1 - CONFRONTO LOCALE: I SIMBOLI DI LANDAU

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1 - CONFRONTO LOCALE: I SIMBOLI DI LANDAU Nello studio del comportamento di una funzione vicino ad un punto 0, dopo aver visto se la funzione ammette ite (finito, nullo o infinito, per 0, può interessare come lafunzione tende atale valore. Inoltre, se si studiano due funzioni f e g, entrambe definite in un intorno di 0 escluso al più il punto 0 stesso, hainteresse studiare se c è relazione tra i loro iti (ammesso che esistano, per 0. Le definizioni che seguono precisano proprio questa indagine. Le funzioni f,g,h... che consideriamo sono tutte definite e non nulle in un intorno U del punto 0, escluso al più il punto 0 stesso. DEFINIZIONE è equivalente a g( per 0 (in simboli:f g ( 0 se : g( = a3 +5 5, per 0 b ,per ± c sin tan log ( +, per 0 d 3 +,per 0 e 3 + sin 3,per ± f log (,per DEFINIZIONE è dello stesso ordine di grandezza di g( per 0 (in simboli:f g ( 0 se : g( = l 0 l R a cos per 0 b sin per 0 c per ± d + per ± e log per Si osservi che se f e g sono entrambe infinitesime (oppure infinite (per 0 non è detto che siano equivalenti, né dello stesso ordine di grandezza. Si considerino, ad esempio, le due funzioni =, g( = per 0 oppure per + Le relazioni e forniscono quindi risultati nuovi se applicate alle funzioni infinitesime o infinite.

2 ALCUNE PROPRIETA DELLE RELAZIONI, ( 0 a f f a f f b f g g f b f g g f c f g g h f h c f g g h f h d f l 0 g l 0 f g d f l 0 g m 0 f g e f l g f g l e f 0(of + g f g 0(og + f f g f g f f g g f f g f g f f g g g f g f g (f,g 0 in U( 0 f g ( g f g f g f,g 0 in U( 0 f g f g f g h f g f g OSSERVAZIONI a L implicazione h non è invertibile. Ad esempio, se = sin e g( =,siha: g( (e quindi g(, per 0. Invece, se = sin(3 eg( =, siha g( manon g(, per 0. b Non vale la proprietà additiva, né per larelazione né per, cioè sef g f g non è detto che f + f g + g. Lastessacautelavale per larelazione. Ad esempio si considerino le funzioni f ( =, g ( =, f ( =, g ( = 3, per 0. DEFINIZIONE 3 è o-piccolo di g( per 0 (in simboli: f = o(g 0 se g( =0 (Si dice anche che f è trascurabile rispetto a g per 0. OSSERVAZIONE: f = o( = 0, cioè f = o( f è INFINITESIMA per 0. Analogamente, = o(f =, cioè =o(f f è INFINITA per 0. a = o( per 0 b = o( per c cos = o( per 0 d ( = o per ALCUNE PROPRIETA DELLA RELAZIONE o-piccolo ( 0 a f = o(g g = o(h f = o(h b f = o(g f = o(g f f = o(g g c f g f = o(g f f = o(g g d f g f g = o(g Ad esempio: per 0 cos = o(, sin( =o( ; quindi ( cos sin( =o( ; per 0 cos = o( e quindi ( cos =o( ; per 0 sin e, equivalentemente, sin = + o(;

3 L introduzione dei concetti di funzione trascurabile e di funzione equivalente a un altra consente di semplificare il calcolo dei iti. Valgono infatti le due proprietàseguenti: PRINCIPIO DI ELIMINAZIONE DEI TERMINI TRASCURABILI. Supponiamo che f ( =o(, g ( =o(g( per 0. Allora (+f ( (g(+g ( = g( L applicazione del principio di einazione dei termini trascurabili, nel calcolo di un ite, consiste appunto nel trascurare in una somma, sia a numeratore che a denominatore, i termini trascurabili (ad esempio gli infinitesimi di ordine superiore, se f,g,f,g sono infinitesimi per 0, ovvero gli infiniti di ordine inferiore, se f,g,f,g sono infiniti per 0. Così, ad esempio, si ha: 0 ( + ( 3 = 0 = ; (3 + (7 3 = PRINCIPIO DI SOSTITUZIONE CON FUNZIONI EQUIVALENTI Supponiamo che f (, g ( g( per 0. Allora; 3 =. Inoltre, se ( g, g 0 in U( 0 : g( = f (g ( g( = f ( g ( Cioè: nel calcolo del ite del prodotto (o quoziente di funzioni si possono sostituire le funzioni con altre ad esse equivalenti. Ad esempio: 0 sin cos = 0 = tan 4 log( ( e sin 3 = = 4 ATTENZIONE: non si può usare nelle somme il principio di sostituzione con funzioni equivalenti. Ad esempio: ( tan sin tan 0 3 = 0 3 sin ( =0 Si hainvece: tan sin tan ( cos 0 3 = 0 3 = 0 3 =

4 - CONFRONTO DI INFINITESIMI E DI INFINITI Consideriamo le funzioni eg( che per 0 tendono azero (oppure ainfinito; hainteresse stabilire un confronto fradi esse per conoscere se unadelle due funzioni tende azero (o ainfinito più rapidamente dell altra o entrambe tendono a zero (o a infinito nello stesso modo. Si parla di ordine di infinitesimo (oppure di ordine di infinito delle due funzioni, per 0, e lo si denotacon ord(f e ord(g (oppure con Ord(f, Ord(g. Più precisamente, se eg( sono due funzioni entrambe infinitesime (per 0 eseg( 0 in un intorno U( 0, diamo le seguenti : DEFINIZIONI f è un INFINITESIMO DI ORDINE SUPERIORE a g se f = o(g, cioè se g( =0. f e g sono INFINITESIMI DELLO STESSO ORDINE se f g, cioè se g( = l 0 3f è un INFINITESIMO DI ORDINE INFERIORE a g se g = o(f, cioè se g( =0 a Siano = 3 e g( = 3. Si vede subito che ord(f > ord (g (per 0; infatti: 0 =0 In generale, se p n ( eq m ( sono due polinomi di grado, rispettivamente, n ed m senzatermine noto (e dunque infinitesimi per 0, si ha: ord (p n > ord (q m n>m b Le due funzioni = cos e g( = sono infinitesime dello stesso ordine per 0, poiché cos 0 = c ord (log = ord (, per. Infatti: log = t 0 log( + t t In modo analogo, se eg( sono due funzioni entrambe infinite (per 0 eseg( 0in un intorno U( 0, diamo le seguenti : DEFINIZIONI f è INFINITO di ORDINE INFERIORE a g (e scriviamo Ord(f <Ord(g se f = o(g, cioè se g( =0 f e g sono INFINITI DELLO STESSO ORDINE (e scriviamo Ord(f = Ord(g se f (g, cioè se g( = l 0 3 f è INFINITO di ORDINE SUPERIORE a g (e scriviamo Ord(f = Ord(g se g = o(f, cioè se g( =0 =

5 a Siano = 3 e g( =. Si vede subito che Ord(f > Ord (g (per. In generale, se p n ( eq m ( sono due polinomi qualunque di grado, rispettivamente, n ed m,siha: Ord (p n > Ord (q m n>m e Ord (p n = Ord (q m n = m b Ord( < Ord( 3 < Ord( < Ord( 3 <...per + ( c Ord(tan = Ord π,per π. Infatti, operando la sostituzione π tan tan(t + π π = ( t t 0 = (t cot t = cos t = t 0 t 0 sin t π t = t, siha: Comportamento di Esponenziali e Logaritmi Le funzioni esponenziali e logaritmo si comportano in modo particolare rispetto alle funzioni polinomiali. Fissiamo l attenzione sulle funzioni esponenziale e logaritmo con base a>. Si può provare che: - l esponenziale ha ordine di infinito superiore a qualunque potenza di, per + - l esponenziale ha ordine di infinitesimo superiore a qualunque potenza di,per - il logaritmo ha ordine di infinito inferiore a qualunque potenza di, per + - il logaritmo ha ordine di infinito inferiore a qualunque potenza di,per 0+ In simboli, a >, k R + : a Ord (a > Ord ( k per +, ovvero ( b ord (a > ord per, ovvero k c Ord ( < Ord ( k per +, ovvero d Ord ( < Ord ( k a k =+ a == k a =0 k k =0 per 0 +, ovvero log a 0 + k E facile dedurre che, se consideriamo basi 0 <a<, abbiamo, k R + : a Ord (a > Ord ( k per, ovvero b ord (a > ord ( k per +, ovvero c Ord ( < Ord ( k per +, ovvero d Ord ( < Ord ( k a k =+ a == 0 + k =0 == k k a =0 k =0 per 0 +, ovvero log a 0 + == k 0 k =0 + OSSERVAZIONI a Esistono infiniti di ordine ancora maggiore di e (ad esempio e e oppure di ordine inferiore alog, come log (log. b Se a>b>sihacheord(a > Ord (b, per +,; infatti a ( a b = =+ in quanto a b b > c Le funzioni logaritmo invece hanno sempre lo stesso ordine di infinito, qualunque sia la base; infatti: log b = log a b = log a b

6 3 - ORDINE E PARTE PRINCIPALE RISPETTO AD UN CAMPIONE Quando si renda utile non solo avere una misura relativa di infinitesimo o di infinito (confrontando cioè traloro due funzioni f e g entrambe infinitesime o infinite in un punto 0, ma anche poter misurare lavelocità con cui una singola funzione f tende azero - o ainfinito - per 0, si introduce una unità di misura degli infinitesimi o degli infiniti, dette infinitesimo campione e infinito campione. Gli infinitesimi campione standard sono: per 0 u( = 0 per u( = Gli infiniti campione standard sono: per 0 U( = 0 per U( = Diamo adesso la seguente : Definizione. Si dice che f èuninfinitesimo di ordine α R + rispetto all infinitesimo campione u(, (per 0, se [u(] α per 0, ovvero se = l, l 0,l R. [u(] α Sotto tale ipotesi risulta anche: =l(u α ( + o(u α ( Lafunzione p( =l(u α ( si dice parte principale di per 0, mentre con il termine o(u α ( si indicaun infinitesimo di ordine superiore ad α rispetto all infinitesimo campione u(. In modo analogo, riguardo agli infiniti: Definizione. Si dice che f èuninfinito di ordine α R + rispetto all infinito campione U(, (per 0, se [U(] α per 0, cioè se = l, l 0,l R. [U(] α Sotto tale ipotesi risulta anche: =l (U α ( + o (U α ( Lafunzione P ( =l (U α ( si dice parte principale di per 0, mentre con il termine o(u α ( si indicaun infinito di ordine inferiore ad α rispetto all infinito campione U(. = per 0 + è un infinitesimo di ordine α = rispetto all infinitesimo campione poiché 0 + ( α =,seα = Un polinomio di grado n,p n ( =a n n + a n n +...a m m, a m 0, m 0è infinitesimo di ordine m per 0 (rispetto all infinitesimo campione u( = e lafunzione p( =a m m è lasua parte principale. 3 = sin per 0 haordine di infinitesimo α = rispetto all infinitesimo campione ; infatti sin =. Lafunzione p( = è la parte principale di per 0. 0

7 4 Lafunzione = haordine di infinitesimo per, rispetto all infinitesimo campione ; infatti: + ( α =seα =. Invece, lafunzione = haordine di infinitesimo per, rispetto all infinitesimo campione ; infatti: ( α = ( ( + ( α ( + = + ( α = ( α = se α = = 8 3 per è infinitesima di ordine (rispetto all infinitesimo campione u( = +7 ; infatti: α = 3 8 se α =. Lafunzione p( = = per + è un infinito di ordine α = ( α =,seα =. è la parte principale di per rispetto all infinito campione U( = poiché 7 Un polinomio p n ( =a n n + a n n +...a + a 0, a n 0è un infinito di ordine n per (rispetto all infinito campione U( = e lafunzione P ( =a n n è la sua parte principale. 8 =3 + arctan(3 per + è un infinito di ordine rispetto all infinito campione poiché: 3 ( + arctan(3 3 = + arctan(3 =3 Lafunzione P ( =3 è la parte principale di per +. 9 = 36 5 per 0è un infinito di ordine (rispetto all infinito campione U( = ; infatti: ( 3 α =5 seα =. 0 = tan per ( π è un infinito di ordine, rispetto all infinito campione U( = π, come risultadall esempio c del. Ripensando a quanto detto nel sul comportamento particolare delle funzioni esponenziale e logaritmo, possiamo affermare che, rispetto agli infinitesimi e agli infiniti campione standard: a R, a>, k R + ord(a >k per ; Ord(a >k per + a R, 0 <a<, k R + Ord(a >k per ; ord(a >k per + a R, a>0, k R + ord( <k per 0 + ; Ord( <k per +. OSSERVAZIONI Esistono inoltre funzioni inclassificabili ripetto ai campioni standard, pur essendo comprese nelle itazioni della scala. Ad esempio = log : log rispetto al campione U( = l ordine di infinito di (per + è >, poiché =+ ; log log eppure l ordine di è minore di ogni numero > ; infatti +ɛ = ɛ =0, ɛ >0.

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