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1 COGNOME NOME Punti ottenuti Esame di geometria Scrivi cognome e nome negli spazi predisposti in ciascuno dei tre fogli. Per ogni domanda è indicato il punteggio espresso in trentesimi: in totale sono a disposizione 36 punti. Un punteggio compreso tra 30 e 32 corrisponde ad un voto di 30 trentesimi; un punteggio di almeno 33 corrisponde ad un voto di 30 trentesimi e lode. Per le risposte utilizza gli spazi predisposti. Quando richiesto, il procedimento va esposto brevemente, ma in maniera comprensibile. Se devi modificare una risposta che hai già scritto sul foglio, fai in modo che sia chiaro quale sia la risposta definitiva. Se la risposta risultasse poco leggibile, chiedi al docente un nuovo foglio e ritrascrivi tutte le risposte che hai dato. Al termine della prova consegna unicamente questi fogli. Non saranno ritirati fogli di brutta copia, integrazioni e simili. 1. Sia dato un omomorfismo di spazi vettoriali f : R 5 R 4. Sia f(1, 2, 0, 1, 0 = (0, 0, 0, 0 e f(0, 1, 2, 0, 0 = (0, 0, 0, 0. (a [2 punti] L omomorfismo f è suriettivo? Sì No I dati assegnati non sono sufficienti a stabilire se f è suriettivo o no (b [2 punti] Si consideri il vettore v := (1, 0, 0, 0, 0 di R 5. Esiste in R 5 un vettore w diverso da v tale che f(v = f(w? In caso affermativo esibirne uno. Sì No I dati assegnati non sono sufficienti a stabilire se esiste un vettore siffatto o no

2 Punti ottenuti Esame di geometria 2. Fissato nello spazio un sistema di riferimento affine siano dati la retta r : π : 7x + 5y hz + k = 0 con h e k parametri reali. (a [2 punti] Per quali valori di h e k la retta r è parallela al piano π? { 2x + 3y 3z + 1 = 0 3x y + 2z = 0 e il piano (b [2 punti] Per quali valori di h e k la retta r giace sul piano π?

3 COGNOME NOME Punti ottenuti Esame di geometria 3. Sia dato il sottospazio E di R 4 così definito: (a [2 punti] Determina una base di E. E := {(x, y, z, w x + y z w = 0}. (b [2 punti] Sia dato al variare del parametro reale k il vettore w k := (2, k, 1, 0 e sia F k il sottospazio vettoriale generato da w k. Per quali valori di k si ha che R 4 = E F k? (c [3 punti] Detto G il sottospazio vettoriale generato dai vettori u := (1, 0, 1, 2 e v := (1, 2, 2, 1 determina una base di E G.

4 Punti ottenuti Esame di geometria 4. Sia f l endomorfismo di R 3 che rispetto alla base canonica si rappresenta con A := (a [2 punti] Il vettore v := (1, 1, 0 appartiene all immagine di f? Sì No ( (b [3 punti] Determina una base per ciascun autospazio di A. (c [2 punti] Determina una matrice diagonale D e una matrice invertibile M tali che D = M 1 AM.

5 COGNOME NOME Punti ottenuti Esame di geometria 5. Fissato nel piano un sistema di riferimento euclideo sia dato il triangolo di vertici A := (7, 4, B := (7, 6 e C := (1, 6. (a [2 punti] Determina l intersezione delle altezze del triangolo ABC: (b [2 punti] Determina l intersezione degli assi dei lati del triangolo ABC: (c [3 punti] Determina l equazione cartesiana della circonferenza passante per i punti A, B e C:

6 Punti ottenuti Esame di geometria 6. Fissato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano, siano dati la retta r : A := (2, 3, 2 e B := (1, 0, 2. (a [2 punti] La retta s parallela a r e passante per A ha equazioni cartesiane: { x + y + z 1 = 0 x 3y + 2z 2 = 0 e i punti (b [3 punti] Il piano π parallelo a r e passante per A e B ha equazione cartesiana: (c [2 punti] La distanza tra il piano π e la retta r è:

7 COGNOME NOME Punti ottenuti Soluzione esame di geometria Scrivi cognome e nome negli spazi predisposti in ciascuno dei tre fogli. Per ogni domanda è indicato il punteggio espresso in trentesimi: in totale sono a disposizione 36 punti. Un punteggio compreso tra 30 e 32 corrisponde ad un voto di 30 trentesimi; un punteggio di almeno 33 corrisponde ad un voto di 30 trentesimi e lode. Per le risposte utilizza gli spazi predisposti. Quando richiesto, il procedimento va esposto brevemente, ma in maniera comprensibile. Se devi modificare una risposta che hai già scritto sul foglio, fai in modo che sia chiaro quale sia la risposta definitiva. Se la risposta risultasse poco leggibile, chiedi al docente un nuovo foglio e ritrascrivi tutte le risposte che hai dato. Al termine della prova consegna unicamente questi fogli. Non saranno ritirati fogli di brutta copia, integrazioni e simili. 1. Sia dato un omomorfismo di spazi vettoriali f : R 5 R 4. Sia f(1, 2, 0, 1, 0 = (0, 0, 0, 0 e f(0, 1, 2, 0, 0 = (0, 0, 0, 0. (a [2 punti] L omomorfismo f è suriettivo? Sì No I dati assegnati non sono sufficienti a stabilire se f è suriettivo o no I vettori linearmente indipendenti (1, 2, 0, 1, 0 e (0, 1, 2, 0, 0 appartengono al nucleo di f. Dunque ker f ha dimensione almeno 2. Poiché dim f(r+dim ker f = dim R 5 = 5 si ha che dim f(r = 3. Quindi f(r 5 R 4. (b [2 punti] Si consideri il vettore v := (1, 0, 0, 0, 0 di R 5. Esiste in R 5 un vettore w diverso da v tale che f(v = f(w? In caso affermativo esibirne uno. Sì No I dati assegnati non sono sufficienti a stabilire se esiste un vettore siffatto o no Un vettore w di R 5 soddisfa l uguaglianza f(w = f(v se e solo se w = v + u con u ker f. Poiché abbiamo già osservato che ker f {0}, esistono vettori verificanti la condizione richiesta. Uno di essi è, per esempio, il vettore w = v + (1, 2, 0, 1, 0 = (2, 2, 0, 1, 0.

8 Punti ottenuti Soluzione esame di geometria 2. Fissato nello spazio un sistema di riferimento affine siano dati la retta r : π : 7x + 5y hz + k = 0 con h e k parametri reali. (a [2 punti] Per quali valori di h e k la retta r è parallela al piano π? { 2x + 3y 3z + 1 = 0 3x y + 2z = 0 e il piano h = 4 k qualsiasi La retta r è parallela al piano π se e solo se la retta non è incidente il piano, cioè se e solo se l intersezione tra retta e piano non è formata esattamente da un punto. L intersezione tra retta e piano si ottiene risolvendo il sistema lineare: 2x + 3y 3z + 1 = 0 3x y + 2z = 0 7x + 5y hz + k = 0 Questo è un sistema in 3 incognite e ha esattamente una soluzione se la matrice del sistema e la matrice completa del sistema hanno entrambe rango 3: notiamo che se la matrice del sistema ha rango 3 anche la matrice completa del sistema (che è una matrice di tipo (3, 4 ha necessariamente rango 3. La matrice del sistema è A := ( h il cui determinante è 11h 44, che si annulla se e solo se h = 4. Dunque, se h 4 la matrice del sistema ha rango 3 e la retta e il piano sono incidenti, mentre se h = 4 la matrice del sistema ha rango minore di 3 e la retta e il piano sono paralleli. (b [2 punti] Per quali valori di h e k la retta r giace sul piano π? h = 4 k = 2 Affinché la retta r giaccia sul piano, la retta deve essere innanzitutto parallela al piano, e quindi deve essere h = 4. In tal caso la matrice del sistema ha rango 2 e un minore di ordine 2 invertibile estratto dalla matrice del sistema è, ad esempio, quello formato dalle prime 2 righe e 2 colonne. Questo minore ha, nella matrice completa ( del sistema, 2 orlati: uno è la matrice A che sappiamo già avere determinante nullo, l altro è il minore il cui determinante è 22 11k. Dunque, se k 2 la matrice completa del sistema 7 5 k ha rango 3 e il piano e la retta hanno intersezione vuota, mentre se k = 2 la matrice completa del sistema ha rango 2 e la retta e il piano hanno intersezione dipendente da 3 2 parametri, ovvero l intersezione tra retta e piano è una retta, cioè r stessa.

9 COGNOME NOME Punti ottenuti Soluzione esame di geometria 3. Sia dato il sottospazio E di R 4 così definito: (a [2 punti] Determina una base di E. ( 1, 1, 0, 0, (1, 0, 1, 0, (1, 0, 0, 1 E := {(x, y, z, w x + y z w = 0}. Risolvendo l equazione x + y z w = 0 si può esprimere, ad esempio, x in funzione di y, z e w ed ottenere così: E = {( y + z + w, y, z, w y R, z R, w R}. Ponendo prima y = 1, z = 0 e w = 0, poi y = 0, z = 1 e w = 0 e, infine y = 0, z = 0 e w = 1 otteniamo una base per E. (b [2 punti] Sia dato al variare del parametro reale k il vettore w k := (2, k, 1, 0 e sia F k il sottospazio vettoriale generato da w k. Per quali valori di k si ha che R 4 = E F k? k 1 Affinché sia R 4 = E F k deve essere E + F k = R 4 e E F k = {0}. Poiché w k 0, il sottospazio F k ha dimensione 1 qualunque sia k. Dunque E F k può avere dimensione 0 o 1: ha dimensione 1 se e solo se E contiene F k, cioè se e solo se E contiene w k ; quindi E F k = {0} se e solo se E non contiene w k. Il vettore (2, k, 1, 0 appartiene a E se e solo se 2 + k 1 0 = 0 cioè k = 1. Pertanto per k 1 si ha E F k = {0}. Poiché E ha dimensione 3, per tali valori di k dalla formula di Grassmann si ha e, dunque, E + F k = R 4. dim(e + F k = dim E + dim F k dim(e F k = dim(e F k = 4, (c [3 punti] Detto G il sottospazio vettoriale generato dai vettori u := (1, 0, 1, 2 e v := (1, 2, 2, 1 determina una base di E G. (1, 2, 2, 1 Il sottospazio G è l insieme delle combinazioni lineari dei vettori u e v: α(1, 0, 1, 2 + β(1, 2, 2, 1 = (α + β, 2β, α + 2β, 2α + β. Il vettore (α + β, 2β, α + 2β, 2α + β appartiene a E se e solo se (α + β + 2β (α + 2β (2α + β = 0, cioè 2α = 0, vale a dire α = 0. Dunque E G = {(β, 2β, 2β, β β R}. Una base per E F si ottiene scegliendo, ad esempio, β = 1.

10 Punti ottenuti Soluzione esame di geometria 4. Sia f l endomorfismo di R 3 che rispetto alla base canonica si rappresenta con A := (a [2 punti] Il vettore v := (1, 1, 0 appartiene all immagine di f? Sì No ( Il vettore v appartiene all immagine di f se e solo se esiste un vettore colonna xy A( = z ( 11 0 x y + z = 1. Questo è equivalente a dire che il sistema x + y z = 1 x y + z = 0 equazione sono chiaramente incompatibili: pertanto v non appartiene all immagine di f. (b [3 punti] Determina una base per ciascun autospazio di A. ( xy z tale che è risolubile. La prima e la terza Autovalore λ Base dell autospazio E(λ 0 (1, 1, 0, ( 1, 0, 1 3 (1, 1, 1 Il polinomio caratteristico di A è det(a xi = 1 x x x = x 3 + 3x 2 = x 2 (3 x, che si annulla per 0 con molteplicità 2 e 3 con molteplicità 1. Per trovare una base di E(0 risolviamo il sistema lineare omogeneo associato alla matrice A 0 I: x y + z = 0 x + y z = 0 x y + z = 0 le cui soluzioni sono (h k, h, k con h e k parametri reali. Una base di E(0 si ottiene ponendo prima h = 1 e k = 0 e poi h = 0 e k = 1. Per trovare una base di E(3 risolviamo il sistema lineare omogeneo associato alla matrice A 3 I: 2x y + z = 0 x 2y z = 0 x y 2z = 0 le cui soluzioni sono (h, h, h con h parametro reale. Una base di E(3 si ottiene ponendo h = 1. (c [2 punti] Determina una matrice diagonale D e una matrice invertibile M tali che D = M 1 AM D := M := Sulla diagonale della matrice D abbiamo riportato gli autovalori di A, ciascuno un numero uguale alla dimensione del corrispondente autospazio. Poiché abbiamo riportato l autovalore 0 sulla prima e sulla seconda colonna di D, abbiamo riportato sulla prima e seconda colonna di di M le componenti, rispetto alla base canonica, di due vettori che formano una base per l autospazio relativo a 0. Poiché abbiamo riportato l autovalore 3 sulla terza colonna di D, abbiamo riportato sulla terza colonna di M le componenti, rispetto alla base canonica, di un vettore che forma una base per l autospazio relativo a 3.

11 COGNOME NOME Punti ottenuti Soluzione esame di geometria 5. Fissato nel piano un sistema di riferimento euclideo sia dato il triangolo di vertici A := (7, 4, B := (7, 6 e C := (1, 6. (a [2 punti] Determina l intersezione delle altezze del triangolo ABC: (11, 6 Basta ovviamente intersecare due delle altezze. La retta passante per A e B è parallela all asse delle y. La generica retta ortogonale al lato AB ha allora equazione cartesiana y+c = 0. Imponendo il passaggio per il punto C troviamo quindi che l altezza relativa al lato AB ha equazione y 6 = 0. La retta passante per A e C ha parametri direttori (1 7, 6 4 = ( 6, 2 o, equivalentemente, (3, 1. La generica retta ortogonale al lato AC ha allora equazione cartesiana 3x y + c = 0. Imponendo il passaggio per B troviamo la condizione 3 7 ( 6 + c = 0 da cui otteniamo c = 27. L altezza relativa al lato AC ha allora equazione 3x y 27 = 0. Mettendo a sistema le equazioni delle due altezze trovate, determiniamo il punto (11, 6. (b [2 punti] Determina l intersezione degli assi dei lati del triangolo ABC: (2, 1 Basta ovviamente intersecare due degli assi. Dal punto precedente sappiamo già che la generica retta ortogonale al lato AB ha equazione cartesiana y + c = 0. Il punto medio di A e B è ( 7+7 2, = (7, 1. Imponendo il passaggio per questo punto troviamo quindi che l asse del lato AB ha equazione y + 1 = 0. Dal punto precedente sappiamo già che la generica retta ortogonale al lato AC ha equazione cartesiana 3x y+c = 0. Il punto medio di A e C è ( 7+1 2, = (4, 5. Imponendo il passaggio per questo punto troviamo quindi la condizione c = 0 da cui otteniamo c = 7. L asse del lato AC ha allora equazione 3x y 7 = 0. Mettendo a sistema le equazioni dei due assi trovati, determiniamo il punto (2, 1. (c [3 punti] Determina l equazione cartesiana della circonferenza passante per i punti A, B e C: (x (y = 50 Il centro della circonferenza passante per i punti A, B e C è l intersezione degli assi trovati al punto precedente, cioè il punto (2, 1. Per determinare il raggio della circonferenza basta calcolare la distanza tra il centro e uno qualunque dei vertici del triangolo, ad esempio A. Si trova così ( (4 ( 1 2 = 50. La circonferenza ha allora equazione cartesiana (x (y = 50.

12 Punti ottenuti Soluzione esame di geometria 6. Fissato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano, siano dati la retta r : A := (2, 3, 2 e B := (1, 0, 2. (a [2 punti] La retta s parallela a r e passante per A ha equazioni cartesiane: { x + y + z 3 = 0 x 3y + 2z + 11 = 0 { x + y + z 1 = 0 x 3y + 2z 2 = 0 e i punti La retta r è data come intersezione dei piani α: x + y + z 1 = 0 e β : x 3y + 2z 2 = 0. Consideriamo il fascio di piani paralleli a α: x + y + z + k = 0. Imponendo il passaggio per A troviamo ( 2 + k = 0, da cui ricaviamo k = 3. Il piano α parallelo a α e passante per A ha allora equazione x + y + z 3 = 0. Consideriamo ora il fascio di piani paralleli a β: x 3y + 2z + k = 0. Imponendo il passaggio per A troviamo ( 2 + k = 0, da cui ricaviamo k = 11. Il piano β parallelo a β e passante per A ha allora equazione x 3y + 2z + 11 = 0. La retta s è l intersezione di α e β. (b [3 punti] Il piano π parallelo a r e passante per A e B ha equazione cartesiana: 3x y + 4z + 5 = 0 Il piano π, essendo parallelo a r, è parallelo anche a s. Poiché π contiene un punto di s, cioè A, il piano π contiene la retta s. Se ora consideriamo il fascio di piani passanti per s λ(x + y + z 3 + µ(x 3y + 2z + 11 = 0, e imponiamo il passaggio per il punto B otteniamo la condizione λ( µ( ( = 0 vale a dire 4λ + 8µ = 0. Ponendo, ad esempio, λ = 2 e µ = 1 nell equazione del fascio otteniamo il piano cercato. (c [2 punti] La distanza tra il piano π e la retta r è: 9 26 Poiché la retta e il piano sono paralleli, la distanza tra essi è uguale alla distanza tra un punto arbitrario sulla retta e il piano. Prendiamo allora un punto su r, ad esempio P := (0, 0, 1, e calcoliamo la sua distanza da π: d(r, π = d(p, π = = (

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