Esercizi assegnati negli esami di CALCOLO I Prof. Stefano Fanelli Premessa

Transcript

1 Esercizi assegnati negli esami di CALCOLO I Prof. Stefano Fanelli Premessa Il presente file contiene alcuni esercizi assegnati nelle prove di esame del corso di Calcolo I. Lo studente intenzionato a sostenere l esame potrà migliorare la propria preparazione, risolvendo i quesiti elencati. Non è superfluo osservare che, malgrado la loro numerosità, i testi inclusi nel file NON costituiscono assolutamente un insieme esaustivo dei possibili esercizi assegnabili in sede d esame. Solo il Programma del Corso, presente sul sito del docente ed inviato in Segreteria, rappresenta pertanto un elenco completo degli argomenti, oggetto della prova d esame. Si raccomanda quindi a tutti gli studenti di evitare lo studio statistico dei quesiti sinora assegnati, in quanto ciò non risulta assolutamente utile al conseguimento di un risultato soddisfacente. 1

2 Esercizio 1 Verificare che il numero complesso z = ( 1 3 i)/2 algebrica: 2z 4 + 3z 3 2z 3 è radice dell equazione Esercizio 2 x 0 sin 3 x x x cos x Esercizio 3 Verificare se la funzione: (x 2)2 f(x) = ln (x 2) sia dotata di minimo assoluto nell intervallo aperto (3, + ) Esercizio 4 Calcolare il minimo assoluto (se esiste) della funzione di cui all Esercizio 3. Esercizio 5 (1 cos π n ) Esercizio 6 Calcolare il seguente integrale indefinito: cos (ln x 2 ) dx Esercizio 7 Sia z = (1 + i 3)/(1 i 3). Determinare per quale valore del parametro α z sia soluzione dell equazione: z 2 + z + α = 0 Esercizio 8 2

3 x 1 arccos x 1 x Esercizio 9 Determinare il massimo ed il minimo assoluto (se esistono) nell intervallo chiuso [0, 2π] della seguente funzione: f(x) = cos x(4 sin 2 x 3 sin x + 8) + 3x Esercizio 10 Dimostrare la disequazione: e x > 1 + x, x 0 Esercizio 11 n=2 1 n 4 3 n Esercizio 12 Calcolare il seguente integrale indefinito: 2x 2 + x (x 2 + 1)(x 2 + 2x + 2) dx Esercizio 13 Determinare per quali valori del parametro reale α il numero risulti reale. Esercizio 14 z = 1 (α 2i)2 + 1 i 1 + i x 0 x(3/(4+ln x)) 3

4 Esercizio 15 Determinare i massimi ed i minimi relativi ed assoluti (se esistono) nel suo insieme di definizione della seguente funzione: f(x) = ln x x Esercizio 16 Dimostrare la disequazione: cos x > 1 x 2 /2, x 0 Esercizio 17 1 n(n + 1) Esercizio 18 Calcolare il seguente integrale indefinito: Esercizio 19 dx x x Determinare per quali valori del parametro reale t il numero z = ( 1 + i)6 ( 5 i t) 2 abbia modulo 1 Esercizio 20 x 1 arccos x (x 1) Esercizio 21 Verificare se la funzione: f(x) = 8 sin 3 x 1 4

5 sia dotata di minimo e massimo assoluto nel suo insieme di definizione. Esercizio 22 Calcolare il massimo ed il minimo assoluto (se esistono) della funzione di cui all Esercizio 21. Esercizio 23 sin 2 ( 1 n ) Esercizio 24 Calcolare il seguente integrale indefinito: a 2x 1 a x dx Esercizio 25 Sia z = x + iy. Determinare per quale valore del parametro α l equazione nell incognita z αz = 2 + i 1 z ha soluzione reale Esercizio 26 Esercizio 27 x 0 (1 + sin x) 1 x Calcolare i massimi ed i minimi relativi (se esistono) della seguente funzione: nell intervallo chiuso [-2, 3] Esercizio 28 f(x) = e ( x4 +5x 2 4) Calcolare i massimi ed i minimi assoluti (se esistono) della funzione di cui all Esercizio 27, fornendo una spiegazione teorica del risultato. 5

6 Esercizio 29 ln n2 + 1 n 2 Esercizio 30 Calcolare il seguente integrale definito: e 1 e ln 2 x dx Esercizio 31 Risolvere la seguente equazione nell incognita z (1 + i) 2 (z 2 i ) (i 1) = 0 2 Esercizio 32 Esercizio 33 sin (x x 1) x 0 + x Determinare gli eventuali punti di flesso del grafico della funzione: f(x) = 3x 5 5x 4 + 7x 2 Esercizio 34 Dimostrare (senza utilizzare i grafici) le disuguaglianze: x x2 2 < ln (1 + x) < x, x > 0 Esercizio 35 k=1 1 + sin (k π/2) k 6

7 Esercizio 36 Esprimere in forma razionale il seguente integrale indefinito: x x + 1 x + 2 dx Esercizio 37 Determinare il parametro reale α per cui il numero complesso: z = (α + i)(i + 1) (1 + i 3)(1 i) abbia modulo 1 Esercizio 38 Esercizio 39 x cot x (cos x) Determinare l insieme di definizione della funzione: f(x) = log 3 x + x 2 5x + 6 Esercizio 40 Dimostrare (senza utilizzare grafici) che: tan x x > x 3 /3, 0 < x < π/2 Esercizio 41 n + n 2n 3 1 Esercizio 42 Determinare le primitive di: ((2x + 1) arctan x ) dx 7

8 Esercizio 43 Calcolare l argomento principale (forma trigonometrica) di: z = ( 1 2i) 2 3 i 2 3 Esercizio 44 Esercizio 45 x 0 + x (tan x) Determinare l insieme di definizione della funzione: ln (3x2 2x) f(x) = x 2 Esercizio 46 Dimostrare (senza utilizzare grafici) che: x x 3 /6 < sin x < x, x > 0 Esercizio 47 n 4 e n2 Esercizio 48 Determinare le primitive di: x 2 8x + 7 (x 2 3x 10) 2 dx Esercizio 49 Determinare il parametro complesso β : z = i - 1 sia radice dell equazione: z 3 + β z 2 + 2β = 0 8

9 Esercizio 50 x 0 + ( x ) x 2 x Esercizio 51 Determinare, se esistono, i punti di massimo, di minimo e di flesso di: f(x) = e x2 Esercizio 52 Dimostrare in modo non geometrico che: x + 1 x 2, x > 0 Esercizio 53 Esercizio 54 n=0 ( 1) k ( k + 1 k) Determinare le primitive di: sin x cos x 1 sin x dx Esercizio 55 Determinare la parte reale ed il coefficiente dell immaginario di: ( 3 + i) 4 (1 + i 3) 5 Esercizio 56 x 0 ( log (1 + x) 1 ) x 2 x 9

10 Esercizio 57 Determinare, se esistono, i punti di massimo e minimo relativo di: f(x) = 2x + 1 x 2 + 3x + 2 Esercizio 58 La funzione dell Esercizio 3 ammette massimo e/o minimo assoluto nel suo insieme di definizione? Esercizio 59 n=0 n 3 e n 3 n Esercizio 60 Determinare le primitive di: x + x 1 x x 1 dx Esercizio 61 Determinare la parte reale ed il coefficiente dell immaginario di: ( i 3 i )3 Esercizio 62 Esercizio 63 tan x (sin x) x π/2 Determinare l estremo inferiore e superiore nell intervallo ( π/2, π/2) di: f(x) = 1 sin x cos x 10

11 Esercizio 64 Sia: f(x) = 4 (1 + x) Approssimare con lo sviluppo di Taylor il numero 17 Esercizio 65 k=0 ( 1) k k 4 k Esercizio 66 Determinare le primitive di: x 1 x 2 x 1 dx 11