Lezione 14 I PRINCIPI DELLA MECCANICA DEI FLUIDI

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1 Appnt de cors d Idralca 1 e Idrodnamca 1 Lezone 14 I PRINCIPI DELLA ECCANICA DEI FLUIDI Il moto de fld è controllato da alcn prncp fondamental della fsca. Ennceremo nel segto: - l prncpo d conservazone della massa - l prncpo della qanttà d moto - l prncpo del momento della qanttà d moto che verranno tlzzat nel corso - IL PRINCIPIO DI CONERAZIONE DELLA AA La massa assocata ad n volme materale d fldo è costante nel tempo - IL PRINCIPIO DELLA QUANTITA DI OTO La dervata rspetto al tempo della qanttà d moto d n volme materale d fldo è gale alla rsltante delle forze che l esterno esercta sl volme d fldo - IL PRINCIPIO DEL OENTO DELLA QUANTITA DI OTO La dervata rspetto al tempo del momento della qanttà d moto d n volme materale d fldo è gale al momento rsltante delle forze che l esterno esercta sl volme d fldo edamo ora a qal eqazon condcono prncp enncat precedentemente

2 (Novembre 7) IL PRINCIPIO DI CONERAZIONE DELLA AA Dalla defnzone stessa d denstà, la massa nfntesma assocata al volme nfntesmo d è e l prncpo d conservazone della massa mpone la costanza d ρ d La massa del volme materale ( t) è dnqe fornta dalla somma de contrbt dervant da ttt volm nfntesm che compongono ( t). ha dnqe t = ρ d ( t) d dt t ρ d = Utlzzando l teorema del trasporto s pò anche scrvere ρ Per qanto esposto nella LEZIONE 13 la qanttà d ρ v n d + = ( v n) d ρ rappresenta la massa d fldo che attraversa la sperfce nell ntà d tempo. Tale qanttà è detta portata massca. Il prncpo della conservazone della massa mpone che ρ ρ t ( v n) d = d In altre parole la portata massca deve gaglare la dervata temporale della massa contenta all nterno d cambata d segno. In partcolare se la denstà del fldo è costante, essendo noltre costante, la portata massca assocata a deve annllars. Tanto fldo entra n, tanto deve scre, non essendo possble che l fldo s accml n per varazon d denstà

3 (Novembre 7) IL PRINCIPIO DELLA QUANTITA DI OTO Il prncpo della qanttà d moto mpone dnqe d dt Come dscsso nel pnto precedente la massa nfntesma assocata al volme d rslta par a ρ d La qanttà d moto della massa ρ d sarà ρ vd not che la qanttà d moto è na grandezza vettorale la c drezone e verso concdono con qell d v. La qanttà d moto del volme ( t) sarà dnqe fornta da ρ vd = ρ f d + td ( t ) ( t ) ( t ) ρ v d dove le forze che l esterno esercta s sono state sddvse n forze d massa e forze d sperfce (ved LEZIONE ). Utlzzando l teorema del trasporto s pò anche scrvere ( ρ v ) d + ρ v v n d = ρ f d + td o n forma compatta Dove I = ( ρ v) I + = G + Π d è l termne d nerza locale ρ è l flsso d qanttà d moto attraverso = v v n d

4 (Novembre 7) G = ρ f d è la rsltante delle forze d massa sl volme. Nel caso d campo d forze gravtazonal G corrsponde al peso d Π = t d è la rsltante delle forze d sperfce slla sperfce not che spesso l termne vene sddvso n de contrbt = dvdendo la sperfce n de part. Nella prma v n è postvo e l fldo esce da, nella seconda v n è negatvo e l fldo entra n. n scta mentre qello n ngresso. Resta da sottolneare che sa rappresenta qnd l flsso d qanttà d moto che vettoral la c drezone è concdente con qella della veloctà v. ege che opposto a. sono qanttà è n vettore IL PRINCIPIO DEL OENTO DELLA QUANTITA DI OTO Procedendo come ne pnt precedent, l prncpo del momento della qanttà d moto fornsce d dt ( ρ ) t t ( ρ ) v d = f d + t td o applcando l teorema del trasporto ( ρ v) d + ( ρ v)( v n) d = ( ρ ) = f d + t d

5 (Novembre 7) Per concldere qesta lezone llstramo de semplc applcazon del prncpo della qanttà d moto n forma ntegrale che dmostra la capactà della relatva eqazone d consentre la solzone d problem anche compless. consder n getto che orzzontalmente va a rtare na sperfce vertcale. ano U e Ω la veloctà del fldo nel getto e la sezone d qest ltmo (ved fgra). cerch la forza F che l getto esercta slla sperfce. olzone: l problema pò essere rsolto tlzzando l eqazone del prncpo della qanttà d moto n forma ntegrale I + = G + Π. Per procedere è necessaro n prmo logo ndvdare l volme. E evdente che l eqazone precedente vale qalnqe volme s scelga, ma na scelta opportna consente la solzone del problema mentre altre scelte non condcono a tl espresson. Per rsolvere l problema n esame Assmendo l problema stazonaro l termne I + I ( ρ ) = sarà nllo. not che è stato espresso come (,v,w). = G d consderamo l volme (detto l controllo) tratteggato n fgra e ntrodcamo n sstema ( y, z), d rfermento. Notamo noltre che per la smmetra del problema la forza F sarà dretta lngo l asse. E convenente qnd proettare l eqazone del prncpo della qanttà d moto lngo la drezone + Π

6 (Novembre 7) e noltre assmamo che l asse z sa vertcale, l vettore G sarà parallelo a z e qnd l termne sarà anch esso nllo. G = ρ g Notamo ora che dalle sperfc BC e AF non esce né entra della massa n qanto v e n sono ortogonal. ha n flsso d massa e qnd d qanttà d moto solo attraverso AB, CD e EF. In partcolare la sperfce AB contrbsce a d mentre le sperfc CD e EF contrbscono a. Infne, notando che l vettore veloctà del fldo n scta è parallelo all asse y (è evdente che l fldo che attraversa le sperfc CD e EF s move parallelamente alla sperfce rgda), s pò concldere che Rslta noltre = = ρu d Ω = ρu Ω Ω essendo la veloctà del fldo n ngresso par a U e nformemente dstrbta s Ω. Come detto precedentemente Π rappresenta la rsltante delle forze d sperfce che l esterno esercta sl fldo contento all nterno d. lle sperfc AB, BC, CD, EF e FA la pressone relatva è nlla e non esstono (o sono trascrabl) le tenson tangenzal. ege qnd che Π è par a pò qnd concldere F (prncpo d azone e reazone) e n partcolare Π = F oppre ρ U Ω = F F = ρu Ω Il problema llstrato verrà po rpreso nel segto per llstrare come sa possble estrarre energa dal getto e trasformarla n lavoro. A casa della partcolare smmetra del problema n qesto caso è evdente che la retta d azone d F passa per l orgne degl ass

7 (Novembre 7) e la pastra fosse nclnata, dopo aver nserto l sstema d ass llstrato n fgra, applcando l prncpo della qanttà d moto al fldo contento nel volme tratteggato e consderando la componente lngo e ragonando analogamente al caso precedente, s ottene: F = ρqu snϑ mentre la componete lngo y del prncpo della qanttà d moto, nta al prncpo d conservazone della massa, consente d stablre come s dvde la portata, coè d calcolare l valore d Q e d Q 3 : Q Q Q = 3 1 ( 1+ cosϑ) Q = ( cosϑ). E evdente che n qesto caso la retta d azone d F non passa per l orgne degl ass. La determnazone della retta d azone della forza F rchede l applcazone del prncpo del momento della qanttà d moto, sempre n rfermento al volme tratteggato. Rcordando che l problema è pano, stazonaro e che s sppone che la gravtà sa dretta lngo z, la componente lngo z dell eqazone che esprme l prncpo del momento della qanttà d moto rslta: ( ζ )( v n) d = ρv ζ t d

8 (Novembre 7) essendo ζ la dstanza dell elemento d dall orgne degl ass e la sperfce del volme d controllo tratteggato che pò essere scomposta nelle sperfc 1,, 3, 4, 5 e 6, mostrate n fgra. ottene: ζ ρv v n d = 1 3 ( ζ ρv)( v n) ( ζ ρv)( v n) ( ζ ρv)( v n) d = ( ζ ρv)( v n) d = ( ζ ρv)( v n) d = 4 d = ρu d = ρu Avendo ndcato con d e d 3 l altezza delle sperfc e 3 che rsltano essere rettangol d larghezza ntara. Essendo le nche tenson tangenzal agent sl volme d controllo qelle eserctate dalla pastra n rsposta alla sollectazone del fldo s ha: ζ t d = 5 d d3 ζ 6 t d = FY avendo ndcato con Y la poszone della retta d azone d F e con F, come consetdne, l modlo della forza F. osttendo le relazon trovate nel prncpo del momento della qanttà d moto s ottene: 6 da c ρu ( d d ) = FY 3 Y = ρ ( Q Q3 ). F