Ellisse ed iperbole. Osservazione. Considereremo sempre ellissi della forma + = 1 le quali hanno tutte centro nell origine degli
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- Tito Cappelletti
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1 Ellisse ed iperole Ellisse Definizione: si definise ellisse il luogo geometrio dei punti del pino per i quli è ostnte l somm delle distnze d due punti fissi F e F detti fuohi. L equzione noni dell ellisse è: x Dove ssumimo > 0 e > 0 rispettivmente semisse orizzontle e semisse vertile. Cso : + y = > (nlizzeremo suessivmente l situzione in ui si > ). In questo so llor rppresent il semisse mggiore, il semisse minore. il grfio dell ellisse in questo so è rppresentto di seguito: Osservzione x y Considereremo sempre ellissi dell form + = le quli hnno tutte entro nell origine degli ssi e semissi prlleli gli ssi oordinti. Se l ellisse vesse entro nel punto generio ( x ; y ) e semissi prlleli gli ssi oordinti, l su equzione sree: ( x x ) ( y y ) + =
2 Vertii I punti in ui l ellisse interse gli ssi vengono himti vertii e hnno oordinte: ( ± ;0) lungo l sse x; ( 0 ;±) lungo l sse y. Fuohi Nell definizione di ellisse inoltre vi sono i fuohi he in hnno oordinte ( ± ;0), il ui legme on i prmetri, è dto dll relzione: = Oppure = Eentriità E possiile definire infine un grndezz he di l misur dello shiimento dell ellisse, tle rtteristi è dett eentriità ed è definit dll relzione: e = Come è possiile dedurre dl grfio il vlore dell eentriità è un numero tle he: 0 < e < Cso : > In questo so llor rppresent il semisse mggiore, il semisse minore. il grfio dell ellisse in questo so è rppresentto di seguito:
3 Vertii Come nel so preedente i punti in ui l ellisse interse gli ssi vengono himti vertii e hnno oordinte: ( ± ;0) lungo l sse x; ( 0 ;±) lungo l sse y. Fuohi A differenz del so i vertii or pprtengono ll sse y, inoltre si h > pertnto vremo he essi sono dei punti dell form ( 0 ;±) e l relzione on i oeffiienti, è dt dll relzione: = oppure = Eentriità Come nel so di prim è definire l eentriità ed in questo so è definit dll relzione: e = Vle sempre l onsiderzione he l eentriità è un numero: 0 < e < Osservzione: prolemi sull ellisse. Poihé l equzione dell ellisse ontiene due prmetri, servono due punti distinti per ui pss l ellisse per determinrne l equzione, tli punti però non devo essere simmetrii, ioè non devono essere tli he sostituiti ll interno dell equzione generle dell ellisse dino origine ll stess equzione (d esempio, non si devono vere ome punti i due vertii orizzontli poihé restituisono due equzioni oinidenti).. L eentriità e i fuohi devono essere utilizzti per trovre legmi tr i prmetri e he desrivono l ellisse. 3. L ondizione di tngenz tr ellisse e rett (nel so ess pprteng d un fsio proprio oppure improprio) è rppresentt sempre d = 0, d porre nell risoluzione del sistem tr le due equzioni. 3
4 Iperole Definizione: si definise iperole il luogo geometrio dei punti del pino per i quli è ostnte il vlore ssoluto dell differenz dell distnze d due punti fissi F e F detti fuohi. Nel pino rtesino tle definizione signifi he preso un punto generio ( x y) P,, tle punto per pprtenere ll iperole deve verifire l ondizione he l differenz tr le distnze di due fuohi si ostnte, ioè dti luni punti P, P, P, P3 e i fuohi F, G si deve verifire he: PF PG = k P F PG = k P G P F = k P 3 G P 3 F = k dove k rppresent l ostnte. Come rppresentto dll figur di seguito, tle proprietà, un volt lett non è di file rppresentzione,inftti non risult immedito riusire d verne un rppresentzione nel pino rtesino. P(x,y) P(x,y) P(x,y) F G P3(x3,y3) L differenz delle distnze tr P e i due fuohi è ugule ll differenz delle distnze tr P e i due fuohi, he su volt è ugule ll differenz delle distnze tr P3 e i due fuohi, e osì di seguito. 4
5 Osservzione: l distnz tr F e G è dett distnz fole. L equzione noni dell iperole è: x y = x y oppure = he rppresent l equzione dell iperole in form normle o noni on i fuohi rispettivmente sull sse x oppure sull sse y. Not: d or in poi supporremo sempre > 0, > 0. Il ui grfio nel primo so è dto d: F F In ess si definisono: sse trsverso il segmento sse non trsverso il segmento semisse trsverso il numero ; semisse non trsverso il numero. A A (intersezione dell iperole on l sse x) di misur ; B B, di misur ; 5
6 Mentre nell seond ipotesi è: F F Come prim si definisono: sse non trsverso il segmento sse trsverso il segmento semisse non trsverso il numero ; semisse trsverso il numero. A A, di misur ; B B (intersezione dell iperole on l sse y) di misur ; Osservzione x y Considereremo sempre iperoli dell form = ± degli ssi e semissi prlleli gli ssi oordinti. le quli hnno tutte entro nell origine Se l iperole vesse entro nel punto generio ( x ; y ) e semissi prlleli gli ssi oordinti, l su equzione sree: Come per l ellisse imo due possiilità. ( x x ) ( y y ) = ± 6
7 x y Cso = Eentriità L eentriità dell iperole, legt ll distnz fole è dt dl rpporto e = (semidistnz fole diviso semisse trsverso). A differenz di qunto de nell ellisse in questo so l eentriità e = > I fuohi I fuohi per l iperole sono punti he pprtengono ll sse trsverso, esterni l segmento he h ome estremi i vertii. Essi hnno oordinte F ( ± ;0) dove è legto i prmetri, dll relzione = + Gli sintoti Come messo in evidenz dll ostruzione geometri seguente, se si tri un rett pssnte per l origine ess (l rett di olore viol) è un sintoto, ioè è un rett ui l iperole si vviin indefinitmente senz mi interserl. 7
8 L sintoto è un indizione di omportmento ll infinito, ioè l iperole d un erto punto in poi si h un ndmento prossimo quello di un rett (ioè on un mrgine di errore infinitesimo e quindi trsurile). Gli sintoti per un iperole sono due, inftti è possiile individure due rette he hnno quest proprietà desrittiv ll infinito, ome evidenzito dl disegno seguente: Gli sintoti hnno equzione: y = ± x. x y Cso = Eentriità L eentriità dell iperole in questo so è sempre legt ll distnz fole ed è dt dl rpporto e = (semidistnz fole diviso semisse trsverso). Vle sempre e = > I fuohi 8
9 I fuohi per l iperole sono punti he pprtengono ll sse trsverso, esterni l segmento he h ome estremi i vertii. In questo so hnno oordinte F ( ; ±) dll relzione = + 0 dove è legto i prmetri, Gli sintoti Ripetendo un rgionmento nlogo quello del primo so, le ui onsiderzioni rimngo vlide si he gli sintoti sono due le ui equzioni sono sempre dte d: y = ± x. Iperole equilter Vedimo infine un so prtiolre per l iperole, ioè qundo =, l equzione divent: x y = ± Ch rppresent l equzione dell iperole equilter on i fuohi sull sse x (so in ui il seondo memro è ) o sull sse y (so in ui il seondo memro è In questo so llor gli sintoti hnno equzione perpendiolri tr loro. Inoltre vle = + = + = =. ). Osservzione: qunto vle l eentriità per un iperole equilter? y = ± x, he risultno pertnto sono Iperole equilter riferit gli sintoti Considerimo un iperole equilter riferit l entro e gli ssi ome vist sopr. Se si sottopongono i punti del pino d un rotzione di 45, in senso orrio oppure ntiorrio ttorno ll origine, gli sintoti vengono oinidere on gli ssi rtesini, per tle motivo l iperole osì ottenut si definise riferit gli sintoti L equzione di un iperole equilter riferit gli sintoti è xy = k Esempio di grfio di iperole equilter y = x 9
10 Funzione omogrfi(enni) x + In generle un funzione y = è dett funzione omogrfi e rppresent un iperole x + d equilter on gli sintoti prlleli gli ssi rtesini e on entro di simmetri nel punto d O ' ;. Esempio di grfio x + y = x 3 0
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