Time-diversification ed Hedge Funds

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1 Giovanni Fulci Direzione Investimenti Unicredit Private Banking Giugno 2004 Equities for the long run? Le differenti accezioni di rischio a scadenza Rischio ed holding period: il corrente dibattito sulla time-diversification Una possibile scatola degli attrezzi per la costruzione di portafoglio: l Absolute Return Probability (ARP) Time-diversification su asset classes tradizionali Time-diversification su hedge funds

2 Equities for the long run? Posologia e modalità d uso: Any statistical relationship will break down when used for regulatory (portfolio allocation, n.d.a.) purposes, Goodhart, 1974 Una delle ipotesi alla base delle teorie di costruzione di portafogli è il trade-off tra rendimento e rischio a scadenza Il trade-off funziona sulla premessa che ogni investimento per il quale si sopporti un rischio più elevato venga remunerato con un rendimento proporzionalmente maggiore ma questa premessa funziona in qualsiasi momento e sotto qualsiasi condizione? Equity risk incrementa decrementa se l orizzonte temporale si allunga?? L impatto dell orizzonte temporale sul rischio dell investimento azionario è ancora un tema controverso quali gli approcci possibili alla costruzione di portafogli abs returns a fronte di tale controversia?

3 Equities for the long run?..alcune osservazioni empiriche 1. Quanto è lungo il lungo termine? Se nel corso del 1900 si fosse entrati nel DowJones nel momento in cui era 1 dev.st. sopra la sua trend-line di lungo termine (ossia in un bull-mkt top) quanto tempo si sarebbe dovuto aspettare per andare a break-even in termini reali (ossia rispetto all inflazione e senza conteggiare i dividendi)? -nel 1929 si sarebbe dovuto attendere fino al nel 1968 si sarebbe dovuto attendere fino al nel 1929 si sarebbe dovuto attendere fino al 1998 per un rendimento reale (sull inflazione e con dividendi) del 10% 2. I rendimenti reali sono fortemente condizionali al timing di ingresso nel mercato (es. S&P500) Dal 1929 al 1949: +4,5% annual real return Dal 1932 al 1951: +10% annual real return Dal 1968 al 1983: 0% annual real return Dal 1968 al 1987: + 4% annual real return Quale il prezzo attuale di tali rendimenti..? Dal 1981 al 2000: +13% annual real return Dal 1989 al 2001: -65% total return..i migliori 20 anni degli Us...ed i 12 peggiori giapponesi.

4 Equities for the long run?..alcune osservazioni empiriche (*) Dow Jones S&P dic-01 dic-05 dic-09 dic-13 dic-17 dic-21 dic-25 dic-29 dic-33 dic-37 Dow Jones dic-41 dic-45 dic-49 60% 40% 20% 0% -20% -40% -60% dic-28 dic-32 dic-36 dic-40 dic-44 Dow Jones Dow Jones 1992-dec/ Dow Jones Dow Jones dec/2003 dic-52 dic-55 dic-58 dic-61 dic-64 dic-67 dic-70 dic-73 dic-76 dic-79 dic-82 dic-85 dic-88 dic-91 dic-91 dic-92 dic-93 dic-94 dic-95 dic-96 dic-97 dic-98 dic-99 dic-00 dic-01 dic-02 dic-03 dic-48 dic-52 Rendimenti annuali dic-56 dic-60 dic-64 dic-68 dic-72 dic-76 dic-80 dic-84 dic-88 dic-92 dic-96 dic-00 (*) Fonte dati di tutti i grafici e le elaborazioni di questa presentazione, se non altrimenti menzionata: Bloomberg.

5 Equities for the long run? Quale il prezzo attuale di tali rendimenti. L affermazione nel libro di Siegel ( Stocks for the long run ) è assolutamente corretta: le azioni hanno sempre ottenuto un rendimento positivo, dato un sufficientemente lungo orizzonte temporale Conventional wisdom nell industria del risparmio: è consolidata la pratica di presentare portafogli (mix di strategic asset allocation tra equities e bonds) che, a fronte di un orizzonte temporale crescente allocano una proporzione maggiore alla componente equity. (*) Lee Thomas, Engineering an Alpha Engine, Pimco Publication, February 2004

6 Le differenti accezioni di rischio a scadenza dell orizzonte temporale Rischio assoluto es. obiettivo di un montante a scadenza: misure di rischio per stimare la variabilità del risultato intorno al montante atteso a scadenza Rischio relativo es. l oggetto delle misure di rischio è la stima dell underperformance rispetto ad un benchmark, ad una liability Rischio threshold es. misure di rischio di perforare al ribasso un determinato floor

7 Rischio ed holding period: il corrente dibattito sulla time-diversification L oggetto del dibattere.il rischio di un asset rischioso aumenta o decrementa elevando l orizzonte di detenzione? L ipotesi di Time-diversification: ossia la nozione che rendimenti sopra la media tendono a compensare rendimenti sotto la media su orizzonti temporali lunghi e pertanto il rischio si riduce all aumentare dell holding period Argomento per la Time-diversification: -dati dei rendimenti i.i.d. (es. un moto geometrico browniano) -il ritorno annualizzato converge verso il ritorno atteso su h.p. lunghi -la prob.tà di perdere denaro è in relazione inversa all h.p. Intuizione:i ritorni attesi crescono linearmente con il tempo, la st.dev. dei ritorni cresce con la radice quadrata del tempo.

8 Rischio ed holding period: il corrente dibattito sulla time-diversification 1. Samuelson: varianze dei ritorni e della ricchezza finale 2. Put option: costo dell assicurazione rispetto all holding period 3. Merrill & Thorley: % di retrocessione da sacrificare sull upside del mercato 4. Amman e Zimmermann e la replicating stock position 5. Ending risk ed interim risk 6. Browne: digital option approach (non trattato per esigenze di brevità)

9 Rischio ed holding period: il corrente dibattito sulla time-diversification 1. Samuelson: varianze dei ritorni e della ricchezza finale Samuelson ha mostrato che, dato un investimento in un asset rischioso, sebbene la probabilità di perdita diminuisca all aumentare del tempo, la magnitudine potenziale della perdita è crescente all aumentare della scadenza; o alternativamente, vi è differenza tra: -la varianza della distribuzione dei ritorni (es. annuali) -e la varianza della distribuzione della ricchezza finale. Mentre la prima decresce con il tempo, la seconda incrementa proporzionalmente all orizzonte temporale 40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% dic-01 dic-08 Effetto della time-diversification sulla dev.st. dei rendimenti dic-15 dic-22 dic-29 dic-36 dic-43 dic-50 dic-57 dic-64 dic-71 dic-78 dic-85 dic-92 dic-99 S&P DowJones The growing improbability of a loss is offset by the increasing magnitude of potential loss, Kritzman, 1994

10 Rischio ed holding period: il corrente dibattito sulla time-diversification 2. Put option: costo dell assicurazione rispetto all holding period Bodie (*) è stato il primo ad investigare la time-diversification mediante una strategia di protezione del portafoglio con opzioni Put la Put di Bodie protegge dall under-performance di un investimento azionario rispetto ad uno strike definito dal rendimento realizzato dal tasso risk-free il costo dell assicurazione (il premio dell opzione put) per assicurarsi un ritorno risk-free mantenendo nel contempo il potenziale di upside è una funzione crescente del tempo: di conseguenza il rischio delle azioni incrementa con l holding period (no-time-diversification) Una critica: i critici di Bodie sostengono che le sue conclusioni non tengono in ipotesi di mean-reversion del prezzo delle azioni: la mean-reversion, diminuendo la long-run volatility, rende il premio dell opzione con scadenza più lontana proporzionalmente inferiore a quella con expiry più vicina (*) Bodie, Z., On the Risk of Stocks in the Long Run, Financial Analyst Journal, May/June Il pattern di incremento del costo di protezione è verificato su orizzonti fino a tre anni per le exchange-traded-put, così come sulle OTC per holding period più lunghi

11 Rischio ed holding period: il corrente dibattito sulla time-diversification 3. Il costo di eliminazione del rischio come % di retrocessione da sacrificare rispetto all upside dei mercato sottostante. Merrill & Thorley (*) M&T(1996) sposano l ipotesi di Time-diversification sulla base del pricing di opzioni Call, quindi con un approccio differente da Bodie(1995) e con conclusioni opposte. M&T concludono che h.p. più lunghi riducono la % di retrocessione da sacrificare rispetto all upside potenziale del mercato: -rendimento minimo a scadenza: r g, con r = risk-free, g = shortfall rispetto al risk-free - ( r g ) T investimento nel credit-risk-free bond e (1 e ) ( r g ) T - disponibilità per acquistare la call option Holding period 1y Participation rate 22% 10y 55% [ r = 4%, g = 2%, = 20% ] (*) Merrill C. e S. Thorley, Time Diversification Perspective from Option Pricing Theory, Financial Analyst Journal, May/June Per un argomento contrarian a M&T(1996) vedi: Oldenkamp B. e T. Vorst, Time Diversification and Option Pricing Theory: Another Perspective, The Journal of Portfolio Management, Summer 1997.

12 Rischio ed holding period: il corrente dibattito sulla time-diversification 4. La replicating stock position di Amman e Zimmermann(*) A&Z(2000) si basano sempre sulla Portfolio Insurance, ma evitando di considerare il participation rate. A&Z considerano invece la quantità di stocks per replicare una insurance strategy come la misura rilevante per testare la time-diversification Portfolio A: orizzonte temporale B/T Dati: Portfolio B: orizzonte temporale L/T A risk = B risk Se: % equity B > % equity A Allora: orizzonte L/T implica un equity risk inferiore Poiché per assunzione: A risk = B risk Quale metodo utilizzare per definire il rischio di A e B?.. (*) Ammann A. e H. Zimmermann, Evaluating the Long-Term Risk of Equity Investments in a Portfolio Insurance Framework, The Geneva Papers on Risk and Insurance 25, July 2000.

13 Rischio ed holding period: il corrente dibattito sulla time-diversification 4. La replicating stock position di Amman e Zimmermann(*) Quale metodo utilizzare per definire il rischio di A e B?.. Rischio è catturato dalla possibilità di perforare al ribasso un certo floor a scadenza Fixed Floor: f Le tre ipotesi di floor nel L/T Floor f (*) Minimum Return Floor: f *e^(r-g) * T Risk-free Floor: f *e^(r * T) 1,7 1,5 1,3 1,1 0,9 0,7 0,5 2 3,5 5 6,5 8 9, , , ,5 20 min ret floor floor risk-free rate fixed floor holding period in anni r = risk-free, g = shortfall annuale rispetto al risk-free (*) l opportunity cost cresce con l orizzonte temporale.: l ammontare assicurato è una frazione decrescente dell ammontare ottenibile investendo solo nel risk-free asset. Lo spazio per comprare equity cresce per l operare dell attualizzazione della differenza tra risk-frre floor e minimum return floor.

14 Rischio ed holding period: il corrente dibattito sulla time-diversification 4. La replicating stock position di Amman e Zimmermann(*) Risk-free Floor: f * e^(r * T) è il caso più interessante dei tre è infatti ragionevole supporre che un investitore richieda che il livello del floor sia una frazione costante della ricchezza ottenibile investendo al risk-free. in tale caso: la time-diversification non regge e l allocazione all equity diminuisce con l holding p. (*) Ammann A. e H. Zimmermann, Evaluating the Long-Term Risk of Equity Investments in a Portfolio Insurance Framework, The Geneva Papers on Risk and Insurance 25, July 2000.

15 Rischio ed holding period: il corrente dibattito sulla time-diversification 5. Ending risk ed interim risk 10 stochastic paths average 2,64 st.dev. 4,66 trigger -4% z-distance to trigger 1,42 EW:End of period prob.ty of crossing the trigger IW: Interim prob.ty of crossing the trigger ~ 8% = 1-0,922% 50% Il rischio di perdita alla fine dell orizzonte temporale è molto differente dal rischio della stessa perdita durante l orizzonte di riferimento Come possiamo misurare la probabilità di una predeterminata perdita durante l orizzonte temporale?

16 Rischio ed holding period: il corrente dibattito sulla time-diversification 5. Ending risk ed interim risk: una stima mediante la statistica first-passage probabilities(*) N[ ] = cum. normal distr. = continuous return, 8% = continuous st. dev., 15% S = initial value, 100 C = critical value to be reach, 90 La prob.tà di perdita durante l orizzonte temporale cresce insieme alla lunghezza dell orizzonte stesso. In contrasto, la prob.tà di perdita alla fine del periodo diminuisce con il tempo. (ln(c/s) - μt) N[ ] (C/S) ( T) Pr(loss) at the end of the horizon Path-INdependent prob.ty + 2u / (ln(c/s) μt) * N[ ] ( T) recovery prob.ty Path-dependent prob.ty Likelihood of a 10% Loss 1 year 3 years 5 years 10 years End of Investment Horizon 10,8% 9,2% 6,6% 2,8% During Investment Horizon 36,4% 50,4% 54,4% 57,6% (*) Karlin & Taylor (1975); Kritzman, Lowry, VanRoyen, Risk, regime and Overconfidence Journal of Derivatives, 2/2001 2

17 Una possibile scatola degli attrezzi per la costruzione di portafoglio: l Absolute Return Probability (ARP) the best of our knowledge so far 1. L impatto dell orizzonte temporale sul rischio dell investimento azionario è ancora un tema controverso (dipende dalle assunzioni e metodiche utilizzate) 2. quali gli approcci possibili alla costruzione di portafogli abs returns a fronte di tale controversia? 3. L affermazione nel libro di Siegel ( Stocks for the long run ) è assolutamente corretta: le azioni hanno sempre ottenuto un rendimento positivo, dato un sufficientemente lungo orizzonte temporale 4. Conventional wisdom nell industria del risparmio: è consolidata la pratica di presentare portafogli (mix di strategic asset allocation tra equities & bonds) che, a fronte di un orizzonte temporale crescente allocano una proporzione maggiore alla componente equity.

18 Una possibile scatola degli attrezzi per la costruzione di portafoglio: l Absolute Return Probability (ARP) the best of the possible worlds so far -una metodica di costruzione di portafoglio che consideri la controversia della time diversification evitando di esporsi agli assunti (ed alle credenze) tradizionali (ed ai connessi rischi) -in fondo al nostro cuore c è un meta-risk-manager che ci sussurra che la speranza è il peggiore dei rischi: 1. La speranza che la time-diversification implicita nella conventional-wisdom per la costruzione di asset allocation strategiche (di L/T) regga 2. La speranza che il passato si ripeta nel futuro (o quanto meno ci faccia rima ) costruzione di portafogli a minimo attrito rispetto alla controversia della time-diversification

19 Una possibile scatola degli attrezzi per la costruzione di portafoglio: l Absolute Return Probability (ARP) Obiettivo: costruzione di portafogli a minimo attrito rispetto alla controversia della time-diversification 1. identificare una funzione cui agganciare una misura per stimare il rischio coerentemente con l oggetto - la funzione di drawdown rispetto alla ricchezza iniziale 2. minimizzare il rischio legato alle assunzioni distributive da estrapolare nel futuro - simulare cosa sarebbe potuto accadere nel passato 3. ottimizzare l allocazione di portafoglio su differenti orizzonti temporali in funzione di quanto sopra - specifica dell algoritmo, dell obiettivo e dei vincoli

20 Una possibile scatola degli attrezzi per la costruzione di portafoglio: l Absolute Return Probability (ARP) 1. identificare una funzione cui agganciare una misura per stimare il rischio coerentemente con l oggetto La funzione di drawdown è informativa della diminuzione del valore del portafoglio comparato con il massimo precedente ed è impattata dall holding period(*). (*) i risultati rappresentati nei 2 grafici sopra esposti derivano dall utilizzo di rolling windows di dati, con tutte le criticità ad esse collegate: lo scopo è puramente espositivo di quanto è accaduto in passato per descrivere la distribuzione dei drawdowns di un investimento con un qualsiasi punto di arrivo nella serie storica ed orizzonte di detenzione specificato. Nei 2 grafici è rappresentato il maximum drawdown per il percentile selezionato.

21 Una possibile scatola degli attrezzi per la costruzione di portafoglio: l Absolute Return Probability (ARP) 2. minimizzare il rischio legato alle assunzioni distributive da estrapolare nel futuro (Montecarlo sim., bootstrap, etc.) (what did happen: 12/1993 4/2004) (what could have happened: orizzonte 120 mesi)

22 Una possibile scatola degli attrezzi per la costruzione di portafoglio: l Absolute Return Probability (ARP) 3. ottimizzare l allocazione di portafoglio su differenti orizzonti temporali in funzione di quanto sopra L Abs Return Prob.ty (ARP) come livello di confidenza di non perdere più di un determinato ammontare calcolato sulla funzione selezionata, per il floor pre-determinato e per uno o più pre-specificati orizzonti temporali

23 Time-diversification su asset classes tradizionali Per il livello di confidenza selezionato, per la funzione prescelta (max ddown) e per le ipotesi di simulazione effettuate l ipotesi di timediversification non è pienamente supportabile sull asset class equity

24 Time-diversification su asset classes tradizionali e conseguentemente nemmeno in un mix di portafoglio con i bonds..

25 Time-diversification su hedge funds il portafoglio impiegato per l analisi. (*) la presente analisi non considera le criticità legate al survivorship bias and backfill bias cui sono esposti gli indici di hedge funds. Diversi studi hanno verificato che la quantificazione di tali biases in un range tra 0,2% ed 0,4% mensile. Cfr. Fung H., Xu E. e J. Yau, Do Hedge Fund Manager Display Skill?, The Journal of Alternative Investment, Spring 2004.