Applicazioni - Prospettiva, arte e architettura

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1 Applicazioni - Prospettiva, arte e architettura - Fino al Rinascimento, pittori ed architetti non furono in grado di attrezzarsi di risorse tecniche per rappresentare gli oggetti tridimensionali e la prospettiva. - Il primo passo nell ambito della prospettiva lo fece l architetto Filippo Brunelleschi ( ) e il primo trattato (Della Pittura) sul tema lo scrisse Leon Battista Alberti ( ). - Il Rinascimento fu un movimento principalmente artistico, dove molte dei suoi conseguimenti erano radicati nella rivoluzione della conoscenza che lo aveva preceduto, l Umanesimo. Piero della Francesca, Raffaello, Leonardo furono artisti rinascimentali che svilupparono, attraverso l uso della geometria, la tecnica per sviluppare la prospettiva che si chiamò prospettiva lineare. In particolare fu Brunelleschi che individuò il punto di fuga e le linee di convergenza verso di esso. Le linee servivano per guidare il pittore nella rappresentazione degli elementi visti nel loro progressivo rimpicciolirsi man mano che si allontanano dall'occhio di chi li osserva. - Gli elementi chiave della prospettiva lineare sono: l oggetto, il quadro, l occhio del pittore, e una piramide di raggi virtuali che dagli occhi si dirama verso l osservatore e da questo all oggetto. La rappresentazione dell oggetto in prospettiva corrisponderà ad una sezione (il quadro) di questa piramide virtuale (proiezione). - Con questa rappresentazione è possibile individuare il punto P sul quadro, corrispondente a P a partire da i seguenti triangoli essenziali, che mostrano il page 1 / 6

2 punto x orizzontale e il punto y verticale. Per farlo si userà naturalmente il teorema di Pitagora. - Questo sarebbe facile da vedere se il pittore lavorasse su un vetro trasparente, ma non è così: il pittore lavora su una tela opaca. Per eseguire i tracciati necessari, gli artisti dovevano trasformarsi in geometri. Consideriamo la Costruzione Legittima di Alberti. Alberti cerca di rappresentare un pavimento quadrato. Fissa un punto di fuga centrale (O), divide AB in parti uguali e traccia le linee da queste parti verso O. Colloca il punto D ad una distanza d da O. Questa distanza d è quella che separa il pittore dal quadro. Unisce D alle divisioni su AB. Così si ottengono le diagonali delle piastrelle, con le quali può rappresentarle. page 2 / 6

3 - Nonostante l artificio teorico e la pretesa scientifica la prospettiva rinascimentale non è realistica. E solo un trucco visivo che inganna la percezione umana, ma che comunque segnò una svolta nella rappresentazione pittorica della realtà, che allora non conosceva ancora la profondità. - Nessun sistema matematico può servire a rappresentare quello che l occhio vede. La rappresentazione della luna - Quando disegniamo una luna in un quadro, dobbiamo anche immaginare a che distanza vogliamo che l osservatore veda il quadro, in modo che questo possa avere la sensazione di vedere una luna con un grandezza reale. - In base alla grandezza della luna, possiamo ricavare la distanza corretta a cui si deve porre l osservatore per avere l impressione di vedere correttamente la grandezza della luna. - Supponiamo che la luna abbia il diametro di 5 cm, sapendo che l angolazione con cui vediamo la luna dalla terrà è di 0,5, possiamo scrivere page 3 / 6

4 - Quindi, per vedere una luna di 5 cm di diametro, devo guardare il quadro alla distanza di 5,814 m per avere la sensazione della dimensione corretta della luna. Da dove si guarda un quadro? - I principi della prospettiva lineare descritti da Filippo Brunelleschi ( ) stabiliscono che l opera pittorica, in quanto rappresentazione della realtà, deve offrire all osservatore la stessa visione che l artista ha voluto materializzare nella sua opera. Un qualunque fascio di rette parallele che si osserva nella realtà, nel quadro sarà rappresentato come linee convergenti in un punto di fuga. - Nella prospettiva il punto di fuga è un punto verso il quale le linee parallele sembrano convergere e dove l artista vuole che si guardi per avere l effetto prospettico reale. - I punti di fuga possono essere diversi, ma quando i punti di fuga sono più di una come è possibile stabilire quale sia il punto giusto di osservazione? Il matematico Chris Zeeman (1925-) spiega il modo per farlo. - Consideriamo la seguente figura che rappresenta un cubo raffigurato con 3 punti di fuga. La domanda che sorge è: da dove si deve guardare la figura per vedere davvero la forma cubica? - Per definizione, per ogni punto di fuga del quadro passano tutte le rette che costituiscono un fascio di parallele aventi la stessa direzione nella realtà tridimensionale. Per vedere che AP e PB formano un angolo retto, si deve immaginare che davanti al quadro ci sia una sfera di diametro AB. L occhio dell osservatore dovrà essere in un punto della superficie della ipotetica sfera. page 4 / 6

5 - Si deve fare così perché un qualsiasi segmento nello spazio può essere visto con un angolazione di 90 da una superficie sferica con il diametro del segmento. Per valutare il cubo è necessario vedere anche le perpendicolari AP e PC e, analogamente, BP e PC. - In definitiva, occorre collocare l occhio nell intersezione di tre ipotetiche superfici sferiche davanti al quadro, di diametri AB, BC e AC. Le prime due mezze superfici sferiche di fronte al quadro saranno intersecate da una semicirconferenza, la quale intersecherà la terza superficie semisferica in un punto. Il Teorema dell osservatore mette in evidenza che questo punto è unico. Per calcolare la distanza d dal quadro in cui si trova questo punto, il Teorema di Pitagora la fa da padrone. Il numero plastico di Van der Laan - Il monaco architetto benedettino olandese Dom Hans Van der Laan ( ) scoprì un nuovo numero che chiamò numero mistico o plastico. - E il numero P soluzione dell equazione x3=x+1 e vale P=1, Il numero plastico rappresenta nello spazio 3D quello che il numero aureo rappresenta nel piano a due dimensioni (c < b < a). page 5 / 6

6 - La proprietà dei rettangoli caratterizza Φ. In pratica si prolunga nello spazio la diagonale del rettangolo aureo. Per ottenere la rappresentazione della seconda figura devono esistere i seguenti rapporti b=pc e a=p2c (per ottenere questo risultato si usa il teorema di Pitagora che porta all equazione P3=P+1). - La successione che porta al numero P è la seguente (queste proporzioni si trovano in molte chiese romaniche). page 6 / 6