Integrali: non solo aree Unità Problemi di fisica Volumi Solidi geometrici: sezioni e volumi.

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1 Prerequisiti: - Clcolre limiti, derivte e semplici itegrli. - Studio di u fuzioe - Nozioi fodmetli di geometri pi e solid Quest uità o rigurd l Istituto Tecico, settore Ecoomico. Tutte le ltre scuole e ffrotero lo studio ell 5 clsse. OBIETTIVI DI APPRENDIMENTO U volt complett l uità, gli llievi devoo essere i grdo di: - dimostrre le formule del volume di u pirmide e di u solido di rotzioe - utilizzre l itegrzioe el clcolo di volumi si di solidi si di rotzioe si che di solidi o di rotzioe - utilizzre il clcolo itegrle elle ppliczioi ll fisic 74. Prolemi di fisic Volumi Solidi geometrici: sezioi e volumi Medi itegrle Prolemi di ecoomi. U reve sitesi per domde e risposte. Complemeti: il teorem di Pppo-Guldio. Itegrli: o solo ree Uità 74 Mtemtic per le scuole superiori

2 74. PROBLEMI DI FISICA 74.. Giuto questo puto, potresti legittimmete pesre che l itegrle defiito si idetifichi co u re. No è così. Ed i effetti esso può essere riferito che d ltre grdezze, come d esempio grdezze fisiche m che volumi e o solo (). Ed è ciò che desso voglimo mostrre, icomicido d qulche prolem di fisic. Cosiderimo, l rigurdo, u puto mterile P, che si muov su u rett r, su cui si stto fissto u riferimeto crtesio (O,U), e suppoimo ot l legge v=v(t) dell velocità del puto i fuzioe del tempo. Ci propoimo di clcolre lo spzio s percorso dl puto mterile ell itervllo di tempo [,t]. Suppoimo, però, per semplicità, che ell istte il puto mterile si trovi i O e che ell itervllo di tempo cosiderto o ci sio iversioi di moto, vle dire che il moto di P vveg sempre ello stesso verso, per esempio el verso ssuto come positivo su r. Ciò equivle dire che, ell itervllo [,t], l velocità di P è o egtiv; ossi v(t). Suddividimo l itervllo [,t] i u umero ritrrio di itervlli przili [ti,i] (i=,2,, e t=, t=t) e suppoimo che gli itervlli io mpiezze uguli Δt=t/. Idichimo co v i ed V i rispettivmete l velocità miim e l velocità mssim di P ell itervllo di tempo [ti,i]. I due prodotti viδt ed ViΔt rppreseto, ell itervllo di tempo [ti,i], gli spzi percorsi d due puti mterili che si muovoo co velocità costti di vlori vi ed Vi rispettivmete. Se, or, idichimo co Δs i lo spzio percorso d P ell itervllo di tempo [ti,i], si h: viδt Δsi ViΔt e quidi: i= v i t s i= V i t.. Siccome l fuzioe v(t) è, per su stess tur, cotiu ell itervllo [ti,i], vviee che (qudo + ) le due somme i= v i t e i= V i t tedoo d uo stesso limite fiito. Questo è proprio lo spzio s percorso dl puto P ell itervllo di tempo [,t]: s = lim i= v i t = lim V i t. Osservimo poi che, se v t i rppreset l velocità di P i u ritrrio istte dell itervllo [ti,i], risult: vi v t i Vi e perciò: vi t v t i t Vi t, d cui segue: È, pertto: i= v i t s = lim i= i= v t i t v t i t i= i= V i t. t = v t dt. Possimo così cocludere che il procedimeto seguito per risolvere il prolem di fisic cosiderto è ugule quello seguito per risolvere il prolem delle ree U esercizio può essere utile compredere meglio quest questioe prticolre. Il cocetto potree essere riferito pure d u lughezz, m csi che molto semplici di lughezze curviliee comporto difficoltà cosiderevoli, perciò preferimo o trttre. Chi proseguirà gli studi i corsi di lure i cui l mtemtic svolge u ruolo importte vrà modo di occuprsi che di questo. 2 Mtemtic per le scuole superiori

3 ESERCIZIO. U puto mterile si muove su u rett (su cui è fissto u riferimeto crtesio) i modo che d ogi istte t l su velocità si espress dll legge: v=2t+. Clcolre l posizioe x occupt dl puto mterile el geerico istte t, spedo che ell istte esso occup l posizioe x=. RISOLUZIONE. L posizioe x occupt dl puto mterile el geerico istte t è, i effetti, lo spzio d esso percorso ell itervllo di tempo [,t]. Siccome x= [,t] vdt llor: x= [,t] (2t+)dt e quidi, coti ftti: x=t 2 +t Il procedimeto è cor il medesimo qudo si voglioo risolvere questi ltri prolemi: Clcolre il lvoro compiuto d u motore i u determito itervllo di tempo, qudo è ot l legge P=P(t), dove P è l potez sviluppt dl motore ell istte t. Clcolre l qutità di elettricità che ttrvers u sezioe di u coduttore i u determito itervllo di tempo, qudo è ot l legge i=i(t), dove i è l itesità di correte che percorre il coduttore ell istte t. Adesso u pio di prolemi su specifiche questioi di Fisic: ) U puto mterile si muove di moto rettilieo co velocità v che, el geerico istte t, è espress dll seguete formul: v=v +t, dove è l ccelerzioe. Dimostrre che l su velocità medi v m ell itervllo di tempo [,t] è dt dll seguete formul: v m = v + v t. 2 Ti ricordimo che, per defiizioe, l velocità medi i u dto itervllo di tempo è il rpporto fr il cmmio percorso i quell itervllo ed il tempo impiegto percorrerlo. 2) Ammesso che p si l pressioe dell tmosfer l livello del mre e p h si l pressioe ll ltezz h di qulche cetiio di metri ed mmesso ioltre che m si l mss specific dell ri l livello del mre e g si l ccelerzioe di grvità, dllo studio dell Fisic si s che risult: Trovre l espressioe di p h i fuzioe di h. h = p m g p h dp p p. R. p h = p e m g h p 74.2 VOLUMI Ache il clcolo dei volumi poggi sul clcolo itegrle. M per questo è ecessrio ripredere il discorso prtedo proprio dlle ree. Ricordimo llor che: f x dx = lim i= f x i x. Or, i effetti, qudo e perciò l mpiezz x degli itervlli i cui è suddiviso l itervllo [,] tede divetre ifiitmete piccol, f x i tede coicidere col vlore f(x) che l fuzioe ssume el geerico puto x dell itervllo ifiitesimo [xi, xi]: dicimo pure che il geerico ddedo fiito f x i x tede d ssumere il vlore ifiitesimo f(x)dx. Nello stesso tempo, gli ddedi dell somm post sotto il sego di limite diveto i umero ifiito. I ltri termii: f x dx è u mo- Mtemtic per le scuole superiori 3

4 do coveziole di idicre «l somm, estes ll itervllo [,], degli ifiiti elemeti ifiitesimi f(x)dx». E i effetti, il simolo o è ltro che u s llugt, dove s st pputo per somm. Iteso l itegrle i questo seso, per il clcolo dell re S(T) del trpezoide T di se [,] reltivo ll fuzioe f(x) si può ipotizzre il seguete procedimeto (Fig. ): si clcol dpprim l re ifiitesim (o elemetre) ds=f(x)dx; l re S(T) è l somm di questi ifiiti elemeti ifiitesimi, estes ll itervllo [,], vle dire, per l pputo: S T = f x dx. FIG. Quest ide è ripres el clcolo di misure diverse dlle ree ed i prticolre el cso dei volumi L ppliczioe del clcolo itegrle i volumi permette di dimostrre l formul del volume dell pirmide e di trovre u per il volume di u geerico solido di rotzioe. VOLUME DELLA PIRAMIDE. Cosiderimo u pirmide, l cui se i re A e l cui ltezz si h (Fig. 2). Il suo volume V può essere pesto come l somm di ifiiti elemeti ifiitesimi dv, il geerico dei quli si ottiee itersecdo l pirmide co uo strto di ltezz ifiitesim dx, delimitto d due pii prlleli ll se. (2) Sicché dv può essere cosiderto come il volume di u prism di ltezz dx e se S(x), dove S(x) è l re dell sezioe dell pirmide co uo dei due pii che delimito lo strto. Duque: dv=s(x)dx, e di coseguez: h V = S x dx. D ltr prte, per u oto teorem sulle sezioi prllele di u goloide, risult: pertto: S x A V = A h 2 = x2 h 2, ossi: S x = A h 2 x2 ; h x2 dx = A x3 h h 2 = 3 3 A h. 2 Lo strto è pputo l prte di spzio compres fr due pii prlleli l cui distz è l ltezz dello strto. 4 Mtemtic per le scuole superiori

5 FIG. 2 FIG. 3 VOLUME DI UN SOLIDO DI ROTAZIONE. Cosiderimo il solido otteuto fcedo ruotre di u giro completo itoro ll sse x l superficie delimitt dll curv di equzioe y=f(x) (cotiu e o egtiv per x ), dll sse x e dlle rette x= ed x= (Fig. 3). Il suo volume è espresso dll formul seguete: V = π f x 2 dx. DIMOSTRAZIONE. Il rgiometo o è dissimile d quello esposto proposito del volume dell pirmide. Ache desso, iftti, si può cosiderre V come somm di ifiiti elemeti ifiitesimi dv, il geerico dei quli si ottiee itersecdo il solido co uo strto di ltezz ifiitesim dx, delimitto d due pii perpedicolri ll sse x. Sicché dv può essere riteuto il volume di u cilidro di ltezz dx e se di re S(x), dove S(x) è l re dell sezioe del solido co uo dei due pii che delimito lo strto. Duque: dv=s(x)dx, e, di coseguez, esttmete come per l pirmide: V = h S x dx. D ltr prte l sezioe suddett è il cerchio otteuto itersecdo il solido co il pio perpedicolre ll sse delle scisse, codotto per il puto di sciss x; di modo che il suo rggio è f(x). Duque: S x =π f x 2. Per cui è dimostrt l formul precedete. Come ppliczioe dell formul del volume di u solido di rotzioe si possoo dimostrre le formule dei volumi del cilidro, del coo, del troco di coo, che suo tempo imo spiegto co cosiderzioi di tipo ituitivo: lscimo questo compito te per esercizio. OSSERVAZIONE. Se l superficie i esme ruot di u golo di α rditi (co <α 2π), il volume V descritto d ess è ugule d α del volume che si vree se l rotzioe fosse complet, ovvimete 2π sempre che l rotzioe vveg itoro ll sse x. Rgio per cui esso è dto dll seguete formul: V = α 2 f x 2 dx. OSSERVAZIONE 2. Suppoimo che l fuzioe y=f(x) si ivertiile ell itervllo [,] e che l su fuzioe ivers si x=f y. Se si cosider l superficie delimitt dl grfico dell fuzioe, dll sse y e dlle rette y=f() ed y=f(), mmesso che tle superficie o ttrversi l sse y, il volume V del solido geerto d ess i u rotzioe complet itoro ll sse y (Fig. 4) è: Mtemtic per le scuole superiori 5

6 V = π f() f() f y 2 dy. FIG. 4 FIG. 5 OSSERVAZIONE 3. Se l superficie delimitt dll curv di equzioe y=f(x), dll sse x e dlle rette x= ed y=, co <, ruot di u giro completo itoro ll sse y, mmesso che tle superficie o ttrversi l sse y, il volume V del solido otteuto è dto dll seguete formul: V = 2π x f x dx. Dimostrimo quest formul el cso prticolre i cui l fuzioe f(x) si mteg positiv ell itervllo [,], per cui, i tle itervllo: f(x) =f x, m ess è vlid i geerle. Icomicimo d osservre che il solido i questioe (Fig. 5) è costituito dl cilidro geerto dl rettgolo OBDK (il cui volume è π 2 f()), icvto dl cilidro geerto dl rettgolo OACH (il cui volume è π 2 f()) e dl solido geerto dl qudriltero mistilieo HCDK. Il volume V di quest ultimo solido si può cosiderre come somm di ifiiti elemeti ifiitesimi dv, il geerico dei quli si ottiee itersecdo il solido co uo strto di ltezz ifiitesim df(x), delimitto d due pii perpedicolri ll sse y. Siccome dv=πx 2 df(x), llor V=π x 2 df(x). Or, itegrdo per prti questo itegrle (f.f.=x 2, f.d.=df(x)), si trov: x 2 df(x) = x 2 f x 2 x f x dx. Pertto: x 2 df(x) = x 2 f(x) 2 x f x dx I defiitiv, il volume V è tle che: = 2 f 2 f 2 x f x dx. V = π 2 f π 2 f π 2 f 2 f 2 x f x dx = 2π x f x dx. VOLUME DELLA SFERA. Sppimo che il volume dell sfer è dto dll seguete formul: V = 4 3 πr3. DIMOSTRAZIONE. A suo tempo imo forito soltto u spiegzioe dell formul st sul pricipio di Cvlieri (3). Adesso forimo u dimostrzioe st sul clcolo itegrle. U sfer di rggio ssegto r può essere cocepit come il solido geerto dll rotzioe complet di u semicerchio di rggio r itoro l suo dimetro, il che equivle dire che può essere cocepit 3 Cfr.: Uità 49, prgrfo Mtemtic per le scuole superiori

7 come il doppio dell semisfer geert d u rotzioe complet di u qurto di cerchio itoro d uo dei rggi che lo delimito. Or, ssumedo come riferimeto crtesio (Oxy) quello che h l origie el cetro del cerchio, e come ssi due dimetri perpedicolri, il qudrte di cerchio che ci iteress è quello situto el primo qudrte degli ssi. L su equzioe è l seguete: y = r 2 x 2, co x r. Il volume dell sfer di rggio r è, pertto: r V=2π r 2 x 2 dx =2π r 2 x x3 r =2π r 3 r3 3 3 = 4 3 πr3. Semplice e rpido. PARTI DELLA SFERA. Cosiderimo il settore circolre di cetro O ed rco AB (Fig. 6). Si OM il rggio perpedicolre ll cord AB e si H il puto itersezioe delle due rette OM e AB. Evidetemete l rett OM è sse di simmetri per l figur. FIG. 6 Il settore circolre OAB, ruotdo di mezzo giro itoro ll rett OM, geer u solido, chimto settore sferico. Nell stess rotzioe il segmeto circolre AMB geer u solido chimto segmeto sferico d u se. Esso può essere iterpretto che come ciscu delle due prti i cui u sfer è divis d u pio. Il segmeto HM si chim ltezz del segmeto sferico d u se. Si chim, ivece, segmeto sferico due si l prte di sfer compres fr due pii prlleli, l distz dei quli è l su ltezz. IL SOLIDO IPERBOLICO ACUTISSIMO. Merit prticolre mezioe, lmeo sul pio storico, il solido otteuto fcedo ruotre di u giro completo itoro d u sitoto l regioe pi compres fr u rmo d iperole equilter, l sitoto medesimo ed u rett che tgli quel rmo e si perpedicolre ll sitoto (Fig. 7). Questo solido, pur di dimesioi ifiite, h volume fiito ed è il primo esempio dell stori co tli crtteristiche. Questo fu scoperto d Evgelist Torricelli, il qule, sez scodere u sort di mmirzioe, chimò quel solido solido iperolico cutissimo. Co u liguggio ed u procedimeto oi più cogeile, e comuque diverso m più semplice di quello seguito d Torricelli, supposto che l iperole i equzioe y=k/x, co k>, e che l rett i equzioe x=, le cose vo el modo seguete: V = π + k x 2 dx = πk 2 lim t + t x dx = πk 2 lim 2 t + t x = πk 2 lim t + t + = πk2. Mtemtic per le scuole superiori 7

8 ESERCIZI E PROBLEMI. FIG. 7. Cosiderto il segmeto sferico d u se, di ltezz h, ricvto i u sfer di rggio r, dimostrre che il suo volume è: V = 3 πh2 3r h. Dimostrre, ioltre, che il settore sferico corrispodete h volume V tle che: V = 2 3 πr2 h. 2. I u semicircoferez di dimetro AB è trccit l cord PQ prllel d AB. Il segmeto circolre d u se, delimitto d quest cord e dll semicircoferez, geer, i u rotzioe complet itoro ll rett AB, u solido vete l form di u sfer uct. Dimostrre che questo solido è equivlete d u sfer di dimetro PQ. 3. Il grfico γ dell fuzioe f(x), disegto i u pio crtesio ortogole (Oxy), è composto dll semicircoferez ACB, dove A(,), B(2,), C(,2), e dll rco di prol BV, vete l sse prllelo ll sse y e vertice el puto V(3,). ) Esplicitre l fuzioe f(x) e stilire se è derivile ell itervllo ],3[. ) L regioe di pio delimitt dl grfico γ e dgli ssi coorditi geer, ruotdo di u giro completo itoro ll sse x, u solido: clcolre il volume. 4. Si cosideri l seguete fuzioe f(x) defiit su tutto R: x per x f x = 2 x2 + per x > ) Studirl rispetto ll cotiuità e derivilità. ) Disegre il grfico dell fuzioe i u pio riferito d u sistem di ssi crtesii ortogoli (Oxy). c) L regioe fiit di pio delimitt dl grfico dell fuzioe e dll rett di equzioe y=2 geer, i u rotzioe complet itoro ll sse x, u solido: clcolre il volume. 5. Il rggio di se e l ltezz di u coo circolre retto soo lughi rispettivmete m e 4/3 m. U pio, codotto per il cetro dell se del coo prllelmete d u su geertrice, divide il coo i due prti. Clcolre i loro volumi pprossimti d dm 3, medite u idoeo softwre mtemtico. [R.,52 m 3,,894 m 3 ] 8 Mtemtic per le scuole superiori

9 6. Due rette, r ed s, si seco formdo goli di 45. Le due rette soo gli sitoti di u iperole coteut i tli goli. U rett t, perpedicolre ll rett r e tgete ll iperole, form co le rette r ed s u trigolo di re 2. Dopo ver riferito il pio dell figur d u coveiete sistem di ssi crtesii (Oxy): ) determire l equzioe dell rett t; ) trovre l equzioe dell iperole e disegre l dmeto; c) l rett z, codott prllelmete ll rett s per il puto i cui si seco r e t, delimit co l iperole e l rett t u regioe fiit R di pio. Clcolre il volume del solido geerto d tle regioe R qudo ruot di u giro completo itoro ll rett t. R. ; V= π 4π l Nel pio, riferito d u sistem di ssi crtesii ortogoli (Oxy), soo ssegte le curve di equzioi: x y = x x 2 + e y = x 2 +. ) Posto che si u qulsisi umero rele positivo, clcolre: x x x 2 + dx e x 2 + dx. ) Clcolre l re dell regioe R delimitt dlle due curve e dll rett di equzioe x=. c) Clcolre il volume del solido geerto dll regioe R qudo ruot di u giro completo itoro ll sse x. R. ) ; ) 2 2 ; c) π 3 6 5π Nel pio, riferito d u sistem moometrico di ssi crtesii ortogoli (Oxy), si cosideri l regioe R delimitt dll sse x e dll prol di equzioe: y=4 x 2. Si clcoli il volume del solido geerto dll rotzioe di mezzo giro di R ttoro ll sse y. 9. Nel pio, riferito d u sistem di ssi crtesii ortogoli (Oxy), si cosideri l regioe R delimitt dll curv di equzioe y=x 2 x 2 +, dll sse x e dll rett di equzioe x= 3. Si clcoli il volume del solido geerto d u rotzioe complet di R itoro ll sse y. R. Per il clcolo dell ' itegrle si suggerisce il metodo d ' itegrzioe per prti, poedo: f.f.=x 2, f.d.=x x 2 +; V=6π/5. Nel pio, riferito d u sistem moometrico di ssi crtesii ortogoli (Oxy), si cosideri l regioe fiit di pio, delimitt dll rett di equzioe y= e dll prol di equzioe y= x 2. Clcolre il rpporto fr i volumi dei solidi geerti dll regioe suddett qudo ruot di u giro completo u prim volt itoro ll sse x ed u secod volt itoro ll sse y. [R. ]. Nel pio, riferito d u sistem moometrico di ssi crtesii ortogoli (Oxy), si cosideri l regioe fiit di pio, delimitt dll sse x e dll cuic di equzioe y=x 2 x 2. Clcolre il rpporto fr i volumi dei solidi geerti dll regioe suddett qudo ruot di u giro completo u prim volt itoro ll sse x ed u secod volt itoro ll sse y. [R. 8/2] 2. Nel pio, riferito d u sistem moometrico di ssi crtesii ortogoli (Oxy), si cosideri l regioe fiit di pio, delimitt dll sse x e dll curv di equzioe y= si x, co x π. Stilire se soo grdezze commesurili i solidi geerti dll regioe suddett qudo ruot di u giro completo u volt itoro ll sse x ed u volt itoro ll sse y. Mtemtic per le scuole superiori 9

10 3. Soo dti u cerchio di cetro O e rggio 5 e u prol vete il vertice i O e distz focle 9/6. L prol divide il cerchio i due regioi, l miore delle quli, ruotdo di mezzo giro itoro ll sse dell prol, geer u solido: clcolre il volume. [R. 68π/3] 74.3 SOLIDI GEOMETRICI: SEZIONI E VOLUMI L modlità di seziore u solido e di clcolre il volume fcedo vrire opportumete l sezioe otteut è u prtic che permette di risolvere iteressti prolemi, i cui si h che fre co figure geometriche piuttosto stre. Bisog dire che prolemi di tl geere soo stti ssegti egli ultimi i gli Esmi di Stto di Liceo Scietifico. Ce e voglimo occupre, presetdo l risoluzioe di lcui di tli prolemi e propoedo te l risoluzioe di lcui ltri. PROBLEMA. U solido h per se u cerchio di rggio. Ogi sezioe del solido otteut co u pio perpedicolre d u prefissto dimetro è u trigolo equiltero. Si clcoli il volume del solido. [È trtto dll esme di Stto 28, idirizzo sperimetle, sessioe ordiri] RISOLUZIONE. Fissto u dimetro del cerchio di cetro O, si idic co x l distz d O del puto i cui u geerico pio perpedicolre tle dimetro lo itersec. Ovvimete x. Il lto del trigolo equiltero sezioe del pio col solido i questioe è perciò 2 x 2 e l ltezz di tle trigolo è, di coseguez, 3 x 2. Ne discede che l re del trigolo è A x = 3 x 2. Il volume V del solido è pertto, per ovvie rgioi di simmetri: V=2 3 x 2 dx =2 3 x x3 = Co u po di immgizioe, si può vedere il solido (Fig. 8): l su se è turlmete il cerchio di rggio ; l itersezioe del solido col pio coteete il dimetro AB prefissto è l uioe di due rchi di circoferez simmetrici rispetto l pio perpedicolre d AB el cetro O dell circoferez ssegt. Precismete, chimto V il puto situto sull rett perpedicolre i O l pio dell circoferez se, ll distz 3 d tle pio, u rco è l rco VA dell circoferez vete il cetro i B e l ltro è l rco VB dell circoferez vete il cetro i A. I segmeti veti per estremi u puto di uo dei due rchi e u puto dell circoferez se, situti sullo stesso pio perpedicolre l solito dimetro, presi el loro isieme, formo l superficie lterle del solido. FIG. 8 FIG. 9 Mtemtic per le scuole superiori

11 PROBLEMA 2. Il rggio di se e l ltezz di u coo circolre retto soo lughi rispettivmete m e 4/3 m. U pio, codotto per il cetro dell se del coo prllelmete d u su geertrice, divide il coo i due prti. Clcolre i loro volumi, dopo ver verificto che u primitiv dell fuzioe x 3 2 x è: 6 x 2 x x 2x2 x 3 + si 2. RISOLUZIONE. Cosiderto il coo di vertice V e dimetro di se AB (Fig. 9), il pio α, codotto per il cetro O dell se prllelmete ll geertrice VB, sec il coo secodo u segmeto prolico. Lo stesso ccde se si coduce u pio prllelo l primo per u geerico puto P del rggio OA: si ottiee il segmeto prolico di se RS ed ltezz PQ. Posto AP=x, l vrire di x d d, questo secodo segmeto prolico K descrive u solido, che è esttmete u delle due prti i cui il pio α divide il coo. Il volume V di questo solido è A x dx, essedo A(x) l re del segmeto prolico K. Si trov: A x = x x. Siccome, come puoi verificre d te, u primitiv dell fuzioe x 3 2 x è: 6 x 2 x x 2x2 x 3 + si 2, risult: V ' = 9 6 x 2 x 2x2 x 3 + si x 2 = 5π 8 27,52 dm3. D ltro cto, il volume del coo è V= 4π 9 dm3, per cui il volume V dell ltr prte di coo è: V"= 4π 9 V'= 4π 9 5π 8 27 = 3π ,894 dm3. PROBLEMA 3. I grfici dell fuzioe y=x 3, co x, e dell su ivers, ssegti i u sistem di ssi crtesii ortogoli (Oxy), delimito u regioe D. ) Si clcoli l re di D. ) L regioe D è l se di u solido W le cui sezioi co pii perpedicolri ll isettrice del primo qudrte soo tutte rettgoli di ltezz 2. Si determii l sezioe di re mssim. Si clcoli il volume di W. [Ispirto ll esme di Stto 29, idirizzo sperimetle, sessioe ordiri] RISOLUZIONE. ) U volt disegto il grfico dell fuzioe y=x 3 3, co x, quello dell su ivers, y= x, si ottiee riltdo il primo rispetto ll isettrice del qudrte, y=x (Fig. ). L re dell regioe D, sempre per rgioi di simmetri, è il doppio dell re delimitt dl primo grfico e dll rett y=x. Vle dire: Are D = 2 x x 3 dx = 2 x2 2 x4 = 4 2. ) Il solido W, vete per se l regioe D e ltezz h=2, è rppresetto i figur. Il suo volume è evidetemete: Mtemtic per le scuole superiori

12 V = Are D h = 2 = 6. 2 FIG. FIG. L sezioe rettgolre PQRS è mssim qudo è mssim l su se PQ ossi qudo P si trov el puto di mssim distz dll rett y=x, il che si verific qudo P si trov ell posizioe T, puto di cottto dell curv y=x 3 co l tgete d ess prllel ll rett y=x. Per trovre tle posizioe T coviee ritorre ll figur origiri, complett co l tgete suddett (Fig. 2). FIG. 2 Si trov gevolmete che il puto T h coordite 6. Ne cosegue che l sezioe rettgolre ms- d= 6. Rgio per cui il mssimo vlore di PQ è sim h re: 3, e che l su distz dll rett y=x è S= = PROBLEMA 4. Nel settore circolre AOB, il rggio OA è lugo 2 e l golo AÔB misur 6. Il settore è l se di u solido W le cui sezioi otteute co pii ortogoli d OB soo tutte qudrti. Si clcoli il volume di W. [Ispirto ll esme di Stto 29, idirizzo scietifico, sessioe ordiri] 2 Mtemtic per le scuole superiori

13 RISOLUZIONE. Coviee riferire il pio dell figur d u sistem di ssi crtesii ortogoli, i modo che l origie coicid co il cetro O del settore e l sse x co l rett OB oriett d O verso B ed i modo che il puto A cd el primo qudrte (Fig. 3). FIG. 3 FIG. 4 Il rggio OA h llor equzioe y=x 3, co x, metre l rco AB h equzioe y = 4 x 2, co <x 2. Ne cosegue che l re del qudrto sezioe del solido W co u geerico pio perpedicolre d OB (sse x) è: A x = 3x2 se x 4 x 2 se <x 2 Cosiderto che il volume V del solido W è V = [,2] A(x)dx, si h: V = 2 3x 2 dx + 4 x 2 dx = 8 3. L figur 4 è u rppresetzioe pi del solido W PROBLEMI.. Soo dte l circoferez C di dimetro AB lugo 2k, dove k è u lughezz ssegt, e l circoferez C vete AB cor come dimetro m situt i u pio perpedicolre quello coteete C. Idicto co H u geerico puto di AB e codotto per H il pio perpedicolre d AB, sio P, Q i puti i cui esso itersec l circoferez C e R, S quelli i cui itersec C. ) Dimostrre che il qudriltero PRQS è u qudrto, idipedetemete dll posizioe di H. ) Metre H vri, descrivedo il dimetro AB, il qudriltero PRQS descrive u solido. Clcolre il volume. c) Determire per qule misur del dimetro delle circofereze il volume trovto è ugule 72 cm 3. [R. ; 8k 3 /3; c 2. Nel pio, riferito d u sistem (Oxy) di coordite crtesie, sio ssegte le prole di equzioi: y 2 =2x e x 2 =y. Idicto co A il puto i cui s iterseco le due prole, oltre che i O, si chimi D l prte di pio delimitt dgli rchi delle due prole di estremi O ed A. ) Si determii l rett r, prllel ll sse x, che stcc su D il segmeto di lughezz mssim. ) Si cosideri il solido W otteuto dll rotzioe di D itroo ll sse x. Se si tgli W co pii ortogoli ll sse x, qule form ho le sezioi otteute? Si clcoli il volume di W. [Ispirto ll esme di Stto 2, idirizzo scietifico, sessioe ordiri] 3 R. ) y= 2 2 ; ) 3 5 π Il settore circolre AOB, qurt prte di u cerchio di cetro O e rggio, è l se di u solido Σ le cui sezioi, otteute co pii perpedicolri d OA, soo tutte qudrti. ) Clcolre il volume di Σ. Mtemtic per le scuole superiori 3

14 ) Clcolre per qule vlore di questo volume è 3 3 m 3. R. ) ; ) 3 4. È dto u segmeto prolico, l cui se AB è perpedicolre ll sse dell prol ed è lug 2r, dove r è u lughezz ssegt. L distz del vertice dell prol dll rett AB è r. Nel pio perpedicolre l pio dell prol e coteete l rett AB è codott, d u distz r d AB, l rett s prllel d AB. Idicto co H u geerico puto del segmeto AB, si coduc per H il pio perpedicolre d AB e si chimio P e Q i puti i cui esso itersec rispettivmete l rett s e l prol. ) Metre il puto H vri descrivedo il segmeto AB, il trigolo HPQ descrive u solido. Clcolre il volume. ) Determire l re del segmeto prolico el cso i cui il volume trovto si 44 cm 3. [R. ) 2r 3 /3; ) 48 cm 2 ] 5. Nel pio, riferito d u sistem di ssi crtesii ortogoli (Oxy), è ssegt l regioe R sotto il grfico dell fuzioe y=k/x, dove k è u umero rele positivo, reltiv ll itervllo,3. U solido è tle che u geerico pio perpedicolre ll sse x lo itersec secodo u rettgolo vete u lto coicidete co l sezioe di co R e u ltro lto di lughezz doppi. Clcolre: ) il volume di ; ) il volume del solido geerto dll regioe R i u rotzioe complet itoro ll sse x; c) il volume del solido geerto dll regioe R i u rotzioe complet itoro ll sse y. R. ) 4 3 k2 ; ) 4kπ; c) 2 3 k2 π 6. Nel pio, riferito d u sistem di ssi crtesii ortogoli (Oxy), è ssegt l regioe R sotto il grfico dell fuzioe y= si x, reltiv ll itervllo, π. U solido è tle che u geerico pio 2 perpedicolre ll sse x lo itersec secodo u rettgolo vete u lto coicidete co l sezioe di co R e u ltro lto di lughezz cos x. Clcolre: ) il volume di ; ) il volume del solido geerto dll regioe R i u rotzioe complet itoro ll sse x; c) il volume del solido geerto dll regioe R i u rotzioe complet itoro ll sse y. R. ) 2 π2 ; ) ; c) 2π 4 7. Si l prol di vertice V e distz focle 3 L, essedo L u lughezz ssegt. L su cord 4 AB, perpedicolre ll sse dell prol, idividu u segmeto prolico di re 2L 2. ) Clcolre le lughezze dell cord AB e dell distz VH di V d ess. ) Il segmeto prolico si l se di u solido Σ, ogi sezioe del qule, otteut co u pio perpedicolre ll sse dell prol, si u trigolo equiltero. Clcolre il volume di. R. ) AB=6L, VH=3L; ) V=3L 3 t dt 8. È dt u ellisse di semissi, (>). Ess è l se di u solido Σ, ogi sezioe del qule, otteut co u pio perpedicolre ll rett dell sse mggiore dell ellisse, si u qudrto. Clcolre il volume di Σ. 3L R Nel pio, riferito d u sistem di ssi crtesii ortogoli (Oxy), è ssegt l prol di equzioe: x 2 2x + 4y =. ) Clcolre l re dell regioe fiit R di pio delimitt d ess e dll sse x. 4 Mtemtic per le scuole superiori

15 ) Clcolre il volume del solido geerto dll regioe R qudo ruot di u giro completo itoro ll sse y. c) L regioe R è l se di u solido Σ, ogi sezioe del qule co u pio α perpedicolre l pio dell prol e prllelo ll sse x è u trpezio rettgolo. E precismete l se mggiore del trpezio è l cord itersezioe del pio α co l prol, l se miore è lug l metà dell mggiore e il lto perpedicolre lle si è lugo quto l se mggiore e pss per u puto dell rco OV dell prol, essedo V il suo vertice. Clcolre il volume di Σ. R. ) 3 ; ) 2 3 π ; c) 3 8. I u cerchio è trccit l cord AB lug 8, essedo u lughezz ssegt. Si pred u puto C itero d ess i modo che l cord DE, psste per C, idividui due trigoli, CAD e CEB, uguli e rettgoli rispettivmete i A e i E.. A) Determire l fuzioe f(x) che esprime l re del trigolo CAD i fuzioe dell lughezz x del segmeto AC. B) Trovre l posizioe di C per l qule il trigolo CAD h re mssim. C) Trovre l posizioe di x per l qule il trigolo CAD h re A) I u pio, riferito d u sistem di ssi crtesii ortogoli (Oxy), disegre il grfico G dell fuzioe f(x) trovt sopr. B) Clcolre l re dell regioe fiit di pio delimitt dl grfico G e dll sse x. C) Quest regioe di pio è l se di u solido Σ, ogi sezioe del qule, otteut co u pio perpedicolre ll sse x è u qudrto: clcolre il volume di Σ. R. A) f x =2x 4 x, co <x<4, B) AC= 8 256, C) 2 sol.: ; 2A), 2B) 3 5 2, 2C) MEDIA INTEGRALE Suppoimo che u fuzioe f(x) si defiit ei puti x, x2,, x di u determito itervllo [,]. I vlori ssuti d f(x) soo llor: f(x), f(x2,, f x). H seso clcolre l medi ritmetic dei vlori f x i e sppimo che è ugule l rpporto fr l loro somm i= f x i ed il loro umero, vle dire, idicdo co μ tle medi: μ = i= f x i Quest relzioe può essere scritt el seguete modo equivlete: μ = i=. f x i Or, qudo, l qutità tede e può essere idetifict co il differezile dx, metre f x i tede l vlore f(x) ssuto dll fuzioe i u geerico x dell itervllo [,]. Rgio per cui l sommtori idic l somm di ifiiti elemeti ifiitmete piccoli f x dx. Cosicché, posto che f(x) si itegrile su [,], l sommtori, qudo, tede f x dx. Possimo scrivere perciò: μ = f x dx. Questo umero μ si chim medi itegrle (o che vlor medio) di f(x) i [,].. Mtemtic per le scuole superiori 5

16 Ne possimo dre u semplice iterpretzioe geometric. Bst riflettere sul ftto che f x dx, cioè l re del trpezoide di se [,] reltivo ll fuzioe f(x), i se ll formul precedete è u- gule μ( ), vle dire ll re del rettgolo di se [,] ed ltezz μ. L medi itegrle μ di f(x) i [,] è pertto l ltezz di u rettgolo (Fig. 5) vete se [,] ed equivlete l trpezoide reltivo d f(x), vete l stess se. I figur evidetemete le due regioi omreggite, A e B, soo equivleti. FIG. 5 Ache u iterpretzioe fisic può essere iteresste. Si l rigurdo v=v(t) u fuzioe esprimete l velocità istte di u corpo i movimeto rispetto l tempo t, cotiu i u determito itervllo [,]. L itegrle v t dt rppreset, com è oto, il cmmio percorso dl corpo ell itervllo di tempo [,]. Per cui il vlore medio di v(t) i [,], cioè v t dt, vle dire il rpporto fr il cmmio percorso e l itervllo di tempo impiegto percorrerlo, rppreset l velocità medi del corpo ell itervllo di tempo [,]. OSSERVAZIONE. Si s=s(t) l legge orri di u moto che si svolge sez soste d u posizioe A, occupt ell istte, d u posizioe, occupt ell istte. L legge dell velocità del moto ell itervllo [,] è v=s t ed è certmete cotiu i tle itervllo. Di modo che l velocità medi v m i tle itervllo è: v m = s t dt = s(t) = s s(). D ltro cto, i virtù del teorem di Lgrge, esiste u istte t, tle che v m =s' t. Di coseguez, per quell istte t si h: s t = s t dt. No per iete, com è oto, il teorem di Lgrge è detto pure teorem del vlor medio. Più i geerle, vle l seguete proprietà delle fuzioi cotiue, che v sotto il ome di teorem dell medi itegrle: Se f(x) è u fuzioe cotiu i u determito itervllo [,], esiste u puto c ],[ tle che: f c = f x dx Ti propoimo lcui esercizi.. Clcolre l medi itegrle dell fuzioe f(x) ell itervllo [,], spedo che: ) f(x)=x, =, =; ) f(x)= cos x, =, =π; c) f(x)= x, =, =. + x 6 Mtemtic per le scuole superiori

17 2. Clcolre l medi itegrle dell fuzioe f(x) ell itervllo [,], spedo che: ) f x = x 2 x 3 2 4, =, = ; ) f x = x 3 x 2 2 4, =, =. 3. Si suppog che l velocità di u mre si u fuzioe siusoidle del tempo co periodo 2 ore. Spedo che è di 5 km/h l velocità mssim dell mre, clcolre l su velocità medi elle prime 6 ore. [R. 3,8 km/h] 4. È ssegt l fuzioe: x f x = cos t Si trovi il vlor medio di f ' x sull itervllo, 2π. [Trtto dl tem ssegto gli esmi di Stto 23, idirizzo scietifico, sessioe ordiri] 5. U puto mterile si muove su u triettori rettilie secodo l seguete legge orri: s t = t dt. si 2t dt, dove t è misurto i secodi ed s i metri. Si trovi l su velocit{ medi ell itervllo di tempo che v d secodi π/2 secodi. 6. È ssegt l fuzioe: f t = si 2 2π T t. R. 2 π m/s Si trovi il suo vlor medio sull itervllo [,T]. R. / PROBLEMI DI ECONOMIA (4) È oto che, i regime di cpitlizzzioe compost e cotiu, il motte M di u cpitle C, ivestito l tsso uo i, dopo t i è: M = C e i t, dove e è il umero di Nepero. Questo se il tsso i è costte el tempo. Se però i è u fuzioe del tempo, i=i(t), llor M deve cosiderrsi come l somm di ifiiti elemeti ifiitesimi dm, tli che: dm = C e i t dt. Rgio per cui, dopo t i e teedo presete che ll o è M=C; si h: M = C e t i t dt. Per esempio, se i=t+, llor, essedo: risult: t t + dt = 2 t2 + t. M = C e 2 t2 +t. 4 Questo prgrfo rigurd i prticolre il Liceo delle Scieze ume, opzioe Ecoomico-socile, ed ioltre l idirizzo Trsporti e Logistic e l idirizzo Agrri, Agrolimetre e Agroidustri dell Istituto Tecico, settore Tecologico. Mtemtic per le scuole superiori 7

18 D qui, come cso prticolre, se = e =i, si ritrov turlmete l legge dll qule imo preso le mosse È oto che il costo totle C t ffrotto d u impres per produrre u determit merce è u fuzioe dell qutità x di merce prodott: C t =C t x. A su volt, il costo mrgile C m(x) è l derivt del costo totle rispetto d x: C m x = dc t x dx e pertto: dc t x = C m x dx. Rgio per cui, per u qutità idetermit x di merce si h: C t x = C m x dx. Per esempio, ci propoimo di trovre l fuzioe costo totle, spedo che C m x =2x 5. Si h: C t x = 2x 5 dx = x 2 5x + c. Se poi si suppoe che si C t x =2 per x=, llor si trov c=2 e pertto l fuzioe del costo totle è: C t x = x 2 5x Ti propoimo qulche esercizio.. U cpitle di 25., ivestito l tsso uo dell,75% per 4 i, produce l iteresse: ) I i regime di cpitlizzzioe compost semestrle; ) I 2 i regime di cpitlizzzioe compost e cotiu. I 2 è mggiore o miore di I? Di quto? [R. ; 8,6] 2. U cpitle C, impiegto i regime di cpitlizzzioe compost qudrimestrle l tsso uo dell,8% per 5 i, produce u motte di 5.. Per produrre lo stesso motte i regime di cpitlizzzioe compost e cotiu llo stesso tsso uo e per lo stesso periodo di tempo occorre ivestire u cpitle C 2. C 2 è mggiore o miore di C? Di quto? [R. ; 2,29] 3. U cpitle di 5., ivestito i regime di cpitlizzzioe compost trimestrle l tsso uo i per i, produce u motte di 6.. Per produrre lo stesso motte i regime di cpitlizzzioe compost e cotiu, impiegdo lo stesso cpitle per lo stesso periodo di tempo il tsso d iteresse deve vere u vlore i 2. Quto vle i? Quto i 2? [R. i,827%; i 2,823%] 4. U cpitle di 5., ivestito i regime di cpitlizzzioe compost trimestrle l tsso uo dell,8% per t i, produce u motte di 6.. Per produrre lo stesso motte i regime di cpitlizzzioe compost e cotiu, impiegdo lo stesso cpitle llo stesso tsso d iteresse occorre u periodo di tempo t 2. Quto vle t? Quto t 2? [R. t,5 i; t 2,2 i] 5. Determire l fuzioe costo totle C t x, sosteut d u zied, spedo che l fuzioe costo mrgile C m(x) è l seguete: ) C m x = 3x 2 ; ) C m x = 3x 2 x + ; c) C m x = x + x +, 8 Mtemtic per le scuole superiori

19 dove x (co x>) rppreset le uità di qutità di merce prodott e C m(x) è espress i miglii di euro per uità di merce, e spedo ioltre che l zied deve ffrotre u spes iizile di 2. euro per vvire l impres, il che è come dire che C t()=2 (miglii di euro). R. ) C t x = 3 2 x2 2x + 2; ) ; c) C t x = 2 x2 + l x Determire l fuzioe costo uitrio C u(x) spedo che C t()=63, dove C t(x) è il costo totle, e che l fuzioe costo mrgile è l seguete: C m x = 3x 2 + 2x 2, co x >. Si ricord che C u(x)=c t(x)/x. Verificre quidi che il grfico del costo mrgile itersec quello del costo uitrio el puto i cui quest ultimo ssume il vlore miimo. VERIFICHE Gli esercizi proposti vi vi el corso dello sviluppo dell uità o richiedereero ltre questioi di verific. Nodimeo, propoimo lcui prolemi, di vri tur e vrimete rticolti, o ecessrimete collegti lle questioi trttte i quest uità, per l risoluzioe dei quli si suggerisce, ove ecessrio, l uso di u idoeo softwre mtemtico.. A) U uovo di glli può essere ssimilto d u solido otteuto fcedo ruotre di mezzo giro u ellisse itoro l suo sse mggiore (N.B.: u solido sifftto è chimto ellissoide di rotzioe). Si suppog che i semissi di u tle ellisse misurio 2,5 cm e 3 cm. U petolio, vete l form di u cilidro circolre retto il cui rggio di se misur 5 cm e l ltezz 2 cm, cotiee cqu fio d u livello di 7 cm rispetto ll se. Clcolre di quto, co pprossimzioe d mm, s ilz il livello dell cqu coteut el petolio qudo vi è immesso l uovo, ell ipotesi ovvi che l uovo medesimo ffodi completmete. B) Se si vuole otteere u uovo sodo, si s che isog frlo ollire per circ 8 miuti i cqu ollete C. Seoché, l tempertur di eollizioe dell cqu è di C se l pressioe dell ri è di tmosfer (equivlete 76 mm di mercurio o che 325 kg m s 2 ). M si s pure che l tempertur di eollizioe dell cqu dimiuisce col dimiuire dell pressioe dell ri. Si ipotizzi che lcui vlori dell tempertur y di eollizioe dell cqu (y è misurt i grdi cetigrdi) l vrire dell pressioe x dell ri (x è misurt i millimetri di mercurio) sio quelli foriti dll tell sottostte (T. ): T. Tempertur di eollizioe dell ri i fuzioe dell pressioe dell ri. y x ) Costruire u digrmm dispersioe che visulizzi i dti rissuti ell tell. 2) Stilire qule delle segueti fuzioi dove l() idic il logritmo turle del umero ed e è l se di tle logritmo si dtt meglio descrivere l situzioe rele rissut ell tell: y= 25 x ; y=5 l 25+x ; y=36 e x/ ) Disegre l fuzioe scelt sullo stesso pio su cui è stto rppresetto il digrmm precedete. Mtemtic per le scuole superiori 9

20 C) Ammesso che p =325 kg m s 2 si l pressioe dell tmosfer l livello del mre e C di tempertur, p h si l pressioe d u ltitudie h sul livello del mre ed ioltre che m =,293 kg m 3 si l desità dell ri e g=9,86 m s 2 si l ccelerzioe di grvità, si s che, per vlori di h di lcue cetii di metri, risult: h= p p h dp. m g p p ) Trovre l espressioe di p h i fuzioe di h. 2) Posto che, 2 m di ltitudie, l tempertur di eollizioe dell cqu si superiore di circ 6 C quell che si otterree se si mmettesse che l relzioe precedete fosse vlid che quell ltitudie, spiegre perché quell ltitudie o è possiile otteere u uovo sodo immettedolo i cqu ollete. 3) È tuttvi possiile otteere u uovo sodo immettedolo i cqu ollete: co qule ccorgimeto? E perché tle ccorgimeto fuzio? 2. L se mggiore di u pdoro, che solitmete è u stell otto pute, h u re di 8 cm 2, l se miore, simile ll mggiore, h u re di 49 cm 2 e l ltezz è di 24 cm. U pio prllelo lle si sec il pdoro secodo u superficie S. ) Dimostrre che l re di S, espress i fuzioe dell distz x del pio secte dll se mggiore, è dt dll seguete formul: S = 44 8 x 2. ) Utilizzre tle espressioe per clcolre, co il metodo dell itegrzioe, il volume del pdoro. c) Fr vedere che il risultto otteuto è esttmete quello che si ottiee clcoldo lo stesso volume co i metodi dell geometri elemetre e precismete ssimildo il pdoro d u opportuo troco di pirmide cocv. d) Prescidedo dll questioe rele, si rppreseti l fuzioe S=S(x), trovt sopr, i u pio riferito d u sistem di ssi crtesii ortogoli e si clcoli il volume del solido geerto i u rotzioe complet itoro ll sse y dll regioe fiit di pio delimitt dl grfico dell fuzioe e dgli ssi coorditi. 3. I u lmi metllic, vete l form di u qudrto di lto lugo 2 m, si ritglio quttro qudrti, veti tutti lto dell stess lughezz x ed u vertice i u vertice dell lmi. I lemi esteri dell lmi soo ripiegti opportumete i modo d formre u recipiete vete l form di u prllelepipedo rettgolo se qudrt. ) Esprimere i fuzioe di x l cpcità y del recipiete otteuto e rppresetre grficmete l fuzioe y=y(x) i u pio riferito d u sistem di ssi crtesii ortogoli (Oxy). ) Trovre le dimesioi del recipiete che h l mssim cpcità. c) Si pred i esme l regioe R compres fr l sse x e il grfico dell fuzioe y=y(x), cosidert prescidedo dll questioe rele. Ess si l se di u solido Σ, ogi sezioe del qule co u pio α perpedicolre ll sse x, si u qudrto. Clcolre il volume di Σ. d) Determire, tr le sezioi di Σ co α, quell che h l mssim re. 4. Il tempo di cottur per le ptte lesse, se le ptte soo molto grosse, è di 35 miuti dl mometo i cui l cqu i cui le ptte soo immerse comici ollire. Il che, se l pressioe mietle è di tmosfer, ccde qudo l tempertur dell cqu rggiuge i C. M se l pressioe mie- 2 Mtemtic per le scuole superiori

21 tle umet il che ccde utilizzdo u petol pressioe che l tempertur di eollizioe dell cqu umet e il tempo di cottur dimiuisce. A) Si ipotizzi che lcui vlori dell tempertur y di eollizioe dell cqu (y è misurt i grdi cetigrdi) i fuzioe dell pressioe mietle x (misurt i tmosfere) sio quelli riportti ell tell sottostte (T. 2): T. 2 Tempertur di eollizioe dell ri i fuzioe dell pressioe mietle. x 4,69 5,3 39,2 84,8 y Costruire u digrmm dispersioe che visulizzi l situzioe. 2. Soo dte le segueti fuzioi: y = 5 x 5 2 x + 5, y = 5 x2 + 8x Stilire qule di esse si dtt meglio descrivere l situzioe rele. 3. Scelt l fuzioe più idoe e prescidedo dll questioe rele, clcolre l re dell regioe fiit di pio delimitt dl grfico di tle fuzioe, dll sse x e dlle rette di equzioi x=49, x=. B) U volt clcolto, ovvimete co pprossimzioe, qule tempertur l cqu iizi ollire ll pressioe di,8 tmosfere, che è per l pputo l pressioe i u petol pressioe:. Teedo presete che tle tempertur il tempo di cottur delle ptte lesse si riduce del 6%, clcolre il uovo tempo di cottur. 2. Suppoedo di utilizzre come fote di clore u forello elettrico dell potez di kw, clcolre qut eergi elettric si risprmit utilizzdo l petol pressioe. C) Si suppog di potersi servire di due società foritrici di eergi elettric, S ed S 2, le cui triffe sio quelle sitetizzte ell tell sottostte (T. 3): T. 3 Spese fisse imestrli Costo dell eergi per kwh Società S 8,9 Società S 2 2,8. D qule società è coveiete ecoomicmete essere serviti? 2. Esiste u cosumo per il qule è idifferete essere serviti d u società piuttosto che dll ltr? 5. Sio C t x, C u x, C m x rispettivmete il costo totle, il costo uitrio e il costo mrgile sosteuti d u zied per l produzioe dell uità di qutità di merce x (co x>). ) Si ricord che le fuzioi costo totle e costo mrgile soo legti dll seguete relzioe: C m x = dc t x. dx Qule relzioe leg ivece le fuzioi costo totle e costo uitrio? ) L fuzioe costo mrgile si l seguete: C m x = 4x + 3, Mtemtic per le scuole superiori 2

22 dove x (co x>) rppreset le uità di qutità di merce prodott e C m x è espresso i miglii di euro per uità di merce. Spedo che l zied deve ffrotre u spes iizile di 5. euro per vvire l impres, determire l fuzioe costo uitrio. c) Dopo ver disegto sullo stesso pio crtesio i grfici delle fuzioi costo mrgile e costo uitrio, verificre che il primo grfico itersec il secodo el puto i cui quest ultimo ssume vlore miimo. d) Dimostrre che, quluque si l fuzioe costo totle, il grfico dell fuzioe costo mrgile itersec quello dell fuzioe costo uitrio el puto i cui quest ultimo ssume vlore miimo. 6. Si cosideri il poliomio P(x). ) Tr i suoi zeri reli ci soo i umeri 2, cotto due volte, e 2. Qul è il suo grdo miimo? ) Posto che il suo grfico, limitto ll itervllo [ 3,3], si quello rppresetto ell figur sottostte (Fig. 6), l qule mostr che detto grfico preset tgete orizzotle, oltre che el puto di sciss x= 2, che ei puti di sciss x= e x=, qul è il grdo miimo del poliomio? c) Ammesso ioltre che si FIG. 6 2 P x dx = 26 5, qul è esttmete il poliomio P(x)? d) Ammesso che f(x) si u primitiv di P(x), studire f(x) ell itervllo [ 3,3] rispetto ll mootoi, spiegdo i prticolre se i tle itervllo il grfico di f(x) preset puti co tgete orizzotle e precisdo se si trtt di mssimi o di miimi reltivi. Per risolvere questo quesito è idispesile cooscere l espressioe di P(x)? 7. U puto mterile si muove su u rett. L su velocità v, misurt i metri l secodo, è espress, i fuzioe del tempo t, misurto i secodi, dll seguete legge: v = t + si 2t, co t π. ) Rppresetre l fuzioe i u pio crtesio i cui si predo i tempi sull sse delle scisse e le velocità su quello delle ordite. ) Clcolre l re dell regioe fiit di pio delimitt dl grfico dell fuzioe, dll sse delle scisse e dll rett di equzioe t=π. Dire qul è il sigificto fisico di quest re. c) Clcolre l velocità medi teut dl puto mterile ell itervllo di tempo,π. d) Trovre i qule posizioe, sull rett del moto, si trov il puto mterile ell istte t=. Co qule velocità? Co qule ccelerzioe? e) Dimostrre che i due istti è ull l ccelerzioe del puto mterile. I quli posizioi si trov il puto i tli istti? Co quli velocità? 22 Mtemtic per le scuole superiori

23 8. I u pio, riferito d u sistem di ssi crtesii ortogoli (Oxy), soo ssegte le curve di e- quzioi: y= 4 x2 e y= 4 x2 +7, co x. L regioe fiit di pio R, delimitt d esse e dlle rette di equzioi x= e y=25, geer, i u rotzioe complet itoro ll sse y, u solido Σ. ) Clcolre l re dell regioe R e il volume del solido Σ. ) Si suppog che il volume trovto si espresso i millimetri cui e si cosideri u copp d rgeto vete form e dimesioi del solido Σ. Clcolre, co pprossimzioe d g, il peso dell copp, spedo che l desità dell rgeto e.49 kg/m 3. c) Nell copp è verst dell cqu fio d u ltezz di 5 cm dll se di ppoggio. Clcolre, co pprossimzioe d g, il peso complessivo dell copp co l cqu, spedo che l desità dell cqu è kg/dm Soo utilizzte pistrelle qudrte uguli per ricoprire u pvimeto rettgolre il cui lto mggiore è,5 volte quello miore. ) Si s che occorroo 76 pistrelle per ricoprire esttmete il ordo del pvimeto: clcolre il umero complessivo di pistrelle occorreti per ricoprire il pvimeto. ) Si suppog che il umero di pistrelle ecessrie per ricoprire esttmete il ordo del pvimeto si u umero icogito x: esprimere i fuzioe di x il umero N(x) di pistrelle che occorroo per ricoprire il pvimeto. c) Si s che l re del pvimeto è 24 m 2.. Nell ipotesi ), trovre l misur del lto di ogi pistrell. 2. Nell ipotesi ), esprimere i fuzioe di x l misur L(x) del lto di ogi pistrell. d) Si prescid dll questioe rele e si ssumo x, N(x) ed L(x) come vriili reli geeriche.. Studire le fuzioi y=n(x) e y=l(x) e disegre i grfici sullo stesso pio crtesio ortogole (Oxy), dopo ver determito, fr l ltro, le coordite dei loro evetuli puti comui. 2. Clcolre l re dell regioe fiit di pio compres fr i grfici delle due fuzioi e l sse y.. L tell sottostte forisce le velocità di u puto mterile che si muove su u triettori rettilie i fuzioe dell istte i cui ess è misurt. I tempi soo espressi i secodi, le velocità i metri per secodo. T. 4 Tempi (s) Velocità (m/s) 2,,25,72,45,3,5 ) Costruire u digrmm dispersioe che rppreseti l situzioe. ) Stilire qule delle segueti leggi v=v(t), co t, si dtt meglio descrivere l situzioe: v = 2 t 2, v = 2 t e 2, v = 2 e t. c) U volt idividut l legge v=v(t) richiest, trovre l legge orri s=s(t), suppoedo che ell istte t= il puto mterile si trovi ell posizioe ssut come origie sull triettori su cui si svolge il moto. Mtemtic per le scuole superiori 23

24 d) Spiegre perché, i se ll legge orri trovt, o ci soo iversioi del moto e tuttvi c è u posizioe sull triettori ll qule il puto mterile può ccostrsi m sez rggiugerl. Qul è quest posizioe? e) I qule istte il puto mterile è soggetto d u ccelerzioe di 2 m/s 2? Qul è l su velocità i quest istte?. Nell vschett di u odoscopio, pie d cqu fio circ cm di ltezz, è collocto u ostcolo vete l form di u rco di prol simmetrico rispetto ll sse dell prol medesim. U treo d ode circolri, geerte d u virtore situto el fuoco F dell prol, urt cotro l prte cocv dell ostcolo e si riflette secodo u treo d ode rettiliee. ) Dimostrre che l direzioe di propgzioe delle ode rettiliee è prllel ll sse dell prol. ) Posto che si f l distz focle dell prol, si cosiderio i due rggi FA ed FB che icidoo sull ostcolo co u golo d icidez di 45. Clcolre l lughezz dell cord AB. c) Idict co R l regioe fiit di pio delimitt dll prol e dll cord AB, si dic Σ il solido geerto d quest regioe immgido che l stess ruoti di mezzo giro itoro ll sse dell prol. Clcolre l re dell regioe R spedo che il volume del solido Σ è 6,76 π dm 3. UNA BREVE SINTESI PER DOMANDE E RISPOSTE. DOMANDE.. L velocità v di u corpo i moto rettilieo è regolt dll seguete legge: v=/t, co t>, dove t è misurto i secodi e v i metri l secodo. Spedo che ell istte t = s il corpo occup l posizioe x= m sull rett del moto (sull qule è fissto u riferimeto crtesio), qul è l su legge orri? 2. È dt l prol di equzioe y=x 2 +2, ssegt i u pio, riferito d u sistem moometrico di ssi crtesii ortogoli (Oxy). L regioe pi delimitt dll prol e dll rett di equzioe y=3, ruotdo di mezzo giro itoro ll sse y, geer u solido, chimto prolide di rotzioe. Quto vle il suo volume? 3. È dt l ellisse di equzioe 2x 2 +3y 2 =6, ssegt i u pio, riferito d u sistem moometrico di ssi crtesii ortogoli (Oxy). Trovre il volume del solido (ellissoide) che si ottiee fcedol ruotre di mezzo giro itoro l mggiore dei suoi ssi. 4. Nel pio, riferito d u sistem di ssi crtesii ortogoli (Ox,y), soo ssegte le prole di e- quzioi: y=x 2, x=y 2. ) L regioe fiit di pio R delimitt d esse, ruotdo di u giro completo itoro ll sse x, geer u solido. Quto vle il suo volume? ) U solido è tle che u geerico pio perpedicolre ll sse x lo itersec secodo u qudrto il cui lto è l sezioe di co l regioe R. Quto vle il suo volume? 5. Nel pio, riferito d u sistem di ssi crtesii ortogoli (Ox,y), è ssegt l regioe fiit R, delimitt dll curv di equzioe y=2+ 2 x e dll rett di equzioe y=4. Clcolre il volume del solido geerto d R qudo ruot di u giro completo itoro ll sse y. 24 Mtemtic per le scuole superiori

25 RISPOSTE.. Siccome v=dx/dt llor dx=vdt, ossi: dx=dt/t e perciò, dopo qulche clcolo: x= l t +k, dove k è l costte d itegrzioe. D ltr prte per t= (s) è x= (m), per cui: = l +k, d cui segue k= (m). L legge del moto del corpo è llor: x= l t Il volume cercto è: 3 3 V=π x 2 dy =π y 2 dy =π y y =π = π Il mggiore degli ssi dell ellisse è quello coteuto ell sse x, per cui, teedo presete che i due vertici dell sse mggiore dell ellisse ho scisse 3 e 3 e che dll equzioe ssegt si ricv: y 2 =2 2 3 x2, il volume del proloide è il seguete: 3 3 V=π y 2 dx =π x2 dx =π 2x 2x3 = 8 π Il primo volume cercto, u volt costtto che le due prole si iterseco ei puti (,) e (,), è: V =π x 2 dx π x 2 2 dx Il volume del solido è ivece: 3 =π x x 4 dx =π x2 2 x5 V 2 = x x 2 2 dx= x+x 4 2x 5/2 dx= x2 2 + x5 5 2 x U volt costtto che l curv può mettersi ell form seguete: 4 x se x 2 y= x se x> = 3 π. = 9 7. si trov fcilmete che l regioe R ltro o è che il trigolo ABC (Fig. 7), dove A(2,2), B(,4), C(4,4). Ci soo vri modi per clcolre il volume cercto. U primo modo cosiste el costtre semplicemete che esso è costituito dl troco di coo geerto dl trpezio rettgolo ACBH icvto dl coo geerto dl trigolo ABH. FIG. 7 U secod modlità cosiste el costtre che il solido è formto dl cilidro geerto dl rettgolo OLCB icvto dl solido geerto dll curv sotto il grfico dell fuzioe, reltivmete ll itervllo [,4]. Il volume di tle solido è llor: 2 4 V = π π x 4 x dx 2π x x dx. 2 U terzo modo, l cui spiegzioe è lscit chi legge, è espresso dll seguete formul: Mtemtic per le scuole superiori 25

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