Successioni di variabili aleatorie

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2 Caitolo 5 Successioi i variabili aleatorie 5. Covergeza i istribuzioe e teorema cetrale i covergeza Sia {X } = (X,..., X,... ua successioe ifiita i variabili aleatorie e X u ulteriore variabile aleatoria. Tutte queste varabili aleatorie siao efiite sullo stesso sazio i robabilità. Sia ioltre F X la fuzioe i riartizioe el geerico elemeto -esimo ella successioe i variabili aleatorie {X } e F X la fuzioe i riartizioe i X. Se vale l uguagliaza lim F X (x = F X (x (5. i ogi uto i cotiuità i F X, allora si ice che la successioe i variabili aleatorie {X } coverge i istribuzioe a X, ovvero X X. Si oti che questo tio i covergeza o attiee tato alla successioe elle variabili aleatorie {X }, ma iuttosto a quella elle loro fuzioi i riartizioe {F X }. Esemio 5. Sia la fuzioe i riartizioe ell elemeto geerico X ella successioe {X } ata all esressioe 0 x < F X (x = x si oti che i tal caso, oiché lim F X (x = 0 er x R, la fuzioe i riartizioe F X tee a ua costate (ossia o a ua fuzioe i riartizioe. Duque i tal caso o vi è covergeza i istribuzioe ella successioe i variabili aleatorie {X }.

3 2 A. Pollice - Auti i Probabilità Esemio 5.2 Sia l elemeto geerico X ella successioe {X } istribuito secoo ua esità uiforme ell itervallo (,. La sua fuzioe i riartizioe sia ertato ata all esressioe F X (x = 2 0 x < ( x + x < x si oti che i tal caso si ha lim F X (x = F X (x = 0 x < 0 x 0 ossia X X 0, la variabile aleatoria X a cui coverge i istribuzioe la successioe {X } è uguale a 0 co robabilità. Teorema 5. Se g è ua fuzioe cotiua e limitata allora X E [g (X]. X se e solo se E [g (X ] Nel caso articolare i cui el teorema receete si oe g (t = ex (iut, si ottiee il risultato seguete. Teorema 5.2 Teorema i Levy-Cramér. Sia ψ X la fuzioe caratteristica associata a ciascua variabile aleatoria X ella successioe {X }. Coizioe ecessaria e sufficiete affiché sia X X, ovvero lim F X (x = F X (x è che si abbia lim ψ X (u = ψ X (u, ove ψ X (u è la fuzioe caratteristica ella variabile casuale X. Esemio 5. (ct La fuzioe caratteristica associata all elemeto geerico ella successioe è ata a ψ X (u = E [ex (iux ] = ex (iu = ex (iu = cos u + i si u Si oti che i tal caso il limite lim ψ X (u o esiste, ertato o vi è covergeza i istribuzioe ella successioe i variabili aleatorie {X }. Esemio 5.2 (ct Utilizzao il teorema 3.5 e il risultato ell esemio 3.3 si ha Si oti che i tal caso si ha ψ X (u = si u u lim ψ si u X (u = lim u ove X è ua variabile aleatoria uguale a 0 co robabilità. = = e iu0 = ψ X (u

4 Ca.5: Successioi i variabili aleatorie 3 Esemio 5.3 Sia {X } ua successioe i variabili aleatorie aveti istribuzioe biomiale i arametri e = λ/. I tal caso la fuzioe caratteristica el geerico elemeto X ella successioe è ata a ( λ ψ X (u = eiu + λ a cui si ottiee lim ψ X (u = lim [ + λ ( e iu ] = e λ(eiu L ultima esressioe è rorio quella ella fuzioe caratteristica i ua variabile aleatoria co fuzioe i robabilità i Poisso i arametro λ. Teorema 5.3 Teorema Cetrale i Covergeza (o i Lieberg-Levy. Data ua successioe i variabili aleatorie {X }, iieeti e ugualmete istribuite co meia e variaza costati E (X = µ e Var (X = σ 2 <, etta X = i= X i la meia aritmetica ei rimi termii ella successioe {X }, la successioe { X } coverge i istribuzioe a ua variabile aleatoria X avete esità ormale co meia µ e variaza σ2 : X X N (µ, σ2 Di cosegueza se si cosiera la variabile aleatoria Z, efiita staarizzao la meia aritmetica: Z = X E ( X Var ( = X µ X σ la successioe { } Z coverge i istribuzioe a ua variabile aleatoria Z co esità ormale staarizzata: Z Z N (0,. Si oti ifatti che la variabile aleatoria Z i = (X i µ /σ è tale che E (Z i = 0 e E ( Zi 2 =, uque è ossibile arossimare la fuzioe caratteristica i Z i arrestaoe l esasioe i serie i Taylor al secoo termie: ψ Zi (u = + iue (Z i + i2 u 2 2 E ( Z 2 i + o ( u 2 = u2 2 + o ( u 2 ioltre oiché è i= Z i = σ i= (X i µ = Z er il teorema 3.5 si ha a cui [ ( ] u ( ] ψ Z (u = ψ Zi = [ u2 u o lim ψ Z (u = lim [ u2 2 + o ( u 2 ] = e u2 2 L ultima esressioe otteuta è quella ella fuzioe caratteristica i ua variabile aleatoria cotiua co fuzioe i esità ormale staarizzata, quii er il teorema i Levy-Cramér si ha Z Z N (0,. (5.2

5 4 A. Pollice - Auti i Probabilità Esemio 5.4 (Teorema i e Moivre-Lalace. U caso articolare el teorema cetrale i covergeza si ha cosierao ua successioe i variabili aleatorie iieeti e tutte istribuite secoo la meesima fuzioe i robabilità i Beroulli co robabilità i successo costate e ari a. I altri termii le variabili aleatorie ella successioe {X } soo iicatori i successo riferiti a eveti iieeti e equirobabili. I tal caso la somma j= X j coicie co la frequeza ei successi elle rime rove e ha fuzioe i robabilità biomiale i arametri e. Si ha uque che E ( ( X = E j= X j = e Var ( X = 2 Var ( j= X j = ( er =, 2,.... Quii X ( X N, ( Al ivergere el umero elle rove, la frequeza relativa ei successi i u rocesso beroulliao X coverge i istribuzioe a ua variabile aleatoria cotiua co fuzioe i esità ormale i arametri e (. (5.3 Esemio 5.5 Si cosieri ua successioe i variabili aleatorie iieeti e tutte istribuite secoo la meesima fuzioe i esità esoeziale i arametro λ. I tal caso la meia aritmetica X ha fuzioe i esità gamma i arametri e λ. Si ha uque che E ( ( ( X = /λ e Var X = / λ 2 er =, 2,.... Quii ( X X N λ, λ 2 La fuzioe i esità gamma i arametri e λ tee alla esità ormale i arametri /λ e /(λ 2 er. 5.2 Covergeza i robabilità e legge ebole ei grai umeri Per qualsiasi ɛ > 0, iccolo a iacere se vale lim P X,X { X X ɛ} = 0 (5.4 allora si ice che la successioe i variabili aleatorie {X } coverge i robabilità o ebolmete a X, ovvero X X o acora lim X = X. Teorema 5.4 La covergeza i robabilità i ua successioe i variabili aleatorie {X } a ua variabile aleatoria X imlica quella i istribuzioe Ifatti si oti che X X = X X (5.5 F X (x = P X (X x = P X,X [(X x ( X X ɛ] + P X,X [(X x ( X X > ɛ] (5.6 e ioltre [(X x ( X X ɛ] [(X x (X X ɛ] = (X x + ɛ [(X x ( X X > ɛ] ( X X > ɛ

6 Ca.5: Successioi i variabili aleatorie 5 quii la (5.6 iveta F X (x P X (X x + ɛ + P X,X ( X X > ɛ assao al limite e osservao che il secoo aeo tee a 0 er l iotesi i covergeza i robabilità i X a X, si ottiee lim F X (x F X (x + ɛ (5.7 D altra arte all aaloga scomosizioe F X (x ɛ = P X (X x ɛ e cosierao acora che = P X,X [(X x ɛ ( X X ɛ] + P X,X [(X x ɛ ( X X > ɛ] [(X x ɛ ( X X ɛ] [(X x ɛ (X X ɛ] = (X x [(X x ɛ ( X X > ɛ] ( X X > ɛ si ottiee lim F X (x F X (x ɛ (5.8 se x è u uto i cotiuità la cosierazioe elle (5.7 e (5.8 orta a cocluere che, i accoro co la (5.5 vale lim F X (x = F X (x Teorema 5.5 Le ue coizioi lim E (X = c e lim Var (X = 0, risultao ecessarie e sufficieti affiché la successioe i variabili aleatorie {X } coverga i robabilità alla costate c, ovvero affiché si abbia lim X = c. Ifatti i tal caso osso scrivere E (X = c + a co lim a = 0. Si oti che er la isuguagliaza i Cebicev si uò scrivere er qualsiasi ɛ > 0 P X ( X E (X ɛ Var (X ɛ 2 ovvero i questo caso a cui si ottiee er P X ( X c a ɛ Var (X ɛ 2 lim P X { X c ɛ} = 0 (5.9 Esemio 5.6 Siao X er =, 2,... variabili aleatorie aveti istribuzioe chi-quarato co grai i libertà. Detta Y = X / si ha che E (Y = E (X = = Var (Y = Var (X 2 = 2 2 = 2 quii la successioe {Y } coverge i robabilità a er.

7 6 A. Pollice - Auti i Probabilità Teorema 5.6 Se X X e Y c ove c 0 è ua costate, allora X + Y X Y X Y X /Y X + c (5.0 X c (5. Xc (5.2 X/c (5.3 Teorema 5.7 Legge Debole ei Grai Numeri. Sia ata ua successioe {X } i variabili aleatorie iieeti. Dette X = i= X i le meie arziali ei rimi elemeti ella successioe, la legge ebole ei grai umeri stabilisce che sotto etermiate coizioi vale X E ( X.. Teorema i Kitchie. Le variabili aleatorie X hao tutte la stessa istribuzioe co meia E (X = µ < er =, 2,... (la variaza otrebbe essere ache ifiita. I tal caso la successioe {X } soisfa la legge ebole ei grai umeri. 2. Le X soo tutte otate i mometi rimi e secoi fiiti co Var (X < σl 2 er =, 2,.... Si oti che i tal caso, esseo le X iieeti, Var ( X = 2 i= Var (X < σ2 L, ertato utilizzao la isuguagliaza i Cebicev si ottiee er qualsiasi ɛ > 0 a cui er P X ( X E ( X ɛ σ 2 L ɛ 2 X E ( X (5.4 Duque coizioe ecessaria e sufficiete affiché valga la legge ebole ei grai umeri è che le variabili ella successioe {X } abbiao meie fiite e variaze equilimitate. Esemio 5.7 Ua successioe {X } i variabili aleatorie aveti tutte la stessa fuzioe i robabilità biomiale i arametri m e soisfa ovviamete la legge ebole ei grai umeri er il teorema i Kitchie. Per l aitività ella fuzioe i robabilità biomiale j= X j Bi(m, e i cosegueza E ( X = m e X E ( X = m. Esemio 5.6 (ct La successioe {Y } i variabili aleatorie aveti tutte la stessa fuzioe i robabilità gamma i arametri 2 e 2, soisfa ( la legge ebole ei grai umeri, ifatti Var (Y = 2/ 2 er =, 2,.... Pertato, esseo E j= Y j = E (Y j =, vale Y E ( Y =.

8 Ca.5: Successioi i variabili aleatorie Covergeza quasi certa e legge forte ei grai umeri Se vale la coizioe P X,X { } lim X = X = (5.5 allora si ice che la successioe i variabili aleatorie {X } coverge quasi certamete o fortemete a X, ovvero X X. La coizioe (5.5 corrisoe a reteere che er qualsiasi valore i > ɛ, co ɛ refissato, sia uguale a la robabilità che X X < ɛ, co ɛ > 0 lim P X,X ( > ɛ X X < ɛ = (5.6 Teorema 5.8 La covergeza quasi certa i ua successioe i variabili aleatorie {X } a ua variabile aleatoria X imlica quella i robabilità X X = X X (5.7 Notao che l itersezioe i iù eveti è coteuta i ciascuo egli eveti e erciò ha robabilità iferiore o uguale a oguo i essi, si euce che la (5.6 imlica la (5.4. Teorema 5.9 Se g è ua fuzioe cotiua e X X, allora si ha g (X g (X. Ifatti, se g è ua fuzioe cotiua, si ha che i geerale X X imlica g (X g (X, ovvero, i termii i eveti, che {ϖ Ω : X (ϖ X (ϖ} {ϖ Ω : g (X (ϖ g (X (ϖ}, quii P X,X (g (X g (X P X,X (X X. Di cosegueza, se P X,X {lim X = X} =, a maggior ragioe vale { } P X,X lim g (X = g (X = (5.8 Teorema 5.0 Legge Forte ei Grai Numeri. Sia ata ua successioe {X } i variabili aleatorie iieeti. Dette acora X = i= X i le meie arziali ei rimi elemeti ella successioe, la legge forte ei grai umeri stabilisce che sotto etermiate coizioi vale X E ( X.. Teorema i Beroulli. Le variabili aleatorie X soo iicatori i eveti equirobabili, ovvero er =, 2,... x = X (x = x = 0 I tal caso la successioe {X } soisfa la legge forte ei grai umeri. Tale teorema afferma che la frequeza relativa ei successi i u rocesso beroulliao X coverge quasi certamete alla robabilità i successo = E ( X. 2. Teorema i Kolmogorov. Le variabili aleatorie X hao tutte la stessa istribuzioe co meia E (X = µ < er =, 2,.... I tal caso la successioe {X } soisfa la legge forte ei grai umeri. 3. Coizioe sufficiete i Kolmogorov. Le variabili aleatorie X hao tutte Var (X = σ 2 <, allora la coizioe σ 2 = 2 < è sufficiete er affermare la che la successioe {X } soisfa la legge forte ei grai umeri.

9 8 A. Pollice - Auti i Probabilità Esemio 5.7 Sia l elemeto geerico X ella successioe {X } istribuito secoo ua esità uiforme ell itervallo ( a, a. I tal caso E (X = 0 < er =, 2,..., ertato er il teorema i Kolmogorov la successioe {X } soisfa la legge forte ei grai umeri. Ciò sigifica che E ( X = 0. X Esemio 5.6 (ct L elemeto geerico Y ella successioe {Y } è istribuito secoo ua esità gamma i arametri /2 e /2, ertato Var (Y = 2/. Risulta eviete che la successioe {Y } soisfa la coizioe sufficiete i Kolmogorov, ovvero che er essa vale la legge forte ei grai umeri. Ciò sigifica che Y E ( Y =.