Compito di Analisi Matematica III. Compito A

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1 c.d.l. Ingegneria elettronica e c.d.l. Ingegneria Informatica (M Z) 7 gennaio Determinare i residui nei punti singolari e nel punto all infinito della funzione z 2 sen z + 2. Determinare la trasformata di Fourier della funzione t 4 + t Determinare l antitrasformata di Laplace della funzione s + 2 s(2s 2 + 4s + ). Determinare il termine generale della successione 3yn+2 5y n+ + 2y n = n 2 n a 0 =, a = 2. Determinare mediante il calcolo diretto la trasformata di Laplace della convoluzione χ [0,] (t) χ [,2] (t). 3. Determinare il limite nel senso delle distribuzioni della successione sen 2 (nt) } n N.

2 c.d.l. Ingegneria elettronica e c.d.l. Ingegneria Informatica (M Z) 28 gennaio Calcolare l integrale +γ e /(z+2i) z 2 4z + 3 dz essendo γ = z C : z =3/2 }. 2. Determinare la trasformata di Laplace della funzione ( t [t] ) 2 u(t) 3. Determinare la trasformata di Fourier della funzione t cos t.. Calcolare i residui nei punti singolari e nel punto all infinito della funzione ( z) n e/z, n N. 2. Determinare la trasformata di Fourier della funzione ( + t 2 ) n sen t n Z. 3. Determinare la derivata seconda nel senso delle distribuzioni della funzione ( ) + t dove A + si intende la parte positiva del numero A.

3 c.d.l. Ingegneria elettronica e c.d.l. Ingegneria Informatica (M Z) 8 febbraio Determinare lo sviluppo in serie di Laurent della funzione z 3 + 2z 2 0 < z < Discutere e risolvere il problema y + λy = u(t ) u(t 2) λ R. y(0) = y() = λ 2 3. Determinare la trasformata di Fourier della funzione t( ) [t].. Calcolare il valore principale del seguente integrale + 0 ln 2 x x 2 dx. 2. Risolvere il problema y(t 2) 6y(t ) + 5y(t) = [t] y(t) = se 2 t <, y(t) = 0se t 0 3. Provare che la serie di distribuzioni n ( δ ( t (n + ) 2) δ ( t n 2)) n= converge nel senso delle distribuzioni temperate.

4 c.d.l. Ingegneria elettronica e c.d.l. Ingegneria Informatica (M Z) 4 giugno Determinare il termine generale della successione definita per ricorrenza an+2 + a n = ( ) n n 2 a 0 =, a = Calcolare il seguente integrale + 0 cos t t 2 + dt. 3. Determinare l antitrasformata di Laplace della funzione s 2 s 2 +. Calcolare il seguente integrale 0 log x 3 x (x 4 + ) dx. 2. Facendo uso della trasformata di Laplace discutere il seguente problema x + y + y = ( ) [t] x x + y + 2y + y = 0 x(0) = x(), x (0) = y(0) = y (0) = Data la successione di distribuzioni T n }, provare l implicazione T n converga T n 0. n=

5 c.d.l. Ingegneria elettronica e c.d.l. Ingegneria Informatica (M Z) luglio Determinare la trasformata di Fourier della funzione + t Facendo uso della trasformata di Laplace discutere e risolvere il seguente problema y + λ 2 y = 0 y(0) = y() = 0 λ R. 3. Determinare la derivata seconda distribuzionale della funzione t.. Calcolare il seguente integrale essendo γ =z C : z =}. +γ z n sen 2 z dz n N, 2 + z2 2. Determinare la trasformata di Fourier della funzione ( ) sen t cos t 2. t 3. Determinare il limite nel senso delle distribuzioni temperate della successione tsen (nt) } n N.

6 c.d.l. Ingegneria elettronica e c.d.l. Ingegneria Informatica (M Z) 22 luglio Calcolare il seguente integrale +γ essendo γ =z C : z =R, R > 0}. z n e/z2 dz 2. Antitrasformare secondo Lplace la funzione s(s )(5s 2 + 2) n N 3. Determinare il limite nel senso delle distribuzioni della successione di funzioni } nt. + n 2 t 2 n N. Considerata la funzione arctan t 2 provare che essa è sommabile in ], + [ e determinarne la trasformata di Fourier. 2. Determinare, precisando l ascissa di convergenza, la trasformata di Laplace della funzione t cos(αt), essendo α un parametro reale. 3. Provare che la funzione log t t + individua una distribuzione temperata e detrminarne la derivata distribuzionale.

7 c.d.l. Ingegneria elettronica e c.d.l. Ingegneria Informatica (M Z) 6 settembre Determinare la trasformata di Fourier della funzione 6 + t 4 2. Determinare l antitrasformata di Laplace della funzione s (s 2 + )(s + ) 2 3. Determinare la trasformata di Fourier della funzione cos(2t). Calcolare il seguente integrale + 0 dx x α ( + x 3 ) α R. 2. Determinare il termine generale della successione definita per ricorrenza da an+3 3a n+2 + 3a n+ a n = n( ) n a 0 = a = 0, a 2 =. 3. Determinare il limite nel senso delle distribuzioni della successione n 4[ δ ( t + ) + δ ( t ) ] } 2δ (t). n 2 n 2 n N

8 c.d.l. Ingegneria elettronica e c.d.l. Ingegneria Informatica (M Z) 29 settembre Determinare lo sviluppo in serie di Laurent della funzione z 4 + z 2 0 < z <. 2. Determinare la trasformata di Fourier della funzione sen 2 t + t Risolvere mediante la trasformata di Laplace il problema T T (t ) = δ(t) T D +. essendo δ la delta di Dirac.. Provare, facendo uso della trasformata di Fourier della funzione sen t/t ( sen t ) F (y) = πχ t [ /(2π),/(2π)] (y) la formula + sen p x 0 se p = 2n ( ) dx = 2n π n N. x se p = 2n + n 4 n 2. Risolvere nella classe delle funzioni continue in [, + [ il problema 2x(t) x(t ) y (t ) = tu(t) x (t) x (t ) + y (t) y (t ) = u(t) x(t) = y(t) = in t Determinare la trasformata di Fourier della funzione t sen n t n N.

9 c.d.l. Ingegneria elettronica 9 dicembre Determinare i numeri complessi z = x + iy soluzioni della diseguazione cos z <. 2. Determinare la trasformata di Laplace della funzione senh (iαt) t n u(t) essendo α un parametro reale e n N. 3. Provare che la successione di funzioni n } 2 e n t converge nel senso delle distribuzioni alla delta di Dirac.. Calcolare il seguente integrale + 0 x cos x senh x dx. 2. Determinare il termine generale della successione definita per ricorrenza da an+2 + a n = n 2 ( ) n a 0 = 0, a = Determinare il limite nel senso delle distribuzioni della successione n } e 2πiyt tdt n

10 c.d.l. Ingegneria elettronica 29 gennaio 2009 Non è consentito l uso della dispensa con gli esercizi svolti di Analisi 3. Calcolare il seguente integrale sen zdz +γ z3 essendo γ =z C : z =2}. 2. Determinare l antitrasformata di Laplace della funzione s 3 (s 2 + ) 3. Risolvere il problema T 4π 2 T = δ T S δ è la distribuzione di Dirac.. Calcolare il seguente integrale z 2 z cos +γ z dz essendo γ =z C : z =2}. 2. Calcolare servendosi della funzione gamma l integrale 3. Considerata la funzione 0 x 2( log x ) n dx n N. f (t) = t + t 2 e detta ˆ f (y) la sua trasformata di Fourier, calcolare l integrale senza determinare esplicitamente ˆ f (y). + ˆ f (y) 2 dy

11 c.d.l. Ingegneria elettronica 20 febbraio 2009 Non è consentito l uso della dispensa con gli esercizi svolti di Analisi 3. Calcolare il seguente integrale +γ z cos z 2 z + 2i dz essendo γ =z C : z =}. 2. Risolvere in [0, + [ il problema y + λy = y(0) = y (0) =, λ R. 3. Determinare la derivata nel senso delle distribuzioni della funzione t 2 se t < 2 f (t) = t se t 2. t. Calcolare il seguente integrale + cos 2 (λx) cos 2 x x 2 ( + x 2 ) dx λ R. 2. Risolvere il problema y(t + 2) + ωy(t) = ( ) [t] y(t) = 0 se 0 t, y(t) = se < t 2, ω C 3. Provare che la successione il cui termine generale è n 3 e n x non ha limite nel senso delle distribuzioni.

12 c.d.l. Ingegneria elettronica 3 aprile 2009 Non è consentito l uso della dispensa con gli esercizi svolti di Analisi 3. Calcolare il seguente integrale +γ z 4 + z dz 2 essendo γ =z C : z =2}. 2. Determinare il termine generale della successione definita da an+2 + a n+ + a n = ( ) n a 0 = 0, a =. 3. Determinare la trasformata di Fourier della disrtibuzione δ è la delta di Dirac. δ (t ). Calcolare il seguente integrale +γ z 2 e/(z+) dz, essendo γ =z C : z + =}. 2. Discutere e risolvere il problema 2x(t) x(t ) y (t ) = λu(t) x (t) x (t ) + y (t) y (t ) = χ [0,2] (t) x(t), y(t) C([, + ]) x(t) = y(t) = 0 se t [, 0] essendo λ R e χ A la funzione caratteristica dell insieme A. 3. Determinare la trasformata di Fourier della funzione t 2[t] [t] è `la parte intera contenuta in t.

13 c.d.l. Ingegneria elettronica 22 giugno 2009 Non è consentito l uso della dispensa con gli esercizi svolti di Analisi 3. Calcolare il seguente integrale essendo γ =z C : z =3}. +γ z 3 + 2z 2 dz 2. Determinare la trasformata di Fourier della funzione e it + t Determinare la trasformata di Laplace della funzione tsen tu(t).. Calcolare il seguente integrale + 0 cosh x cosh(πx) cos xdx. 2. Determinare la convoluzione delle due funzioni [t] u(t), 2 [t/2] u(t) u(t) è la funzione di Heaviside e [t] è la parte intera contenuta in t. 3. Data la funzione y(t) = ( + sen t + cos t ) u(t) determinare due equazioni differenziali del terzo ordine di cui y(t) sia soluzione distribuzionale.

14 c.d.l. Ingegneria elettronica 5 luglio Data la funzione Non è consentito l uso della dispensa con gli esercizi svolti di Analisi 3 determinarne i poli ed i relativi residui. f (z) = z 2 cos z 2. Determinare la trasformata di Fourier della funzione ϕ(t) = t 2 e t. 3. Antitrasformare secondo Laplace la funzione s s Calcolare il seguente integrale 2π 0 cos 2 ϑ 2a cos ϑ + a 2 dϑ 0 < a <. 2. Risolvere in [0, + [ il problema x + x = ( t)χ [,+ [ x() = 0, x () =, x () = Determinare le distribuzioni soluzioni dell equazione (x 2 ) 2 T = 0 T D x.

15 c.d.l. Ingegneria elettronica 2 settembre 2009 Non è consentito l uso della dispensa con gli esercizi svolti di Analisi 3. Determinare lo sviluppo in serie di Laurent della funzione z z 2 nel disco bucato 0 < z <. 2. Determinare la trasformata di Fourier della funzione sen t + t Determinare la trasformata di Laplace della funzione ( t [t] ) 2 u(t).. Studiare, calcolando i residui, i punti singolari al finito e all infinito della funzione sen z senh (i/z). 2. Determinare la trasformata di Fourier della funzione f (t) = sen (2t)(+ t 2 ) n essendo n un numero intero relativo. 3. Data la successione bilatera di distribuzioni } e kt2 δ(t n) n Z determinare i valori di k per cui la serie doppia + n= converge nel senso di D enelsensodis. e kt2 δ(t n)

16 c.d.l. Ingegneria elettronica 30 settembre 2009 Non è consentito l uso della dispensa con gli esercizi svolti di Analisi 3. Determinare la trasformata di Fourier della funzione cos 2 t + t Determinare l antitrasformata di Laplace della funzione s 2 (s 2 + s + )(s + ) 2 3. Determinare il termine generale della successione definita per ricorrenza an+2 + a n = ( ) n n 2 a 0 =, a = 0.. Calcolare l integrale ( ) z n dz n N,, +γ z 2 3z + 2 essendo γ =z C : z =3}. 2. Considerato il problema ai limiti y + λy = t[t] y(0) = y() determinare il parametro λ in modo tale che il problema ( ) abbia soluzione comunque si assegnino y(0) e y (0). 3. Data la serie di distribuzioni + n=0 e λt 2 δ(t n), λ R determinare i valori di λ per cui la serie converge nel senso di S.

17 c.d.l. Ingegneria elettronica 2 novembre 2009 Non è consentito l uso della dispensa con gli esercizi svolti di Analisi 3. Calcolare il seguente integrale +γ z 2 e/(z+i) dz essendo γ = z C : z =2 }. 2. Determinare il termine generale della successione definita per ricorrenza an+ + a n = n a 0 =. 3. Determinare la trasformata di Laplace della funzione t u(t ).. Discutere e risolvere in [0, + [ il seguente sistema differenziale x y = sen (ωt) x + x + k 2 y = ω cos(ωt) ω,k R. x(0) = 0, y(0) = 2. Determinare la trasformata di Laplace della funzione t sen(2t) u(t ). 3. Risolvere il problema T T = δ T S

18 c.d.l. Ingegneria elettronica 5 dicembre 2009 Non è consentito l uso della dispensa con gli esercizi svolti di Analisi 3. Determinare i residui nei punti singolari e nel punto all infinito della funzione z sen 2 z + 2. Determinare la trasformata di Fourier della funzione t 4 + t Determinare l antitrasformata di Laplace della funzione s + 2 s(s 2 + 2s + ). Calcolare il seguente integrale essendo γ =z C : z =}. +γ z n sen 2 z dz n N, 2 + z2 2. Determinare la trasformata di Fourier della funzione ( ) sen t cos t 2. t 3. Determinare il limite nel senso delle distribuzioni temperate della successione tsen (nt) } n N.