Geometria analitica del piano

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1 Geometria analitica del piano dott.ssa Vita Leonessa Università degli Studi della Basilicata (27 marzo 2008) (Analisi) Matematica 2 CdL in Chimica, Biotecnologie, Scienze Geologiche

2 Rette Fissato un sistema di riferimento cartesiano,

3 Rette Fissato un sistema di riferimento cartesiano, l equazione della retta verticale passante per il punto a dell asse delle x è x = a

4 Rette Fissato un sistema di riferimento cartesiano, l equazione della retta verticale passante per il punto a dell asse delle x è x = a

5 Rette Fissato un sistema di riferimento cartesiano, l equazione della retta verticale passante per il punto a dell asse delle x è x = a mentre l equazione della retta orizzontale passante per il punto b dell asse delle y è y = b

6 Rette Fissato un sistema di riferimento cartesiano, l equazione della retta verticale passante per il punto a dell asse delle x è x = a mentre l equazione della retta orizzontale passante per il punto b dell asse delle y è y = b

7 Rette L equazione generica di una retta (non verticale) con pendenza m è y = mx + q dove m è detto coefficiente angolare e q è detto termine noto

8 Rette L equazione generica di una retta (non verticale) con pendenza m è y = mx + q dove m è detto coefficiente angolare e q è detto termine noto

9 Rette L equazione generica di una retta (non verticale) con pendenza m è y = mx + q dove m è detto coefficiente angolare e q è detto termine noto L equazione della retta passante per il punto P (x 1, y 1 ) e avente coefficiente angolare m è data da y = m(x x 1 ) + y 1

10 Rette L equazione generica di una retta (non verticale) con pendenza m è y = mx + q dove m è detto coefficiente angolare e q è detto termine noto L equazione della retta passante per il punto P (x 1, y 1 ) e avente coefficiente angolare m è data da y = m(x x 1 ) + y 1 m R, m 1 (per m = 1 si ottiene una retta orizzontale)

11 Coniche Le coniche sono particolari curve del piano che si ottengono tutte come intersezione tra un cono e un piano. Si possono avere: circonferenza ellisse parabola iperbole

12 La circonferenza Il luogo geometrico dei punti P (x, y) del piano aventi distanza r da un punto C(x 0, y 0 ) prende il nome di circonferenza di raggio r e centro C.

13 La circonferenza Il luogo geometrico dei punti P (x, y) del piano aventi distanza r da un punto C(x 0, y 0 ) prende il nome di circonferenza di raggio r e centro C. L equazione della circonferenza di centro C e raggio r è data da (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2

14 La circonferenza Il luogo geometrico dei punti P (x, y) del piano aventi distanza r da un punto C(x 0, y 0 ) prende il nome di circonferenza di raggio r e centro C. L equazione della circonferenza di centro C e raggio r è data da (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2

15 La circonferenza Sviluppando il quadrato si ottiene dove x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 a = 2x 0, b = 2y 0, c = x y 2 0 r 2 = r 2 = x y 2 0 c

16 La circonferenza Sviluppando il quadrato si ottiene dove x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 a = 2x 0, b = 2y 0, c = x y 2 0 r 2 = r 2 = x y 2 0 c Per x 0 = y 0 = 0 si ottiene la circonferenza di centro l origine degli assi e raggio r di equazione x 2 + y 2 = r 2

17 L ellisse Dati due punti F 1 e F 2, si chiama ellisse il luogo geometrico dei punti P del piano per i quali è costante la somma delle distanze da F 1 e F 2, che vengono detti fuochi dell ellisse.

18 L ellisse Dati due punti F 1 e F 2, si chiama ellisse il luogo geometrico dei punti P del piano per i quali è costante la somma delle distanze da F 1 e F 2, che vengono detti fuochi dell ellisse. L equazione canonica dell ellisse è la seguente x 2 a 2 + y2 b 2 = 1

19 L ellisse Dati due punti F 1 e F 2, si chiama ellisse il luogo geometrico dei punti P del piano per i quali è costante la somma delle distanze da F 1 e F 2, che vengono detti fuochi dell ellisse. L equazione canonica dell ellisse è la seguente x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 dove (±a, 0) e (0, ±b) sono i punti in cui l ellisse interseca gli assi coordinati (e si dicono vertici dell ellisse)

20 La parabola Dati una retta d e un punto F / d, si chiama parabola di fuoco F e direttrice d il luogo dei punti del piano equidistanti da F e da d.

21 La parabola Dati una retta d e un punto F / d, si chiama parabola di fuoco F e direttrice d il luogo dei punti del piano equidistanti da F e da d. Parabola ad asse parallelo all asse delle x: y = ax 2 + bx + c

22 La parabola Parabola ad asse parallelo all asse delle y: x = ay 2 + by + c

23 La parabola Data l equazione della parabola, ecco come ricavare le coordinate del vertice V e del fuoco F e le equazioni della direttrice e dell asse di simmetria: Coordinate V Coordinate F Equazione d Equazione asse y = ax 2 + bx + c x = ay 2 + by + c ( b 2a, ) ( 4a 4a, b ) ( 2a b 2a, 1 ) ( 4a 1 4a, b ) 2a y = 1 4a x = 1 4a y = b 2a x = b 2a = b 2 4ac

24 L iperbole È il luogo dei punti P (x, y) del piano per i quali è costante la differenza tra le distanze da due punti fissi (fuochi dell iperbole).

25 L iperbole È il luogo dei punti P (x, y) del piano per i quali è costante la differenza tra le distanze da due punti fissi (fuochi dell iperbole). Fuochi sull asse delle x: x 2 a 2 y2 b 2 = 1

26 L iperbole Fuochi sull asse delle y: x 2 a 2 y2 b 2 = 1 Se a = b l iperbole si dice equilatera. In tal caso le equazioni degli asintoti diventano y = ±x.

27 L iperbole L equazione dell iperbole aventi come asintoti gli assi coordinati è la seguente xy = k

LA CIRCONFERENZA La circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto C, detto centro.

LA CIRCONFERENZA La circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto C, detto centro. Geometria Analitica Le coniche Queste curve si chiamano coniche perché sono ottenute tramite l'intersezione di una superficie conica con un piano. Si possono definire tutte come luoghi geometrici e, di

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