Precorso di Matematica

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1 Precorso di Matematica Lezione 3 Andrea Susa OPERATORE DI PRODOTTO Π 2 1

2 Operatore di prodotto Π Consideriamo un insieme numerico ={ =1, }. Definiamo prodotto degli elementi in, = Esempio: ={ =1, =2, =3, =5, =7, =13} = = =2730 ( ) = = =( 1)( 2)( 3)( 5)( 7)( 13) 3 Operatore di prodotto Π Proprietà dell operatore prodotto Π 1. = = 2. =( ) ( 3. ( ) = ) per ogni costante c per ogni per ogni costante c 4. ( )= ( ) 4 2

3 Fattoriale Fattoriale!=() Proprietà del fattoriale: 0!=1!= 1! Esempi: 5!= = =120 9!= = 5! = = Esercizi 1. Sia =+2 Calcolare 2. Sia =. Calcolare e 3. Sia = +2e =3. Calcolare: a),, ) b) c) ( + ) d) ( 3

4 EQUAZIONI LOGARITMICHE Equazioni e disequazioni logaritmiche Sia >0, una base e un polinomio di grado almeno 1. Un equazione logaritmica è un equazione del tipo: log = Che è equivalente a risolvere l equazione del tipo: log =log ovvero = 4

5 Esempio Calcolare log +7 =log13 Supponiamo +7>0. Allora l equazione diventa: log +7 =log13 +7=13 =6 Esempio Calcolare log 2 +log 3 =log4 Supponiamo 2>0e 3>0. Allora l equazione diventa: log 5+6 =log4, = 5+6=4 5+2=0 5± = 5±

6 Esempio Calcolare log( +1)=0 Calcoliamo log +1 =log1 +1=1 =0 Esercizi 1. calcolare log(3 2)+2log=0 2. calcolare log( +2)=log 3 3. Calcolare log (+12)=1 6

7 9. SISTEMI LINEARI Sistemi lineari Un sistema lineare di equazioni può essere scritto nelle seguenti forme: + = + = + + = + + = + + = 7

8 Sistemi lineari Un sistema lineare in due equazioni in due incognite: + = + = si dice determinato se 0, allora possiede un unica soluzione. si dice indeterminato se =, allora possiede infinite soluzioni si dice impossibile se, allora non possiede soluzioni Sistemi lineari: metodo sostituzione Si determina il valore di una variabile rispetto all altra e poi si risolve l equazione rimanente +3=7 2 =0 Risolviamo rispetto alla II equazione nella variabile y +6=7 =2 +3=7 =2 Sostituiamo nella I equazione il valore determinato per y e poi risolviamo =1 =2 8

9 Sistemi lineari: metodo confronto Si determina il valore di una delle variabili in entrambe le equazioni e poi si confrontano +3=7 2 =0 Risolviamo rispetto alla II equazione nella variabile y Si confrontano le equazioni: = 1 3 (7 ) =2 1 =1 3 7 =2, =1, =2=2 Esercizi Calcolare le soluzioni, se esistono, dei seguenti sistemi: = 2 3+2= 3 2. = 1 3+5= = =0 =1 4. =1 +=1 =2 9

10 ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA PIANO CARTESIANO, PUNTI E DISTANZA, SIMMETRIE 10

11 Piano cartesiano II quadrante: <0,>0 I quadrante:,>0 (, ) (0,0) III quadrante:,<0 IV quadrante: >0,<0 Distanza tra due punti =(, ), = + =(, ) 11

12 Punto medio tra due punti =(, ) (;)=, (,) =(, ) Simmetrie nel piano I Simmetria rispetto asse (, ) =(, ) =(, ) Simmetria rispetto (0,0) =(, ) Simmetria rispetto asse 12

13 RETTA NEL PIANO Equazione della retta Ad ogni retta nel piano corrisponde un equazione lineare in due variabili del tipo ++=0, con e non entrambi nulli (0,) = Retta parallela all asse (,0) = Retta parallela asse 13

14 Equazione della retta Dalla geometria euclidea sappiamo che per due punti distinti passa una ed una solo retta =(, ) =(, ) Retta passante per A e B = Equazione della retta Equazione della retta: ++=0 forma implicita =+ forma esplicita Per passare dalla forma implicita alla forma esplicita ++=0 = = / coefficiente angolare = / ordinata all origine Equazione della retta di coefficiente angolare e passante per il punto (, ). = + 14

15 Parallelismo e perpendicolarità Due rette di equazioni := + e := + sono tra loro: Parallele se = Perpendicolari se = 1 Due rette di equazioni : + + =0e : + + =0sono tra loro: Parallele se Perpendicolari se = = Intersezione tra rette Date due rette equazioni := + e := +,allora sono possibili sono tre casi: = + = + Incidenti Soluzione: =( )/( ) parallele e distinte = e Sistema è impossibile parallele e coincidenti = e = Sistema è indeterminato 15

16 Fascio di rette Definiamo fascio proprio di rette di centro il punto (, )l insieme di tutte le rette passanti per il punto. Definiamo fascio improprio di rette generato da una retta l insieme di tutte le rette parallele a. Esempio 1 Il punto (, +1)dove si trova nel piano cartesiano? >0 <0 16

17 Esempio 2 Sia :=3. Determinare la retta, perpendicolare a e passante per ( 3,0). =3 = 3 Esempio 3 Costruire la retta passante per i punti (0,1)e (3, 5) L equazione della retta passante per due punti è data da = ( ) 1= ( 0) =

18 Esempio 4 Calcolare l area sottointesa dalla curva =2+1nell intervallo (0,3) =6 Esercizi Determinare l equazione della retta e disegnarla sul piano cartesiano, in base ai parametri sotto indicati: 1. passante per i punti (0,1)e ( 1;3) 2. passante per i punti ( 2,1)e (15) 3. parallela all asse delle ordinate e passante per il punto (3, 5) 4. parallela all asse delle ascisse e passante per il punto ( 2,4) 5. parallela alla retta :=2 1e passante per (0,4) 6. perpendicolare alla retta := 3 1e passante per (2, 1) 18

19 CONICHE: PARABOLA Parabola La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da una retta (detta direttrice) e da un punto fisso (detto fuoco). Equazione parabola = ++, >0 Fuoco direttrice 19

20 Parabola La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da una retta (detta direttrice) e da un punto fisso (detto fuoco). asse Equazione parabola = ++, >0 Caratteristiche Vertice: =, Fuoco vertice Fuoco: =, Asse: = direttrice Direttrice: = Parabola Concavità della parabola = ++, <0 = ++, >0 20

21 Parabola Retta esterna, retta secante e retta tangente Retta secante Retta tangente Retta esterna Parabola Dal punto di vista algebrico, data la parabola = ++ e la retta =+, la posizione è determinata dalle soluzioni del sistema: = ++ =+ Ovvero dalle soluzione dell equazione: + + =0 Il Δ associato vale: Δ= 4( ) Se Δ>0la retta è secante Se Δ=0la retta è tangente Se Δ<0la retta è esterna 21

22 Esercizi 1. Disegnare nel piano cartesiano la parabola =3 2+10e scrivere le coordinate del vertice e del fuoco, e le equazioni dell asse e della direttrice 2. disegnare la parabola di equazione = 1, e scrivere le coordinate del vertice e del fuoco, e le equazioni dell asse e della direttrice 3. Scrivere l equazione della parabola con fuoco di coordinate (0, 3)e la direttrice di equazione =1. 4. scrivere l equazione della parabola passante per i punti (0,1), (2,3)e ( 2,6) 22

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