Orbite preliminari di asteroidi e satelliti artificiali

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1 Orbite preliminari di asteroidi e satelliti artificiali Davide Farnocchia Università degli Studi di Pisa Facoltà di SMFN Corso di Laurea in Matematica Anno Accademico 27-28

2 Contenuti Metodi a tre osservazioni 2 Regione ammissibile 3 Metodo degli integrali primi

3 Il problema della determinazione orbitale Una volta individuato un corpo celeste si vuole determinarne l orbita. Si ha a disposizione la legge di gravitazione universale (modello a 2 corpi): r = µr r 3, si devono trovare informazioni sulle condizioni iniziali r e v. Si parla di orbite preliminari perché queste verranno passate alle correzioni differenziali e sottoposte a controlli di qualità.

4 Osservazioni geocentriche Un osservazione fatta ad un certo istante t definisce il versore ˆρ = (cos α cos δ, sin α cos δ, sin δ), dove (α, δ) sono ascensione retta e declinazione. Asteroide r ρ Sole φ q Terra ε r = q + ρ r 2 = q 2 + ρ 2 + 2qρ cos ε ()

5 Metodo di Laplace (78) A partire da almeno tre osservazioni si approssimano α(t) e δ(t) e si costruisce la terna ( ˆρ, ˆv, ˆn). Utilizzando la legge di gravitazione universale ρ = ( ρ ρη 2 ) ˆρ + (ρ η + 2 ρη)ˆv + (ρη 2 κ)ˆn = µr r 3 + µq q 3. La componente lungo di ˆn ci dà l equazione dinamica: ρ C q = q3 r 3 che insieme alla () ci porta all equazione polinomiale: P (r) = C 2 r 8 q 2 (+2C cos ε+c 2 )r 6 +2q 5 (+C cos ε)r 3 q 8 =.

6 Teoria di Charlier (9) Assunzione: esiste sempre la soluzione del problema. Teorema Il numero di soluzioni del metodo di Laplace può essere o 2 e dipende solo dalla posizione dell oggetto Sole Terra.5.5 zero limiting

7 Metodo di Gauss (89) Le tre posizioni eliocentriche dell oggetto osservato devono giacere sullo stesso piano: λ r r 2 + λ 3 r 3 =. (2) Facendo lo sviluppo di Taylor di r i (t) centrato in t 2 è possibile ricavare λ e λ 3 in funzione di r 2. Sviluppando r i = ρ i + q i in (2) e moltiplicando scalarmente per ˆρ ˆρ 3 si ottiene l equazione dinamica del metodo di Gauss: C ρ 2 q 2 = γ q3 2 r 3 2.

8 Osservazioni topocentriche Si tiene in considerazione la posizione dell osservatore rispetto al centro della Terra. Asteroide r ρ Sole r = ρ + q q q Osservatore P q = q + P Centro Terra

9 Metodi di Laplace e Gauss topocentrici Nel metodo di Laplace l equazione dinamica diventa dove ρ C = ( Λ n ) q3 q r 3 Λ n = q2 P ˆn µ ˆq ˆn può essere grande ( P 6µ/q 2 ). Il metodo di Gauss tiene conto in maniera naturale delle osservazioni topocentriche: è sufficiente sostituire il centro della Terra con la posizione dell osservatore.

10 Equivalenza tra i due metodi Teorema Se l approssimazione fatta nel metodo di Laplace viene valutata all istante t 2 allora i metodi di Laplace e Gauss sono equivalenti: all ordine in t nel caso classico; all ordine in t e in P/q nel caso topocentrico. Se, inoltre, t 2 coincide con la media dei tempi di osservazione, allora i due metodi sono equivalenti all ordine in t. Attenzione: la dimostrazione del teorema suppone che i valori di k e η siano ben misurati nel metodo di Laplace...

11 Problemi nel metodo di Laplace topocentrico Descrivere α(t) e δ(t) con polinomi di secondo grado non è sempre un approssimazione consistente

12 Teoria qualitativa generalizzata Si studia il sistema: (qγ Cρ)r 3 q 4 = r 2 q 2 ρ 2 2qρ cos ε = r, ρ >. Assunzione: esiste sempre la soluzione del problema. Teorema Fissato il valore di γ, il numero di soluzioni del sistema può essere, 2 o 3 e dipende solo dalla posizione dell oggetto.

13 .5 2 sol. singular.5 sol..5 zero sol. limiting 3 sol. limiting 3 sol..5 singular singular singular zero 2 2 sol. sol. sol. limiting 2 sol. 3 sol. limiting sol. sol..5.5 singular 2 sol. limiting.5 zero singular 2 sol. sol..5 zero sol. 3 sol

14 Esempio con più soluzioni Sun Earth La soluzione vicina alla Terra non viene trovata usando la teoria classica, nonostante sia quella migliore da usare per le correzioni differenziali.

15 Metodo di Gauss per i satelliti terrestri Il metodo di Gauss può essere applicato per la determinazione orbitale di un satellite terrestre adottando la notazione in figura: Osservatore q ρ Centro Terra r Satellite

16 Attribuibile e regione ammissibile per un asteroide Definizione Si definisce attribuibile per un asteroide il vettore: A = (α, δ, α, δ) [ π, π[ ] π/2, π/2[ R R. Definizione Assegnato un attribuibile si definisce regione ammissibile per un asteroide l insieme D = (D D 2 ) D 3 D 4 dove D = {(ρ, ρ) E } ; D 2 = {(ρ, ρ) ρ R SI } ; D 3 = {(ρ, ρ) E } ; D 4 = {(ρ, ρ) ρ R }.

17 Attribuibile e regione ammissibile (ottico) Definizione Si definisce attribuibile di tipo ottico per un detrito spaziale il vettore: A opt = (α, δ, α, δ) [ π, π[ ] π/2, π/2[ R R. Definizione Assegnato un attribuibile di tipo ottico si definisce regione ammissibile per un detrito spaziale l insieme D = D D 2 dove D = {(ρ, ρ) E } ; D 2 = {(ρ, ρ) ρ min ρ ρ max }.

18 Energia e momento angolare (ottico) L energia e il momento angolare si scrivono in funzione di (ρ, ρ) rispettivamente come: 2E = ρ 2 + w ρ + w 2 ρ 2 + w 3 ρ + w 4 dove c = A + Bρ + Cρ 2 + D ρ w = q 2 ; w 5 = 2 q, ˆρ ; w = 2 q, ˆρ ; A = q q ; 2µ ρ 2 + w 5 ρ + w, w 2 = α 2 cos 2 δ + δ 2 ; B = q ( α ˆρ α + δ ˆρ δ ) + q ˆρ ; w 3 = 2 α q, ˆρ α + 2 δ q, ˆρ δ ; C = ˆρ ( α ˆρ α + δ ˆρ δ ) ; w 4 = q 2 ; D = q ˆρ.

19 Forma della regione ammissibile (ottico) Teorema La regione ammissibile è un insieme compatto con al più 2 componenti connesse zero energy zero energy.5 zero energy rho min rho max rho min rhomax

20 Esclusione di oggetti troppo vicini (ottico) Per escludere oggetti troppo vicini si limita dal basso il semiasse maggiore, che equivale a limitare l energia..5 2 zero energy.5 zero energy.5.5 zero energy energy min.5 energy min.5 rho min rho max.5 rho min rho max

21 Condizione sul pericentro (ottico) Si può limitare il pericentro con la condizione: a( e) R + h = r. { E GM /2 r (grado 6) c 2 2 r (GM + E r) (grado ).5.5 pericenter.5 zero energy.5 energy min energy min.5.5 apocenter zero energy pericenter rho min rho min

22 Triangolazioni di Delaunay Definizione Assegnato un vincolo, ovvero dei lati che devono appartenere alla triangolazione, una triangolazione (Π, τ) si dice di Delaunay vincolata se soddisfa le seguenti proprietà: massimizza il minimo angolo; 2 minimizza la circonferenza circoscritta di massimo raggio. Teorema Fissato un vincolo esiste sempre una triangolazione di Delaunay vincolata.

23 Algoritmo di edge-flipping Per un quadrilatero ci sono due possibili triangolazioni: una è di Delaunay (A), l altra no (B). P 2 T T 2 P 4 P 3 P 2 P 3 T T 2 P 4 P P (A) (B) L algoritmo di edge-flipping consiste nel passare da (B) a (A).

24 Campionamento della regione ammissibile Per poter fare conti praticamente accessibili è necessario campionare con un certo numero di detriti virtuali la regione ammissibile Dopo il campionamento si scartano i nodi che non soddisfano la condizione sul pericentro.

25 Effemeridi triangolate Usando i nodi del campionamento calcoliamo le effemeridi ad un certo istante t, per recuperare l oggetto osservato

26 Attribuibile e regione ammissibile (radar) Definizione Si definisce attribuibile di tipo radar per un detrito spaziale il vettore: A rad = (α, δ, ρ, ρ) [ π, π[ ] π/2, π/2[ R + R. Definizione Assegnato un attribuibile di tipo radar si definisce regione ammissibile per un detrito spaziale l insieme: D = {( α, δ) E }.

27 Energia e momento angolare (radar) L energia e il momento angolare si scrivono in funzione di ( α, δ) rispettivamente come: dove 2E = e α 2 + e 2 δ2 + e 3 α + e 4 δ + e5, c = E + F α + G δ e = ρ 2 cos 2 δ ; e 5 = ρ 2 + c ρ + c 2 ρ 2 + c 3 ρ + c 4 2µ ρ 2 + c 5 ρ + c ; e 2 = ρ 2 ; E = r q + ρ q ˆρ ; e 3 = 2ρ q, ˆρ α ; F = ρ r ˆρ α ; e 4 = 2ρ q, ˆρ δ ; G = ρ r ˆρ δ.

28 Forma della regione ammissibile (radar) Il bordo della regione ammissibile è un ellisse, eventualmente complessa o ridotta ad un singolo punto, con assi di simmetria paralleli a quelli cartesiani zero energy.5 zero energy.5.5 minimal energy

29 Condizione sul pericentro (radar) Anche nel caso radar si impone la condizione sul pericentro: { E GM /2 r (grado 2) c 2 2 r (GM + E r) (grado 2). zero energy 2.5 pericenter.5 pericenter zero energy.5 minimal energy minimal energy pericenter

30 Campionamento con la tecnica della ragnatela Cambiando coordinata da α a α cos δ le curve di livello dell energia diventano circonferenze Dopo il campionamento si scartano i nodi che non soddisfano la condizione sul pericentro.

31 Conservazione del momento angolare (ottico) La conservazione del momento angolare è espressa da A + B ρ + C ρ 2 + D ρ = A 2 + B 2 ρ 2 + C 2 ρ D 2 ρ 2. Attraverso opportune manipolazioni si ottiene che: q(ρ, ρ 2 ) = b ρ 2 + b ρ b 2 ρ + b 3 ρ 2 + b 4 = ; ρ = [(A 2 A + B 2 ρ 2 B ρ + C 2 ρ 2 2 C ρ 2 ) D 2] (D D 2 ) D D 2 2 ; ρ 2 = [(A 2 A + B 2 ρ 2 B ρ + C 2 ρ 2 2 C ρ 2 ) D ] (D D 2 ) D D 2 2.

32 Conservazione dell energia (ottico) Sostituendo le espressioni ricavate per ρ e ρ 2 nella conservazione dell energia si ottiene che 2 p(ρ, ρ 2 ) = a j (ρ 2 )ρ j = j= dove 2 per j =,..., 4 deg(a j ) = 24 (j + ) per j = 2k con k 3 24 j per j = 2k con k 3.

33 Ricerca delle soluzioni (ottico) Si trovano i valori di ρ e ρ 2 risolvendo il sistema: { p(ρ, ρ 2 ) =. q(ρ, ρ 2 ) =

34 Conservazione del momento angolare (radar) La conservazione del momento angolare è data da: E + F α + G δ = E 2 + F 2 α 2 + G 2 δ2. Grazie al teorema di Cramer si possono eliminare tre delle variabili e tenerne una come parametro, ad esempio δ 2 : α = F 2 (G G 2 ) δ 2 (E E 2 ) (F 2 G ) G (F F 2 ) δ = G (F F 2 ) δ 2 (E E 2 ) (F F 2 ) G (F F 2 ) α 2 = F (G G 2 ) δ 2 (E E 2 ) (F G ) G (F F 2 ) ; ;.

35 Conservazione dell energia e soluzioni (radar) Sostituendo le espressioni precedenti nella conservazione dell energia: e, α 2 + e 2, δ2 + e 3, α + e 4, δ + e 5, = = e,2 α e 2,2 δ2 2 + e 3,2 α 2 + e 4,2 δ2 + e 5,2 si ottiene un equazione di secondo grado in δ angolar momentum energy energy angolar momentum. energy

36 Scelta delle soluzioni Una volta trovata una soluzione si hanno i due vettori: (α, δ, α, δ, ρ, ρ ), (α 2, δ 2, α 2, δ 2, ρ 2, ρ 2 ). Per accettare una soluzione le corrispondenti orbite devono coincidere. a, e, i, Ω dipendono solo da momento angolare ed energia. Quindi le condizioni da controllare sono: ω 2 = ω ; l 2 = l + n t. Nel caso ottico si deve controllare anche che le soluzioni trovate non siano spurie.

37 Effetto dello schiacciamento dei poli L effetto del J 2 3 terrestre è espresso dal potenziale: U J2 = µ r J 2 ( R r ) 2 ( 3 sin 2 ) θ. 2 Per studiare il problema si usano le variabili di Delaunay: l g = ω z = Ω L = µa G = L e 2 = c Z = G cos i = c z ( l = n 3 4 n R ( ġ = 3 2 n R a ( ż = 3 2 n R a L = Ġ = Ż = ) 2 J 2 a ) 2 ( J sin 2 i ( e 2 ) 2 2 ( 3 cos 2 i) ( e 2 ) 3/2 ) ) 2 J 2 ( e 2 ) 2 cos i

38 Nuove equazioni Le condizioni su momento angolare ed energia diventano: dove Ẽ = E U J 2. c 2z = c z ; c 2 = c ; Ω 2 = Ω + ż t ; Ẽ 2 = Ẽ È possibile ottenere delle equazioni algebriche, a patto di linearizzare la terza nel parametro J 2 n(r /a) 2 t. Ottico Radar c z = c 2z 2 c = c Ω 2 = Ω + ż t Ẽ = Ẽ2 32 2

39 Conclusioni I metodi classici a 3 osservazioni sono stati riassunti e ne sono stati mostrati i recenti (26-28) sviluppi, nei quali vengono incluse le osservazioni topocentriche. 2 La teoria della regione ammissibile, già applicata agli asteroidi (24-28), è stata analizzata per il caso dei detriti spaziali. 3 È stato presentato il nuovo metodo degli integrali primi, come possibile tecnica per risolvere il problema delle identificazioni.