PROVA SCRITTA DI MECCANICA RAZIONALE (11 giugno 2005) (C.d.L. Ing. Edile - Architettura. Prof. A. Muracchini)

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1 RV SRITT DI MENI RZINLE (11 giugno 2005) (.d.l. Ing. Edile - rchitettura. rof.. Muracchini) Il sistema rappresentato in figura, mobile in un piano verticale z, è costituito di un disco circolare pesante omogeneo D (massa m, raggio R) che rotola senza strisciare sulla guida verticale z e di un punto materiale pesante (massa m) vincolato a muoversi sul semiasse positivo. Il punto e il centro G del disco sono collegati da una molla ideale di costante elastica k(> 0) e di lunghezza a riposo supposta trascurabile. Il punto è anche soggetto alla forza elastica F = k (k > 0) essendo un punto fisso dell asse tale che = 2R. Tutti i vincoli sono supposti ideali. ssunti come parametri lagrangiani e z G rappresentati in figura, si chiede: 1) Determinare le configurazioni di equilibrio interne e le eventuali configurazioni di equilibrio di confine, discutendo la stabilità di quelle interne; 2) Usando le equazioni cardinali della statica, ritrovare le configurazioni di equilibrio (interne) e determinare le reazioni vincolari che si esercitano nei punti e ; 3) Ricavare ed integrare le equazioni differenziali del moto sia usando le equazioni cardinali della dinamica che il metodo lagrangiano; 4) Ricavare eventuali integrali primi del moto. Supponiamo, ora, che sul punto agisca anche una forza di attrito coulombiano (coefficiente di attrito statico f s ). In tali condizioni, si chiede di determinare: 5) Le configurazioni di equilibrio interne del sistema. D G mg z z g =2R

2 RV SRITT DI MENI RZINLE (4 luglio 2005) (.d.l. Ing. Edile/rchitettura - rof.. Muracchini) Il sistema rappresentato in figura, mobile in un piano verticale, è costituito di un asta pesante omogenea (massa m, lunghezza 2l) il cui estremo è vincolato a scorrere, senza attrito, sul semiasse positivo. ltre alla forza peso, agiscono sul sistema: la forza elastica F = k (k > 0); la forza F = F i (F > 0, costante; i versore dell asse ) applicata nel punto dell asta. ssunti come parametri lagrangiani l angolo e l ordinata q del punto (vedi figura) si chiede: 1) Determinare le configurazioni di equilibrio interne e le eventuali configurazioni di equilibrio di confine, discutendo la stabilità di quelle interne; 2) Usando le equazioni cardinali della statica, ritrovare le configurazioni di equilibrio (interne) e determinare la reazione vincolare che si esercita nel punto ; 3) Ricavare le equazioni differenziali di Lagrange del moto; 4) Ricavare le equazioni cardinali della dinamica e determinare la reazione vincolare che si esercita in in condizioni dinamiche. F=Fi i q

3 RV SRITT DI MENI RZINLE (9 settembre 2005) (.d.l. Ing. Edile/rchitettura - rof.. Muracchini) Il sistema in figura, mobile nel piano verticale, è costituito di: α ) un disco rigido pesante D, omogeneo (massa m, raggio R) vincolato, mediante una cerniera piana, a ruotare intorno ad un asse fisso orizzontale ad esso ortogonale e passante per un suo punto posto a distanza R/2 dal baricentro G; β ) un punto materiale (massa m) vincolato a muoversi lungo il diametro ortogonale ad G, senza uscirne. ltre alle forze peso, agisce sul punto una forza elastica F = k (k > 0) (vedi figura). Supposti i vincoli ideali, scelti i parametri lagrangiani ξ e rappresentati in figura e introdotto il parametro adimensionale λ = kr/mg ( R + ) si chiede: 1) Determinare e discutere, in funzione del parametro λ, le configurazioni di equilibrio interne e le eventuali configurazioni di equilibrio di confine; 2) Usando le equazioni cardinali della statica, riconoscere che la configurazione 0 individuata da = 0 e ξ = 0 è di equilibrio. Determinare, poi, per quali valori della costante elastica k essa risulti stabile; 3) Scrivere le equazioni di Lagrange del moto; 4) Studiare le piccole oscillazioni del sistema intorno alla configurazione 0 (0, 0). n u G = R/2 G ξ

4 RV SRITT DI MENI RZINLE (20 dicembre 2005) (.d.l. Ing. Edile-rchitettura rof.. Muracchini) Il sistema rappresentato in figura, posto in un piano verticale, è costituito da: a) un disco circolare omogeneo (massa m, raggio r), vincolato a rotolare senza strisciare sull asse ; b) un punto materiale pesante (massa m), posto all estremità di un asta rigida di massa trascurabile e di lunghezza r incernierata nel punto Q = (0, r). ltre alla forze peso agiscono sul sistema le forze elastiche dovute all azione di due molle ideali di eguale costante elastica k(> 0) agenti fra e il baricentro G del disco e fra G e la sua proiezione G o sull asse (vedi figura). ssunte come variabili lagrangiane l ascissa q del centro G del disco e l angolo rappresentato in figura si chiede: 1) Determinare le configurazioni di equilibrio del sistema discutendone l esistenza e la stabilità in funzione del parametro adimensionale λ = mg/kr (> 0); 2) Scrivere le equazioni di Lagrange del moto del sistema; 3) Scrivere le equazioni linearizzate del moto intorno alla configurazione di equilibrio stabile che si ha per λ = 1. Supposto, ora, che al sistema venga imposto l ulteriore vincolo q(t) = r ( t) si chiede: 4) osa si può dire, per λ = 2, sul moto del sistema ad un grado di libertà così ottenuto? G o r r q G Q r

5 RV SRITT DI MENI RZINLE (28 gennaio 2006) (.d.l. Ing. Edile-rchitettura rof.. Muracchini) Il sistema in figura, mobile in un piano verticale, è costituito di due aste rigide e omogenee, entrambe di massa M e lunghezza l, incernierate tra loro in e con i loro estremi e vincolati a scorrere, senza attrito, sull asse orizzontale. ltre alle forze peso sono applicate al sistema le seguenti forze: a) una forza elastica F = k (k > 0) applicata al punto dell asta ; b) una forza elastica F = kq [con k > 0, Q (2l, 0)] applicata all estremo dell asta. Introdotti i parametri lagrangiani e rappresentati in figura, si chiede: 1) Determinare il valore della costante elastica k per il quale la posizione o ( = π/6, = l) risulta di equilibrio per il sistema e verificare che tale posizione è stabile; 2) Scrivere le equazioni di Lagrange del moto e determinare la classe di moti del sistema tali che (t) = costante = π/6; 3) Studiare le piccole oscillazioni del sistema intorno alla posizione di equilibrio stabile o. Q X

6 RV SRITT DI MENI RZINLE (10 giugno 2006) (.d.l. Ing. Edile-rchitettura rof.. Muracchini) Il sistema in figura, posto in un piano verticale, è costituito di un disco omogeneo D (massa m, raggio r) vincolato a rotolare senza strisciare lungo l asse e di un asta omogenea (massa m, lunghezza 4r) incernierata nell estremo al baricentro G 1 del disco. Il disco D resta, durante il suo moto, nel quadrante positivo mentre il baricentro G dell asta deve restare sulla semiretta = 2r, 0. ltre alle forze peso, agisce sul sistema la forza elastica dovuta all azione di una molla di costante elastica k (k > 0) che collega il punto G 1 al punto di coordinate (2r, 0) (vedi figura). Supposti i vincoli ideali, assunto come parametro lagrangiano l angolo rappresentato in figura, introdotto il parametro adimensionale λ = mg/kr R +, si chiede: 1) Determinare, in funzione di λ, le configurazioni di equilibrio interne e di confine studiando la stabilità di quelle interne; 2) alcolare le reazioni vincolari interne ed esterne in una configurazione di equilibrio interna (con l asta non verticale); 3) Scrivere l equazione differenziale del moto di Lagrange; 4) er λ = 1, studiare le piccole oscillazioni del sistema intorno alla posizione di equilibrio stabile. = 2 r G G 1 Q

7 RV SRITT DI MENI RZINLE (28 giugno 2006) (.d.l. Ing. Edile/rchitettura rof.. Muracchini) Il sistema in figura, mobile in un piano verticale, è costituito di un asta rigida omogenea (massa m, lunghezza 4l) incernierata in e di un punto (massa m/2) scorrevole, senza attrito, su di essa. ltre alle forze peso sono applicate al sistema le seguenti forze: a) la forza elastica, applicata al punto, F = mg 2l G b) la forza elastica, applicata all estremo dell asta, (G baricentro dell asta) F = mg D ( D = l) 2l Scelti i parametri lagrangiani ξ e rappresentati in figura, si chiede: 1) Determinare le configurazioni di equilibrio del sistema e studiarne la stabilità; 2) Ritrovare le configurazioni di equilibrio usando le equazioni cardinali della statica e calcolare la reazione vincolare che si esercita su all equilibrio; 3) Scrivere le equazioni di Lagrange del moto; 4) Imposto l ulteriore vincolo = = costante e supposto che sul punto agisca anche una forza di resistenza viscosa F v = hv û (h > 0), studiare il moto di lungo l asta e calcolare la reazione vincolare agente su di esso in condizioni dinamiche. n u D G ξ

8 RV SRITT DI MENI RZINLE (10 luglio 2006) (.d.l. Ing. Edile/rchitettura rof.. Muracchini) Il sistema in figura è costituito di un asta rigida omogenea (massa m, lunghezza l) vincolata a mantenere fisso l estremo nell origine di una terna cartesiana z (vedi figura). ltre alla forza peso è applicata, all estremo dell asta, la forza elastica: con = (0, l, 0). F = k (k > 0) Scelti i parametri lagrangiani (0 < < π) e ϕ rappresentati in figura, si chiede: 1) Determinare le configurazioni di equilibrio del sistema e studiarne la stabilità; 2) alcolare la reazione vincolare che si esercita in all equilibrio; 3) Ricavare le equazioni differenziali di Lagrange del moto. z ξ η π ζ c 3 e 2 = e 3 ϕ e 1 * ξηζ: sistema di assi solidale con l' asta. (assi ξ ed η nel piano π; l'asse ζ perpendicolare ad essi)

9 RV SRITT DI MENI RZINLE (13 settembre 2006) (.d.l. Ing. Edile/rchitettura rof.. Muracchini) Il sistema in figura, mobile nel piano verticale z, è costituito di: a) una lamina quadrata, omogenea (massa M, lato 2l), vincolata a muoversi mantenendo uno dei suoi lati sull asse orizzontale e b) un asta omogenea (massa m, lunghezza l), incernierata in al baricentro della lamina. ltre alle forze peso agisce, sull estremo dell asta, la forza elastica: con D (0, 3l). F = kd, (k > 0) Supposti i vincoli ideali e introdotti i parametri lagrangiani (ascissa del punto ) e rappresentati in figura, si chiede: 1) Verificare che la posizione (0, π) è di equilibrio e studiarne, in funzione della costante elastica k, la stabilità; 2) Ricavare le equazioni differenziali di Lagrange del moto; 3) Supposto che all istante t 0 sia (t 0 ) = 0, (t 0 ) = π/2 e l atto di moto del sistema sia nullo, calcolare la reazione vincolare che la lamina esercita sull asta in tale istante ; 4) Si assuma, ora, M = 9 4 m e k = 2mg 3l. Dopo avere preliminarmente verificato che per tali valori la posizione risulta stabile, scrivere le equazioni linearizzate del moto del sistema nell intorno di essa. D = z

10 RV SRITT DI MENI RZINLE (13 dicembre 2006) (.d.l. Ing. Edile - rchitettura rof.. Muracchini) Il sistema rappresentato in figura, mobile in un piano verticale, è costituito di un asta omogenea (massa m, lunghezza 2l) incernierata in e vincolata a restare appoggiata su uno spigolo T di una lamina rettangolare omogenea (massa m, lati di lunghezza l e 2l) scorrevole, senza attrito, lungo l asse (M ed N punti di appoggio della lamina). ltre alle forze peso, è applicata alla lamina la forza elastica F = kqg 2 [k > 0 e Q (l, 0)]. Tutti i vincoli sono supposti ideali. ssunto come parametro lagrangiano l angolo rappresentato in figura e posto λ = kl/mg(> 0) si chiede: 1) Determinare, discutendole in funzione del parametro λ, le configurazioni di equilibrio interne e di confine del sistema esaminando la stabilità di quelle interne; 2) alcolare, all equilibrio (configurazioni interne), le reazioni vincolari che si esercitano sull asta ; 3) Rappresentare la funzione lagrangiana L del sistema. G 1 mg T G 2 mg l l Q M 2l N

11 RV SRITT DI MENI RZINLE (19 gennaio 2007) (.d.l. Ing. Edile-rchitettura rof.. Muracchini) Il sistema in figura, mobile nel piano verticale, è costituito di una circonferenza pesante, omogenea (massa M, raggio R) vincolata in modo che il punto del suo bordo sia mobile sull asse verticale. Sul punto della circonferenza, diametralmente opposto ad, agisce una forza elastica F = k(k > 0). Supposti i vincoli ideali, scelti i parametri lagrangiani e rappresentati in figura e introdotto il parametro adimensionale λ = kr/mg R + si chiede: 1) Determinare le configurazioni di equilibrio del sistema e studiarne la stabilità in funzione del parametro λ. Stabilire se esistono valori della costante elastica k tali che il sistema sia in equilibrio nella posizione = R, = π; 2) alcolare la reazione vincolare che si esercita in all equilibrio; 3) Scrivere le equazioni di Lagrange del moto; 4) Dopo avere preliminarmente verificato che, per λ = 1/2, esiste ed è stabile la posizione di equilibrio = 0, = π, studiare le piccole oscillazioni del sistema intorno a tale configurazione..

12 RV SRITT DI MENI RZINLE (15 giugno 2007) (.d.l. Ing. Edile/rchitettura rof.. Muracchini) Il sistema rappresentato in figura, mobile in un piano orizzontale, è costituito di un arco omogeneo di semicirconferenza (massa m, raggio R) incernierato in. l sistema sono applicate le seguenti forze: a) una forza elastica F el. = k o (k > 0), applicata al punto, dovuta alla azione di una molla ideale che si mantiene sempre parallela all asse (vedi figura); b) una forza di resistenza viscosa, F(v) = hv (h > 0), che si esercita sul punto ; c) una coppia di momento M = Mk (M > 0 costante, k =vers z). Supposti i vincoli ideali, utilizzando il parametro lagrangiano rappresentato in figura si chiede: 1) Scrivere le equazioni cardinali della dinamica e calcolare la reazione vincolare che si esercita nella cerniera sia in condizioni dinamiche che in condizioni statiche; 2) Determinare in funzione del parametro λ = M/2kR 2 le configurazioni di equilibrio del sistema; 3) ttenere l equazione differenziale di Lagrange del moto; 4) Nel caso k = 0 (forza elastica nulla), supposto che all istante t = 0 la velocità angolare del sistema sia ω(0) = ω 0, calcolare il tempo τ dopo il quale tale velocità si riduce al valore ω 0 /2. z k j i 0 0

13 RV SRITT DI MENI RZINLE (10 luglio 2007) (.d.l. Ing. Edile/rchitettura rof.. Muracchini) Il sistema in figura, mobile nel piano verticale, è costituito di un asta rigida di massa trascurabile, il cui centro è vincolato a muoversi, senza attrito, lungo l asse. gli estremi dell asta sono saldati due punti materiali: (massa m) e (massa 2m) ltre alle forze peso agiscono sul sistema: a) la forza elastica F e = kh [k > 0, H (0, 2l) vedi figura]; b) la forza costante F = F i [F > 0] applicata nel centro dell asta; c) una coppia di momento M = Mk [M costante; k versore dell asse z]. Introdotti i parametri lagrangiani (ascissa del punto ) e rappresentati in figura, si chiede: 1) alcolare il valore del momento M da applicare al sistema affinchè esso sia in equilibrio per e = π/2 ed il valore e in tale configurazione di equilibrio. Studiare, poi, la stabilità della posizione di equilibrio =( e, e ); 2) alcolare la reazione vincolare che si esercita in sia in condizioni dinamiche che nella posizione di equilibrio trovata nella precedente domanda; 3) Ricavare le equazioni differenziali di Lagrange del moto; 4) Supposto, ora, che sul sistema non agiscano la forza elastica e la forza F si chiede di determinare eventuali integrali primi del moto e di interpretarli fisicamente. H 2l l (m) i F l (2m)

14 RV SRITT DI MENI RZINLE (10 settembre 2007) (.d.l. Ing. Edile/rchitettura rof.. Muracchini) Il sistema in figura, mobile in un piano verticale, è costituito di un asta omogenea (massa m, lunghezza 2l) vincolata a scorrere, senza attrito, entro il cursore posto in (vedi figura). ltre al peso, sono applicate al sistema le seguenti forze: a) la forza elastica F = kq(k > 0) che richiama l estremo dell asta verso il punto Q dell asse ( Q = l); b) una coppia di momento M = Mk costante. Introdotti i parametri lagrangiani e ξ rappresentati in figura si chiede: 1) scrivere le equazioni di equilibrio dell asta utilizzando: a] il potenziale e b] le equazioni cardinali della statica; 2) verificare che, assunto k = 2mg/l, la posizione o = π/3, ξ o = 7l/4 può essere di equilibrio determinando il valore da attribuire alla coppia M perchè tale equilibrio sussista; 3) studiare, nel caso di equilibrio della domanda precedente, la stabilità della configurazione o, ξ o ; 4) rappresentare la funzione lagrangiana L del sistema; 5) scrivere le equazioni linearizzate del moto nell intorno della eventuale posizione di equilibrio stabile o, ξ o. Q ξ n u

15 RV SRITT DI MENI RZINLE (7 dicembre 2007) (.d.l. Ing. Edile/rchitettura rof.. Muracchini) Il sistema in figura, mobile nel piano verticale, è costituito di due aste rigide e D, omogenee, entrambe di massa M e lunghezza 2l. L asta ha gli estremi e vincolati a scorrere, senza attrito, sugli assi ed, rispettivamente. L asta D è vincolata a muoversi mantenendo il suo estremo incernierato al punto medio H dell asta. ll estremo D dell asta D è applicata la forza elastica F e = kd [k > 0, vedi figura]. Supposti i vincoli ideali e introdotti i parametri lagrangiani e ϕ rappresentati in figura, si chiede: 1) Dimostrare che, per k < Mg/3l, la posizione corrispondente a = 0 e ϕ = 0 risulta di equilibrio stabile; 2) Ricavare le equazioni differenziali di Lagrange del moto; 3) Scrivere le equazioni linearizzate del moto intorno alla posizione di equilibrio stabile studiata nella domanda 1). 4) Si assuma ora k = Mg/2l. Supposto che all istante iniziale (t 0 ) del moto il sistema si trovi nella configurazione = 0 e ϕ = π/2 e possieda atto di moto nullo, si chiede di calcolare in tale istante : 4a) l accelerazione del baricentro dell asta D; 4b) la reazione vincolare che l asta esercita sull asta D in. H ϕ D

16 RV SRITT DI MENI RZINLE (11 gennaio 2008) (.d.l. Ing. Edile/rchitettura rof.. Muracchini) Il sistema in figura, mobile nel piano verticale, è costituito di una lamina rettangolare rigida, omogenea, di massa M, il cui lato è vincolato a scorrere su una retta orizzontale λ. Nella lamina è praticato un foro circolare (γ) di raggio r e centro sul bordo del quale è vincolato a muoversi, senza potersene distaccare, un punto materiale di massa m (vedi figura). Su di esso agisce la forza elastica F e = k [ k = mg/2r, (0, 2r) ]. Supposti i vincoli ideali, scelto il sistema di riferimento indicato in figura e introdotti i parametri lagrangiani (ascissa del centro del disco) e, si chiede: 1) Determinare le configurazioni di equilibrio del sistema e studiarne la stabilità; 2) alcolare il valore della reazione vincolare che si esercita sul punto nelle posizioni di equilibrio stabile; 3) Scrivere le equazioni differenziali di Lagrange del moto; 4) Determinare le frequenze delle piccole oscillazioni del sistema, nell intorno di una configurazione di equilibrio stabile. 2r γ r λ

17 RV SRITT DI MENI RZINLE (19 aprile 2008) (.d.l. Ing. Edile/rchitettura - rof.. Muracchini) Il sistema in figura, posto in un piano verticale, è costituito da: a) una lamina rettangolare D (lati 2l, 4l), omogenea, di massa M, vincolata a muoversi mantenendo il suo lato a contatto con l asse ; b) un asta ST, omogenea (massa m, lunghezza l) i cui estremi sono vincolati a scorrere (senza attrito) sugli assi del rettangolo. ltre alle forze peso, agisce sul sistema la forza elastica F = kq (k > 0) dovuta all azione di una molla che collega il vertice della lamina al punto Q (0, 3l). Supposti i vincoli ideali e assunti come parametri lagrangiani l ascissa del punto e l angolo di rotazione dell asta (vedi figura) si chiede: 1) Determinare le configurazioni di equilibrio del sistema e studiarne la stabilità; 2) Ricavare le equazioni differenziali di Lagrange del moto; 3) osto M = m e k = 3Mg/2l, scrivere le equazioni linearizzate del moto nell intorno della posizione di equilibrio stabile e determinare le frequenze delle piccole oscillazioni. α Q D T S

18 RV SRITT DI MENI RZINLE (20 giugno 2008) (.d.l. Ing. Edile - rchitettura rof.. Muracchini) Il sistema rappresentato in figura è costituito da una lamina quadrata omogenea (massa M, lato 2l) vincolata mediante una cerniera ad asse orizzontale e da un punto materiale (massa M) vincolato a muoversi, senza uscirne, lungo la guida MN della lamina passante per il baricentro e ortogonale all asse della cerniera. Sul punto, oltre al peso, agisce la forza elastica F = k (k = 4Mg/3l) essendo un punto fisso posto a distanza l al di sopra dell asse della cerniera. Tutti i vincoli sono supposti ideali. Scelto un sistema di riferimento z il cui asse coincide con l asse della cerniera e con l asse z passante per e orientato verso il basso, si assumano i parametri lagrangiani ξ e rappresentati in figura. Si chiede: 1) Determinare le configurazioni di equilibrio interne e le eventuali configurazioni di equilibrio di confine, discutendo la stabilità di quelle interne; 2) Determinare la reazione vincolare che si esercita nel punto sia all equilibrio che durante il moto; 3) Ricavare le equazioni differenziali di Lagrange; 4) Stabilire sotto quali condizioni siano possibili moti del sistema con la lamina in quiete (Suggerimento: porre = 0 = costante, nelle equazioni del moto...). M ξ G N z ξ 1

19 RV SRITT DI MENI RZINLE (8 luglio 2008) (.d.l. Ing. Edile/rchitettura rof.. Muracchini) Il sistema in figura, posto in un piano verticale, è costituito da una lamina rettangolare D (lati a, b ; a < b), omogenea, di massa M, vincolata a muoversi mantenendo il suo baricentro G sull asse. ltre alla forza peso, agisce sul sistema la forza elastica F = kg (k > 0) dovuta all azione di una molla che collega il baricentro G della lamina all origine del sistema. Supposti i vincoli ideali e assunti come parametri lagrangiani l ascissa del baricentro G e l angolo di rotazione della lamina (vedi figura) si chiede: 1) Scrivere l equazione dell ellissoide centrale d inerzia e calcolare il momento d inerzia della lamina rispetto all asse Y G rappresentato in figura; 2) Studiare il moto del sistema usando le equazioni cardinali della dinamica. Supponiamo, ora, che il piano in cui giace la lamina ruoti con velocità angolare costante ω intorno all asse verticale. In tali condizioni si chiede: 3) Determinare le posizioni di equilibrio del sistema e studiarne la stabilità nei casi Mω 2 k; 4) Ricavare le equazioni differenziali di Lagrange del moto; 5) Quando Mω 2 = k, cosa si può dire: a) sull equilibrio e b) sul moto della lamina? ω Y G D G b a

20 RV SRITT DI MENI RZINLE (12 settembre 2008) (.d.l. Ing. Edile/rchitettura rof.. Muracchini) Il sistema in figura, posto in un piano verticale, è costituito da una semicirconferenza omogenea γ (raggio 3r, massa m) vincolata a traslare lungo l asse e da un disco D omogeneo (raggio r, massa m) che rotola senza strisciare, internamente, sulla semicirconferenza suddetta senza uscirne. ltre alle forze peso, agisce sul sistema la forza elastica F = k (k = mg/r) dovuta all azione di una molla che collega il punto di γ all origine del sistema. Supposti i vincoli ideali e assunti come parametri lagrangiani l ascissa del punto e l angolo tra la direzione T ( centro della semicirconferenza, T punto di contatto tra D e γ) e la verticale (vedi figura) si chiede: 0) Rappresentare: a) la velocità angolare del disco e b) usando i risultati della cinematica dei moti relativi, la velocità assoluta del baricentro G del disco; 1) Determinare, con le equazioni cardinali della statica, le configurazioni di equilibrio del sistema e calcolare le reazioni vincolari esterne ed interne. Studiare, poi, la stabilità delle configurazioni trovate; 2) Ricavare le equazioni di Lagrange del moto; 3) Scrivere le equazioni linearizzate del moto intorno alla configurazione di equilibrio stabile e calcolare le frequenze caratteristiche. Supponiamo, ora, che venga imposto l ulteriore vincolo (t) = 2g r t. In tale situazione si chiede: 4) Ricavare l equazione differenziale del moto del sistema e scriverne l integrale generale. γ e 3r D G r T X

21 RV SRITT DI MENI RZINLE (10 dicembre 2008) (.d.l. Ing. Edile/rchitettura rof.. Muracchini) Nel piano orizzontale, un disco D, pesante, omogeneo (massa M, raggio R) è vincolato a ruotare intorno ad un asse fisso z ortogonale al piano e passante per (vedi figura). Un punto (massa m) è mobile, senza attrito, entro il diametro del disco e su di esso agisce la forza elastica F = k (k > 0, centro del disco). Supposti i vincoli ideali e assunti come parametri lagrangiani e rappresentati in figura si chiede: 1) Ricavare le equazioni differenziali di Lagrange del moto ed individuare eventuali integrali primi; 2) Esaminare se esistono moti del sistema con = costante. Supponiamo, ora, che il disco ruoti con velocità angolare Ω=costante. In tali condizioni si chiede: 3) Determinare, discutendone l esistenza in funzione di Ω, le posizioni di equilibrio relativo, interne e di confine, del punto. Studiare, poi, la stabilità di quelle interne; 4) Ricavare l equazione differenziale del moto di lungo il diametro ed integrarla. z D +

22 RV SRITT DI MENI RZINLE (16 gennaio 2009) (.d.l. Ing. Edile/rchitettura rof.. Muracchini) Il sistema in figura, posto nel piano orizzontale, è costituito di due punti materiali: (massa m) e Q (massa M). Il punto può muoversi su tutto l asse mentre il punto Q è vincolato a scorrere sulla semicirconferenza γ (raggio r, centro ) senza uscirne. Sul sistema agiscono forze elastiche dovute all azione di una molla ideale (di costante elastica k > 0) che collega i due punti come in figura. Supposti i vincoli ideali e introdotti i parametri lagrangiani e rappresentati in figura, si chiede: 1) Determinare le configurazioni di equilibrio interne e di confine e studiare, poi, la stabilità di quelle interne. Studiare le configurazioni di equilibrio nel caso che il piano del sistema sia verticale (per questa parte della domanda si introduca il parametro adimensionale λ = Mg/kr R + ); 2) Ricavare ed integrare il sistema delle equazioni linearizzate del moto intorno alla posizione di equilibrio stabile; 3) Scrivere le equazioni di Lagrange: a) nelle condizioni descritte nel testo del problema e b) supponendo che sul punto Q agisca anche una forza di resistenza viscosa F = hv Q (h > 0). Supponiamo, ora, che venga imposto l ulteriore vincolo (t) = Ω = costante. In tale situazione si chiede: 4) Ricavare ed integrare l equazione differenziale del moto del punto. Q r γ

23 RV SRITT DI MENI RZINLE (8 aprile 2009) (.d.l. Ing. Edile/rchitettura rof.. Muracchini) Il sistema in figura, mobile nel piano verticale, è costituito di una circonferenza γ, omogenea (massa M, raggio R) di centro vincolata, mediante una cerniera piana, nel punto e di un punto pesante (massa m) vincolato, senza attrito, a muoversi lungo γ. Supposti i vincoli ideali, e introdotti i parametri lagrangiani e ϕ rappresentati in figura, si chiede: 1) Determinare le configurazioni di equilibrio del sistema e studiarne la stabilità; 2) Usando le equazioni cardinali della statica, ritrovare le configurazioni di equilibrio del sistema e determinare le reazioni vincolari che si esercitano nella cerniera e nel punto ; 3) Scrivere l energia cinetica del sistema; 4) Ricavare le equazioni linearizzate del moto intorno alla posizione di equilibrio stabile. Α= R ϕ γ

24 RV SRITT DI MENI RZINLE (11 giugno 2009) (.d.l. Ing. Edile/rchitettura rof.. Muracchini) Il sistema in figura, posto in un piano verticale, è costituito da: a) una lamina omogenea, pesante, di forma circolare (massa 3M, raggio 2r, centro ) con un foro (raggio r, centro posto a distanza r da ) e vincolata in con una cerniera piana; b) un punto (massa M) vincolato a scorrere, senza uscirne, lungo il diametro della lamina ortogonale a quello passante per. ltre alle forze peso, agisce sul sistema la forza elastica F = k (k > 0) dovuta all azione di una molla che collega il punto al punto posto sulla verticale per, al di sopra di quest ultimo e a distanza d = Mg/k da esso. Supposti i vincoli ideali e assunti come parametri lagrangiani ρ e (vedi figura) si chiede: 1) Determinare il baricentro della lamina e la matrice centrale principale d inerzia; 2) Determinare le configurazioni di equilibrio ordinarie e di confine del sistema discutendo la stabilità di quelle ordinarie; 3) alcolare le reazioni vincolari che si esercitano nella cerniera e nel punto all equilibrio e in condizioni dinamiche; 4) Ricavare le equazioni di Lagrange del moto; 5) Studiare le piccole oscillazioni del sistema intorno alla configurazione di equilibrio stabile. r 2r ρ

25 RV SRITT DI MENI RZINLE (9 luglio 2009) (.d.l. Ing. Edile/rchitettura (-K) rof.. Muracchini) In un piano verticale sono mobili due punti materiali pesanti 1, 2, di masse rispettive m 1 e m 2, collegati da un asta rigida di lunghezza 3l e massa trascurabile. Il punto dell asta, distante l da 1, è scorrevole senza attrito sull asse verticale (vedi figura) ed è attratto verso da una forza elastica F = k (k > 0 assegnato). Supposti i vincoli ideali ed assunte come variabili lagrangiane = e (vedi figura), si chiede: 1) Determinare le configurazioni di equilibrio del sistema, discutendone la stabilità. Ritrovare, poi, tali configurazioni usando le equazioni cardinali della statica. Supponiamo, ora, che il piano in cui giace il sistema sia posto in rotazione, intorno all asse fisso, con velocità angolare costante ω. In tale situazione si chiede: 2) Rappresentare, usando il teorema di composizione delle velocità, le velocità assolute di 1 e 2. Nel caso in cui sia m 1 = 2m 2 : 3) Ricavare le configurazioni di equilibrio relativo del sistema e studiarne la stabilità; 4) Scrivere le equazioni di Lagrange del moto relativo. ω ω j i ωt 2 1 m 1 g m 2 g

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