Sistemi di misura digitali Segnali campionati - 1. Segnali campionati

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1 Sistemi di misura digitali Segnali ampionati - 1 Segnali ampionati 1 - Il teorema del ampionamento Campionamento ideale Il ampionamento (sampling di un segnale analogio onsiste nel prenderne solo i valori i in orrispondenza a istanti ben preisi (i detti istanti di ampionamento. Per esaminare le proprietà fondamentali è utile riferirsi al aso ideale in ui il ampionamento è effettuato impiegando un treno di impulsi matematii. In tale ipotesi, sia un generio segnale on spettro S(f limitato in banda fino alla frequenza f M (Fig.1.1. Fig Segnale a banda limitata. Sia inoltre ( il treno di impulsi matematii di area unitaria (Fig.1.2, equispaziati dell intervallo di ampionamento (e on frequenza f 1/. Lo spettro C(f risulta anora un treno di impulsi in frequenza. Fig Impulsi matematii di ampionamento. In definitiva esiste la seguente orrispondenza fra tempo e frequenza: S( f ( t i C( f f k f kf (1.1 Il ampionamento ideale onsiste nel moltipliare il segnale per il treno di impulsi (: 23, Niola Loi Corso di Misure Elettrihe

2 Sistemi di misura digitali Segnali ampionati - 2 s ( ( t i i t i (1.2 Per determinare lo spettro del segnale ampionato è suffiiente riordare he al prodotto algebrio nel tempo orrisponde il prodotto di onvoluzione in frequenza: ( S( f C( f (1.3 Pertanto la trasformata di Fourier del segnale ampionato risulta: k S ( f S( f f f kf f S( f kf (1.4 k Quindi lo spettro del segnale ampionato (Fig.1.3 è formato dalle replihe dello spettro del segnale originario S(f, traslate su frequenze multiple della frequenza di ampionamento f. Inoltre le ordinate di tali replihe risultano tutte moltipliate per un fattore di sala pari a f. Fig Segnale ampionato e suo spettro. Affinhè non esistano sovrapposizioni fra le replihe, risulta evidente he il periodo di ripetizione in frequenza deve essere maggiore o al più uguale a 2f M : 1 f 2 fm (1.5 Il filtro di riostruzione Se la frequenza di ampionamento f è maggiore almeno del doppio della massima frequenza f M ontenuta nel segnale, eseguendo il filtraggio della sequenza di impulsi on un filtro passabasso H R (f he abbia una risposta piatta da a f M e risposta nulla per f >(f - f M, si riottiene in usita il segnale originario, in quanto se ne isola lo spettro S(f in banda base (Fig.1.4. Fig Il filtro di riostruzione. Per il orretto ripristino delle ampiezze, il guadagno del filtro di riostruzione entro la banda piatta ( f M deve essere ostante e pari a H 1/f. 23, Niola Loi Corso di Misure Elettrihe

3 Sistemi di misura digitali Segnali ampionati - 3 Aliasing Se vieversa f <2f M, ossia i ampioni sono troppo radi, non è possibile riottenere il segnale originario in alun modo, a ausa della sovrapposizione delle replihe he rea un disturbo da spettro adiaente. ale fenomeno è detto aliasing (Fig.1.5A. Fig A Distorsione di aliasing; B Riostruzione on filtro passa-basso ideale. Di partiolare interesse è il aso limite in ui f 2f M (Fig.1.5B: in tal aso la riostruzione è anora possibile on un filtro passa-basso ideale senza alterazione dello spettro originario in banda base ( f M. In queste ondizioni si ha il minimo valore teorio per la frequenza di ampionamento, ui orrisponde il massimo intervallo temporale fra i ampioni: 1 1 (1.6 f 2 f M La risposta del filtro passa basso-ideale alla sequenza di impulsi matematii di valore i riprodue dunque il segnale originario. D altra parte un filtro passa-basso ideale he ha la funzione di trasferimento pari ad H per f( f M e zero altrove, ha la risposta impulsiva: sin(2πf M h( ( H 2 fm (1.7 (2πf M Consegue he, adottando la massima veloità di ampionamento onsentita (f 2f M e faendo il guadagno H 1/f 1/2f M, il segnale può esprimersi direttamente ome somma delle risposte a iasuno degli impulsi ostituenti la sequenza: sin[ πf ( t i ] s i i sin[ πf [ πf ( t i ] ( t i ] ( (1.8 La funzione sin(πf sin(πf /(πf, he onsente di riostruire il segnale dalla onosenza dei suoi ampioni i, è detta funzione interpolante o di ampionamento. La riostruzione del segnale avviene mediante il ontributo di tutte le funzioni sin relative a tutti i ampioni he formano la sequenza, tranne he negli istanti di ampionamento. Un interpretazione grafia di questo fatto è fornita nella Fig.1.6, dove è rappresentata la sovrapposizione delle funzioni sin relative a tre ampioni. 23, Niola Loi Corso di Misure Elettrihe

4 Sistemi di misura digitali Segnali ampionati - 4 Fig Riostruzione del segnale ampionato. Prefiltraggio Spesso i segnali hanno un ontenuto armonio piuttosto esteso, ma le omponenti armonihe a frequenza più alta sono di entità insignifiante. In tali asi è usuale ompiere un filtraggio he ridue la banda del segnale f M a quella realmente signifiativa f M. In tal modo la riduzione della massima frequenza del segnale da f M a f M onsente l uso di frequenze di ampionamento più basse ed evita il fenomeno di aliasing. Il filtro antialiasing è di norma presente in tutti gli stadi di ingresso dei sistemi di misura digitali a ampionamento. 2 - Aspetti pratii del ampionamento Il ampionamento reale Gli impulsi matematii utilizzati per dimostrare il teorema del ampionamento non sono evidentemente utilizzabili in pratia e ostituisono solo un mezzo analitio. Se il fine della proedura di ampionamento è quello di onosere i valori i del segnale originario in preisi istanti di tempo (i, dovremo riorrere a iruiti elettronii idonei a questo sopo. Nei asi pratii il ampionamento di un segnale viene realizzato on un iruito di sample & hold he rileva il valore del segnale analogio ogni seondi. Il valore ampionato viene mantenuto per il tempo neessario al onvertitore AD per effettuare la onversione in forma numeria. Se si rispetta il vinolo imposto dal teorema del ampionamento, i ampioni ottenuti in tal modo sono omunque suffiienti a onosere esattamente (a parte il rumore di quantizzazione, he non dipende dal ampionamento tutta l informazione ontenuta nel segnale. Riostruzione on impulsi rettangolari Anhe il proesso di riostruzione, esaminato in preedenza, non può in pratia riorrere a impulsi matematii. D altra parte, presenta notevole interesse pratio il aso in ui si debba produrre un segnale analogio, partendo da una sequenza di numeri i he ne rappresentano i ampioni presi ogni seondi. Il ampo di appliazione di tale tenia si ha nei generatori programmabili di segnali. ali strumenti sono in grado di generare fisiamente dei segnali di tensione, on forma d onda arbitraria. In essi si determina il valore numerio di iasun ampione del segnale he si vuole generare tramite una funzione matematia. I valori dei ampioni osì ottenuti vengono quindi attribuiti agli impulsi elementari di una sequenza, he possono essere rettangolari ma anhe di altra forma, ottimizzata per speifihe appliazioni. Questi impulsi attraversano il suessivo filtro passa-basso (di riostruzione he isola le omponenti in banda base. 23, Niola Loi Corso di Misure Elettrihe

5 Sistemi di misura digitali Segnali ampionati - 5 Per analizzare il fenomeno, si onsideri il aso in ui si impieghino impulsi elementari ( di tipo rettangolare on ampiezza unitaria e durata τ< : sin[ πfτ] ( 1 retτ( C( f 1 τ 1 τ sin[ πfτ] (2.1 [ πfτ] Allora il segnale ampionato s ( risulta (vedi Fig.2.1: s ( i ( t i ( i t i i ( t i ( t i (2.2 Fig.2.1 Riostruzione on impulsi rettangolari. enendo presente la orrispondenza fra prodotto algebrio e prodotto di onvoluzione, lo spettro S (f del segnale ampionato on impulsi rettangolari risulta (vedi Fig.2.1: τ k S( f kf S ( f C ( f S( f f f kf C( f f k sin( πfτ k S( f kf (2.3 Le replihe dello spettro del segnale originario non sono più di ampiezza ostante in frequenza, ma vengono modellate seondo una funzione C (f he ha andamento anora una volta del tipo sin(x/x. Se gli impulsi sono molto stretti, questo fatto inide poo sulla replia entrata sull origine delle frequenze (spettro in banda base, he verrà estratta on il filtro di riostruzione senza apprezzabile distorsione. Si tenga tuttavia presente he su tutto il diagramma in frequenza agise un fattore di sala pari a τ/ he potrebbe ridurre a valori inaettabili il ontenuto energetio del segnale, qualora questo fosse generato tramite impulsi rettangolari troppo stretti. La migliore riproduzione del segnale analogio si ottiene evidentemente impiegando frequenze di ampionamento f molto maggiori della banda f M del segnale he si vuole produrre e faendo la durata τ dell impulso rettangolare pari a. 23, Niola Loi Corso di Misure Elettrihe