Serie di Fourier di segnali PWM

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Tommasa Salvi
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1 Serie di Fourier di segnali PWM Ivan Furlan 1 14 settembre I. Furlan riceve il BSc in elettronica nel 2000 presso la SUPSI, ed il MSc in meccatronica nel 2009 presso il Politecnico di orino. Attualmente afferisce al DI della SUPSI con la qualifica di docente, ed a General Electric come ingegnere di ricerca.

2 Indice 1 rasformta di Fourier basata su spettri notevoli rasformata di un onda quadra Serie di Fourier risultante Serie di fourier di segnali PWM PWM a due livelli PWM a tre livelli Discussione dei risultati settembre 2013 Ivan Furlan 1

3 Capitolo 1 rasformta di Fourier basata su spettri notevoli 1.1 rasformata di un onda quadra In questo capitolo, per mezzo della derivazione dello spettro di un segnale onda quadra s τ t) di periodo e duty-cycle τ, viene introdotto un particolare modus operandi per il calcolo della trasformata di Fourier, il quale, grazie all utilizzo degli spettri notevoli dei segnali Porta Unitaria e Pettine di Dirac, non necessita della risoluzione esplicita di alcun integrale. Grazie a questa caratteristica, tale procedura risulterà essere un comodo strumento per la determinazione degli spettri di segnali modulati PWM durante il prossimo capitolo. Innanzitutto il segnale s τ t), può essere interpretato come formato da un numero infinito di somme del segnale { 1 se t τ p τ t) := 2 0 altrimenti detto Porta Unitaria, ottenendo che s τ t) = j= j= p τ t j τ ). 2 ale composizione può anche equivalentemente essere espressa avvalendosi dell operatore di convoluzione e del segnale Pettine di Dirac come segue s τ t) = j= j= δ t) := k= δt k ) p τ t j τ ) = p τ t 1 ) 2 2 τ δ t). 14 settembre 2013 Ivan Furlan 2

4 CAPIOLO 1. RASFORMA DI FOURIER BASAA SU SPERI NOEVOLI 3 Grazie a questa rappresentazione alternativa del segnale in analisi, e alle proprietà della convoluzione e della traslazione, è ora possibile esprimere la serie di Fourier del segnale onda quadra in funzione degli spettri di p τ t) e δ t) S τ i 2 π f) := F{s τ t)} = F {p τ t 12 ) } τ δ t) i quali valgono e ottenendo finalmente S τ i 2 π f) = 1 = F{p τ t)} F{δ t)} e i 2 π f τ 2 = P τ i 2 π f) i 2 π f) e i π f τ, P τ i 2 π f) := i 2 π f) := 1 sinτ π f) π f k= δ e i π f τ 1.2 Serie di Fourier risultante sinτ π f) π f i 2 π f k 2 π ), k= δ i 2 π f k 2 π ). Dallo spettro trovato, si evincono le componenti dello sviluppo in serie di fourier S k,τ, definite come S k,τ, := sin τ π k) e i π k τ, π k dove k N. 14 settembre 2013 Ivan Furlan

5 Capitolo 2 Serie di fourier di segnali PWM Questo capitolo è dedicato alla derivazione di spettri di segnali PWM, modulati per mezzo di un segnale periodico a forma d onda simmetrica dispari mt), di periodo multiplo intero di positivo per t [0, 2 ]). ali spettri verranno ricavati per differenti tipologie di modulazione PWM, basandosi su quanto introdotto nel capitolo precedente, ovvero, rappresentando di volta in volta il segnale PWM in analisi come opportune somme di segnali Porta Unitaria. 2.1 PWM a due livelli Il punto di partenza dell analisi, consiste nel rappresentare il segnale PWM come somma di segnali Port Unitaria. Esistono molteplici possibilità equivalenti per esprimere in tal modo il segnale, una di queste corrisponde a s 2L t) = 2 U DC 1 p τj )+ 2 t 1 2 τj )+ )) δ 0 t j ) 1 ) 2 2 dove τj ) := mj ). U DC Applicando di seguito passaggi simili a quelli presentati nel capitolo precedente, si giunge al risultato 1 S k,2l := 2 U DC S e i 2 π k,τj )+ 2, k j δk). Le componenti spettrali ottenute per con mt) = U mod sin 2 π t) U mod = 330V = 50 1 s U DC = 400V = s sono mostrate in figura 2.1). 14 settembre 2013 Ivan Furlan 4

6 CAPIOLO 2. SERIE DI FOURIER DI SEGNALI PWM Ampiezza [V] Frequenza [Hz] 2.2 PWM a tre livelli Figura 2.1: Spettro segnale PWM a due livelli Come fatto nel paragrafo precedente, il punto di partenza dell analisi, consiste nel rappresentare il segnale PWM come somma di segnali Port Unitaria. Anche in questo caso esistono molteplici possibilità equivalenti per esprimere in tal modo il segnale, una di queste corrisponde a s 3L t) = U DC 2 1 p τj ) t τj ) τj ) ) p τj ) t )) 0 δ 0 t j ) dove τj ) := mj ). U DC Applicando di seguito passaggi simili a quelli presentati nel capitolo precedente, si giunge al risultato S k,3l := 2 1 ) U DC S k,τj ),0 e i 2 π k j 1 e i 2 π k 0 2 con k N, la quale può essere semplificata come segue S k,3l = 2 U DC 2 1 S k,τj ),0 e i 2 π k j 14 settembre 2013 Ivan Furlan

7 CAPIOLO 2. SERIE DI FOURIER DI SEGNALI PWM 6 con k dispari. Le componenti spettrali ottenute per con mt) = U mod sin ) 2 π t U mod = 330V = 50 1 s U DC = 400V = s sono mostrate in figura 2.2) Ampiezza [V] Frequenza [Hz] Figura 2.2: Spettro segnale PWM a tre livelli 2.3 Discussione dei risultati Nelle figure ottenute si nota come la frequenza fondamentale dei segnali possegga un ampiezza molto vicina all ampiezza del segnale sinusoidale modulante. Questo spiega il fatto che quando il segnale PWM viene filtrato per mezzo di un filo passa basso, si ottiene un segnale sinusoidale di ampiezza corretta. Questo puà anche essere provato ponendo k = 1 nelle formule spetrali, derivando quindi l ampiezza della sinusoide fondamentale. Se questo viene ad esempio fatto per il segnale PWM a tre livelli si ottiene il seguente risultato. S k=1,3l = 2 U DC 2 1 S 1,τj ),0 e i 2 π j 14 settembre 2013 Ivan Furlan

8 CAPIOLO 2. SERIE DI FOURIER DI SEGNALI PWM 7 = 2 U DC essendo >> τj ), allora che equivale a 1 S k=1,2l 2 U DC S k=1,2l 2 U mod ) sin τj ) π π che grazie all identità di Eulero diventa S k=1,2l U mod i τj ) e i π τj ) e i 2 π j, e i 2 π j ) 2 π sin j e i 2 π j e 2 i 2 π j e dunque 0 {}}{ 2 π 2 i S k=1,2l U mod i 2 1 e e 2 i 2 π }{{} = U mod. i 0 che concorda con quanto previsto. Si nota inoltre come un segnale a tre livelli sia caratterizzato da un contributo armonico inferiore rispetto ad un segnale modulato su due livelli. 14 settembre 2013 Ivan Furlan

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