GONIOMETRIA GONIOMETRIA E TRIGONOMETRIA LEZIONI. Introduzione alla goniometria e alla trigonometria

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1 GNIMETRIA E TRIGNMETRIA LEZINI GNIMETRIA Intoduzione ll goniometi e ll tigonometi Goniometi e tigonometi ono due temini che deivno dl geco e ignificno ipettivmente miu degli ngoli e miu dei tingoli. Le oigini dell goniometi e dell tigonometi ono i lontne nel tempo; ilgono qulche ecolo pim di Cito e ono inizilmente ipite d eigenze legte ll ioluzione di vi polemi ptici delle cienze pplicte come fiic, tonomi, geogfi, topogfi, nvigzione, ecc., dove i peentno di continuo polemi nei quli occoe clcole, con un dt ppoimzione, l miu degli elementi di un tingolo (cioè dei lti e degli ngoli). Tli polemi ono ffontti dll Tigonometi. Quet nc dell mtemtic i occup ppunto di miue gli elementi di un tingolo conocendone te di ei, di cui lmeno uno i un lto. Pe molti ecoli, l tigonometi dovette i uoi pogei qui ecluivmente ll'ope di gndi tonomi e geogfi. Inftti, l fondzione di quet cienz i deve Ippco di Nice ( C.), poilmente il mimo tonomo dell'ntichità, e Cludio Tolomeo (200 d.c.), tonomo e geogfo, più che mtemtico. Ad Ippco i deve il pimo tenttivo di cl- Ippco di Nice ( C.) colo dell ditnz te-lun e te-ole medinte l'ppliczione dell tigonometi. Egli ottenne un miuzione molto peci dell ditnz te-lun ( km conto i km eli), mente non iultò ltettnto etto, cu dell enome lontnnz e dell impeciione degli tumenti llo diponiili, il clcolo dell ditnz te-ole, che tuttvi fu metodologicmente coetto. A ptie dl ediceimo ecolo l tigonometi i vilupp e i ffem nche come diciplin utonom, ggiungendo quel igoe teoico e quell petto fomle e imolico ctteitici del linguggio mtemtico. ggi ono en pochi i mi dell fiic, i clic che moden, che non contemplno pe l loo tttzione il clcolo goniometico e tigonometico. Pe ffonte le polemtiche di cui i occup l tigonometi è oppotuno intodue cete funzioni che dipendono olo dgli ngoli, dette funzioni goniometiche, che pemettenno di mettee Pof. Slvtoe Scilpi - Pg. 1/8

2 GNIMETRIA E TRIGNMETRIA in elzioni t loo i lti e gli ngoli di un tingolo. Petnto, nell pim pte di queto lvoo ci occupeemo di tilie lcuni concetti ili ugli ngoli e ull loo miu, di definie le funzioni goniometiche e di tudine le popietà. 1 Angoli e loo miue 1.1 Angoli oientti Dte in un pino due emiette e venti l te oigine, i definice ngolo cicun delle due pti del pino delimitte dlle due emiette. Il punto i dice vetice dell ngolo e le due emiette lti dell ngolo. Un ngolo i dice oientto qundo i tto tilito qule dei uoi lti è il pimo e qule il econdo. In tl co l ngolo può eee pento come geneto dll otzione del pimo lto (lto oigine) veo il econdo (lto temine), fino ll ovppoizione dei due. 2 lto 1 lto 1 lto 2 lto Pe convenzione, i conide poitivo un ngolo che i ottiene con un otzione ntioi, negtivo un ngolo che i ottiene con un otzione oi. 2 lto 1 lto poitivo negtivo 1 lto 2 lto 1.2 Tipologie di ngolo Si definice ngolo etto quell ngolo ottenuto dll otzione di un quto di gio ttono l popio vetice di uno dei due lti dell ngolo; l ngolo pitto è quello ottenuto dll otzione di Pof. Slvtoe Scilpi - Pg. 2/8

3 GNIMETRIA E TRIGNMETRIA mezzo gio ttono l popio vetice mente l ngolo gio è quello ottenuto dll otzione di un gio completo. Un ngolo i dice cuto qundo miu meno di un ngolo etto; è ottuo qudo è mggioe di un ngolo etto. Angolo cuto Angolo etto Angolo ottuo. Angolo pitto. Angolo gio Miu degli ngoli nel item egeimle Pe miue un gndezz occoe fie l unit di miu: meto, lito, meto qudto ecc. Vie ono le unità di miu pe gli ngoli. T quelle mggiomente utilizzte tovimo il gdo egeimle che è l 360 pte dell ngolo gio. L enteim pte del gdo i dice minuto pimo ed è indict con il imolo [ ]. gni minuto pimo i uddivide in 60 minuti econdi, indicti con il imolo [ ]. Il econdo h come ottomultiplo il decimo, il centeimo, il milleimo ecc In fomule: 1 1 = = = Il item di miuzione degli ngoli in gdi egeimli ile ll ntic civiltà ilonee. L notzione in gdi, pimi e econdi è indict dll igl DMS (Degee, Minute, Second ovveo Gdi - Minuti - Secondi). A fonte di qunto qui convenuto, l ngolo gio miu 360, l ngolo pitto 180 e l ngolo etto 90. Fom decimle dei gdi I ottomultipli del gdo, olte che in pimi e econdi, poono eee epei in fom decimle DD (Deciml Degee). Utilizzndo l clcoltice, pe convetie il vloe di un ngolo d gdi, minuti pimi e econdi in gdi decimli teà ue l funzione: DMS DD. Mnulmente, e l ngolo è epeo nell fom: gdi minutipimi' minutiecondi" l conveione dovà tfome i minuti pimi ed i minuti econdi in gdi. Conideto che 1 minuto pimo è l enteim pte del gdo e che il minuto econdo è l 3600-pte del gdo, llo: minuti econdi gdi + + = gdi decimli In ptic, un ngolo epeo nell notzione decimle potà eee convetito nell fom DMS Ad eempio diventno = 14, Pe convetie il vloe di un ngolo epeo in gdi decimli in uno in gdi, minuti e econdi i u l eguente pocedu: Pof. Slvtoe Scilpi - Pg. 3/8

4 GNIMETRIA E TRIGNMETRIA 1) l pte inte in gdi è l te; 2) l pte decimle viene moltiplict pe 60; di tle podotto l pte inte dà il vloe dei minuti; 3) i moltiplic l pte decimle del podotto nco pe 60: il iultto è il vloe dei econdi. Ad eempio volendo convetie 52,4725 in gdi DMS i h: 1) D = 52 2) 0, = 28,35 M = 28 ; 3) 0,35 60 = 21 S = 21. e quindi 52,4725 (DD) Pe convetie il vloe di un ngolo d gdi, minuti e econdi in gdi decimli i u l eguente fomul: 1.3 Miu degli ngoli in dinti Un'lt unità di miu pe gli ngoli è il dinte: è l ngolo l cento di un ciconfeenz iti che ottende un co di lunghezz pi l uo ggio. In ptic, e l lunghezz dell co otteo è, d eempio, met di quell del ggio, l ngolo è di mezzo dinte; e e doppi di quell del ggio, l ngolo è di due dinti; A L miu di α in dinti è ugule l ppoto t l co AB α B ed il ggio, cioè: α =. Conidendo che l lunghezz di un ciconfeenz di ggio è pi 2π, con emplici clcoli poimo ottenee le miue in dinti degli ngoli gio, pitto e etto, cioè: miu dell ngolo gio in dinti: 2 π = 2π π miu dell ngolo pitto in dinti: = π miu dell ngolo etto in dinti: 1 π π = 2 2 π dinti π dinti 2π dinti 2.. Pof. Slvtoe Scilpi Angolo - pitto Angolo gio Pg. 4/8 Angolo etto

5 GNIMETRIA E TRIGNMETRIA Nell ptic, è peo neceio pe pe dlle miue di un ngolo in gdi quelle dello teo ngolo in dinti. A tl fine, e indichimo con α l miu in gdi di un ngolo, pe ottenee l equivlente miu in dinti, α, t utilizze l eguente popozione: d cui: 180 : π = α : α α π 180 α α = e α = 180 π Eempi: 1) Epimee in dinti l miu dell ngolo di π Ponendo α = 25, nell pim fomul i h: α = 180 = π. 2) Epimee in gdi l miu dell ngolo di 2 π dinti. π 180 π 180 Ponendo α =, nell pim fomul i h: 2 α = = = 90 2 π 2 3) Epimee in gdi l miu dell ngolo di 1 dinte. Ponendo = 57, '45" π α = 1, nell pim fomul i h: α ( ) (N.B. π = 3, ). 1.4 Angoli oientti mggioi di un ngolo gio Si α l ngolo individuto dlle emiette e venti oigine comune, ottenuto dll otzione del pimo lto ul econdo lto, come in figu. α Pof. Slvtoe Scilpi - Pg. 5/8

6 GNIMETRIA E TRIGNMETRIA Immginimo di continue muovee il lto in eno ntioio: l ngolo α umenteà vi vi e dopo un quto di gio emo 90, dopo mezzo gio emo 180, dopo un gio completo emo 360. Continundo, l miu dell ngolo decitto umenteà ulteiomente olte 360. È in queto modo che ono d intendei definiti gli ngoli di mpiezz mggioe di 360. Volendo genelizze, dett α l mpiezz di un ngolo di lti e, tutti gli ngoli β venti gli tei lti, epei in gdi, ono otteniili dll eguente elzione: β = α + k360 dove k è un inteo eltivo che indic il numeo di gii completi che l emiett, dopo ve decitto l ngolo di mpiezz α, compie ttono l vetice. In pticole, k è poitivo o negtivo econd che l emiett compi i gii completi in eno ntioio o in eno oio. α β α β Figu 1 Figu 2 In Figu 1 l ngolo β è ottenuto dll ngolo α più un gio completo in eno ntioio, quindi: β = α In Figu 2 l ngolo β è ottenuto dll ngolo α più due gii completi in eno oio, quindi: β = α = α Funzioni goniometiche Dte due viili, x e y, con x elemento dell inieme A e y elemento dell inieme B, i f un legge che mette in elzione gli elementi del pimo inieme con quelli del econdo. Si dice che f è un funzione di x e d ogni vloe dell pim viile ne f coipondee uno ed uno olo dell e- Pof. Slvtoe Scilpi - Pg. 6/8

7 GNIMETRIA E TRIGNMETRIA cond. Le funzioni nelle quli l viile indipendente è un ngolo (o un co) vengono dette goniometiche o cicoli. 2.1 L ciconfeenz goniometic In un pino cteino xy, i dt l ciconfeenz con il cento nell oigine degli i e ggio unitio. Supponimo inolte che come veo di pecoenz del geneico punto P dell ciconfeenz i tto fito quello ntioio. Un ciconfeenz ifftt à chimt d o in poi ciconfeenz goniometic. Si o α un ngolo oientto ottenuto fcendo muovee il punto B ull ciconfeenz ptendo dl punto A(1; 0) (fig. 5). Il punto B è detto il punto ocito ll ngolo α ull ciconfeenz goniometic. In figu 3 ono ipotti i punti ociti gli ngoli pticoli. Il punto A è ocito ll ngolo di 0 e nche ll ngolo di 360 ; il punto B è ocito ll ngolo etto; il punto C ll ngolo pitto; il punto D è ocito ll ngolo di 270. Pe definie le funzioni goniometiche elementi iult oppotuno conidee fio il lto oigine degli ngoli e viile il econdo. Rifeito un pino d un item cteino otogonle xy convenimo di umee come emiett oigine degli ngoli il emie poitivo delle cie. Nell fgu 4 è ppeentto l'ngolo oientto (poitivo) il cui pimo lto è il emie poitivo delle cie ed il econdo l emiett. Si P un geneico punto dell emiett, ino xp e yp le ue coodinte e i P l ditnz olut di P dll'oigine. I qutto ppoti: yp x y P p xp,,, P P x y P p non dipendono dll poizione di P u. Lo i puµo veifice pendendo u un econdo P' e conidendo l imilitudine che intecoe t i due tingoli ettngoli PH e P'H'. I qutto uddetti ppoti dipendono olo dll'mpiezz dell'ngolo α, ono dunque funzioni di α. Al pimo i dà il nome di eno di eno di α, en(α ), l econdo di coeno di α, co(α ), l tezo di tngente di α, tg(α ) e ll ultimo di cotngente di α, ctg(α ). Pof. Slvtoe Scilpi - Pg. 7/8

8 GNIMETRIA E TRIGNMETRIA Pof. Slvtoe Scilpi - Pg. 8/8