Interazione dei raggi X con la materia

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1 Interazione dei raggi X con la materia Emissione di fotoelettroni Fascio incidente (I 0 ) di raggi X Fluorescenza Scattering coerente e incoerente Assorbimento (I) calore Lo scattering coerente dei raggi X è responsabile degli effetti di diffrazione Gli elettroni diventano sorgenti secondarie di radiazione X avente la stessa λ della radiazione incidente

2 Il fenomeno della diffrazione La diffrazione è un complesso fenomeno di diffusione (o scattering) e interferenza originato dall interazione di onde elettromagnetiche (raggi X) o particelle relativistiche (neutroni e elettroni) aventi appropriata lunghezza d onda (dell ordine dell Å) con un reticolo cristallino. Il processo di diffusione (o scattering) L interazione di un onda elettromagnetica con la materia avviene essenzialmente attraverso due processi di scattering che riflettono il dualismo onda-particella della radiazione incidente: a) scattering elastico: i fotoni della radiazione incidente vengono deviati in ogni direzione dello spazio senza perdita di energia. Esiste dunque una precisa relazione fra radiazione incidente e radiazione diffusa per cui il processo viene definito coerente. Questo processo è alla base della diffrazione. b) scattering non-elastico: il fotone cede parte della sua energia; la radiazione diffusa risultante ha quindi lunghezza d onda maggiore di quella incidente. Non essendoci alcuna relazione fra radiazione incidente e radiazione diffusa, questo tipo di scattering è definito incoerente. Questo fenomeno non dà luogo a processi di interferenza.

3 Interazione raggi X con: Una singola particella La particella diffonde il fascio incidente uniformemente in tutte le direzioni Un materiale cristallino I fasci diffusi si combinano construttivamente in certe direzioni

4 λ/2 Interferenza Costruttiva Interferenza distruttiva

5 Scattering di RX Il fenomeno della diffrazione è analogo all interferenza della luce con un reticolo ottico. Lungo alcune direzioni (direzione 3) i fasci diffratti A e B si trovano esattamente sfasati di mezza lunghezza d onda: si ha interferenza distruttiva e lungo la direzione 3 si avrà intensità nulla. Lungo le direzioni 1 e 2 i due fasci sono in fase e avremo un massimo di intensità lungo quelle direzioni. Tra le direzioni 1 e 2 avremo tutte le gradazioni intermedie. Se però considero un reticolo ottico devo considerare non solo 2 fasci ma milioni, questo fa si che si abbia una grande intensità esattamente per le direzioni 1 e 2 e intensità praticamente nulla per tutte le altre.

6 Condizioni di Laue Max von Laue interpretò la diffrazione di raggi X da parte dei cristalli considerando che la disposizione periodica tridimensionale degli atomi corrisponde a un reticolo tridimensionale di diffrazione (analogia con la diffrazione della luce da parte di un reticolo ottico) Partiamo da un reticolo monodimensionale costituito da un atomo situato nei nodi reticolari che agiscono come centri di scattering Radiazione S 0 incide con angolo di incidenza φ su un filare monodimensionale. Radiazione diffratta S forma un angolo θ con il fascio incidente Interferenza è costruttiva solo se la differenza di cammino ottico dei raggi scatterati da due contigui è pari a un multiplo della lunghezza d onda

7 Differenza di cammino sul raggio incidente (r), e sul raggio diffratto (r'). r' - r = a cos(θ) - a cos (φ) = h λ h numero intero. In termini vettoriali: r' - r = a (S-S 0 ) = h λ I raggi diffratti giacciono su coni, detti di Laue, associati ai diversi valori di h.

8 Il cristallo (e il relativo reticolo) è tridimensionale dobbiamo scrivere relazioni analoghe per le altre due direzioni Condizioni di Laue per la diffrazione: a. (S-S0) = h λ b. (S-S0) = k λ c. (S-S0) = l λ Le tre equazioni di Laue devono essere contemporaneamente soddisfatte, la diffrazione avviene solo lungo le direzioni comuni a tre superfici coniche.

9 L approccio di Laue seppure corretto è poco pratico (tre equazioni devono essere soddisfatte contemporaneamente). Bragg (padre e figlio) immaginarono il fenomeno in termini di riflessione dei raggi X da parte di piani reticolare infinitamente estesi. Approccio dei Bragg non è corretto dal punto di vista fisico (il vero fenomeno che avviene è la diffusione e l interferenza tra onde diffuse) ma fornisce una espressione semplice (una unica equazione) e del tutto equivalente alle tre condizioni di Laue (la direzione del fascio riflesso della legge di Bragg concide con la direzione che soddisfa contemporaneamente le 3 equazioni di Laue) Nell approccio di Bragg i piani reticolari sono immaginati essere semiriflettenti I raggi X incidono su un pianoe vengono in parte riflessi, in parte trasmessi

10 La riflessione avviene anche sui piani sottostanti Interferenza è costruttiva solo se la differenza di cammino tra i raggi riflessi da piani contigui è pari a un multiplo della lunghezza d onda r + r = d hkl sin(θ) + d hkl sin(θ) = n λ 2d hkl sin(θ) = n λ Legge di Bragg 2d nh nk nl sin(θ) = λ N.B. La direzione dei fascio diffratto prevista dalle tre condizioni di Laue coincide con quella prevista dalla legge di Bragg

11 2d sinθ = λ d = distanza interplanare La direzione dei raggi diffratti dipende UNICAMENTE dal reticolo di traslazione, cioè dai parametri della cella elementare, indipendentemente dagli atomi che essa contiene PROPORZIONALITÀ INVERSA TRA sinθ e d strutture con d grandi mostreranno pattern di diffrazione compressi, e viceversa per strutture con d piccoli 1/d = (2/λ) sinθ 1/d sinθ Il pattern di diffrazione è una immagine del reticolo reciproco

12 Interpretazione in termini vettoriali della legge di Bragg Il vettore differenza (S-S 0 ) tra il vettore unitario sulla direzione dell'onda incidente (S 0 ) e quello sull onda diffratta (S) è parallelo al vettore del reticolo reciproco d* hkl. S-S 0 = 2 sin(θ) d* hkl = 1/d hkl λ = 2d hkl sin(θ) = S-S 0 / d* hkl Da cui si può scrivere la legge di Bragg come: (S-S 0 ) / λ = d* hkl = ha* + kb* + lc* Quando la legge di Bragg è soddisfatta il vettore (S-S 0 ) / λ coincide con il vettore del reticolo reciproco dei piani che sono in condizioni di riflessione

13 Interpretazione di Ewald Sintesi "geometrica" delle condizioni di diffrazione (ci fa capire come effettuare un esperimento di diffrazione) Ewald suggerì di costruire una sfera (sfera di Ewald) di raggio 1/λ con il cristallo (reticolo diretto) al centro L'origine del reticolo reciproco è fissata nell'intersezione tra la sfera ed il prolungamento del vettore S 0. il punto di intersezione tra la sfera e il vettore S è un punto del reticolo reciproco Un piano hkl si trova in condizioni di diffrazione se il corrispondente vettore del reticolo reciproco giace sulla superficie della sfera di Ewald

14 Alcuni punti si trovano sulla sfera Come possono essere osservate le diffrazioni di altri piani? Possiamo immaginare due "metodi": ruotare il reticolo reale (quindi il cristallo) mantenendo costante λ (Metodo di Bragg) modificare il raggio della sfera di Ewald (quindi la lunghezza dell'onda incidente) in modo che altri nodi siano toccati dalla sfera (metodo di Laue).

15 Esercizio Un cristallo di Fe (bcc a=2.866 Å) viene sottoposto a un esperimento di diffrazione di Raggi X utilizzando la radiazione Cr Kα (λ=2.291 Å) Calcolare i valori delle distanze interplanari d hkl Calcolare gli angoli di Bragg (N.B. in effetti si osservano solo riflessi con h+k+l=2n) Calcolare gli angoli di Bragg usando la radiazione Mo Kα (λ= Å)