Elementi di Statica Grafica

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1 Università degli Studi di Messina Facoltà di Ingegneria.. 006/007 Statica e Sismica delle Costruzioni Murarie Docente: Ing. lessandro Palmeri Lezione n. 4: Un corpo rigido è in equilibrio se e solo sono contemporaneamente soddisfatte le equazioni cardinali della Statica: = 0 ; M(Q) = 0 ossia, se e solo se il sistema di forze e di reazioni vincolari a cui è soggetto il corpo rigido ha contemporaneamente nulli la risultante delle forze ed il momento della risultante M(Q) rispetto ad un generico polo Q. In altre parole si può dire che: Condizione Necessaria e Sufficiente per l equilibrio di un corpo rigido è che il sistema di forze agente su di esso sia un sistema equivalente a zero. Nel riferimento cartesiano {x,y,z}, le equazioni cardinali della Statica si scrivono: x 0 = Mx (Q) = 0 y = 0 ; Mx(Q) = 0 z = 0 Mx (Q) = 0

2 Nello spazio, quindi, il numero delle equazioni cardinali della Statica in forma scalare è pari a sei: tre per le traslazioni secondo gli assi coordinati, e tre per le rotazioni attorno agli assi coordinati. Nel piano, invece, il numero delle equazioni cardinali della Statica si riduce a tre, essendo possibili solo le due traslazioni secondo gli assi x e y, e la rotazione ϕ z attorno all asse z. Nel riferimento cartesiano {x,y}, quindi, le equazioni cardinali della Statica si scrivono: x = F = 0 i i,x y = F = 0 i i,y Mz (Q) = ( F d F d,y,x,x,y) = 0 i i i i i dove F i,x e F i,y sono le componenti della i-esima forza F i e dove d i,x e d i,y sono le componenti del vettore d i che congiunte polo Q con il punto P i appartenente alla retta di azione della forza F i. 3 Dalla Scienza delle Costruzioni è noto che se un corpo rigido è vincolato in maniera isostatica, allora le sole equazioni cardinali della Statica sono sufficienti a valutare le reazioni vincolari. Esempio: Si valutino per via analitica le reazioni vincolari dell arco in figura. y { r[ - cos( α)], r sin( α)} {40. cm, 50 cm} r = 300 cm α = 30 β = 45 F = 00 kn W P P W O Q C β r α { r, 0} {600 cm, 0} P { r[ - sin( β)], r cos( β)} {87.9 cm, cm} P { r, r} {300 cm, 300 cm} W W W W,x,y,x,y = F cos( β) = 70.7 kn = F sin( β) = 70.7 kn = 0 = F = 00 kn x 4

3 Equilibrio alla traslazione orizzontale: W + sin( α) + = 0,x,x = 70.7 kn,x Equilibrio alla traslazione verticale: W + W + cos( α) + = 0,y,y,y = 70.7 kn,y Equilibrio alla rotazione: W r[-sin( β)] W r cos( β) + W r +,y,x,y cos( α) r[ -cos( α)] sin( α) r sin( α) + r = = 5. kn,y,y isolvendo rispetto alle incognite,,x e,y, si trova:,x,y = 9.5 kn = 6.4 kn = 9.5 kn 5 Esempio: In alternativa, si valutino per via grafica le reazioni vincolari dell arco in figura.. Si valuta la risultante w dei carichi applicati. tal fine: a. Si trasportano le forze esterne W ed W lungo le proprie rette di azione, fino al punto C di intersezione. b. Si compongono W ed W, mediante la regola del parallelogramma. W W P P C w 6

4 . Si valutano le reazioni vincolari ed, tenendo conto che: a. La retta di azione di coincide con l asse del carrello in. b. La retta di azione di passa per l occhio della cerniera in. c. La risultante w dei carichi applicati si può decomporre secondo tali direzioni. Quindi, si trasporta w nel punto D, intersezione tra la sua retta di azione con la retta di azione di, nota a priori. d. Le reazioni vincolari ed sono le forze opposte a quelle ottenute dalla decomposizione di w. D w C w 7 Le equazioni cardinali della Statica sono suscettibili di un efficace interpretazione grafica. Infatti, si dimostra che un corpo rigido è in equilibrio se e solo sono contemporaneamente chiusi il poligono delle forze ed il poligono funicolare, costruiti per l insieme di carichi applicati e reazioni vincolari. Facendo riferimento per semplicità al caso piano, il fatto che il poligono delle forze sia chiuso assicura che l equilibrio alla traslazione orizzontale (Σ i F i,x =0) e verticale (Σ i F i,y =0) è verificato. In aggiunta, affinché l equilibrio alla rotazione (Σ i F i,y d i,x =Σ i F i,x d i,y ) sia anch esso verificato, condizione necessaria e sufficiente è che sia chiuso il poligono funicolare. 8

5 Il poligono delle forze è di immediata costruzione: si trasportano le forze agenti sul corpo rigido (carichi applicati e reazioni vincolari) parallelamente a se stesse, applicandole consecutivamente l una dopo l altra. Esempio: Si verifichi che per l arco in figura, risolto in precedenza, il poligono delle forze risulti chiuso. W W W W 9 Più complessa è la costruzione del poligono funicolare, che richiede i seguenti passi:. Si costruisce il poligono delle forze, avente n lati, se n è il numero di forze (carichi applicati e reazioni vincolari) agenti sul corpo rigido. Non è necessario seguire un particolare ordine nel costruire il poligono delle forze, tuttavia è buona norma considerare consecutivamente le forze che si incontrano percorrendo idealmente la struttura da un estremo all atro.. Si considera un punto P, detto polo, arbitrariamente scelto all esterno al poligono delle forze, con l accortezza che il punto P non appartenga a nessuna delle rette d azione delle forze agenti sul corpo rigido. 3. Si tracciano i segmenti che congiungono il polo P con i vertici del poligono delle forze, indicati con i numeri,,, n, in modo che il vertice i coincida con il secondo estremo della forza F i, i-esima forza considerata nel costruire il poligono delle forze. 4. Si fissa il punto, arbitrariamente scelto sulla retta di azione della forza. 0

6 5. Dal punto si traccia la parallela al segmento P, fino ad incontrare la retta di azione della forza ; si indica questo punto con il numero. 6. Dal punto si traccia la parallela al segmento P, fino ad incontrare la retta di azione della forza ; si indica questo punto con il numero Si procede così di seguito fino ad individuare il punto n, appartenente alla retta d azione della forza F n, l ultima considerata nel costruire il poligono delle forze. 8. Dal punto n si traccia la parallela al segmento Pn, fino ad incontrare la retta di azione della forza, la prima considerata nel costruire il poligono delle forze; si indica questo punto con il numero (n+). 9. I punti,,, n, (n+) sono i vertici del poligono funicolare, avente n lati. 0. Il poligono è chiuso se il punto (n+) coincide con il punto. Esempio: Si verifichi che per l arco in figura, risolto in precedenza, il poligono funicolare risulti chiuso. W P W 0 4 P4 4 P3 3 5 P P 3 F 4

7 Oltre a consentire di verificare l equilibrio di un corpo rigido, note le forze agenti su di esso (carichi applicati e reazioni vincolari), poligono delle forze e poligono funicolare possono essere utilmente impiegati per valutare e posizionare graficamente la risultante di un sistema di n forze, come quello mostrato in figura. 3 Una volta costruito il poligono delle forze n, la risultante è data dal vettore che ha: & piede coincidente con il piede della prima forza componente (punto 0 in figura); & testa coincidente con la testa dell ultima forza componente (punto n 3 in figura). 0 n 3 Per individuare la retta d azione della risultante, e quindi la sua posizione nel piano, occorre costruire il poligono funicolare, utilizzando la procedura precedentemente descritta. 4

8 Una volta costruito il poligono funicolare n, la retta di azione della risultante passa per il punto X, intersezione tra: & la retta parallela al segmento P0 tracciata dal punto ; & e la retta parallela al segmento Pn tracciata dal punto n. X P3 n 3 0 P0 P P n 3 P 5 Un particolare poligono funicolare molto utile nella Statica grafica delle travi è il cosiddetto poligono delle pressioni, detto anche poligono delle successive risultanti. Il nome è dovuto al fatto che i suoi lati appartengono alle rette di azione delle successive risultanti delle forze agenti su una trave (carichi applicati e reazioni vincolari): queste ultime devono essere considerate ordinatamente, percorrendo con continuità l asse della trave da un estremo all altro. Il poligono delle pressioni rappresenta, quindi, il luogo geometrico dei punti di applicazione delle forze normali di compressione e/o di trazione in una trave; per cui, maggiore è la distanza dall asse della trave, maggiore è il momento flettente. Infine, se una trave è tale che il poligono delle pressioni coincide con l asse geometrico, allora la trave sarà soggetta unicamente a sforzo normale centrato, di compressione o di trazione a seconda del segno dei carichi applicati. 6

9 Il poligono delle pressioni n si ottiene scegliendo: & come polo P del poligono funicolare il punto 0, piede della forza, prima forza incontrata percorrendo l asse della trave; & come punto iniziale il punto sulla trave in cui è applicata la forza. Esempio: Si costruisca per l arco in figura, risolto in precedenza, il poligono delle pressioni. P P 3 + P 0 F 4 3 P3 4 F 4 = 7 Nel caso di travi soggette a carichi distribuiti, il poligono delle pressioni diviene una curva. d esempio, per carichi uniformemente distribuiti la curva delle pressioni ha andamento parabolico. La curva delle pressioni può ancora essere tracciata con l ausilio del poligono funicolare. tal fine: & si decompone il carico distribuito mediante un adeguato numero di carichi concentrati elementari, che complessivamente siano equivalenti al carico distribuito assegnato; & si costruisce per il sistema equivalente così ottenuto il poligono delle pressioni; & si costruisce per il sistema originario la curva delle pressioni, considerando che quest ultima è tangente al poligono delle pressioni del sistema equivalente.

10 Esempio: Si costruisca la curva delle pressioni per l arco in figura. P 3 P3 w 4 P4 P 0 P F 4 F P5 F 6 F 4 4 F F 6 Si osservi che il modulo del momento flettente M in una data sezione S della trave è dato dal modulo della risultante di tutte forze applicate da un estremo della trave fino alla sezione S, moltiplicato per la distanza d del baricentro della sezione dalla curva delle pressioni, misurata ortogonalmente alla tangente alla curva delle pressioni. d T d N S M = d = =(N +T ) / S M

11 Come caso particolare, si noti che le configurazioni di equilibrio di una fune (elemento che resiste solo a sforzo normale di trazione), ad esempio: - l arco di parabola, nel caso di carico uniforme applicato su una fune priva di peso; - l arco di coseno iperbolico (catenaria), nel caso di fune equipesante soggetta al solo peso proprio; materializzano la curva delle successive risultanti. Più in generale, il poligono funicolare costruito per un assegnato sistema di forze F i si può vedere come la configurazione di equilibrio di una fune priva di peso, infinitamente flessibile ed assolutamente inestensibile, avente lunghezza L, sospesa tra due punti e (posti a distanza l<l), soggetta a quel sistema di forze: da questa proprietà discende il nome di poligono funicolare. Cambiando la lunghezza della fune o la posizione dei punti di sospensione, cambia il poligono funicolare che si ottiene. Variando la lunghezza della fune, il polo P si muove lungo l orizzontale r. Cambiando la distanza verticale tra i punti di sospensione e, il polo P si muove lungo la verticale s. Cambiando la posizione dei punti di sospensione rispetto al sistema di forze, si modifica il poligono delle forze anche se il polo P non si muove.