2 di quello dela circonferenza data. Scrivere le

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1 PROBLEMA. Raccolta di problemi sulla circonferenza Scritta l equazione della circonferenza con centro in ( ) C e passante per l origine O, si conducano per O la retta a di equazione + y indicando con A la sua ulteriore intersezione con la curva, la retta b passante per A e perpendicolare alla retta a indicando con B la sua ulteriore intersezione con la curva, e per B la retta d parallela all asse perimetro e l area del quadrilatero OABD. + y 6 y PROBLEMA. Date le circonferenze: ( ) indicando con D il suo punto d ascissa nulla. Calcolare il A : y b ( 6 ) + y 8 8y+ + y 6 y determinare centro e raggio e verificare che risulta una iterna all altra C ( ) r C ( ) r PROBLEMA. Il punto ( ) p Area 6 B ( + ) P è centro di una circonferenza γ tangente alla retta t di equazione y.. Se ne scriva l'equazione. Siano A e B gli estremi del diametro parallelo alla tangente t.. Determinare le coordinate di A e B. Sia D il punto d'intersezione della retta t con l'asse. Si scriva l'equazione di una seconda circonferenza α Passante per A, B e D.. Si determinino le equazioni delle rette tangenti ad α e perpendicolari alla retta t.. Si calcoli infine l'area del rettangolo formato dalle due tangenti ad α, dalla retta t e dalla retta passante per A e B. PROBLEMA. + y Dati i punti A ( ) e ( ) A ( ) B ( ) α: + y 8 y+ B,. determinare l equazione della circonferenza γ avente per diametro il segmento di estremi A e B. determinare l equazione della circonferenza γ che passa per A, B ed O dove O è l origine degli assi cartesiani. disegnare le due circonferenze. determinare l equazione della retta r passante per i centri delle circonferenze γ e γ. verifica che la retta r è perpendicolare alla retta passante per i punti A e B 6. determinare l equazione della retta tangente a γ nel punto A. PROBLEMA. γ : + y y 8 γ : + y 8y r : y Data la circonferenza di equazione + y + 8y e detto C il suo centro, trovare l equazione della circonferenza che ha il centrom nel punto medio del segmento DC (essendoo l origine degli assi cartesiani) e che ha raggio uguale ai di quello dela circonferenza data. Scrivere le equazioni delle tangenti alla seconda circonferenza condotte dal punto A d intersezione della circonferenza data con il semiasse positivo delle ascisse. Calcolare infine l area S del quadrilatero che ha come vertici i punti A ed M e i punti di tangenza delle tangenti sopra considerate. + y + y+ y y S 8 prof. Sergio Del Giudice pag.

2 PROBLEMA 6. Scrivere l equazione della circonferenza γ con centro nel punto d intersezione delle rette y e y + 6 e raggio.scrivere poi l equazione della circonferenza β passante per i punti A ( ), C 6 verificando che β 8 B ( ) e ( ) verificando che essa è tangente in C alla circonferenza suddetta. γ. Determina infine l equazione della retta per ( ) e ( ) γ : + y 6 β : + y 6 r : y+ 6 PROBLEMA 7. Dopo aver scritto l equazione della circonferenza con il centro sulla bisettrice del II e IV quadrante e passante per i punti ( ) e ( ), calcolare le coordinate dei punti in cui la curva taglia gli assi coordinati. Calcolare, infine, l area del quadrilatero convesso determinato dai suddetti punti d intersezione. PROBLEMA 8. γ : + y + y Si consideri la circonferenza γ tangente, nell origine O del sistema di riferimento, alla retta y ed avente il centro sulla retta. Detto P il punto d intersezione (diverso dall origine) fra la γ e la retta s bisettrice del secondo e quarto quadrante, si conduca da P la perpendicolare alla s e sia Q il suo punto d intersezione con l asse y da Q si conduca la retta t parallela all asse e sia R la sua intersezione con la retta s. Trovare: ) l area del triangolo PQR ) l equazione della circonferenza circoscritta al triangolopqr PROBLEMA. γ : + y 8+ 6y ): ): + y + 8y+ 6 Nel piano Oy si considerino i punti A ( ) e ( ) B determinare: a) l equazione della circonferenza γ avente diametro AB b) le coordinate del centro C e il raggio della γ c) l equazione della circonferenza γ passante per C, per O e per D ( ) e sia C il suo centro d) le equazioni delle rette t e t tangenti a γ nei suoi punti d intersezione con l asse ( disegnare le circonferenze e le rette) e) il punto d intersezione H tra le rette t e t f) l area del quadrilatero (deltoide) OC DH. g) Verificare infine, analiticamente che la retta congiungente i centri C e C della due circonferenze è perpendicolare all asse radicale. γ : + y + y γ : + y y t : y 8 t : 8 y PROBLEMA. Considerta la circonferenza con centro nell origine e raggio unitario e la retta y+, calcolare le coordinate dei loro punti d intersezione A e B trovare inoltre le coordinate degli ulteriori vertici C e D del rettangolo inscritto nella circonferenza di cui un lato è AB. A ( ) B C D ( ) prof. Sergio Del Giudice pag.

3 PROBLEMA. Determinare l equazione della circonferenza con centro in ( ) estremi A ( ) e ( ) PROBLEMA. C e tangente all asse del segmento di B. Determinare inoltre l area del triangolo ABC + y y+ Area Determinare l equazione della circonferenza, circoscritta al triangolo isoscele ABC, sapendo che la base AB, lunga 6, sta sulla retta y PROBLEMA. + y 6y e che il vertice C ha coordinate ( ) Scrivere l equazione della circonferenza tangente alla retta y e + nel suo punto ( ) avente il centro di ordinata. Determinare per quale valore di m la retta y m+ è tangente alla circonferenza nel secondo quadrante e calcolare le coordinate del punto di tangenza. PROBLEMA. y 6 y + + ( 6 ) Determinare l equazione della circonferenza di raggio sapendo che il centro è nel terzo quadrante e che è circoscritta ad un rettangolo avente due vertici nei punti A ( ) e B ( ) lunghezza del perimetro del rettangolo. PROBLEMA. + y + + y Un trapezio isoscele ha tre vertici consecutivi nei punti A ( ), B ( ) e ( 6 ) esiste la circonferenza circoscritta al trapezio e scriverne l equazione. D + y 8 y+ 8 ( ) PROBLEMA 6. Un triangolo ha i vertici nei punti A( ), B ( ), C( ). Calcolare la C. Dimostrare che. Verificare che il triangolo è rettangolo e calcolarne perimetro e area. Scrivere l equazione delle due circonferenze rispettivamente circoscritta ed inscritta al triangolo ABC. y + y + y+ PROBLEMA 7. + ( ) Scrivere l equazione della circonferenza tangente alla retta di equazioney + nel punto di ascissa e alla rettay 6. Determinare le coordinate del punto di tangenza con la seconda retta. + y + 6 ( 7 ) PROBLEMA 8. Trovare le tangenti comuni alle due circonferenze le distanze della retta generica y m+ q loro rispettivi raggi m± q± + y e y + 8. dai centri delle due circonferenze sono uguali ai prof. Sergio Del Giudice pag.

4 PROBLEMA. Scrivere l equazione delle tangenti comuni alle due circonferenze di equazioni: + + ( y ), ( ) ( y ) per vertici i punti di contatto delle tangenti comuni alle circonferenze PROBLEMA. y e calcolare il perimetro del trapezio avente Scrivere l equazione della circonferenza avente per diametro il segmento di estremi A ( ) e B ( ). Circoscrivere alla circonferenza un esagono regolare avente due lati paralleli all asse. Dopo aver giustificato che le altre due coppie di lati paralleli hanno coefficiente angolare e, scrivere le equazioni dei lati dell esagono e verificare che sono punti a due a due simmetrici rispetto al centro della circonferenza. + y y+ 6 y y y ± m 6 + y ± m 6 PROBLEMA. Calcolare le coordinate dei punti A e B comuni alle circonferenze di equazione: + y y 6 t, rispettivamente tangenti in A e in B alla circonferenza di e scrivere le equazioni delle rette t A e B raggio maggiore (l ordinata del punto A è maggiore dell ordinata del punto B). Determinare sul maggiore degli archi AB della circonferenza di raggio minore un punto P in modo che le sue distanze dalla retta t A sia doppia della distanza dalla retta t B. PROBLEMA. A ( ) ( ) B y 8 y + + ( ) Scritta l equazione della circonferenza passante per ( ) A e di centro C, sia B il suo punto d intersezione col semiasse positivo delle ordinate. Determinare le equazioni delle tangenti in A e B detto D il loro punto d incontro, trovare l area e il perimetro del quadrilatero ADBC. PROBLEMA. ( ) + y + y B 8 y y + D Determinare l equazione della circonferenza passante per A ( ) e per ( 6 ) appartiene alla retta + y+. Condurre per ( ) p area 8 B e il cui centro P le tangenti t ed s alla circonferenza e per A la tangente r determinare l area del triangolo da esse formato. γ : + y + 6y PROBLEMA. Determinare l equazione della circonferenza γ tangente in A alla retta + y e concentrica alla circonferenza + y + + y.scrivere l equazione della tangente in Balla γ, parallela alla retta +y e che incontra l asse delle in un punto di ascissa positiva. Calcolare la lunghezza del perimetro del triangolo isoscele acutangolo inscritto nella circonferenza e avente per base la corda AB + γ : + y + + y 8 + y B( ) p + prof. Sergio Del Giudice pag.

5 PROBLEMA. Dopo aver determinato l equazione γ della circonferenza passante per P ( ) N ( ) Q ( ) e detto C il suo centro, trovare l equazione di una seconda circonferenza δ che ha il centro M nel punto medio del segmento OC ( essendo O l origine degli assi cartesiani) e che ha raggio uguale ai di quello della circonferenza γ. Scrivere le equazioni delle tangenti alla circonferenza δ condotte dal punto A d intersezione della circonferenza γ con il semiasse positivo delle ascisse. Calcolare infine l area S del quadrilatero che ha come vertici i punti A ed M e i punti di tangenza delle tangenti sopra considerate. γ : + y + 8y δ : + y + y+ rette tangentiy y S 8 PROBLEMA 6. Dire per quali valori di h e k le due rette + y h e + y k circonferenza con centro nell origine e raggio sono tangenti alla in un punto del primo quadrante. Detti A e B i punti di contatto, trovare il punto C, intersezione di queste tangenti, e la tangente trigonometrica dell angolo AOB ˆ, essendo O l origine degli assi. h k C PROBLEMA 7. Scrivere le equazioni delle tangenti alla circonferenza di centro ( ) A ( ) C e raggio condotte dal punto. Determinare le coordinate dei punti di tangenza B ed e calcolare l area del quadrilatero ABCD. y PROBLEMA 8. Dati i punti P ( 6), Q ( ) e ( ) PROBLEMA.. La lunghezza di PQ e QR. y B ( + ) D ( ) R determinare:. L equazione della retta parallela all asse delle ordinate passante per il punto R.. L equazione dell asse di PQ.. la retta parallela a PQ e passante per il punto R.. La posizione del punto S, quarto vertice del parallelogrammo PQRS. 6. L equazione della circonferenza γ di diametro PQ. 7. L equazione della retta tangente in P alla circonferenza γ. 8. L area e il perimetro del parallelogrammo PQRS. Dati le circonferenze di equazione + y + y e + y y verificare che:. hanno per asse radicale l asse delle ordinate.. le tangenti, nei loro punti d incontro, sono tra loro perpendicolari. il segmento congiungente i centri è la metà della somma delle corde che le due circonferenze intercettano sull asse delle ascisse Determinare infine l area del quadrilatero, avente per lati le quattro tangenti nei loro punti d incontro, verificando ancora che il quadrilatero è insctittibile in una circonferenza, della quale si trovi il centro. S C prof. Sergio Del Giudice pag.