TRIGONOMETRIA Goniometria, parte 1

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Marino Natale
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1 TRIGONOMETRIA Goniometria, parte 1 1 Funzioni goniometriche elementari SAPER FARE: 1. dato il valore di una funzione goniometrica e conoscendo il quadrante di appartenenza di un angolo, determinare il valore delle altre tre funzioni.. semplificare espressioni contenenti le relazioni fondamentali della goniometria e verificare identità goniometriche, servendosi di dette relazioni. calcolare il valore di espressioni contenenti funzioni goniometriche di angoli notevoli Dato un angolo orientato x (per semplicità misurato in gradi), si danno per note le DEFINIZIONI di, cos x, tan x, cot x, come anche i valori notevoli di tali funzioni (angoli notevoli = 0, π/6, π/4, π/, π/, π, /π, π), riassunti nella tabella seguente: x 0 π/6 π/4 π/ π/ π /π π cos x tan x 0 1 non esiste 0 non esiste 0 cot x non esiste 1 0 non esiste 0 non esiste Di vitale importanza è ricordare anche l'andamento delle funzioni elementari relativamente al segno, come riassunto nella tabella seguente: I II III IV 0 < x < < x < < x < < x < cos x tan x cot x Fra queste funzioni vi sono delle RELAZIONI FONDAMENTALI (facilmente dimostrabili): 1. sin x + cos x = 1 (il teorema di Pitagora!). tan x = cos x. cot x = 1 tan x = cos x 4. sec x = 1 cos x. csc x = 1 Tali relazioni ci permettono, conoscendo il valore di UNA QUALSIASI funzione, di determinare le altre tre, conoscendo anche il quadrante di appartenenza dell'angolo. Se è noto per esempio il seno di un angolo, dalla prima relazione possiamo facilmente determinare il coseno, perchè: sin x + cos x = 1 cos x = ± 1 sin x

2 Il segno verrà deciso a seconda del quadrante di appartenenza. Se è noto per esempio il coseno di un angolo, dalla prima relazione possiamo facilmente determinare il seno, perchè: sin x + cos x = 1 = ± 1 cos x Il segno verrà deciso a seconda del quadrante di appartenenza. Es. Dato 0 < x < 90 e sapendo che = 0.7, determinare cos x, tan x, cot x. Dalla relazione cos x = ± 1 sin x, scegliendo il segno positivo, visto che l'angolo x è nel primo quadrante (e quindi il suo coseno è positivo), abbiamo: cos x = Ricordando ora che: tan x = cos x = cot x = 1 tan x = Trovare seno e coseno 1. Dato 0 < x < 90 e sapendo che cos x = 1, determinare, tan x, cot x. Nel primo quadrante, il seno è positivo, quindi: = 1 (1/) = 4/ = 6 6/, tan x = / cos x = = 6, cot x = 1/ 6 1/. Dato 90 < x < 180 e sapendo che cos x =, determinare, tan x, cot x. 4 Nel secondo quadrante il seno è positivo, quindi: = 1 ( /4) = 7 7/4 7/16 =, tan x = / cos x = 4 /4 = 7/, cot x = / 7. Dato 180 < x < 70 e sapendo che =, determinare cos x, tan x, cot x. Nel terzo quadrante il coseno è negativo, quindi: cos x = 1 (/) = / /9 =, tan x = / cos x = / = /, cot x = / 4. Dato 70 < x < 60 e sapendo che =, determinare cos x, tan x, cot x. Nel quarto quadrante 7 il coseno è positivo, quindi: cos x = 1 ( /7) = 4/49 = /7, tan x = / cos x = 7 /7 = /, cot x = /. Sapendo che tan x =, con 0 < x < 90, determinare. Sapendo che tan x = / cos x e che nel primo quadrante il coseno è positivo, possiamo scrivere anche che tan x = / 1 sin x tan x = sin x/1 sin x ( ) = sin x/1 sin = sin x/1 sin x. A questo punto si avrà che, facendo denominatore comune: sin x = sin x = sin + sin x sin x = = dove per la radice si è scelto il segno positivo, perchè il seno nel primo quadrante è positivo.

3 1. Semplicare espressioni In questi esercizi viene richiesto di semplicare espressioni numeriche e non usando le relazioni fondamentali e i valori per gli archi notevoli. 1. Semplicare la seguente espressione: (cot x cos x) tan x Ricordando che cot x = cos x e che tan x =, si ha: cos x ( cos x ) cos x ( ) cos x cos x cos x = ( ) cos x(1 ) cos x = cos x = 1. Semplicare la seguente espressione: ( + cos x) 1 Elevando al quadrato, si ha sin x + cos x + cos x 1, ma ricordando che sin x + cos x = 1, allora avremo: 1 + cos x 1 = cos x. Semplicare la seguente espressione: Si ha: ( cos x + cos x ) = 4. Semplicare la seguente espressione: si ha, facilmente che: cos x. Semplicare la seguente espressione: (tan x + cot x) ( sin x + cos ) x = cos x cos x tan x + sin x cot x sin cos x + cos x sin x = + cos x = 1 (1 + tan x) (1 sin x) Si ha: ( ) 1 + cos cos x = cos x + sin x x cos cos x = 1 x 1 cos x = 1 cos x = sec x 6. Calcolare il valore della seguente espressione: cos 0 sin 4 sec 60 + cos 60 csc 4 8 sin 0 Ricordando i valori in tabella, si ha: 1 1/ Semplicare la seguente espressione: 8 ( ) 1 = = 1 4 cos 0 sec(π/4) + csc(π/4) 4 sin(π/4) + cot(π/) Si ha: / + 0 = 4 / /

4 8. Semplicare la seguente espressione cot(π/) sec(π/6) + csc(π/6) sec(π/6) 8 cot(π/6) cos(π/) Si ha: / 1/ 1 8 1/ = / = 4 = / / 4 = 14 / Archi associati SAPER FARE: 1. Dato il valore di un angolo nel, o 4 quadrante, trovare il valore delle sue funzioni goniometriche, riferendolo ad un conveniente angolo del primo. semplificare espressioni contenenti funzioni di archi associati o verificare identità Dato x, angolo orientato, si dicono archi associati quelli che si ottengono addizionando o sottraendo ad/da x gli angoli notevoli 90, 180, 60. Si hanno quindi le seguenti formule: a) Angoli opposti (IV Q): sin( x) =, cos( x) = cos x, tan( x) = tan x b) angoli esplementari: sin(π x) =, cos(π x) = cos x, tan(π x) = tan x c) Angoli complementari: sin(π/ x) = cos x, cos(π/ x) =, tan(π/ x) = cot x d) Angoli supplementari (II Q): sin(π x) =, cos(π x) = cos x, tan(π x) = tan x e) Angoli dierenti di π/: sin(π/ + x) = cos x, cos(π/ + x) =, tan(π/ + x) = cot x f) Angoli dierenti di π (III Q): sin(π + x) =, cos(π + x) = cos x, tan(π + x) = tan x ES. Calcolare il valore del seno dell'angolo x = 4 π Osservando che π = π π/4, possiamo usare la formula relativa al coseno di angoli supplementari, 4 ove x = π/4: se cos(π x) = cos x, allora cos(π π/4) = cos π/4 = ES. Calcolare il valore della seguente espressione: 4 (sin 6 π cos 4 π + cos 4 π sin 4 ) π sin π/4 Osserviamo che: 6 π = π π/6, 4 π = π π/4, 4 π = π + π/. Usando le appropriate relazioni degli angoli associati, abbiamo: 4(sin(π π/6) cos(π π/4)+cos(π+π/) sin(π π/4)) sin π/4 = 4(sin π/6( cos π/4) cos π/ sin π/4) sin π/4 = ( ) = ES. Calcolare il valore della seguente espressione: cos( x) + cos(60 x) + cos(180 x) cos(180 + x) Usando le appropriate relazioni si ha: Vediamo altri esempi di esercizi: cos x + cos x cos x + cos x = cos x

5 1. Semplica: Applicando le formule abbiamo: sin(x + π) + cos(π + x) cos x + ( ) cos x cos x + = sin x cos x + = 1 + = 1. Semplica [ sin(π x) cos x cos(π x)] cos π Applicando le formule abbiamo: [ cos x( cos x)] ( 1) = [sin x + cos x] + = 1 + = 7. Semplicare: tan( x) + tan(π x) + tan(π x) tan(π + x) Applicando le formule abbiamo: tan x tan x tan x + tan x = tan x 4. Calcola il valore di: sin 4 π cos 4 π + sin 7 6 π cos 4 π Osserviamo che: 4 π = π + π/4, 4 π = π + π/, 7 π = π + π/6, quindi: 6 sin(π + π/4) cos(π + π/) + sin(π + π/6) cos(π + π/4) = sin π/4( cos π/) sin(π/6)( cos π/4) =. Calcola / 1/ + 1/ / = 0 cos 1 cos 1 cos 00 sin( 0) + cos( 0) sin 1 cos( ) Se ovviamente 1 = 180 4, 1 = 60 4, 00 = 60 60, = 180+4, 0 = 60 0, si avrà: cos(180 4) cos(60 4) cos(60 60) sin( 0)+cos( (60 0)) sin(180 4) cos( (180+4)) cos 4 cos 4 cos 60( sin 0)+cos 0 sin 4( cos 4) = / /+ 1/ 1/ / / / = 1/ + /4 /4 = 1/4 /4 Identità goniometriche Un'identità goniometrica è una uguaglianza tra due espressioni contenenti funzioni goniometriche di un certo angolo α, vericata per ogni qualsiasi valore attribuito all'angolo. Ad esempio: sin α cos α + 1 = 4 sin α perchè, se cos α = 1 sin α allora sin α (1 sin α) + 1 = sin α + sin α + 1 = 4 sin α Per vericare un'identità, si possono adottare le seguenti tecniche, tenendo ben presenti le identità fondamentali e le formule goniometriche: si lavora per esempio solo sul primo membrio, no a trasformarlo nel secondo o viceversa; si lavora in parallelo sui due membri no a renderli uguali; si porta tutto a primo membro, dimostrando che l'intera espressione è uguale a zero, usando le proprietà delle equazioni

6 L'esperienza e l'attenzione possono indirizzare verso la strada giusta! Vericare le seguenti identità goniometriche: 1. cotg α + 1 sin α = sin α 1 Siano cotg α + 1 sin α il primo membro e naturalmente sin 1 il secondo. α Lavorando sul primo: cotg α + 1 sin α = cos α sin α + 1 sin α = cos α + 1 sin = 1 sin α + 1 α sin = α sin α 1 che è esattamente il secondo membro.. 4. tan α 1 + tan α + cos α cotg α = 1 sin α 1 sin α + 1 = cos α 1 cos α sin α + cos α = tan α tan α sin α cos α cos α + 1 = tan α + tan α 1 + tan α sin 4 α + sin α = cos 4 α cos α ( π ) sin α + cos α + cos( α) sin(π + α) = (sin α + cos α) Applichiamo le formule degli archi associati a primo membro: ( π ) sin α + cos α + cos( α) sin(π + α) = sin α + sin α + cos α + sin α = cos α + sin α che è esattamente il secondo membro 8. sin(π x) cos x cos(π + x) = 1 Applicando le formule degli archi associati a primo membro: che è esattamente il secondo membro cos x( cos x) = sin x + cos x = 1

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