Equazioni di secondo grado

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1 Capitolo Equazioni i seono grao. Desrizione el metoo geometrio Consieriamo una generia equazione i seono grao, in ui aiamo già iviso per il oeffiiente el termine i grao maggiore: x + x + =. (.) Aggiungeno e toglieno otteniamo: (x+ ) =, e tale passaggio va interpretato geometriamente ome una traslazione ell inognita. Si vee suito he vale il: Teorema Si possono verifiare tre asi:. se. se. se > l equazione ha ue raii reali istinte =l equazione ha una raie reale (oppia) < l equazione non ha raii reali. Vogliamo introurre un metoo geometrio per trovare le soluzioni reali ell equazione (.). A tal proposito faiamo orrisponere a ogni equazione el tipo (.) il punto i oorinate (, ). Aiamo quini il piano (, ), nel quale onsieriamo una paraola =,onfuoo =(, ) e irettrie =. Tale paraola è tutt altra osa rispetto a quella ottenuta ome grafio i f(x) =x + x + : quest ultima varia a equazione a equazione, mentre la nostra è la stessa per tutte le equazioni el tipo (.). Per i punti sulla paraola vale (x + ) =, quini si vee suito he la soluzione reale (oppia) è x =. Dato un punto qualunque (, ), questo metoo i permetterà, traiano le tangenti alla paraola a quel punto, i trovare geometriamente le soluzioni ell equazione orrisponente. Se (, )è sopra la paraola (ioè <), a esso non si possono traiare

2 tangenti e infatti l equazione non ha soluzioni reali (aso el Teorema ). Se invee il punto sta sotto la paraola (ioè >), on riga e ompasso riusiamo a ostruire ue tangenti: entriamo il ompasso in (, ) e portiamo la punta nel fuoo ; traiamo tale ironferenza, he interseherà lairettrie in ue punti i asissa a e a. I punti (a,a /) e (a,a /) sono i punti in ui le tangenti per (, ) toano la paraola. Infatti, un punto P ella paraola è, per efinizione, equiistante al fuoo e alla irettrie, quini la tangente per quel punto è l asse el segmento he ongiunge on il piee ella perpeniolare onotta a P sulla irettrie (igura.). / = (a,a /) a a (,) igura.: Costruzione i una tangente alla paraola. Teorema Se x e x sono le soluzioni reali ell equazione (.), allora le tangenti traiate a (, ) toano la paraola =nei punti i asissa x e x. Dimostrazione: Esseno x,x le soluzioni, possiamo srivere: x +x+ =(x x )(x x ), a ui: (x +x )=, x x =. Consierano x fissata e x = s variaile, otteniamo una retta in forma parametria, i ui punti orrisponono alle equazioni he hanno una soluzione uguale a x : = (x + s), = x s. 7

3 La forma artesiana i tale retta è = x x,ioè la (.), in ui si sostituise x = x e lo si onsiera ome parametro. Poihé i punti ella paraola orrisponono a equazioni he hanno una raie oppia, e si ha una raie oppia se e solo se s = x, la retta inontrerà la paraola solo nel punto ( x,x ). Questa retta è proprio la retta tangente in quel punto (igura.). Ci saree anhe la retta vertiale = x,ma in realtà essa inontra la paraola anhe nel punto all infinito, e omunque, al variare i s, non èostante. Analogamente, onsierano x fissata e x variaile, si ottiene l altra tangente alla paraola, nel punto ( x,x ). Dunque, una volta fatta la ostruzione, asterà onsierare le asisse ei / = ( x,x ) ( x,x ) (,) igura.: Metoo i risoluzione grafio i x + x + =. ue punti i tangenza, amiarle i segno e ivierle per ue; si avranno osì le ue soluzioni. Osserviamo anhe he si può veere la paraola = ome l inviluppo ella famiglia a un parametro i rette nel piano (, ), ata a = x x al variare i x. Infatti, per efinizione l inviluppo è la urva tangente in ogni punto a una elle rette ella famiglia, e riperorreno quanto imostrato sopra si vee he questa è proprio la proprietà he ha la nostra paraola (igura.). Veiamo ora quali sono pregi e ifetti el metoo visto, per quanto riguara l approio iattio.

4 Rispetto alla nota formula algeria risolutiva, questo metoo permette / = igura.: La paraola ome inviluppo elle rette = x x. i ire immeiatamente quano un equazione ha zero, una o ue soluzioni; asta iniviuare il punto (, ) nel piano. Inoltre, anora prima i ostruire le tangenti on riga e ompasso, riusiamo a apire il segno elle soluzioni he troveremo e anhe a avere un iea approssimativa el loro valore. Nell illustrare il metoo, siamo partiti alla forma più generale possiile i equazione i seono grao (il passaggio i ivisione per il oeffiiente a non ovree reare prolemi). Questo è positivo, perhé fa apire he il proeimento seguito è valio per una qualsiasi equazione. Partire a questa forma generale ha però anhe un ifetto. Una volta trovate le asisse ei punti i tangenza, non si hanno automatiamente le soluzioni: isogna iviere per e amiare segno. Ciò rene più artifiioso il proeimento e ostringe a essere pruenti nel eurre al isegno informazioni sulle raii. A esempio, se un punto i tangenza ha asissa positiva, isogna riorare he la soluzione orrisponente è negativa. Un miglioramento a questo punto i vista si ha se, anzihé partire a x + x + =, si parte alla forma: x x + =. (.) Quest ultima si può srivere ome (x ) =, quini la paraola a isegnare sarà =eavràfuoo =(, ) e irettrie =. Per i punti sulla paraola si avrà la soluzione oppia x =, per i punti sotto la paraola (ioè >) si avranno ue soluzioni reali istinte e per 9

5 quelli sopra (ioè <) non si avranno soluzioni reali. Qui, al posto el Teorema visto, aiamo: Teorema Se x e x sono le soluzioni reali ell equazione (.), allora le tangenti traiate a (, ) toano la paraola =nei punti i asissa x e x. La imostrazione è analoga a quella el Teorema, solo he qui (x +x )= =, x x =. La retta i ui punti orrisponono alle equazioni he hanno una soluzione fissata uguale a x ha forma parametria: = x +s, = x s. La retta inontra la paraola solo quano s = x,ioèè la tangente alla paraola nel punto (x,x ) (igura.). = (x,x ) (x,x ) (,) igura.: Risoluzione grafia ell equazione x x + =. In questo aso, una volta fatta la ostruzione, asta prenere le asisse ei ue punti i tangenza, he sono esattamente le soluzioni ell equazione. Anhe questa moifia ha un piolo ifetto: partire a x x + = può semrare artifiioso e è meno intuitivo rionosere in questa forma un equazione he ha il oeffiiente ella x ispari, oppure positivo. Non è unque un metoo migliore in assoluto, ma iattiamente può

6 essere preferiile usare quello appena esritto, perhé i permette i eurre immeiatamente al isegno le informazioni sulle soluzioni. Un altra alternativa è quella i partire a x +x + = ; questa si può risrivere ome (x + ) =, quini la paraola a isegnare è la stessa el aso preeente. È una soluzione intermeia, nella quale si ha un piolo artifiio iniziale ato al a moltipliare, e uno finale ato al over amiare segno per avere le soluzioni.. Aluni esempi Esempio Vogliamo risolvere ol metoo geometrio l equazione: x +5x =, preneno ome forma i riferimento: x + x + =. / = (5/, /) igura.5: Risoluzione i x +5x = on la prima variante el metoo. Diviiamo innanzitutto per : x + 5 x = ; quini = 5 e =. Disegnamo sul foglio la paraola =,ilfuoo =(, ), la irettrie : = e il punto (, ) he in questo esempio è( 5, ). Doiamo traiare le tangenti alla paraola passanti per ( 5, ), e per far questo usiamo

7 la ostruzione spiegata preeentemente (vei igura.5). Le asisse ei ue punti i tangenza sono, e quini le soluzioni sono x = = e x = ( )=. È molto importante osservare he l eserizio si risolve anhe senza isegnare la paraola: astano il fuoo, la irettrie e il punto ( 5, ). Traiamo, ome prima, la ironferenza on entro in quest ultimo punto e passante per ; i ue punti (, ) e (, ) in ui essa intersea la irettrie hanno la stessa asissa ei orrisponenti punti i tangenza, quini essi astano per trovare le soluzioni ell equazione (vei igura.). Per apire l importanza anhe pratia i questa osservazione, preniamo (5/, /) igura.: Risoluzione i x +5x = senza isegnare la paraola. ue figure rappresentanti la stessa ientia porzione i piano (, ), a e- sempio,. Sulla prima figura isegnamo la paraola e oloriamo in lu la zona ostituita ai punti per i quali, traiano le ue tangenti alla paraola, i punti i tangenza rimangono entro la figura. Tale zona è quella effettivamente utilizzaile se si vuole lavorare su quella porzione i piano. Sulla seona figura isegnamo solo fuoo e irettrie e oloriamo in vere la zona ostituita ai punti per i quali, traiano la ironferenza i entro (, ) epassanteper, i punti i intersezione on la irettrie restano entrami entro la figura. Tale zona è quella effettivamente utilizzaile se faiamo questa ostruzione. Confrontano le ue figure, si vee he la zona vere èpiù estesa i quella lu; iò vuol ire he, fissato il foglio e la sala a usare, se faiamo la ostruzione senza paraola possiamo risolvere più eserizi su quel foglio.

8 Risolviamo la stessa equazione usano la variante el metoo in ui la forma i riferimento ell equazione è: x x + =. In questo aso = 5, quini (, ) =( 5, ); oltre a tale punto, per quanto osservato, è suffiiente isegnare il fuoo =(, ) e la irettrie : =. Poi si proee ome nel aso preeente, isegnano la ironferenza i entro ( 5, ) e passante per e anano a veere nel grafio il valore elle asisse ei punti i intersezione tra la ironferenza e. Le ue asisse sono e e orrisponono esattamente alle ue soluzioni ell equazione i partenza (vei igura.7). ( 5/, /) 5 5 / 5 igura.7: Risoluzione i x +5x = on la seona variante el metoo. In questo aso, il guaagno he si ha nel non isegnare la paraola èairittura maggiore rispetto alla variante preeente. Ciò risulta hiaro on-

9 frontano le ue seguenti figure: Per ompletezza, veiamo anhe il isegno he si ottiene risolveno la stessa equazione riferenosi alla forma: x +x + = (igura.): (5/, /) 5 5 / 5 igura.: Risoluzione i x +5x = on la terza variante el metoo. Osserviamo he tra questa e la figura preeente è una simmetria rispetto all asse. Qui, una volta trovati i valori e elle asisse, isogna amiar loro i segno per avere le soluzioni ell equazione.

10 Esempio Preniamo l equazione: x + x + = e proviamo a appliarvi il proeimento seguito nell esempio, riferenosi alla forma x +x+ =. C èa isegnare, oltre a =(, ) e : =, il punto (, ) =(, ). Otteniamo la igura.9. 5 (,) igura.9: Metoo geometrio appliato a x + x +=. Il metoo non funziona perhé la ironferenza non intersea la irettrie; iò vuol ire he l equazione non ha soluzioni reali. Dunque i aorgiamo he un equazione non ha soluzioni reali anhe senza isegnare la paraola. Esempio Preniamo l equazione: x x + = e applihiamo il proeimento ell esempio, riferenosi alla forma x x + =. Oltrea =(, ) e : =, oiamo isegnare il punto (, ) =(, ). Otteniamo la igura.. La ironferenza è tangente alla irettrie nel punto i asissa, quini l equazione ha una soluzione oppia uguale a. Dunque, isegnano nel piano (, ) ue punti, una retta e una ironferenza si riese a ire quante e quali soluzioni reali aia una qualsiasi equazione i seono grao (o almeno a are una uona approsimazione el loro valore). La ostruzione risulta partiolarmente semplie, ato he non è neanhe neessario isegnare la paraola. 5

11 ,5,5 (/,/),5,5,5,5,5 /,5 igura.: Metoo geometrio appliato a x x + =. Quanto visto negli esempi preeenti può essere sostituito a passaggi puramente algerii, oi quali però viene meno proprio quell approio visivo he rene interessante il metoo grafio. Data una generia equazione x + x + =, preniamo la ironferenza i entro (, ) e passante per =(, ), he ha equazione: (x ) +(y ) =( ) +( ). Interseanola on la irettrie y = otteniamo: (x ) +( ) = +( ), ioè: (x ) = e quini x, = ±. Quest ultime sono proprio le soluzioni ell equazione i partenza, pur i amiare segno e iviere per ue.. Eserizi In questa sezione veiamo aluni eserizi pensati per omprenere e appliare il metoo appena visto (quano non è speifiato, usare la variante he si preferise. Ovviamente tutti gli eserizi sono a farsi senza usare la nota formula risolutiva per le equazioni i seono grao.

12 ) Appliare il metoo geometrio nella variante in ui la forma i riferimento è x + x + =, per risolvere, se possiile, le equazioni: x + x =, x 7x +=, x x +=. ) Appliare il metoo geometrio nella variante in ui la forma i riferimento è x +x + =, per risolvere, se possiile, le equazioni: 9x 5 =, x x +=, x x +9=. ) Appliare il metoo geometrio nella variante in ui la forma i riferimento è x x + =, per risolvere, se possiile, le equazioni: x x +=, x x +7=, x +x +5=. ) A osa orrisponono nel piano (, ) le equazioni per ui: a) il prootto elle raii è uguale a? ) la somma elle raii è uguale a 5? ) il prootto elle raii è uguale alla loro somma? ) una soluzione è uguale a? e) una soluzione è il oppio ell altra? Per ogni aso, isegnare il luogo ei punti orrisponente. Dire inoltre osa amia se i limitiamo a onsierare raii reali. 5) L equazione x x +( +)=hasoluzionireali? Giustifiare grafiamente la risposta. ) L equazione x +( +)x + = ha soluzioni reali? Giustifiare grafiamente la risposta. 7) Iniviuare le zone el piano (, ) he orrisponono a equazioni on soluzioni reali: onori positive, onori negative, isori (a suiviere ulteriormente a seona i quale soluzione aia moulo maggiore). arlo sia nel aso x + x + = he nel aso x x + =. ) Siano x >x le soluzioni reali i x + x + = ; ire quali sono le soluzioni i x x + =. Esistono sempre (reali)? 9) Dire per quali valori i l equazione x x+5 = ha ue soluzioni reali positive. Giustifiare grafiamente la risposta. ) Dire per quali valori i l equazione x ( +)x + = ha ue soluzioni reali isori, on quella positiva i moulo maggiore. Giustifiare grafiamente la risposta. 7

13 . Soluzioni Eserizio Per risolvere ognuna i queste equazioni, visto he i riferiamo alla forma x + x + =, oiamo isegnare innanzitutto il fuoo =(, ) e la irettrie : = ella paraola =. a) Traiamo la ironferenza i entro (, ) = (, ) (il punto orrisponente a x + x = ) passante per eveiamo he intersea nei punti i asisse e -. Le soluzioni sono quini x = / = e x = ( )/ = (, ) ) Diviiamo tutto per, otteneno x 7 x+ =. Traiamo la ironferenza i entro (, ) = ( 7/, /) passante per eveiamoheintersea nei punti i asisse - e -. Le soluzioni sono quini x = ( )/ = / e x = ( )/ =. 5 ( 7/,/) ) Traiamo la ironferenza i entro (, ) = (, ) (il punto orrisponente a x x + = ) passante per e veiamo he non intersea. Ciò vuol ire he l equazione non ha soluzioni reali (,)

14 Eserizio Per risolvere ognuna i queste equazioni, visto he i riferiamo alla forma x +x + =, oiamo isegnare innanzitutto il fuoo =(, )ela irettrie : = ella paraola =. a) Diviiamo innanzitutto per 9: x 5 9 =. Mana il termine i primo grao, periò =. Traiamolair- onferenza i entro (, ) = (, 5 9 ) passante per eveiamo he intersea nei punti i asisse 5 e 5 (, 5/9). Per avere le 5 soluzioni si eve amiare segno; in questo partiolare a- 7 so si ottengono gli stessi valori: x = 5 e x = / 5/ ) Diviiamo tutto per, otteneno x x + 5 =. Aiamo =, quini traiamo la ironferenza i entro (, 5 ) passante per e veiamo he non intersea. L equazione non ha soluzioni reali. 5 ( /,5/) 5 ) Diviiamo tutto per, otteneno x x+ 9 =. Traiamo la ironferenza i en- ( /,9/) tro (, ) = (, 9 ) passante per e veiamo he risulta tangente a nel punto i a- sissa. Ciò signifia he l equazione ha una soluzione reale oppia x = ( )=. 5 / 9

15 Eserizio Per risolvere ognuna i queste equazioni, visto he i riferiamo alla forma x x + =, oiamo isegnare prima i tutto il fuoo =(, )ela irettrie : =,perhé la paraola assoiata a questo tipo i equazioni è la stessa ell eserizio. a) Diviiamo tutto per otteneno x x +=. Dato he =,siha =. Traiamo la ironferenza i entro (, ) = (, ) e passante per, la quale intersea nei punti i asisse / e. Questi ue valori orrisponono già alle soluzioni x,x ell equazione. (/,) / ) Siome eve essere =, si ha = ; la ironferenza a traiare è quella i entro (, 7) (il punto orrisponente a x x +7 = ) e passante per. Essa non intersea la retta, quini l equazione non ha soluzioni reali. 9 (/,7) ) Diviiamo tutto per otteneno x + x + 5 =. Poihé eve essere =, si ha (, ) =(, 5 ). Traiamo la ironferenza he ha tale punto ome entro e he passa per : essa intersea nei punti i asisse -5 e -/ e tali valori sono proprio le soluzioni x,x. 7 5 ( /,5/) 7 5 / 5

16 Eserizio Questo eserizio si risolve teneno onto he, se x,x sono le soluzioni ell equazione x x + =, allora vale: = x +x, = x x. a) Vale x x =, quini il luogo ei punti orrisponenti a equazioni per ui il prootto elle raii èè la retta orizzontale = (figura a sinistra). Se però vogliamo onsierare solo equazioni on soluzioni reali il ui prootto sia, allora oiamo togliere la parte i retta he sta sopra la paraola, visto he quella zona orrispone a equazioni he non hanno soluzioni reali. Il luogo i punti he otteniamo è ato alle ue semirette nella figura i estra. I ue punti ella paraola a ui partono le semirette sono ompresi e orrisponono alle equazioni on raie reale oppia uguale a eon raie oppia uguale a. = = = = ) Vale x +x =, quini il luogo ei punti orrisponenti a equazioni per ui la somma elle raii è5èlaretta vertiale = 5 (figura i sinistra). Se vogliamo onsierare solo equazioni on soluzioni reali la ui somma sia 5, allora, analogamente a quanto visto nel punto a), oiamo togliere la parte i retta he sta sopra la paraola. Il luogo ei punti risulta essere una semiretta (figura i estra). Il punto sulla paraola a ui parte la semiretta è ompreso e orrispone all equazione he ha raie reale oppia x = 5.

17 = = =5/ =5/ ) Se la somma e il prootto elle raii sono uguali, aiamo = x + x = x x =, quini il luogo ei punti erato è la retta = (figura i sinistra). Se onsieriamo solo equazioni on soluzioni reali la ui somma e il ui prootto siano uguali, allora, analogamente a quanto visto nel punto a), oiamo togliere la parte i retta he sta sopra la paraola. Il luogo i punti he otteniamo è formato alle ue semirette isegnate nella figura i estra. I ue punti sulla paraola a ui partono le semirette sono ompresi: le equazioni orrisponenti sono quelle on soluzione reale oppia x = oppure x =. = = = = ) Se una soluzione, a esempio x,è uguale a, le ue equazioni riorate all inizio ell eserizio iventano =+x, =x. Eliminano il parametro x otteniamo =, he è una retta, tangente alla paraola. Osserviamo he il punto i tangenza orrispone all equazione he ha raie oppia uguale a.

18 = = e) Se una soluzione è il oppio ell altra, a esempio x = x, le ue equazioni riorate all inizio ell eserizio iventano =x, =x. Eliminano il parametro x otteniamo = 9,heè una paraola he sta sempre sotto la paraola =eè tangente a essa nel punto (, ). Proprio perhé il luogo i punti trovato sta tutto sotto la paraola =, le soluzioni elle equazioni orrisponenti sono sempre reali. = =/9 Eserizio 5 Riferenosi alla forma x x + =, all equazione x x +( +) = si riava = +, quini nel piano (, ) questa famiglia i equazioni orrispone alla retta = +. Dalla figura si vee he una parte i tale retta sta sopra la paraola =,iò vuol ire he i sono aluni valori i

19 per ui l equazione x x +( + ) = non ha soluzioni reali. = =+ Eserizio Riferenosi alla forma x x + =, all equazione x +( +)x + = si riava = +, quini nel piano (, ) questa famiglia i equazioni orrispone alla retta =. Dalla figura si vee he tale retta sta tutta sotto la paraola =,iò signifia he per qualsiasi valore i l equazione x +( +)x + = ha entrame le soluzioni reali. Osserviamo he la retta non è tangente alla paraola, quini per queste equazioni non può aaere i avere una soluzione reale oppia. = =

20 Eserizio 7 Veiamo il aso x x + = (figura i sinistra). Per i punti ella zona rossa, traiano le tangenti alla paraola =, si trovano ue punti i tangenza on asisse positive, quini le ue soluzioni sono onori positive. Per i punti ella zona gialla i punti i tangenza hanno entrami asissa negativa, quini le ue soluzioni sono onori negative. Le equazioni orrisponenti ai punti el terzo e quarto quarante hanno invee soluzioni isori. In partiolare, nel terzo quarante la soluzione negativa, orrisponente all asissa negativa, è maggiore in moulo ella soluzione positiva, orrisponente all asissa positiva (zona eleste); nel quarto quarante vale esattamente il vieversa (zona vere); per = le ue soluzioni hanno stesso moulo, ioè sono una l opposto ell altra. L asse elle asisse può essere onsierato una zona a parte, visto he una elle ue soluzioni reali è uguale a zero: per > l altra soluzione è positiva, mentre per < l altra è negativa. Veiamo ora il aso x + x + =. I ragionamenti a fare sono analoghi a quelli fatti nel aso preeente, ma qui isogna tener onto he le soluzioni amiano segno rispetto alle asisse ei punti i tangenza. La suivisione he ne risulta è quella nella figura i estra. Eserizio Preniamo nel piano (, ) un punto generio, ma he stia al i sotto ella paraola, visto he per ipotesi l equazione x + x + = ha ue soluzioni 5

21 reali. A partire a (, ), faeno la ostruzione in nero (vei figura), si ottengono le ue asisse a >a, a ui si trovano le soluzioni x >x, ivieno per ue e amiano segno. Ora hiamiamo y >y le ue soluzioni i x x + =. Apartireal punto (, ) faiamo la ostruzione in lu (vei figura): essa risulta essere simmetria a quella preeente rispetto all asse elle orinate. Dunque, le asisse > sono tali he = a e = a. / = (,) (,) a a Segue he le soluzioni i x x + =sonoy = x e y = x,he ovviamente sono sempre reali. Eserizio 9 Per risolvere questo eserizio faiamo riferimento alla forma x x+ =. Prima i tutto iviiamo per, otteneno: x x + 5 = ; aiamo allora la relazione: = 5. Dunque questa famiglia i equazioni, nel piano (, ), è rappresentata alla retta = 5. Per quanto visto nell eserizio 7, solo la parte i retta he giae nel primo quarante, e sotto alla paraola, orrispone a equazioni he hanno soluzioni reali entrame positive. Disegnano la retta nel piano e iniviuano i suoi punti intersezione on la paraola e on l asse, siveehelarisposta all eserizio è: (, 5).

22 7 5 = (/)+5/ = (,) (5,) Eserizio Anhe per risolvere questo eserizio faiamo riferimento alla forma x x + =. Per prima osa iviiamo per, otteneno x ( +)x + =,he onfrontata on la forma i riferimento i à larelazione = ( +). Dunque questa famiglia i equazioni è rappresentata, nel piano (, ), alla retta =. Per quanto visto nell eserizio 7, solo la parte i retta he giae nel quarto quarante orrispone a equazioni he hanno soluzioni reali isori elle quali quella positiva ha moulo maggiore. Disegnano la retta nel piano e 5 = =(/) (/,) 5 (, ) 5 5 iniviuano i punti i intersezione tra essa e gli assi, si vee he la risposta all eserizio è: (, ). 7