Corso di Matematica II

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1 Corso di Matematica II Università degli Studi della Basilicata Dipartimento di Scienze Corso di laurea in Chimica e in Scienze Geologiche A.A. 2014/15 dott.ssa Vita Leonessa Elementi di geometria analitica nel piano 23 aprile 2015

2 Piano cartesiano Distanza y 0 P (x 0, y 0 ) 0 x 0

3 Piano cartesiano Distanza y 0 P (x 0, y 0 ) 0 x 0 OP = x y2 0

4 Piano cartesiano Distanza y y 0 P (x 0, y 0 ) Q(x, y) 0 x 0 x OP = x y2 0

5 Piano cartesiano Distanza y y 0 P (x 0, y 0 ) Q(x, y) 0 x 0 x OP = x y2 0 P Q = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2

6 Piano cartesiano Distanza Esercizi 1 Determinare la distanza fra le seguenti coppie di punti O(0, 0), P (1, 1); P ( 1, 1), Q(1, 2); P ( 1, 3), R(3, 0). 2 Trovare il perimetro del triangolo di vertici A(1, 2), B( 3, 2), C(2, 4). 3 Determinare il valore di x in modo tale che il triangolo di vertici O(0, 0), A(0, 2), B(1/3, x) sia equilatero.

7 Rette nel piano Retta parallela all asse delle x y = y 0 P (0, y 0 ) Q(x, y 0 ) 0 x

8 Rette nel piano Retta parallela all asse delle y x = x 0 y Q(x 0, y) 0 P (x 0, 0)

9 Rette nel piano Retta generica Equazione in forma esplicita: y = mx + q m R coefficiente angolare, q R m > 0 m < 0 (0, q/m) (q, 0) (0, q/m) (q, 0) In particolare m = 0 = retta parallela all asse delle x

10 Rette nel piano Retta generica Equazione in forma implicita: ax + by + c = 0 a, b, c R con a, b non contemporaneamente nulli In particolare a = 0, b 0 = y = c/b retta parallela all asse delle x b = 0, a 0 = x = c/a retta parallela all asse delle y In generale b 0 = y = a/b x c/b

11 Rette nel piano Retta passante per un punto e di coeff. angolare m Sia P (x 0, y 0 ) un punto del piano. La retta passante per P e avente coefficiente angolare m ha equazione y = m(x x 0 ) + y 0.

12 Rette nel piano Retta passante per due punti Dati P (x 1, y 1 ) e Q(x 2, y 2 ), l equazione della retta passante per tali punti è x x 1 = y y 1. x 2 x 1 y 2 y 1

13 Rette nel piano Retta generica Esercizi 1 Scrivere l equazione della retta di coefficiente angolare m = 2 e passante per il punto P (3, 5). 2 Scrivere l equazione della retta passante per i punti P (2, 1) e Q( 4, 1).

14 Rette nel piano Posizioni fra rette Siano r e r due rette di equazione Rette parallele r : ax + by + c = 0 ovvero y = mx + q r : a x + b y + c = 0 ovvero y = m x + q r e r sono parallele se i loro coefficienti angolari sono uguali, cioè se risulta a a = b b ovvero m = m

15 Rette nel piano Posizioni fra rette Intersezione fra rette Date r e r, con m m, le coordinate del punto di intersezione sono la soluzione del seguente sistema { { ax + by + c = 0 y = mx + q a x + b y + c ovvero = 0 y = m x + q Rette perpendicolari r e r sono perpendicolari se i loro coefficienti angolari sono reciproci e opposti, cioè se risulta aa + bb = 0 ovvero m = 1 m

16 Rette nel piano Posizioni fra rette Esercizio 1 Dire se le seguenti rette sono parallele o incidenti e in quest ultimo caso determinare le coordinate del punto di intersezione (a) 2x + 3y 1 = 0, x y 3 = 0; (b) x + y 4 = 0, 3x = 0.

17 Coniche Sono particolari curve del piano, precisamente circonferenza ellisse parabola iperbole che si ottengono tutte come intersezione tra un cono e un piano nello spazio.

18 Circonferenza Definizione Il luogo geometrico dei punti P (x, y) del piano aventi distanza r da un punto C(x 0, y 0 ) prende il nome di circonferenza di raggio r e centro C.

19 Circonferenza Definizione Il luogo geometrico dei punti P (x, y) del piano aventi distanza r da un punto C(x 0, y 0 ) prende il nome di circonferenza di raggio r e centro C. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r ovvero (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2

20 Circonferenza Sviluppando il quadrato si ottiene l equazione cartesiana della circonferenza di centro C(x 0, y 0 ) e raggio r: x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 (1) dove a = 2x 0, b = 2y 0, c = x y 2 0 r 2.

21 Circonferenza Sviluppando il quadrato si ottiene l equazione cartesiana della circonferenza di centro C(x 0, y 0 ) e raggio r: dove Si osserva che x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 (1) a = 2x 0, b = 2y 0, c = x y 2 0 r 2. r 2 = x y 2 0 c, per cui un espressione del tipo (1) individua una circonferenza solo se x y2 0 c > 0.

22 Circonferenza Esercizi 1 Scrivere l equazione della circonferenza di centro C(2, 1) e raggio r = 1/2. 2 Data la circonferenza di equazione x 2 + y 2 + x 6y + 29/4 = 0, determinare centro e raggio. 3 Determinare per quali valori di k l equazione x 2 + y 2 kx 2y + k = 0 è una circonferenza.

23 Ellisse Definizione Dati due punti F 1 e F 2, si chiama ellisse il luogo geometrico dei punti P del piano per i quali è costante la somma delle distanze da F 1 e F 2, che vengono detti fuochi dell ellisse. L equazione canonica dell ellisse è la seguente x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 dove (±a, 0) e (0, ±b) sono i punti in cui l ellisse interseca gli assi coordinati (e si dicono vertici dell ellisse)

24 Ellisse Definizione Dati due punti F 1 e F 2, si chiama ellisse il luogo geometrico dei punti P del piano per i quali è costante la somma delle distanze da F 1 e F 2, che vengono detti fuochi dell ellisse. L equazione canonica dell ellisse è la seguente x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 dove (±a, 0) e (0, ±b) sono i punti in cui l ellisse interseca gli assi coordinati (e si dicono vertici dell ellisse)

25 Ellisse Se a > b i fuochi appartengono all asse delle x, ovvero sono del tipo F 1 ( c, 0), F 2 (c, 0) e vale la seguente relazione b 2 = a 2 c 2

26 Ellisse Se a < b i fuochi appartengono all asse delle y, ovvero sono del tipo F 1 (0, c), F 2 (0, c) e vale la seguente relazione a 2 = b 2 c 2

27 Ellisse Esercizi 1 Data l ellisse 18x 2 + 8y 2 = 2 ridurre la sua equazione in forma canonica e disegnarla. 2 Determinare le coordinate dei fuochi e dei vertici dell ellisse di equazione 3x 2 + 6y 2 = 1.

28 Parabola Definizione Dati una retta d e un punto F / d, si chiama parabola di fuoco F e direttrice d il luogo dei punti del piano equidistanti da F e da d. P F

29 Parabola a > 0 Parabola con direttrice parallela all asse delle x (ed asse di simmetria parallelo all asse delle y): y = ax 2 + bx + c

30 Parabola Parabola con direttrice parallela all asse delle x (ed asse di simmetria parallelo all asse delle y): a > 0, a < 0 y = ax 2 + bx + c

31 Parabola a > 0 Parabola con direttrice parallela all asse delle y (e asse di simmetria parallelo all asse delle x): x = ay 2 + by + c

32 Parabola Parabola con direttrice parallela all asse delle y (ed asse di simmetria parallelo all asse delle x): a > 0, a < 0 x = ay 2 + by + c

33 Parabola Data l equazione della parabola, ecco come ricavare le coordinate del vertice V e del fuoco F e le equazioni della direttrice e dell asse di simmetria (i.e., asse ortogonale alla retta direttrice e passante per F): y = ax 2 + bx + c x = ay 2 + by + c ( Coordinate V b 2a, ) ( 4a 4a, b ) ( 2a Coordinate F b 2a, 1 ) ( 1 4a 4a, b ) 2a Equazione d y = 1+ 4a x = 1+ 4a Equazione asse x = b 2a y = b 2a = b 2 4ac

34 Parabola Esercizi Data la parabola di equazione y = x 2 /4 + x determinare le coordinate del fuoco e l equazione della direttrice. Data la parabola di equazione x = y 2 y + 1/2 determinare le coordinate del vertice, l equazione dell asse di simmetria e disegnarla.

35 Iperbole Definizione È il luogo dei punti P (x, y) del piano per i quali è costante la differenza tra le distanze da due punti fissi (fuochi dell iperbole). Fuochi sull asse delle x: x 2 a 2 y2 b 2 = 1

36 Iperbole Fuochi sull asse delle y: x 2 a 2 y2 b 2 = 1 y = ± b ax equazione degli asintoti

37 Iperbole Se a = b l iperbole si dice equilatera. In tal caso le equazioni degli asintoti diventano y = ±x

38 Iperbole Se a = b l iperbole si dice equilatera. In tal caso le equazioni degli asintoti diventano y = ±x

39 Iperbole L iperbole equilatera avente come asintoti gli assi coordinati ha equazione xy = k k > 0 k < 0

40 Iperbole Esercizio 1 Data l iperbole di equazione 2x 2 9y 2 = 18 determinare le coordinate dei vertici e l equazione degli asintoti. Abbozzare il suo disegno.