Geometria. Domande introduttive

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1 PT, 695 noio Geometri si di mtemti per l MPT 3 Tringoli L pdronnz delle rtteristihe e delle proprietà dei tringoli è fondmentle per pire il pitolo dell trigonometri, uno dei pitoli di geometri non trttto nel progrmm di Suol Medi m previsto nel progrmm MPT. 3. Tipi di tringoli Domnde introduttive Qul è l differenz tr un tringolo generio (senz prtiolrità) e un tringolo equiltero? Un tringolo può essere rettngolo e isosele? Rppresentzione e denominzioni del tringolo: Elementi del tringolo Denominzioni Vertii on lettere miusole (,,, D, ), in senso ntiorrio. Lti ngoli on le lettere minusole (,,, d, ): i lti ssumono l letter orrispondente l vertie he st di fronte l lto. on le lettere minusole dell lfeto greo orrispondenti lle lettere dei vertii (,,, δ, ). o L somm degli ngoli vle sempre 80 : Esempi: D e δ F φ f d ε E I tringoli possono essere lssifiti seondo le rtteristihe seguenti:.

2 PT, 695 noio Geometri si di mtemti per l MPT seondo gli ngoli interni Tringolo utngolo H tre ngoli uti ( < 90, < 90, < 90 ) Tringolo rettngolo H un ngolo retto ( 90 ) o + 90 Tringolo ottusngolo H un ngolo ottuso ( > 90 ) seondo i lti Tringolo generio (sleno) H tre lti di lunghezz divers: Di onseguenz: Tringolo isosele H lmeno due lti lunghi uguli, per esempio: Di onseguenz: Tringolo equiltero H tutti i lti lunghi uguli: Di onseguenz:.

3 PT, 695 noio Geometri si di mtemti per l MPT Soluzioni Qul è l differenz tr un tringolo generio e un tringolo equiltero? Un tringolo generio h tre lti di divers lunghezz e i tre ngoli di diverse mpiezze. Il tringolo equiltero h i tre lti lunghi uguli e i tre lti di medesim mpiezz (60 ). Un tringolo può essere rettngolo e isosele? Sì, i due lti lunghi uguli definisono l ngolo di 90..3

4 PT, 695 noio Geometri si di mtemti per l MPT 3. Punti e rette prtiolri dei tringoli Situzione introduttiv Si desider ostruire un s tringolre (0 m; 5 m; 8 m) (puoi provre disegnrl in sl). ome determinre il punto estto sul qule v posiziont l gru he deve rggiungere i tre vertii dell s? Dove si deve posre il pilstro nell ntin (he, ssieme i muri perimetrli, deve sostenere il pino terreno) spendo he esso deve trovrsi nell posizione migliore per sostenere il pvimento (entro di grvità)? Dove si trov il entro di un erhio ornmentle he il pistrellist vuole rere sul pvimento del pino terreno in modo tle he il erhio pssi ll stess distnz di tre muri perimetrli? Denominzione Simolo L intersezione delle rette orrisponde l Esempi Meditrii ssi dei tre lti. m iroentro (erhio irosritto, revito on O) Osservzione: il iroentro può trovrsi internmente, esternmente o su un lto del tringolo. m O m m Medine ongiungono il vertie on il punto medio del lto opposto. g rientro (entro di grvità, revito on G) Osservzione: il rientro suddivide le medine in un rpporto :. g G g g isettrii Inentro (erhio isritto, revito on Ω) Semirette he suddividono l ngolo in due prti uguli. i Osservzione: l intersezione delle isettrii degli ngoli esterni determinno i entri dei tre erhi esterni. i Ω i i ltezze Segmenti he dl vertie sendono perpendiolrmente sul lto opposto. h Ortoentro (revito on H) Osservzione: l ortoentro può trovrsi internmente, esternmente o su un lto del tringolo. h h H h.4

5 PT, 695 noio Geometri si di mtemti per l MPT Soluzione L gru si troverà sul iroentro: orrisponde ll intersezione delle tre meditrii. Il pilstro v posto in orrispondenz del rientro: orrisponde ll intersezione delle tre medine. Il entro del erhio orrisponde ll inentro, ossi ll intersezione delle isettrii. 3.3 Il teorem di Pitgor Domnde introduttive ) on un ord suddivis esttmente in prti uguli, è possiile definire un tringolo rettngolo senz l iuto di nessuno strumento geometrio (senz squdr, gonimetro, )? ) Se il lto di un tringolo equiltero è lungo, qunto vle l lunghezz dell su ltezz? In ogni tringolo rettngolo l somm dei qudrti definiti di teti è ugule l qudrto definito dll ipotenus: In riferimento l disegno imo, in form nliti: + Dll qule si estrggono le seguenti formule (sempre in riferimento l disegno sopr):.5

6 PT, 695 noio Geometri si di mtemti per l MPT Nturlmente se le lettere dei lti del tringolo vengono smite, nhe le formule devono essere dttte di onseguenz. Soluzioni ) on un ord suddivis esttmente in prti uguli, è possiile definire un tringolo rettngolo senz l iuto di nessuno strumento geometrio (senz squdr, gonimetro, )? I tre lti del tringolo srnno ostituiti d un trtto di ord omprendente, rispettivmente, 3, 4 e 5 prti uguli. In questo modo, vremo l seguente relzione: , orrispondente l Teorem di Pitgor e relizzndo osì un tringolo rettngolo. ) Se il lto di un tringolo equiltero è lungo, qunto vle l lunghezz dell su ltezz? nlizzndo il seguente disegno, in prtiolre metà tringolo equiltero (tringolo ) e pplindo il teorem di Pitgor, imo: h h

7 PT, 695 noio Geometri si di mtemti per l MPT 3.4 Tringoli simili Situzione introduttiv In un pomeriggio soleggito un person lt,80 m riese misurre l lunghezz dell omr proiettt sul terreno he risult essere di due metri. Qunto è lto un oeliso viino quest person he proiett un omr sullo stesso terreno di 5 m? Tringoli simili I tringoli e sono simili poihé l mpiezz dei tre ngoli è l stess. Vlgono quindi le seguenti relzioni: ' ' '' ' ' dlle quli si possono dedurre ltre uguglinze. Soluzione In un pomeriggio soleggito un person lt,80 m riese misurre l lunghezz dell omr proiettt sul terreno he risult essere di due metri. Qunto è lto un oeliso viino quest person he proiett un omr sullo stesso terreno di 5 m? 5 m m Il Sole, trovndosi un distnz molto grnde dll Terr, proiett i suoi rggi luminosi in modo tle he essi possono essere ritenuti prlleli (quindi il rggio rppresentto dl trtto è prllelo l rggio rppresentto d ). Di onseguenz i tringoli e sono simili. Possimo quindi srivere l seguente relzione: ' ' ' ',80 m 5 m 4,50 m '' ' ' m.7

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