Laboratorio teorico-pratico per la preparazione alle gare di matematica
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- Giacomo Ventura
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1 Laboratorio teorico-pratico per la preparazione alle gare di matematica Liceo cientifico. Einstein, Teramo Relatore: Rosanna Tupitti web: 26 novembre 2014 UR bruzzo - PL , Formazione Docenti, L Einstein TE 1 / 18
2 Risorse Libri di riferimento Paolini G. - La matematica delle Olimpiadi, La cuola 2012 Gobbino M. - chede olimpiche, U.M.I Conti F., arsanti M. - Le Olimpiadi della Matematica, Problemi dalle gare italiane, Zanichelli, 2002 Materiale del sito UR bruzzo - PL , Formazione Docenti, L Einstein TE 2 / 18
3 Geometria olimpica Geometria euclidea di base (biennio s.s.) Geometria dei triangoli Geometria dei quadrilateri ree di regioni triangolari ree di regioni quadrangolari ree di regioni trapezoidali ree di parallelogrammi UR bruzzo - PL , Formazione Docenti, L Einstein TE 3 / 18
4 Notazioni standard del triangolo,,c sono i vertici α,β,γ sono gli angoli a,b,c sono le lunghezze dei lati C,C, p = (a+b+c)/2 = [C] indica l area di C r, R sono i raggi delle circonferenze inscritta e circoscritta r a,r b,r c raggi delle circonferenze exincritte h a,h b,h c lunghezze delle altezze m a,m b,m c lunghezze delle mediane O : circocentro, punto di intersezione degli assi G : baricentro, punto di intersezione delle mediane H : ortocentro, punto di intersezione delle altezze I : incentro, punto di intersezione delle bisettrici UR bruzzo - PL , Formazione Docenti, L Einstein TE 4 / 18
5 Geometria dei triangoli Teorema di pollonio a 2 +4m 2 a = 2b 2 +2c 2 e cicliche Lunghezza delle mediane m a = 1 2 2b 2 +2c 2 a 2 e cicliche Teorema del coseno (teorema di Carnot) a 2 = b 2 +c 2 2bc cosα e cicliche Formula di Erone = p(p a)(p b)(p c) UR bruzzo - PL , Formazione Docenti, L Einstein TE 5 / 18
6 Geometria dei triangoli Teorema della bisettrice interna. La bisettrice interna di un angolo divide (internamente) il lato opposto in due parti proporzionali ai lati dell angolo. Quindi se D è il punto in cui la bisettrice interna uscente da divide il lato C allora D : DC = : C Teorema della bisettrice esterna. La bisettrice esterna di un angolo divide (esternamente) il lato opposto in due parti proporzionali ai lati dell angolo. Quindi se D è il punto in cui la bisettrice interna uscente da divide il lato allora D : DC = : C Lunghezza della bisettrice interna w a = 2bc b+c cos α 2 = 2 bcp(p a) b+c UR bruzzo - PL , Formazione Docenti, L Einstein TE 6 / 18
7 Geometria dei triangoli Definizione di ceviana. Dicesi ceviana un segmento che congiunge un vertice con un punto del lato opposto. Teorema di Ceva. Tre ceviane D,E,CF di un triangolo C concorrono se e solo se F F D DC CE E = 1 Teorema di Menelao. Tre punti D C, E C, F sono allineati se e solo se F F D DC CE E = 1 UR bruzzo - PL , Formazione Docenti, L Einstein TE 7 / 18
8 Geometria dei triangoli Teorema di tewart. e D C, m = D, n = DC, d = D abbiamo a ( d 2 +mn ) = mb 2 +nc 2 Teorema di Van ubel. e tre ceviane D,E,CF concorrono in un punto P allora P D = F F + E EC UR bruzzo - PL , Formazione Docenti, L Einstein TE 8 / 18
9 Geometria dei quadrilateri Teorema di Tolomeo. e CD è un quadrilatero semplice ciclico allora C D = CD +D C Teorema di rahmagupta. L area di un quadrilatero ciclico CD è data da [CD] = (p a)(p b)(p c)(p d) Teorema. L area di un quadrilatero bicentrico è data da [CD] = abcd UR bruzzo - PL , Formazione Docenti, L Einstein TE 9 / 18
10 ree di regioni triangolari Teorema. Una mediana divide un triangolo in due triangoli equivalenti = 1 2 [C] M C Teorema. Le tre mediane dividono un triangolo in sei triangoli equivalenti. = 1 6 [C] F G E D C UR bruzzo - PL , Formazione Docenti, L Einstein TE 10 / 18
11 ree di regioni triangolari Teorema. e C è un triangolo con ortocentro H ed F H tale che FC = 90, allora: H [FC] 2 = [C] [CH] C F UR bruzzo - PL , Formazione Docenti, L Einstein TE 11 / 18
12 ree di regioni triangolari Teorema. e C è un triangolo e PQ C allora 1 [C] = P Q R 2 C UR bruzzo - PL , Formazione Docenti, L Einstein TE 12 / 18
13 ree di regioni quadrangolari Teorema. I punti medi M,N,P,Q dei lati del quadrilatero CD sono i vertici di un parallelogramma (detto di Varignon) la cui area è la metà di quella di CD. D P C = 1 2 [CD] Q N M Teorema. e tracciamo le diagonali del quadrilatero CD si formano quattro regioni triangolari tali che = D 3 C UR bruzzo - PL , Formazione Docenti, L Einstein TE 13 / 18
14 ree di regioni quadrangolari Teorema. e P è il punto medio della diagonale D del quadrilatero CD allora D C [PC] = [C] [CD] 2 P UR bruzzo - PL , Formazione Docenti, L Einstein TE 14 / 18
15 ree di regioni quadrangolari Teorema. e uniamo i punti di trisezione dei lati di un quadrilatero CD si forma un quadrilatero centrale P QR la cui area è 1/9 di quella di CD. C [PQR] = 1 9 [CD] D P R Q UR bruzzo - PL , Formazione Docenti, L Einstein TE 15 / 18
16 ree di regioni trapezoidali Teorema. e CD è un trapezio allora i triangoli: D C = 1 2 Teorema. e CD è un trapezio e M è il punto medio di D allora D C [CM] = 1 2 [CD] M UR bruzzo - PL , Formazione Docenti, L Einstein TE 16 / 18
17 ree di regioni trapezoidali Teorema. e CD è un trapezio e M,N sono i punti medi delle basi, CD allora D N C [MND] = [MCN] M Teorema. ia CD è un trapezio, siano M, N i punti medi dei lati D, C e sia O il punto medio di MN, sia P e sia Q = OP CD. bbiamo D Q C [PQD] = 1 2 [CD] M O N P UR bruzzo - PL , Formazione Docenti, L Einstein TE 17 / 18
18 ree di parallelogrammi Teorema. e CD è un parallelogramma e P CD allora D P C [P] = 1 2 [CD] Teorema. e CD è un parallelogramma e P è un punto interno allora D C [PD]+[CP] = 1 2 [CD] P UR bruzzo - PL , Formazione Docenti, L Einstein TE 18 / 18
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e) A10, ( 1;B6,2 ) ( ) f) A3,42;B12,2
7. ESERCIZI SULLA DISTANZA FRA DUE PUNTI ) Calcola le distanze fra le seguenti coppie di punti: a) A;B6 ( ) ( ) A( 8 ); B( 7 5) c) A ( ;B ) ( 7) d) A( ); B e) A ( ;B6 ) ( ) f) A4;B ( ) ( ) g) A ; B 6 h)
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> ; >0 ; 2 >0 ; 2 <0 ; <0 , 2 7
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