La fattorizzazione dei polinomi

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1 CAPITOLO 2 La fattorizzazione dei polinomi 1. LA SCOMPOSIZIONE CON DERIVE Inseriamo nella finestra di Algebra il polinomio x 5 3x 4 5x 3 19x 2 20 Per scomporlo dobbiamo usare il comando Semplifica/Fattorizza; la finestra di dialogo di questo comando, escludendo il tipo Decomposizione numeri primi che si usa per scomporre numeri e i tipi Reale e Complessa che per il momento non ci interessano, daá la possibilitaá di scegliere il tipo di fattorizzazione fra i seguenti: n Triviale: esegue i piuá semplici algoritmi di fattorizzazione, come ad esempio raccoglimenti a fattor comune n Quadrati: esegue le scomposizioni del tipo Triviale e riconosce potenze di polinomi n Razionale: esegue le scomposizioni dei tipi Triviale e Quadrati e, in aggiunta, riconosce trinomi caratteristici, scompone mediante divisioni successive e cosõá via. In sostanza, ogni tipologia successiva comprende quelle precedenti ed introduce modalitaá di scomposizione piuá sofisticate. Proviamo ad usare queste modalitaá sul polinomio dato: l con la modalitaá Triviale otteniamo il polinomio nella stessa forma percheâ non eá possibile eseguire raccoglimenti a fattor comune l con la modalitaá Quadrati otteniamo x 2 2 x 3 x 2 5x 5 l con la modalitaá Razionale otteniamo x 1 x 2 2 x 2 5 Il tipo Razionale eá quindi quello che esegue la scomposizione piuá ampia. Se il polinomio da scomporre ha piuá lettere, il comando Semplifica/Fattorizza daá la possibilitaá di indicare rispetto a quali variabili si vuole scomporre; proviamo, per esempio, a scomporre il polinomio 2x 4 ax 3 3a 2 x 2 2x 2 ax 3a 2 Nella parte sinistra della finestra di fattorizzazione troviamo il riquadro Fattorizza rispetto alle variabili che contiene le lettere x e a, con la x evidenziata; se non specifichiamo niente altro, la fattorizzazione avviene considerando x come variabile e daá come risultato x 1 x 1 x a 2x 3a Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA Tema 2 - Cap. 2: LA FATTORIZZAZIONE DEI POLINOMI 1

2 e cosõá avviene anche se selezioniamo entrambe le lettere. Ma se togliamo l'evidenza sulla x (basta cliccare su di essa) e mettiamo l'evidenza solo sulla a, la scomposizione avviene secondo questa lettera e daá come risultato 1 x 2 a x 3a 2x lasciando non scomposto il fattore 1 x 2 che non contiene la a. ESERCIZI 1. Considera il polinomio ax ay bx by e usa il comando di semplificazione nelle seguenti modalitaá : a. Triviale evidenziando come variabile solo la lettera a e poi solo la lettera b b. Triviale evidenziando come variabile solo la lettera x c. Triviale evidenziando come variabili due lettere a caso. Spiega i diversi risultati che ottieni. Scomponi i seguenti polinomi scegliendo la modalitaá piuá adatta. 2. x x 3 27x 2 x 3 4. x 4 13b 2 x 2 36b 4 5. ax 3 a 4 6. x 2 2x 15 ax 5a 7. ay by 3a 3b 2 Tema 2 - Cap. 2: LA FATTORIZZAZIONE DEI POLINOMI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA

3 1 Sapendo che x y 30 e x 3 y , quanto vale x 2 y 2? p 2 a. 480 b c. 420 d. 880 e. i dati forniti non consentono di trovare x 2 y 2 2 Per quanti valori di a il polinomio x 1 x 2 a. 1 b. 2 c. 3 a2 x 2 a d. 5 a: 1 eá divisibile per x 2 x e. nessuno 2? c: 3 a, b, c sono interi positivi tali che abc ab ac bc a b c Quanto vale la somma a b c? b: a. 27 b. 28 c. 30 d. 36 e. non eá determinata 4 Sapendo che x y 1, quanto vale x 3 y 3? c. x 2 y 2 a. 1 b. 3x 2 3xy 2 d. 1 3xy e. nessuno dei precedenti d: I codici segreti e la crittografia A tutti eá noto il problema della sicurezza nell'uso dei codici bancari, nelle trasmissioni di informazioni via Internet, nei pagamenti online, nell'invio e ricezione di e cosõá via. Se si cercano informazioni piuá dettagliate a questo riguardo, si scopre che quasi tutto si basa sulla trasmissione di codici numerici che, se vengono scoperti, consentono di accedere a informazioni riservate, quali conti correnti bancari, carte di credito, codici di identificazione dei computer e via dicendo. Per evitare che dati personali o segreti possano venire scoperti, si codificano queste informazioni in modo tale che solo chi trasmette il messaggio e chi lo riceve siano in grado di comprendene il significato; in altre parole si usa la crittografia. Semplificando un po' la procedura, la codifica di un'informazione avviene in questo modo. Il messaggio viene dapprima scomposto in varie parti mediante una chiave segreta, normalmente costituita da un numero di molte cifre, ottenuto come prodotto di due numeri primi molto grandi; chi riceve il messaggio codificato, conoscendo la chiave, lo ricompone e lo interpreta. Uno dei metodi di costruzione della chiave eá detto RSA dal nome dei suoi autori, Ron Rivest, Adi Shamir e Leonard Adleman (foto a lato), che lo inventarono nel Per scoprire come funziona questo metodo dobbiamo prima chiarire l'uso dell'operatore mod; dati due numeri interi a e b la scrittura a mod b indica il resto della divisione intera di a con b. Per esempio: 27 mod 5 2 percheá 27 : 5 ha come resto 2 76 mod 8 4 percheá 76 : 8 ha come resto 4 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA Tema 2 - Cap. 2: LA FATTORIZZAZIONE DEI POLINOMI 3

4 CioÁ detto, l'rsa funziona in questo modo: 1. si scelgono due numeri primi a e b grandi 2. si sceglie un numero c che sia minore del prodotto ab e tale che il prodotto a 1 b 1 ed il numero c stesso siano primi fra loro (non eá necessario che c sia primo) Una prima osservazione che possiamo fare a questo punto eá che i numeri a 1eb 1 sono pari e che quindi il loro prodotto a 1 b 1 eá anch'esso pari; quindi c deve essere dispari altrimenti non sarebbe primo con a 1 b si calcola il numero d in modo che dc 1 sia divisibile per a 1 b 1 4. indicato con k il numero intero da crittare (il testo in chiaro) si calcola k c mod ab, cioeá il resto della divisione di k c per il prodotto ab. Il numero ottenuto (il testo in codice), che indichiamo con m eá la traduzione in codice di k. Il ricevente, che riceve il numero m, deve a questo punto decrittarlo, cioeá deve risalire a k; per farlo si esegue questo calcolo 5. m d mod ab Questo sistema eá detto a chiave pubblica percheá i numeri ab e c sono resi pubblici, mentre il numero d eá la chiave privata. Vediamo un esempio calcolando il codice crittato del numero 15. Sceglieremo due numeri primi a e b non troppo grandi per non complicare il calcolo; ricorda peroá che, nelle situazioni reali, questi numeri sono scelti apposta molto grandi in modo che anche un computer veloce impieghi un tempo infinito (relativamente ai tempi di una decodifica) a scomporre il prodotto ab. 1. Poniamo a ˆ 11 e b ˆ 23! ab ˆ ˆ Calcoliamo a 1 b 1 ˆ ˆ 220 e scegliamo il numero c < 253 che sia primo con 220, per esempio c ˆ ; infatti M:C:D: 220, ˆ1. I numeri 253 e costituiscono la chiave pubblica. Osserva che peroá non sono noti i numeri a e b e quindi nemmeno il numero Calcoliamo un numero d in modo che dc 1 cioeá d 1 sia divisibile per 220, vale a dire che d 1 deve essere un multiplo di 220 : d 1 ˆ h 220 Se hai imparato a risolvere le equazioni numeriche alla scuola media sai che questa relazione eá equivalente alle seguenti: d ˆ h 220 1! d ˆ 220h 1 e si deve trovare un valore di h in modo che d sia intero. Procediamo per tentativi: h ˆ 1 d ˆ 2 h ˆ 2 d ˆ Il successivo valore di h che daá un d intero eá 23 ed in questo caso d ˆ ˆ 241 Poniamo d ˆ 241 che eá quindi la chiave privata che solo l'autore del messaggio ed il ricevente devono conoscere. 4. Calcoliamo k c mod ab : 15 mod 253 ˆ 158 Abbiamo quindi trovato che m ˆ 158. Il testo in codice eá 158 ed eá il messaggio che viene trasmesso. 5. Il ricevente, che conosce il valore di d eá il solo che puoá decodificare il codice con la formula m d mod ab : mod 253 ˆ 15 Il messaggio decrittato eá Tema 2 - Cap. 2: LA FATTORIZZAZIONE DEI POLINOMI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA

5 In questo esempio abbiamo crittato e decrittato un numero; per la traduzione in codice di un messaggio linguistico si deve prima convertire il messaggio in una serie di numeri. I metodi possono essere diversi: si puoá convenire che ogni lettera del messaggio, compresi gli spazi fra una parola e l'altra, corrispondano ad un numero che potrebbe essere quello del codice ASCII (puoi trovare la tabella dei codici ASCII in un qualsiasi testo di informatica), si puoá costruire un vocabolario di un certo numero di parole base a cui associare un numero, si puoá scegliere un libro qualsiasi, in possesso sia della persona che trasmette che di quella che riceve il messaggio, e indicare il numero di pagina, il numero di riga e il numero d'ordine nella riga di una parola, e cosõá via. Due ragazzi provano a scambiarsi messaggi usando il metodo RSA; per evitare calcoli esageratamente laboriosi, usano numeri primi abbastanza piccoli e, visto che hanno entrambi lo stesso vocabolario della lingua italiana, convengono di far corrispondere ad ogni parola del codice il numero che si ottiene accostando il numero di pagina in cui si trova la parola con il numero d'ordine della parola in quella pagina (sempre composto da due cifre); per esempio, se la parola casa si trova a pagina 328 ed eá la sesta parola di quella pagina, il numero che la identifica eá Per tutto cioá che non esiste sul vocabolario useranno la tabella dei codici ASCII. Aiutali a codificare i seguenti messaggi (metti i verbi all'infinito per semplificare la traduzione). 1 Domani compito di matematica. Studiamo insieme? 2 Sei invitato alla mia festa sabato sera. (Suggerimento: il testo da codificare potrebbe essere: "Invitato mia festa sabato sera") 3 Luca eá davvero simpatico, ma la sua ragazza eá una smorfiosa. (Suggerimento: il testo potrebbe essere: "Luca davvero simpatico, sua ragazza smorfiosa") 4 La nuova ragazza arrivata in classe eá davvero carina. 5 Derby INTER-MILAN; ho due biglietti. Vieni? Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA Tema 2 - Cap. 2: LA FATTORIZZAZIONE DEI POLINOMI 5

( ) ( ) 2 + 3( a + b) = ( ) + b( x 1) = ( ) ( ) b( x + y) = ( ) x 2 ( a + b) y 2 + ( a + b) = ( ) + ( a b) = ( ) a( 4x + 7) = ( ) + 3a( 2 5y) =

( ) ( ) 2 + 3( a + b) = ( ) + b( x 1) = ( ) ( ) b( x + y) = ( ) x 2 ( a + b) y 2 + ( a + b) = ( ) + ( a b) = ( ) a( 4x + 7) = ( ) + 3a( 2 5y) = 1 Scomposizione in fattori di un polinomio Scomporre in fattori un polinomio significa trasformare il polinomio, che è una somma algebrica di monomi, nel prodotto di fattori con il grado più basso possibile.

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