Proprietà geometriche della parabola: su superfici paraboliche
|
|
- Adriana Ornella Gioia
- 6 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Proprietà geometriche della parabola: riflessione su superfici paraboliche Vogliamo ricavare una proprietà fondamentale delle superfici paraboliche, legata alla riflessione di raggi luminosi su tali superfici, o più in generale alla riflessione su di esse di onde, fra cui onde elettromagnetiche come la luce o i segnali che trasmettono le frequenze televisive attraverso i satelliti. Innanzitutto cerchiamo di capire come funziona la riflessione. Se facciamo incidere un raggio di luce su una superficie riflettente, dal punto di incidenza del raggio sulla superficie emergerà un raggio riflesso che formerà con la Figure 1: Riflessione di un raggio di luce incidente su una superficie riflettente.
2 perpendicolare alla superficie un angolo uguale a quello formato con essa dal raggio incidente, come mostrato in figura 1. Possiamo quindi enunciare la legge della riflessione nel seguente modo: un raggio incidente su una superficie riflettente dà luogo ad un raggio riflesso formante con la perpendicolare alla superficie nel punto di incidenza un angolo pari a quello formato dal raggio incidente. Nel caso in cui la superficie riflettente non sia piana dovremo considerare il piano tangente alla superficie nel punto di incidenza del raggio e la perpendicolare a tale piano nel punto di incidenza. Per la legge della riflessione saranno quindi uguali gli angoli formati con questa perpendicolare dal raggio incidente e da quello riflesso. Consideriamo quindi un raggio parallelo all asse di una parabola e che incide sulla sua superficie interna, cioè nella concavità entro cui si trova anche il fuoco della parabola, come mostrato in figura 2. Figure 2: Raggio incidente nel punto P di una superficie parabolica. Dove andrà a finire questo raggio dopo la riflessione? Per scoprirlo dobbiamo fare alcune considerazioni geometriche legate alla parabola. Come
3 sappiamo infatti dalla definizione stessa di parabola, essa è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto detto fuoco e da una retta detta direttrice. Sfruttando questo fatto possiamo trarre delle conclusione sulla direzione del raggio incidente su una qualsiasi punto della parabola. Si consideri il grafico di figura 3. La figura mostra una parabola con asse Figure 3: Proprietà geometriche di una superficie parabolica. La parabola ha fuoco F(0;1) e direttrice coincidente con l asse delle x. coincidente con l asse delle y, fuoco F(0;1) e direttrice coincidente con l asse delle x. Sulla parabola è evidenziato un punto generico A, nel quale possiamo immaginare incidere il raggio luminoso parallelo all asse della parabola. Tale raggio risulterebbe diretto come la retta passante per A e perpendicolare alla direttrice, cioè all asse delle x. Il segmento AB posto su questa retta rappresenta la distanza di A dalla direttrice, mentre la distanza di A dal fuoco è rappresentata dal segmento AF. Dalla definizione di parabola sappiamo quindi che AB=AF, poichè per qualunque punto della parabola la sua distanza dal fuoco deve essere uguale alla sua distanza dalla direttrice.
4 Figure 4: Dimostrazione per assurdo della tangenza di AH alla parabola. Se consideriamo quindi il triangolo AFB esso risulterà isoscele, in quanto i lati AF e AB sono uguali. Inoltre, essendo AFB isoscele, possiamo tracciare la sua altezza AH che coinciderà con l asse del segmento FB, ed è inoltre la mediana relativa allo stesso segmento FB. I triangoli AFH e AHB sono dunque congruenti, avendo tutti i lati uguali, per cui gli angoli 1 e 2 sono uguali. Anche gli angoli 2 e 3 sono uguali perchè opposti al vertice. Quindi possiamo concludere che gli angoli 1 e 3 sono uguali, perchè entrambi uguali all angolo 2. Vogliamo ora dimostrare che la retta AH è tangente alla parabola. Dimostriamolo per assurdo, cioè mostriamo che se AH non fosse tangente alla parabola giungeremmo ad una contraddizione. Dunque, se supponiamo che AH non sia tangente alla parabola significa che la incontra in un altro punto, che possiamo chiamare A, come mostrato in figura 4. Poichè A appartiene alla parabola significa che anche per lui dovrebbe valere A F=A d, dove con A d abbiamo indicato la distanza di A dalla direttrice (definizione di parabola). Inoltre, poichè A dovrebbe comunque stare sulla retta AH, che è l asse di FB, per definizione di asse di un segmento significa che dovrebbe A anche essere equidistante da F e da B, cioè A F=A B.
5 Figure 5: Legge della riflessione applicata alla parabola. La retta tratteggiata è la perpendicolare alla retta tangente alla parabola in A. Quindi seguirebbe che A d=a F=A B A d=a B, ma questo è assurdo perchè il triangolo AdB dovrebbe essere un triangolo rettangolo in d (essendo A d la distanza da una retta, la direttrice, devo formare con essa un angolo retto) con l ipotenusa A B uguale a un cateto A d, il che è impossibile. Quindi l unica possibiltà è che A coincida con A, e che quindi la retta AH tocchi la parabola solo nel punto A, cioè sia tangente ad essa. Se dunque tracciamo la perpendicolare alla retta AH in A come mostrato in figura 5 con la retta tratteggiata, sappiamo per la legge della riflessione che un raggio incidente in A dà luogo ad un raggio riflesso che formerà con questa retta perpendicolare lo stesso angolo formato con essa dal raggio incidente. Ora, poichè, come dimostrato precedentemente, gli angoli 1 e 3 sono uguali, ne consegue che anche gli angoli 5 e 6 sono uguali poichè entrambi
6 Figure 6: Esempio di superficie parabolica. sono ottenuti sottraendo da angoli retti due angoli uguali (1 e 3). Quindi abbiamo dimostrato che un raggio parallelo all asse della parabola e incidente in A dà luogo ad un raggio riflesso diretto come AF. Il raggio riflesso cioè va a finire nel fuoco della parabola. Infine, poichè abbiamo considerato un punto generico della parabola, tale proprietà deve continuare a valere anche se considero raggi paralleli all asse ma incidenti in qualunque altro punto della parabola. Se adesso immaginiamo di ruotare la parabola attorno al proprio asse, otteniamo una superficie parabolica (o paraboloide di rotazione) come quella mostrata in figura 6. Gli specchi parabolici sono superfici di questo tipo. Possiamo pertanto trarre la seguente conclusione: Tutti i raggi paralleli all asse di uno specchio parabolico vengono da esso riflessi nel suo fuoco.
7 Figure 7: Riflessione di raggi paralleli all asse in uno specchio parabolico. Tale conclusione è mostrata in figura 7. Questa proprietà viene sfruttata negli specchi parabolici. Infatti se la sorgente che emette i raggi luminosi è molto lontana rispetto alle dimensioni del nostro specchio, possiamo considerare i raggi che incidono sullo specchio tutti paralleli fra loro e paralleli all asse dello specchio. Un caso del genere è ad esempio la luce che proviene dalle stelle. In tutti questi casi quindi possiamo sfruttare la proprietà degli specchi parabolici che abbiamo dimostrato sopra per convogliare una grande quantità di luce in un unico punto, il fuoco dello specchio, e poter quindi migliorare la nostra capacità di visualizzazione dell oggetto o più in generale di ricezione del segnale. Esistono numerosi esempi in cui viene sfruttata questa proprietà delle superfici paraboliche, fra cui le antenne paraboliche utilizzate comunemente per ricevere i segnali satellitari della TV. Di seguito vengono mostrate per immagini alcuni di questi casi. Nel caso di antenne paraboliche per satelliti, come quelle comunemente
8 Figure 8: Telescopio radio, Penticton, British Columbia, Canada. Figure 9: ALMA Array Observatory.
9 Figure 10: Antenna parabolica con offset per la ricezione di segnali da satelliti. usate per la ricezione di programmi satellitari della TV, si ha una piccola modifica rispetto a quanto descritto precedentemente. Se osservate infatti l antenna di casa vostra, o guardate per strada le antenne delle altre abitazioni, vi accorgerete che il dispositivo di ricezione non è posto sull asse della parabola, dove dovrebbe trovarsi il fuoco, ma è leggermente spostato verso il basso, come mostrato in figura 10. In questi casi infatti la superficie parabolica che costituisce l antenna è tagliata con un piano non perpendicolare all asse, e le antenne vengono dette antenne offset. Questo permette di inclinare meno la parabola rispetto alla verticale, tenendo cioè la concavità meno rivolta verso verso l alto allo scopo di evitare ad esempio l accumulo di acqua o neve nella concavità. In questi casi la riflessione avviene come mostrato in figura 11.
10 Figure 11: Riflessione in una antenna parabolica con offset.
La parabola. Giovanni Torrero Aprile La poarabola come luogo geometrico
La parabola Giovanni Torrero Aprile 2006 1 La poarabola come luogo geometrico Definizione 1 (La parabola come luogo geometrico) La parabola è il luogo geometrico formato da tutti e soli i punti del piano
DettagliLa circonferenza e il cerchio
La circonferenza e il cerchio Def. Circonferenza Si dice circonferenza una linea piana chiusa formata dall insieme dei punti che hanno la stessa distanza da un punto detto centro. Si dice raggio di una
DettagliCIRCONFERENZA E CERCHIO
CIRCONFERENZA E CERCHIO È una linea chiusa formata da tutti i punti del piano che sono equidistanti da un punto interno detto centro. La distanza punto della circonferenza-centro è detto raggio. circonferenza
DettagliLa riflessione: formazione delle immagini 2016
Vogliamo provare che l immagine prodotta da uno specchio piano, si trova alla stessa distanza della sorgente dallo specchio. Con riferimento alla figura, vogliamo provare che AC = CB. Per provare l affermazione,
DettagliRette perpendicolari
Rette perpendicolari Definizione: due rette incidenti (che cioè si intersecano in un punto) si dicono perpendicolari quando dividono il piano in quattro angoli retti. Per indicare che la retta a è perpendicolare
DettagliLa circonferenza e il cerchio
La circonferenza e il cerchio Def.: Si dice circonferenza una linea piana chiusa formata dall insieme dei punti che hanno la stessa distanza da un punto detto centro. Si dice raggio di una circonferenza
DettagliProprietà di un triangolo
Poligono con tre lati e tre angoli. Proprietà di un triangolo In un triangolo : I lati e i vertici sono consecutivi fra loro; La somma degli angoli interni è 180 ; La somma degli angoli esterni è 360 Ciascun
DettagliUna circonferenza e una parabola sono disegnate nel piano cartesiano. La circonferenza ha centro nel punto
La parabola Esercizi Esercizio 368.395 Una circonferenza e una parabola sono disegnate nel piano cartesiano. La circonferenza ha centro nel punto 0 ;5 e raggio, e la parabola ha il suo vertice in 0 ;0.
DettagliGeometria Analitica Domande, Risposte & Esercizi
Geometria Analitica Domande, Risposte & Esercizi La parabola. Dare la definizione di parabola come luogo di punti La parabola è un luogo di punti, è cioè un insieme di punti del piano che verificano tutti
DettagliLA PERPENDICOLARITA NELLO SPAZIO. Nello spazio si definiscono la perpendicolarità sia tra una retta e un piano sia tra due piani.
1 LA PERPENDICOLARITA NELLO SPAZIO Nello spazio si definiscono la perpendicolarità sia tra una retta e un piano sia tra due piani. 2.1 La perpendicolarità retta piano Nel piano la perpendicolarità tra
DettagliI TRIANGOLI. Esistono vari tipi di triangoli che vengono classificati in base ai lati e agli angoli.
I TRIANGOLI Il triangolo è un poligono formato da tre angoli o vertici e da tre lati. Il triangolo è la forma geometrica con il minor numero di lati perché tre è il numero minimo di lati con cui si può
DettagliUnità Didattica N 22 I triangoli. U.D. N 22 I triangoli
10 Unità Didattica N 22 I triangoli U.D. N 22 I triangoli 01) Il triangolo ed i suoi elementi 02) Uguaglianza di due triangoli 03) Primo criterio di uguaglianza dei triangoli 04) Secondo criterio di uguaglianza
DettagliCondizione di allineamento di tre punti
LA RETTA L equazione lineare in x e y L equazione: 0 con,,, e non contemporaneamente nulli, si dice equazione lineare nelle due variabili e. Ogni coppia ; tale che: 0 si dice soluzione dell equazione.
DettagliUn modello matematico della riflessione e rifrazione. Riflessione
Un modello matematico della riflessione e rifrazione. Proposizioni iniziali 1. In un dato mezzo la luce si muove con una velocità costante lungo una retta 1. 2. La velocità della luce dipende dal mezzo
DettagliEsercizi sulle rette nello spazio
1 Esercizi sulle rette nello spazio 1) Sono dati quattro punti non complanari, tre di essi possono essere allineati? 2) Sono dati quattro punti non complanari, quanti piani generano? 3) Quante coppie di
DettagliLA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE
LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE Prof. Giovanni Ianne CHE COS È LA PARABOLA DEFINIZIONE Parabola Scegliamo sul piano un punto F e una retta d. Possiamo tracciare sul piano i punti equidistanti da F e da
DettagliORDINAMENTO 2011 QUESITO 1
www.matefilia.it ORDINAMENTO 0 QUESITO Consideriamo la sezione della sfera e del cilindro con un piano passante per l asse del cilindro: Indicando con x il diametro di base del cilindro, con y la sua altezza
DettagliLe figure che abbiamo ottenuto prendono il nome di spezzate o poligonali. Una spezzata può essere: H S T U
Prendiamo in considerazione le figure geometriche nel piano, cioè le figure piane, intendendo con questo termine un qualsiasi insieme di punti appartenenti a uno stesso piano. Disegniamo più segmenti consecutivi:
Dettagliax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x 2 + 1 = 0.
. Rette in R ; circonferenze. In questo paragrafo studiamo le rette e le circonferenze in R. Ci sono due modi per descrivere una retta in R : mediante una equazione cartesiana oppure mediante una equazione
DettagliCirconferenze del piano
Circonferenze del piano 1 novembre 1 Circonferenze del piano 1.1 Definizione Una circonferenza è il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso, detto centro. La distanza di un qualunque punto della
DettagliGeometria euclidea. Alessio del Vigna. Lunedì 15 settembre
Geometria euclidea Alessio del Vigna Lunedì 15 settembre La geometria euclidea è una teoria fondata su quattro enti primitivi e sulle relazioni che tra essi intercorrono. I quattro enti primitivi in questione
DettagliProprietà focali delle coniche.
roprietà focali delle coniche. Mauro Saita e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria, gennaio 2014 Indice 1 Coniche 1 1.1 arabola....................................... 1 1.1.1 roprietà focale
Dettagli1 I solidi a superficie curva
1 I solidi a superficie curva PROPRIETÀ. Un punto che ruota attorno ad un asse determina una circonferenza. PROPRIETÀ. Una linea, un segmento o una retta che ruotano attorno ad un asse determinano una
DettagliTRIANGOLI CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI RISPETTO AI LATI. Def: Si dice triangolo un poligono che ha 3 lati e 3 angoli.
TRIANGOLI Si dice triangolo un poligono che ha 3 lati e 3 angoli. Proprietà: in ogni triangolo la somma di due lati è sempre maggiore del terzo lato. CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI RISPETTO AI LATI SCALENO:
DettagliRette perpendicolari
Rette perpendicolari Definizione: due rette incidenti (che cioè si intersecano in un punto) si dicono perpendicolari quando dividono il piano in quattro angoli retti. Per indicare che la retta a è perpendicolare
DettagliProblemi di massimo e minimo
Problemi di massimo e minimo Supponiamo di avere una funzione continua in Per il teorema di Weierstrass esistono il massimo assoluto M e il minimo assoluto m I problemi di massimo e minimo sono problemi
DettagliPROPOSIZIONI DELLA QUADRATURA DELLA PARABOLA
PROPOSIZIONI 18-24 DELLA QUADRATURA DELLA PARABOLA Non è la conoscenza, ma l'atto di imparare; non il possesso ma l'atto di arrivarci, che dà la gioia maggiore Karl Friedrich Gauss Nella Proposizione 24
Dettagli2. Determina l equazione della circonferenza passante per i punti A ( 2; 4), B ( 1; 3) ed avente centro sulla retta di equazione 2x 3y + 2 = 0.
CLASSE 3^ C LICEO SCIENTIFICO Novembre 01 La circonferenza 1. Ricava l equazione di ciascuna delle circonferenze rappresentate, spiegando in maniera esauriente il procedimento che seguirai, prima di svolgere
DettagliI TRIANGOLI AB < AC + BC
I TRIANGOLI Il triangolo è un poligono formato da tre angoli e da tre lati: rappresenta la figura più semplice in assoluto, in quanto 3 è il numero minimo di segmenti necessari per delimitare una superficie
DettagliI Triangoli e i criteri di congruenza
I Triangoli e i criteri di congruenza 1 Le caratteristiche di un triangolo Un triangolo è un insieme di punti del piano costituito da una poligonale chiusa di tre lati e dai suoi punti interni I punti
DettagliLA CIRCONFERENZA DEFINIZIONI. Una circonferenza è l insieme dei punti del piano che hanno distanza assegnata da un punto, detto centro.
LA CIRCONFERENZA DEFINIZIONI Una circonferenza è l insieme dei punti del piano che hanno distanza assegnata da un punto, detto centro. Un cerchio è una figura piana formata dai punti di una circonferenza
DettagliC7. Circonferenza e cerchio
7. irconferenza e cerchio 7.1 Introduzione ai luoghi geometrici Un luogo geometrico è l insieme dei punti del piano che godono di una proprietà detta proprietà caratteristica del luogo geometrico. Esempio
DettagliGEOMETRIA. Congruenza, angoli e segmenti
GEOMETRIA Per affermare che un triangolo è isoscele o rettangolo oppure che un quadrilatero è un parallelogramma o un rettangolo o un rombo o un quadrato o un trapezio o un trapezio isoscele, c è sempre
DettagliTRIANGOLI. Proprietà: in ogni triangolo la somma di due lati è maggiore del terzo lato. CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI
TRIANGOLI Si dice triangolo un poligono che ha 3 lati e 3 angoli. Proprietà: in ogni triangolo la somma di due lati è maggiore del terzo lato. a) RISPETTO AI LATI CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI SCALENO:
DettagliGEOMETRIA ANALITICA
GEOMETRIA ANALITICA matematica@blogscuola.it LE COORDINATE CARTESIANE Quando si vuole fissare un sistema di coordinate cartesiane su una retta r, è necessario considerare: un punto O detto origine; un
DettagliGeometria euclidea dello spazio Presentazione n. 6 Solidi di rotazione Prof. Daniele Ippolito Liceo Scientifico Amedeo di Savoia di Pistoia
Geometria euclidea dello spazio Presentazione n. 6 Solidi di rotazione Prof. Daniele Ippolito Liceo Scientifico Amedeo di Savoia di Pistoia Solidi di rotazione Un solido di rotazione è generato dalla rotazione
DettagliPIANO CARTESIANO. NB: attenzione ai punti con una coordinata nulla: si trovano sugli assi
PIANO CARTESIANO Il piano cartesiano è individuato da due rette perpendicolari (ortogonali) che si incontrano in un punto O detto origine del piano cartesiano. Si fissa sulla retta orizzontale il verso
DettagliGeometria euclidea. Alessio del Vigna
Geometria euclidea Alessio del Vigna La geometria euclidea è una teoria fondata su quattro enti primitivi e sulle relazioni che tra essi intercorrono. I quattro enti primitivi in questione sono il punto,
DettagliProgetto Matematica in Rete - Geometria euclidea - Quadrilateri. I quadrilateri. Il parallelogramma
I quadrilateri Il parallelogramma Definizione: un parallelogramma è un quadrilatero avente i lati opposti paralleli AB // DC AD // BC Teorema : se ABCD è un parallelogramma allora ciascuna diagonale lo
DettagliTesti verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009
Testi verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009 1) Sono assegnati i punti A(- 1; 3) C(3; 0) M ;1 a) Ricavare le coordinate del simmetrico di A rispetto a M e indicarlo con B. Verificare che il segmento congiungente
DettagliSPECCHI. Dalla posizione dell'immagine non emergono raggi luminosi; essa si trova sull'immaginario prolungamento dei raggi di luce riflessa.
SPECCHI SPECCHI PIANI Per specchio si intende un dispositivo la cui superficie è in grado di riflettere immagini di oggetti posti davanti a essa. Uno specchio è piano se la superficie riflettente è piana.
DettagliSuperfici e solidi di rotazione. Cilindri indefiniti
Superfici e solidi di rotazione Consideriamo un semipiano α, delimitato da una retta a, e sul semipiano una curva g; facendo ruotare il semipiano in un giro completo attorno alla retta a, la curva g descrive
DettagliElementi di Geometria euclidea
Elementi di Geometria euclidea Proprietà dei triangoli isosceli Il triangolo isoscele ha almeno due lati congruenti, l eventuale lato non congruente si chiama base, i due lati congruenti si dicono lati
DettagliAnno 1. Quadrilateri
Anno 1 Quadrilateri 1 Introduzione In questa lezione impareremo a risolvere i problemi legati all utilizzo dei quadrilateri. Forniremo la definizione di quadrilatero e ne analizzeremo le proprietà e le
DettagliMatematica classe 5 C a.s. 2012/2013
Matematica classe 5 C a.s. 2012/2013 Asintoti e grafici 1) Una funzione y = f(x) gode delle seguenti caratteristiche: D / 4, y 0 se x 0 x 2, lim, 3. Rappresentare un grafico qualitativo della funzione.
DettagliNote di ottica geometrica.
Note di ottica geometrica. Mauro Saita e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria, novembre 2012. Indice 1 ttica geometrica 1 2 Riflessione. 2 2.1 La legge della riflessione..............................
DettagliCostruzione delle coniche con riga e compasso
Costruzione delle coniche con riga e compasso Quando in matematica è possibile dare diverse definizioni, tutte equivalenti, di uno stesso oggetto, allora significa che quell oggetto può essere caratterizzato
DettagliRisposte ai quesiti D E H D
Perugia, dic. 2009/gen. 2010 Risposte ai quesiti 1. Dati i quadrati CD e C D, come in figura, provare che la perpendicolare uscente da alla retta DD passa per il punto medio del segmento quale che sia
DettagliCORSI I.D.E.I. - LA PARABOLA CLASSI QUARTE Prof. E. Modica
ISTITUTO PROVINCIALE DI CULTURA E LINGUE NINNI CASSARÀ SEDE DI VIA FATTORI CORSI I.D.E.I. - LA PARABOLA CLASSI QUARTE Prof. E. Modica erasmo@galois.it DEFINIZIONI Definizione. Dicesi parabola il luogo
DettagliI TRIANGOLI AB < AC + BC
I TRIANGOLI Il triangolo è un poligono formato da tre angoli e da tre lati: rappresenta la figura più semplice in assoluto, in quanto 3 è il numero minimo di segmenti necessari per delimitare una superficie
DettagliCorso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni
Corso di Geometria 2010-11 BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni 1 Geometria dello spazio Esercizio 1. Dato il punto P 0 = ( 1, 0, 1) e il piano π : x + y + z 2 = 0, determinare: a) Le equazioni parametriche
DettagliLezione 6 Richiami di Geometria Analitica
1 Piano cartesiano Lezione 6 Richiami di Geometria Analitica Consideriamo nel piano due rette perpendicolari che si intersecano in un punto O Consideriamo ciascuna di queste rette come retta orientata
DettagliPrecorso di Matematica
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE FACOLTA DI ARCHITETTURA Precorso di Matematica Anna Scaramuzza Anno Accademico 2005-2006 17-24 Ottobre 2005 INDICE 1. GEOMETRIA EUCLIDEA........................ 2 1.1 Triangoli...............................
DettagliDato un triangolo ABC, è il segmento che partendo dal vertice opposto al lato, incontra il lato stesso formando due angoli retti.
Anno 2014 1 Sommario Altezze, mediane, bisettrici dei triangoli... 2 Altezze relativa a un vertice... 2 Mediane relative a un lato... 2 Bisettrici relativi a un lato... 2 Rette perpendicolari... 3 Teorema
Dettagli1. (Da Medicina e Odontoiatria 2012) Determinare l'area del triangolo che ha come vertici i punti (0,0), (0,1), (13,12) del piano cartesiano:
QUESITI 1 PIANO CARTESIANO 1. (Da Medicina e Odontoiatria 2012) Determinare l'area del triangolo che ha come vertici i punti (0,0), (0,1), (13,12) del piano cartesiano: a) 6 b) 13/2 c) 12 d) 13 e) 78 2.
DettagliLa circonferenza e i poligoni inscritti e circoscritti
Liceo Scientifico Isacco Newton - Roma Le lezioni multimediali di GeoGebra Italia efinizioni Luogo Geometrico Insieme di tutti e soli punti del piano che godono di una certa proprietà, detta proprieà caratteristica
DettagliUnità Didattica N 9 : La parabola
0 Matematica Liceo \ Unità Didattica N 9 La parabola Unità Didattica N 9 : La parabola ) La parabola ad asse verticale ) La parabola ad asse orizzontale 5) Intersezione di una parabola con una retta 6)
DettagliPrincipali Definizioni e Teoremi di Geometria
Principali Definizioni e Teoremi di Geometria Segmento (definizione) Si dice segmento di estremi A e B l insieme costituito dai punti A e B e da tutti i punti della retta AB compresi tra A e B. Angolo
DettagliTangenti. Lezione 2. Tangenti
Lezione. Tangenti 1 Circonferenze tangenti tra loro Poiché due circonferenze sono reciprocamente tangenti quando hanno un solo punto in comune, vi sono essenzialmente due modi in cui ciò può avvenire:
DettagliNote sulle coniche. Mauro Saita. Aprile 2016
Note sulle coniche. e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Aprile 2016 Indice 1 Coniche 2 1.1 Parabola....................................... 2 1.2 Proprietà focale della parabola.......................... 2
DettagliTIPI DI TRIANGOLO La classificazione dei triangoli può essere fatta o in riferimento ai lati oppure agli angoli. Sulla base dei lati abbiamo:
TIPI DI TRIANGOLO La classificazione dei triangoli può essere fatta o in riferimento ai lati oppure agli angoli. Sulla base dei lati abbiamo: TRIANGOLO EQUILATERO Il triangolo equilatero ha i tre lati
DettagliTeoremi di geometria piana
la congruenza teoremi sugli angoli γ teorema sugli angoli complementari Se due angoli sono complementari di uno stesso angolo α β In generale: Se due angoli sono complementari di due angoli congruenti
DettagliGEOMETRIA EUCLIDEA. segno lasciato dalla punta di una matita appena appoggiata sul foglio. P
GEOMETRIA EUCLIDEA 1) GLI ENTI FONDAMENTALI: PUNTO, RETTA E PIANO Il punto, la retta e il piano sono gli ELEMENTI ( o ENTI ) GEOMETRICI FONDAMENTALI della geometria euclidea; come enti fondamentali non
DettagliLA DISTANZA DA CENTRO RAPPRESENTA IL RAGGIO CISCUNA DELLE DUE PARTI IN CUI E DIVISA UNA CIRCONFERENZA SI CHIAMA ARCO
LA CIRCONFERENZA LA CIRCONFERENZA E IL LUOGO DEI PUNTI EQUIDISTANTI DA UN PUNTO FISSO DETTO CENTRO LA DISTANZA DA CENTRO RAPPRESENTA IL RAGGIO UN SEGMENTO CHE CONGIUNGE DUE PUNTI DELLA CIRCONFERENZA SI
DettagliI PARALLELOGRAMMI Si dice PARALLELOGRAMMA un quadrilatero avente i lati opposti paralleli a due a due.
I PARALLELOGRAMMI Si dice PARALLELOGRAMMA un quadrilatero avente i lati opposti paralleli a due a due. A D B H C K Una particolarità del parallelogramma è che mantiene le sue caratteristiche anche quando
DettagliUn problema geometrico
Un problema geometrico L. Perrella, G. Piazza; L. Crisci, V. Maiorca, V. Ruscio; L. Niculut Classi I sez. A; III sez. F; V sez. F L.S.S. E. Majorana Guidonia 11 giugno 011 1 Introduzione In questa nota
DettagliRicordiamo. 1. Tra le equazioni delle seguenti rette individua e disegna quelle parallele all asse delle ascisse:
La retta Retta e le sue equazioni Equazioni di rette come luogo geometrico y = h h R equazione di una retta parallela all asse delle ascisse x = 0 equazione dell asse delle ordinate y = h h R equazione
DettagliMETODI E TECNOLOGIE PER L INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA. Lezione n 12
METODI E TECNOLOGIE PER L INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA Lezione n 12 PARTE SECONDA GEOMETRIA SOLIDA UNA PREMESSA Diversi esperti di Didattica della Matematica ritengono che l approccio migliore, per la
Dettagli1/6. Esercizi su Circonferenza/retta e circonferenza/circonferenza. Dimostrazioni. Ipotesi. Tesi. Dimostrazione. Ipotesi. Tesi.
Dimostrazioni Risoluzione 1) Le circonferenze Γ e Γ' (e Γ'') sono tangenti P appartiene alla retta tangente comune t PA, PB (e PB*) sono tangenti PA = PB (= PB*) Non ha importanza se le due circonferenze
DettagliMatematica Introduzione alla geometria
Matematica Introduzione alla geometria prof. Vincenzo De Felice 2014 Problema. Si mostri che un triangolo con due bisettrici uguali è isoscele. La matematica è sfuggente. Ziodefe 1 2 Tutto per la gloria
DettagliSoluzioni dei quesiti della maturità scientifica A.S. 2009/2010
Soluzioni dei quesiti della maturità scientifica AS 009/010 Nicola Gigli Sun-Ra Mosconi giugno 010 Quesito 1 Un generico polinomio di grado n si può scrivere nella forma p(x) a 0 + a 1 x + + a n x n dove
DettagliCostruzione 1 Condurre la perpendicolare ad un retta data, passante per un punto della retta stessa.
Costruzioni Costruzioni di rette, segmenti ed angoli Costruzione 1 Condurre la perpendicolare ad un retta data, passante per un punto della retta stessa. Costruzione. Consideriamo la retta r ed un punto
DettagliLe sezioni piane del cubo
Le sezioni piane del cubo Versione provvisoria 11 dicembre 006 1 Simmetrie del cubo e sezioni speciali Sezioni speciali si presentano in corrispondenza di piani perpendicolari agli assi di simmetria del
DettagliOTTICA GEOMETRICA. Ovvero la retta perpendicolare alla superficie riflettente. Figura 1. Figura 2
OTTICA GEOMETRICA L ottica geometrica si occupa di tutta quella branca della fisica che ha a che fare con lenti, specchi, vetri e cose simili. Viene chiamata geometrica in quanto non interessa la natura
DettagliLa parabola come luogo di punti. Bruna Cavallaro, Treccani Scuola
La parabola come luogo di punti 1 Parabola e specchi parabolici Video Accensione della torcia olimpica Il video mostra la torcia olimpica accesa dalla luce del Sole. Specchio parabolico La cerimonia riprende
DettagliApplicazioni dei teoremi di Pitagora ed Euclide
Utilizzando le misure di segmenti e superfici si possono riscrivere i teoremi di Pitagora ed Euclide per il triangolo rettangolo: Teorema di Pitagora: 1 + c i c = 1 Teorema di Euclide: c p i 1 = 1 c =
DettagliPostulati e definizioni di geometria piana
I cinque postulati di Euclide I postulato Adimandiamo che ce sia concesso, che da qualunque ponto in qualunque ponto si possi condurre una linea retta. Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una
DettagliTriangolo rettangolo
Dato il triangolo rettangolo Possiamo perciò utilizzare angoli). Progetto Matematica in Rete Triangolo rettangolo OPA sappiamo che: PA cateto sen OP cos tg OA cateto OP PA cateto OA cateto opposto ad ipotenusa
Dettagli(x B x A, y B y A ) = (4, 2) ha modulo
GEOMETRIA PIANA 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(0, 4), e B(4, ) trovarne la distanza e trovare poi i punti C allineati con A e con B che verificano: (1) AC = CB (punto medio del segmento AB); ()
DettagliLa retta nel piano cartesiano
La retta nel piano cartesiano Abbiamo visto come, fissato un sistema di riferimento, a ciascun punto sia possibile associare una coppia ordinata di numeri reali (le sue coordinate). Se adesso consideriamo
DettagliProprietà dei triangoli e criteri di congruenza
www.matematicamente.it Proprietà dei triangoli 1 Proprietà dei triangoli e criteri di congruenza Nome: classe: data: 1. Relativamente al triangolo ABC in figura, quali affermazioni sono vere? A. AH è altezza
DettagliALCUNE LINEE GUIDA PER LA DIMOSTRAZIONE DEI TEOREMI
ALCUNE LINEE GUIDA PER LA DIMOSTRAZIONE DEI TEOREMI LE RELAZIONI FRA GLI ELEMENTI DI UN TRIANGOLO 1) La somma degli angoli interni di un triangolo è 180 γ Consideriamo il triangolo ABC. Tracciamo la parallela
DettagliDue rette si dicono INCIDENTI se hanno esattamente un punto in comune, altrimenti si dicono PARALLELE.
Riepilogo di Geometria: Assioma A1 Per tutte le coppie di punti P,Q dell insieme S è assegnato un numero reale (=)> 0, che si dice distanza di P da Q e si indica don d(p,q) 1- Se i punti P,Q sono distinti
DettagliSOLIDI DI ROTAZIONE. Superficie cilindrica indefinita se la generatrice è una retta parallela all asse di rotazione
SOLIDI DI ROTAZIONE Dato un semipiano α limitato dalla retta a, sia g una linea qualunque appartenente al semipiano α; ruotando il semipiano α di un angolo giro attorno alla retta a, la linea g genera
DettagliPoligoni Un poligono è la parte di piano delimitata da una linea spezzata, semplice e chiusa.
Poligoni Un poligono è la parte di piano delimitata da una linea spezzata, semplice e chiusa. Lato Vertice Angolo interno Angolo esterno I lati del poligono sono segmenti che costituiscono la linea spezzata.
DettagliLe caratteristiche dei poligoni. La relazione tra i lati e gli angoli di un poligono. Definizioni
Le caratteristiche dei poligoni 1. Si dice poligono la parte del piano delimitata da una spezzata chiusa. 2. Il perimetro di un poligono è la somma delle misure del suoi lati, si indica cm 2p. 3. Un poligono
DettagliPrecorso di Matematica
Precorso di Matematica Lezione 3 Andrea Susa OPERATORE DI PRODOTTO Π 2 1 Operatore di prodotto Π Consideriamo un insieme numerico ={ =1, }. Definiamo prodotto degli elementi in, = Esempio: ={ =1, =2, =3,
DettagliTest di Matematica di base
Test di Matematica di base Geometria Il rapporto tra la superficie di un quadrato e quella di un triangolo equilatero di eguale lato è a. 4 b. 4 d. [ ] Quali sono le ascisse dei punti della curva di equazione
DettagliREGOLA DELLA SEMPLIFICAZIONE DELLE AREE
REGOLA DELLA SEMPLIFICAZIONE DELLE AREE Ogni formula di calcolo delle aree dei poligoni può essere espressa tramite una frazione avente al numeratore un prodotto di due valori e un unico valore al denominatore.
DettagliUn triangolo è un insieme di punti del piano costituito da una poligonale chiusa di tre lati e dai suoi punti interni CLASSIFICAZIONE RISPETTO AI
Un triangolo è un insieme di punti del piano costituito da una poligonale chiusa di tre lati e dai suoi punti interni CLASSIFICAZIONE RISPETTO AI LATI: equilatero, isoscele, scaleno CLASSIFICAZIONE RISPETTO
DettagliPoligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza
Poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza Def: 1. Un poligono si dice inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici sono punti della La circonferenza si dice circoscritta al poligono.
Dettagli1. Proprietà focali delle coniche
1. Proprietà focali delle coniche Per questo argomento, vedere anche P. Maroscia, Introduzione alla geometria e all algebra lineare, Zanichelli, Appendice B. Ricordiamo che il fenomeno fisico della riflessione
DettagliProblemi di geometria
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 In un triangolo rettangolo l altezza relativa all ipotenusa è lunga 16 cm e la proiezione sull ipotenusa di un cateto è lunga 4 cm. Calcola l area del triangolo. [544 cm
DettagliProva di matematica proposta dal Ministero Seconda proposta
Matematica per la nuova maturità scientifica A. Bernardo M. Pedone 89 Problema Prova di matematica proposta dal Ministero Seconda proposta Della parabola f ( x) = ax bx c si hanno le seguenti informazioni,
DettagliPREREQUISITI. Rette e piani (parallelismo, perpendicolarità, incidenza) Proiezioni ortogonali Componenti Direzione Seno, coseno e tangente Glossario
Appunti corso di Fisica, Facoltà di Agraria, Docente Ing. Francesca Todisco REREQUISITI Rette e piani (parallelismo, perpendicolarità, incidenza) roiezioni ortogonali Componenti Direzione Seno, coseno
DettagliProblema ( ) = 0,!
Domanda. Problema ( = sen! x ( è! Poiché la funzione seno è periodica di periodo π, il periodo di g x! = 4. Studio di f. La funzione è pari, quindi il grafico è simmetrico rispetto all asse y. È sufficiente
DettagliLA PARABOLA. Parabola con asse di simmetria coincidente con l asse y e passante per l origine. Equazione canonica Vertice V ( 0,0) Fuoco
LA PARABOLA La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso F detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice. Parabola con asse di simmetria coincidente con l asse
DettagliPrincipali Definizioni e Teoremi di Geometria
Principali Definizioni e Teoremi di Geometria Segmento (definizione) Si dice segmento di estremi A e B l insieme costituito dai punti A e B e da tutti i punti della retta AB compresi tra A e B. Angolo
DettagliDetermina il terzo vertice A di un triangolo di cui. l ortocentro
La Retta Esercizi Esercizio 6. Determina il terzo vertice A di un triangolo di cui sono noti due vertici ; 1, 1; e l ortocentro ;. Soluzione 1 Analizziamo il problema ragionando, per semplicità, su un
DettagliUnità Didattica N 36 La similitudine
Unità Didattica N 36 La similitudine 1 Unità Didattica N 36 La similitudine 01) Definizione di poligoni simili 0) Definizione di triangoli simili 03) Primo criterio di similitudine dei triangoli 04) Secondo
Dettagli