = p 1 = p 1 2 γ = 2.64 p 1 = 5.28 atm. V 2 Infine, dalla 1 a legge della termodinamica segue che per una trasformazione adiabatica è E int = L dove E int e L sono la variazione dell energia interna del sistema e il lavoro da esso compiuto. Notando che il

4 lavoro che si deve compiere percomprimereil vaporel ext è esattamente uguale ed oppostoauello compiuto dal vapore, potremo scrivere L ext = L = E int = nc V T = nc V (T 2 T 1 ) = J, nella uale c V = 5 2 è il calore specifico a volume costante del vapore (inteso come gas ideale biatomico). POBLEMA 4 Si considerino due conduttori sferici concentrici uno dentro l altro (vedi figura): il conduttore interno è omogeneo e ha raggio = 10.0 cm; l altro è un conduttore cavo e le sue superfici interna ed esterna hanno raggio 2 = 20.0 cm e 3 = 25.0 cm. Entrambi i conduttori sono dotati di una carica netta = C. All euilibrio elettrostatico, determinare: a) le uantità di carica 1, 2 e 3 presenti sulle superfici 1, 2 e 3 dei conduttori; b) le espressioni del campo elettrostatico al variare di r tra 0 a ; c) il potenziale elettrostatico (rispetto ad un punto all infinito) del conduttore interno. Infine: d) calcolare la variazione dell energia elettrostatica del sistema nel caso in cui il conduttore esterno venisse collegato a terra. 2 3 Soluzione Se i conduttori sono in euilibrio elettrostatico al loro interno il campo elettrostatico deve essere nullo; conseguentemente, le cariche nette possono distribuirsi solo sulle loro superfici. Per il conduttore interno è immediato concludere che tutta la carica si distribuisce uniformemente sulla sua superficie esterna (di raggio ). Invece, per il conduttore esterno, possiamo fare appello al teorema di Gauss applicato ad una ualsiasi superficie chiusa tra le due superfici sferiche di raggi 2 e 3 ; essendo in tale regione il campo nullo, è nullo anche il suo flusso attraverso tale superficie e uindi deve essere nulla anche la carica netta al suo interna a tale superficie. Da uesto discende immediatamente che sulla superficie 2 (di raggio 2 ) avremo una carica pari a. Conseguentemente, sulla superficie 3 (di raggio 3 ) avremo una carica netta pari a 2. iassumendo, sarà 1 = = C; 2 = = C; 3 = 2 = C. Data la simmetria sferica, il teorema di Gauss ci è particolarmente utile per il calcolo di E(r). In effetti, il campo è radiale e considerando una sfera di raggio r con < r < 2 possiamo scrivere Φ E (r) = 4πr 2 E(r) = int = E(r) = Analogamente, per una sfera di raggio r con r > 3 abbiamo 4π r 2. Φ E (r) = 4πr 2 E(r) = int = 2 E(r) = 2 4π r 2. Quindi, tenendo presente che il campo è nullo all interno dei conduttori, possiamo dire che è 0 0 r < 4πε E(r) = 0 r 2 1 r < r < 3 2 4π r r 2 3 Per il calcolo del potenziale del conduttore interno consideriamo un percorso radiale dalla superficie di tale conduttore all infinito. Il potenziale cercato corrisponde al seguente integrale V 1 V = V 1 = E(r)dr = = 4π 2 2 E(r)dr + dr 2 r2dr+ 4π 3 E(r)dr+ E(r)dr = 2 3 [ ] = V dr r 2dr = 4π Si noti che il sistema può essere trattato come se fosse composto da due condensatori sferici: il primo dei condensatori corrispondente alla due superfici sferiche di raggi e 2 ; l altro condensatore è a faccia

5 unica e corrisponde alla superficie di raggio 3. Conseguentemente, l energia elettrostatica del sistema corrispondealleenergieelettrostatiche immagazzinateneiduecondensatori. IndicandoconC 12 = 4πε e C 3 = 4π 3 le capacità dei due condensatori, possiamo dire che l energia elettrostatica complessiva del sistema è U tot = U 12 +U 3 = 2 + (2)2. 2C 12 2C 3 Se il conduttore esterno viene messo a terra, il suo potenziale viene azzerato e uindi viene azzerata anche la carica sulla superficie esterna. In altre parole: il condensatore di capacità C 3 viene scaricato. Conseguentemente, la variazione di energia elettrostatica del sistema sarà pari a U = U 3 = (2)2 2C 3 = 42 8π 2 3 = 2 2π 2 3 = J.