Valore attuale di una rendita. Valore attuale in Excel: funzione VA

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1 Valore attuale d una rendta Nella scorsa lezone c samo concentrat sul problema del calcolo del alore attuale d una rendta S che è dato n generale da V ( S) { R ; t, 0,,,..., n,... } n 0 R ( t ), doe (t ) rappresenta l fattore d attualzzazone. Nel regme dello sconto composto, abbamo sto derse formule; ad esempo, l alore attuale d una rendta untara mmedata postcpata d n rate è par ad "a fgurato n al tasso ", che è dato da a n, n ( + ) n. Valore attuale n Excel: funzone VA

2 Valore attuale n Excel Nell' esempo abbamo rcaato l alore attuale d una rendta d 0 rate d mporto R0 al tasso d alutazone d perodo del 0%. Qund possamo erfcare che (.) V ,446. La funzone VA assume come nput obblgator l tasso d nteresse, la rata R e la durata della rendta n. Un metodo alternato, che s applca anche a rendte a rate arabl, è basato sulla funzone VAN. Per questa funzone è necessaro nserre l'ntero ettore delle R delle rate; le scadenze sono comunque equnterallate (rendta perodca). Il tasso è l tasso relato al perodo untaro. Per calcolare nece l alore attuale d una generca rendta non perodca e a rate arabl, occorre utlzzare la funzone VAN.x, che ha come nput anche l ettore delle scadenze. Valore attuale n Excel: funzone VAN

3 Valore attuale n Excel: funzone VAN.x Calcolo della rata Un problema alternato è quello del calcolo della rata, conoscendo l alore attuale. La soluzone è mmedata: dalla formula V V Ran, ottenamo R. a n, Ad esempo, calcolamo l'mporto della rata R d una rendta mensle postcpata d durata decennale affnchè l alore attuale sa par a Euro, nel regme dello sconto composto al tasso annuo del 5%. Osseramo nnanztutto che essendo le rate mensl, l'untà d msura de temp pù naturale è l mese; pertanto calcolamo l tasso equalente mensle (.05) 0,407% 3

4 Calcolo della rata Ottenamo qund a 0,0.407% n Dee qund alere R 055 Euro crca Come edremo, questa è la tpca condzone che esprme la equtà fnanzara d un pano d ammortamento d un mutuo; l alore attuale delle rate dee essere par al debto nzale. Calcolo del numero d rate Un problema analogo è l seguente: quante rate d mporto R sono necessare per aere un alore attuale par almeno a V, fssato l tasso d sconto? In questo caso l'ncognta è l numero d rate n. Dalla formula n n ( + ) V Ran, R R dobbamo cercare d rcaare n; ottenamo V n n V ( + ) da cu( + ) coè R R V ln( ) V nln( + ) ln( ) e nfne n R. R ln( + ) 4

5 Calcolo del numero d rate Vedamo un esempo. Quante rate mensl d 000 Euro sono necessare per aere una alore attuale d Euro, al tasso d sconto annuo del 0%? Osseramo nnanztutto che se l tasso d sconto fosse 0, l numero d rate necessaro sarebbe 00. Qund l rsultato dee essere un numero d rate maggore d 00. Come prma, dobbamo nnanztutto calcolare l tasso mensle equalente: Applchamo ora la formula (.) 0,797% V ln( ) ln( ) n R ,865 ln( + ) ln(.00797) Calcolo del numero d rate Ancora due osserazon sulla formula V ln( ) n R ln( + ) L'argomento del logartmo al numeratore è posto se V R R > 0 coè sev < ; questo è sempre erfcato perché l alore attuale della nostra rendta fnta è sempre nferore al alore attuale della rendta perpetua, che è par a R/. Inoltre, osseramo che quando tende a 0 s ha V ln( ) lm R + lm 0 ln( + ) V R V. 0 + R 5

6 Calcolo del tasso Un ultmo tpo d problema è quello n cu l'ncognta è l tasso d sconto. Dalla equazone n V ( + ) R n lnea d prncpo è possble rcaare, tuttaa s tratta d una equazone algebrca d grado n che n generale non ammette una formula rsoluta smle ad esempo a quella delle equazon d secondo grado. La determnazone del tasso è possble solo per a numerca. Rtorneremo su questo problema quando ntrodurremo l fondamentale concetto d tasso nterno d rendmento d una operazone fnanzara. Vedamo un semplce esempo. Consderamo una rendta annua mmedata antcpata d 3 rate d mporto par a 00. Quale tasso produce un alore attuale par a 80? Ponendo come sempre, + dobbamo rsolere la equazone Calcolo del tasso da cu ± ± 8000, con

7 Calcolo del tasso La seconda soluzone non ha edentemente sgnfcato fnanzaro, n quanto <0; la prma soluzone corrsponde a un tasso par a 7,3%. Vedamo ora un esempo pù complcato, che rsoleremo con l'auto d Excel. Consderamo un BTP d durata trennale che paga cedole semestral par al %: Il ttolo è quotato a 97. Qual è l tasso annuale per cu l alore attuale de fluss futur garantt dal possesso del BTP è par a 97? Come edremo, tale tasso prende l nome d rendmento effetto lordo del BTP. Calcolo del tasso Se ndchamo con l tasso semestrale, coè se + allora la equazone che dobbamo rsolere è, S tratta d una equazone d sesto grado; può essere rsolta solo numercamente. In Excel questo può essere fatto attraerso le funzon Rcerca Obetto (Goal See) oppure attraerso l componente aggunto Rsolutore (Soler). Inoltre, tra le funzon fnanzare, ne esstono derse specfcamente costrute per la rcerca del tasso nterno d rendmento d una operazone. Spermentate le funzon fnanzare d Excel! 5 6 7

8 Calcolo del tasso n Excel Calcolo del tasso n Excel 8

9 Calcolo del tasso n Excel Calcolo del tasso n Excel qund,55%

10 Rendte perpetue a rate arabl Nella scorsa lezone abbamo sto che l alore attuale d una rendta perpetua mmedata postcpata d rata untara è par a V lm n + an, lmn. + In questa lezone consderamo due esemp d rendte perpetue con rate arabl: le rendte perpetue con rate crescent n progressone geometrca e le rendte perpetue con rate crescent n progressone geometrca. In ogn caso, l alore attuale d una rendta perpetua è la somma d una sere. Nel caso della rendta perpetua con rate costant, abbamo utlzzato la formula per la somma della sere geometrca. n Rendte perpetua rate crescent n progressone geometrca Partamo da un esempo. Un ttolo azonaro paga l prossmo anno un ddendo d mporto d. Ipotzzamo che ddend negl ann futur sano cert e crescano con un tasso annuo par a γ. La rendta costtuta da ddend è pertanto una rendta perpetua con rate crescent n progressone geometrca: Ponamo +γα. Il alore attuale n t è dato da V d + dα + dα d( + α + α ) d + 0 ( α). 0

11 Rendte perpetua rate crescent n progressone geometrca Osseramo che s tratta d una sere geometrca d ragone a; pertanto conerge se a<, coè se Il alore attuale pertanto è fnto se l tasso d crescta del ddendo è nferore al tasso d sconto ; altrment la sere derge. Il alore attuale n t è + + d d d( ) V d ( α) α + γ 0 γ + da cu ottenamo la cosddetta formula d Gordon per l alore attuale n t0: < coè < da cu γ <. α + + γ d V. γ Rendte perpetua rate crescent n progressone artmetca Consderamo nfne l casod una rendta perpetua con rate crescent n progressone artmetca: Il alore attuale è dato da V R + R + 3R R( E' facle edere che questa sere conerge; ad esempo, applcando l crtero del rapporto s ha a+ ( + ) lmn + lmn + lm a n pertanto la sere conerge. Ma qual è la somma? ) R < +.,

12 Rendte perpetua rate crescent n progressone artmetca Possamo utlzzare quanto abbamo studato sulle sere d potenze. Dalla relazone + 0 +, ( ) derando entramb membr da cu, moltplcando per, ottenamo ( ) ( ) + Il alore attuale d questa rendta è pertanto dato da V R + + R. rspetto a ottenamo