Elasticità e onde Caratteristica di elasticità di un corpo

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1 9. Elasticità e onde Caratteristica di elasticità di un corpo Facendo riferimento per esempio a una sbarra lunga l, con sezione trasversale A, sollecitata da una forza F (trazione o compressione) diretta lungo l (e quindi normale ad A), si definiscono i seguenti parametri: - sollecitazione di pressione o trazione = F / A (N/m 2 ) - modulo di elasticità longitudinale E del materiale (N/m 2 ) - deformazione = l /l (<0 se in compressione e >0 se in trazione) La legge che descrive la caratteristica lineare o elastica della sollecitazione longitudinale è = E Quando la sollecitazione è sufficientemente grande la relazione sforzo-deformazione non è più lineare (e reversibile), come si vede nel grafico che mostra l andamento di una prova di trazione: a un certo punto si verifica uno snervamento (modifica strutturale a livello microscopico) e infine una rottura strutturale. Analogamente si definiscono parametri di elasticità di taglio e di volume: - sollecitazione di taglio: = F /S = G (N/m 2 ) - modulo di elasticità trasversale G del materiale (N/m 2 ) - deformazione = x /h - sollecitazione di pressione sul volume V: p=(forza normale)/(area esterna del corpo)=b (N/m 2 ) - modulo di compressibilità B del materiale (N/m 2 )

2 - deformazione = V /V Esempio: Calcolare la forza necessaria ad allungare di 1 mm un asta di acciaio lunga 1 m con sezione A=1 cm 2. (E= N/m 2 ) F = AE l /l =(10-4 m N/m m)/(1 m)= N ossia una forza equivalente al peso di una massa da 2000 kg! Esempio: Un cubetto d acciaio di lato a=2 cm lanciato a v 0 =1 m/s urta elasticamente un asta di acciaio di sezione 2x2 cm e lunga 20 cm. Stimare la durata dell urto e la forza sviluppata nell urto, durante il contatto fisico fra cubetto e asta (incastrata ad una parete all estremità opposta). (densità acciaio =8000 kg/m 3 ) I corpi che si deformano elasticamente sono rappresentabili idealmente come una massa attaccata ad una molla di costante elastica k=ae/l: F = AE l /l = kx essendo la deformazione x= l. Notiamo che per due corpi dello stesso materiale e con la stessa sezione A come in questo esempio, quello più corto è quello più rigido, deformandosi di una quantità l minore (la forza F si esercita con uguale intensità sui due corpi, per il principio di azione e reazione). In termini energetici, quasi tutta l energia elastica di deformazione viene immagazzinata nell asta, infatti U = 1 2 kx2 = F 2 2k essendo il coefficiente k=ae/l dell asta molto inferiore a quello del cubetto. Per la conservazione dell energia, il massimo di deformazione dell asta si ha verifica quando tutta l energia cinetica iniziale è stata convertita in potenziale: 1 2 mv 2 0 = 1 2 kx2

3 x = m k v 0 essendo k=ae/l= N/m, m= a kg. La forza massima che si sviluppa nell urto è F = kx= mkv N La durata dell urto può essere ragionevolmente stimata come mezzo periodo di oscillazione della molla dell asta mentre si trova a contatto con il cubetto: t = 0 = m k 40 μs Durante l urto, il cubetto di poche decine di grammi produce una forza equivalente ad un peso di 500 kg (!), in un intervallo di tempo di 40 μs in cui un aereo supersonico si sposta di 2 o 3 cm (!). Questo basta a qualificare impulsive le forze intense che si sviluppano negli urti.

4 Onde In tutti i fenomeni ondulatori esiste una sorgente che fornisce energia che si propaga sotto forma di perturbazione dello stato di un mezzo. Per esempio, un sasso (sorgente) lanciato in un laghetto converte parte della sua energia meccanica in perturbazione dello stato di quiete della superficie dell acqua, originando increspature (onde) che si propagano come cerchi concentrici rispetto al luogo d impatto. Un tappo galleggiante, inizialmente a riposo sulla superficie del laghetto, quando viene investito dall onda si sposta in su e in giù, acquisendo energia meccanica che è stata trasportata fin lì dall onda. Le onde trasportano generalmente energia, quantità di moto e momento angolare insieme alla variazione di stato del mezzo in cui si propagano. In generale, invece, non trasportano materia: nell esempio precedente, se il sasso è abbastanza piccolo non produce uno spostamento d acqua verso la riva del lago, ma il suo effetto è solo quello di modulare la superficie dell acqua (il tappo si limita ad oscillare in su e in giù, non viene spinto a riva). Esempio: onde elastiche Consideriamo una sbarra di sezione A, allineata ad un righello esterno fermo che identifica la posizione di tacche marcate sulla sbarra stessa (triangoli blu). Al righello è associato il sistema di riferimento fisso x. Quando la sbarra è colpita ad un estremità (per esempio), si origina un effetto di compressione (sorgente) che si propaga lungo la sbarra stessa sotto forma di onda, trasmettendo una forza (o quantità di moto) all altra estremità. La trasmissione di questo impulso di compressione fa sì che si abbia una deformazione locale nella sbarra che si propaga, variando la posizione delle tacche marcate rispetto ai corrispondenti segni sul righello esterno, che si spostano con le linee tratteggiate. Chiamiamo (x,t) lo spostamento della tacca rispetto alla coordinata x di riferimento, nell istante t. Lo stato di deformazione istantaneo della sbarra è definito dalla conoscenza

5 completa di (x,t) lungo tutta la sbarra. Possiamo usare la legge di Newton applicata ad un pezzo di sbarra di massa dm, inizialmente a riposo fra le coordinate x e x+dx: (dm) a = F(x,t) + F(x + dx,t) Le forze applicate a dm sono di trazione, in quanto convenzionalmente tutti gli incrementi infinitesimi sono >0, quindi dm si suppone allungata. L accelerazione di dm va calcolata come derivata seconda dello spostamento (x,t) di dm. Dipendendo sia dalla posizione di riposo della tacca sulla sbarra (x) che dall istante (t) in cui si scatta la foto dello stato di deformazione, la derivata che si usa è quella di (x,t) rispetto al tempo t, facendo riferimento ad una posizione x fissa (per questo si chiama derivata parziale): ( Adx) 2 (x,t) t 2 = [ F(x + dx,t) F(x,t) ] dx = F(x,t) dx dx x La forza F è collegata allo stato di deformazione del pezzetto dm mediante la solita relazione F = AE = AE Infine, sostituendo nella legge di Newton precedente: [ (x + dx,t) (x,t) ] = AE dx x 2 (x,t) = E 2 (x,t) t 2 x 2 che rappresenta l equazione delle onde (in questo caso onde elastiche longitudinali, acustiche), e spesso viene presentata nella forma 2 (x,t) x 2 1 v 2 2 (x,t) t 2 = 0 v = E Si noti che v ha le dimensioni di una velocità: è la velocità di propagazione delle onde nella sbarra. Per l acciaio è v 5 km/s, da confrontare con i 300 m/s del suono in aria! L equazione delle onde rappresenta la propagazione di una perturbazione di stato: se la sbarra è a riposo allora (x,t)=0, cioè le tacche sulla sbarra sono ferme rispetto alle posizioni corrispondenti sul righello esterno, ma se per esempio si imprime uno stato di deformazione

6 iniziale (x,0) = u(x) al tempo t=0, questo si propaga lungo la sbarra successivamente, senza alcun bisogno di intervenire dall esterno. Possiamo infatti verificare che entrambe le funzioni traslate progressivamente lungo l asse x u(x-vt) e u(x+vt) sono soluzioni dell equazione delle onde, rappresentando rispettivamente una perturbazione (suono) che si propaga verso destra e verso sinistra: u(x ± vt) x u(x ± vt) t = du(s) ds, 2 u(x ± vt) = d 2 u(s) x 2 ds 2 =±v du(s) ds, 2 u(x ± vt) d 2 u(s) = v 2 t 2 ds 2 Sostituendo nell equazione delle onde si vede che essa è soddisfatta, per tutte le funzioni u(s). Grandezze propagate o trasportate dall onda Nel caso considerato è semplice verificare che le seguenti grandezze fisiche legate alla perturbazione dello stato di quiete della sbarra sono soluzioni dell equazione delle onde e perciò si propagano indistorte lungo la sbarra con velocità v oltre allo spostamento (x,t): - stato di deformazione (x,t) = (x,t) x - tensione interna F(x,t) = AE (x,t) x e sforzo F/A - quantità di moto per unità di volume, dp/(adx) = (x,t) t - energia meccanica, associata allo stato di deformazione (analogo a quella potenziale elastica) e cinetica (trasporto di quantità di moto) Onde armoniche Sono descritte da semplici funzioni armoniche, seno o coseno, con argomento di due tipi: 0 è l ampiezza dell onda la pulsazione angolare v la solita velocità di propagazione k = /v è il cosiddetto vettore d onda (x,t) = 0 sin(kx t) = 0 sin[ k (x vt) ] La seconda forma è più simile all analisi fin qui condotta, e rende più intuitiva la visione dell onda che trasla. La prima evidenzia invece il carattere oscillatorio dell onda armonica: fissata una posizione x*, lo spostamento dall equilibrio (x*,t) oscilla con pulsazione = 2 = 2 /T (ricordando il legame fra pulsazione, periodo e frequenza). Fissato un

7 istante t*, la fotografia della perturbazione (x,t*) lungo la sbarra è una sinusoide con periodo spaziale = 2 /k (lunghezza d onda o distanza fra due picchi adiacenti). Per le onde armoniche è immediato calcolare la potenza media per unità di area trasportata dall onda (detta intensità I): P T = 2 / = F(x,t)v(x,t) = AE x t P T = 2 / = AE 1 T I = P T = 2 / A t +T t ( 0 k) ( 0 )cos 2 (kx t) dt = 1 2 E 2 0 k = v Una caratteristica comune a tutti i tipi di onde è il fatto che l intensità è proporzionale al quadrato dell ampiezza del campo di perturbazione, alla velocità di propagazione e cresce con la frequenza.