Analisi matematica. Materiale didattico

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1 Anlisi mtemtic. Mterile didttico Lure triennle F.A.I. Rimini 7 ottobre 23 Indice Linguggio, funzioni elementri 2. Il linguggio degli insiemi Numeri reli, vlore ssoluto, intorni Vlore ssoluto, intervlli, intorni Potenze Funzioni elementri Funzioni iniettive suriettive e biiettive (biunivoche). Funzione invers Esercizi per cs Limiti di successioni 4 2. Definizioni e primi esempi Limiti di successioni e operzioni lgebriche Algebr dei numeri reli estesi Limiti di funzioni 8 3. Punti di ccumulzione e iti di funzioni Funzioni continue Limiti d destr e d sinistr Limiti notevoli Derivte Tecniche di derivzione Mssimi e minimi di funzioni Teoremi di vlor medio Derivte e monotoni Teorem di de l Hôpitl Esercizi di riepilogo Formul di Tylor Integrli Costruzione Proprietà elementri dell integrle Primitive e funzioni integrli Teorem fondmentle del clcolo Tbell di lcune primitive elementri Tecniche di clcolo degli integrli Integrli di derivte di funzioni composte Integrzione per prti Cmbi di vribile Esercizi sul Teorem fondmentle del clcolo Integrli generlizzti Modelli di prove d esme 43 9 Esercizi vri di nlisi trtti d prove scritte precedenti 48

2 Anlisi mtemtic. Lure triennle F.A.I. [7 ottobre 23] Riferimenti bibliogrfici [] G. Ricci, Mtemtic generle, McGrw Hill. [2] M. Brmnti, C. D. Pgni, S. Sls, Anlisi mtemtic. Znichelli.. Linguggio, funzioni elementri.. Il linguggio degli insiemi Assumimo come primitiv l nozione di insieme. Indichimo gli insiemi con lettere miuscole e i loro elementi con lettere minuscole. Introducimo or in mnier discorsiv un po di terminologi. Dto un insieme A, per dire che è un elemento di A scrivimo (i) A (leggere: pprtiene d A). Si possono indicre gli insiemi nche elencndone gli elementi tr prentesi grffe. Se d esempio A = {, 2, 3}, llor A, mentre 5 / A. (/ si legge: non pprtiene ). L insieme che non contiene nessun elemento si chim insieme vuoto e si indic con. Sottoinsiemi e relzioni di inclusione. Dti due insiemi A e B, se vle per ogni l impliczione llor si dice che A è sottoinsieme di B e si scrive A B, A B (leggere: A è contenuto in B) In ltre prole ogni elemento di A è nche elemento di B. Si può scrivere nche B A (leggere: B contiene A ). Se A B e B A, llor A e B sono uguli e si scrive A = B. Abbimo introdotto il simbolo, che si legge implic. Il simbolo si legge se e solo se. Osservimo che, dti A e B, non è detto che ci si necessrimente un relzione di inclusione tr i due insiemi. Si ved il seguente esempio. Esempio.. Dti A = {, 2, 3}, B = {2, 3}, C = {2, 3, 4} verificre se ci sono relzioni di inclusione tr i tre insiemi e quli sono. Operzioni tr insiemi. Dti due insiemi A e B: L insieme unione di A e B si indic con A B ed è costituito d tutti gli elementi che sono in A oppure in B. L intersezione di A e B si scrive A B e indic gli elementi che sono in entrmbi A e B. L differenz tr A e B si scrive A \ B ed è l insieme ftto d tutti gli elementi che sono in A m non in B. Esercizio. Dti A = {, 5} e B = {, 5, 6}, C = {5, 6} trovre unione, intersezione e differenz tr tutte le possibili coppie di insiemi. Quntifictori. Introducimo brevemente i seguenti simboli:, che signific per ogni ;, che signific esiste. 2

3 Anlisi mtemtic. Lure triennle F.A.I. [7 ottobre 23] Un ltro modo per indicre un insieme è mettendo tr prentesi grffe le condizioni che lo definiscono. Ad esempio A = { R : > } = { R > } indic l insieme di tutti gli R tli che >. I due punti : e l brr verticle sono simboli sinonimi e si leggono tli che oppure tle che. Possimo scrivere d esempio:.2. Numeri reli, vlore ssoluto, intorni A B = { : A oppure B}. Indichimo con N, Z, Q gli insiemi dei numeri nturli, interi reltivi, e rzionli: N = {,, 2,...} Z = {, ±, ±2,...} { m } Q = n : m Z, n N ; i numeri nturli vengono identificti con gli interi reltivi non negtivi, e i numeri interi reltivi vengono identificti con le frzioni denomintore, cosi si h N Z Q. Concentrimo l nostr ttenzione sull insieme dei numeri rzionli Q. Ogni frzione puo essere rigurdt come un divisione fr interi, quest divisione si puo effetture pplicndo ll infinito l lgoritmo dell divisione, e si ottiene un numero intero decimle. Ad esempio si h 5 6 = 5 : 6 =, 8333 ; si e ottenuto un numero decimle periodico. Non e un cso: ogni frzione è rppresentt d un numero decimle periodico; vicevers, ogni numero decimle periodico rppresent un frzione. Un numero rele è un qulsisi numero decimle, periodico o non periodico; l insieme dei numeri reli viene indicto con R. L insieme dei numeri rzionli e strettmente contenuto nell insieme dei numeri reli in qunto ci sono dei numeri decimli non periodici: Q R. I numeri reli non rzionli vengono detti irrzionli; lcuni esempi di numeri irrzionli sono: 2 =.4..., π = , e = Verifichimo nell seguente proposizione che 2 / Q. Proposizione.2. 2 Q. Dimostrzione. Supponimo per ssurdo che 2 Q. QUesto signific che esistono n, m N tli che 2 = m m2 n. In ltre prole, 2 =. Possimo ssumere che i due numeri n e m non sino n entrmbi pri. ALtrimenti bsterebbe semplificre 2 le potenze di 2 numertore e denomintore. Risult quindi m 2 = 2n 2 e pertnto m 2 è un numero pri. M llor nche m è pri (il qudrto di un numero dispri è sempre dispri). QUindi si scrive m = 2p per qulche p N. In definitiv bbimo 2n 2 = m 2 = (2p) 2 = 4p 2 n 2 = 2p 2. M llor n 2 è pri e quindi nche n è pri. In definitiv bbimo provto che entrmbi i numeri n e m sono pri. SImo quindi giunti un contrddizione. 3

4 Anlisi mtemtic. Lure triennle F.A.I. [7 ottobre 23] Dimo un ide del ftto che 2 R. Costruimo un numero decimle nel modo seguente: considerimo l disequzione 2 2; cerchimo il mssimo fr le soluzioni intere, ed ottenimo ; cerchimo il mssimo fr le soluzioni con un decimle, ed ottenimo.4; cerchimo il mssimo fr le soluzioni con due decimli, ed ottenimo.4;... venimo cosi definire un numero con infinite cifre decimli. Si prov che il qudrto di questo numero e 2. Cosi 2 =, 4... R. L rett rele. Scelti su un rett un primo ed un diverso secondo punto, l identificzione del numero col primo punto e del numero col secondo punto si estende in modo nturle d un identificzione prim dei numeri nturli, poi dei numeri interi reltivi, poi dei numeri rzionli, e infine dei numeri reli con i punti dell rett: ogni numero rele e identificto con un punto dell rett, ed ogni punto dell rett si ottiene d uno ed un solo numero rele Vlore ssoluto, intervlli, intorni Il vlore ssoluto di un numero rele e il numero rele definito d = { se se ;. Osservimo le proprietà e b = b, vlide per ogni, b R. È fcile riconoscere che vle l uguglinz 2 = R. Infine, si può usre il vlore ssoluto per misurre l distnz tr due punti sull rett rele. Precismente vle b = distnz tr e b per ogni, b R. Esercizio.3. Verificre che, dti c R e r >, l disequzione c < r vle se e solo se c r < < c + r. Definizione.4 (intorno di centro c R e rggio r > ). L insieme si chim intorno del punto c di rggio r. I(c, r) := { R : c < r} L insieme I(c, r) è costituito di punti R l cui distnz dl centro c mmont meno di r. Se prendimo r piccolo, l insieme I(c, r) identific i punti sull rett vicini c. Esercizio.5. Verificre l disuguglinz tringolre: per ogni, b R risult [Suggerimento: elevre l qudrto entrmbi i membri] + b + b. (.) 4

5 Anlisi mtemtic. Lure triennle F.A.I. [7 ottobre 23].4. Potenze Se è un numero rele = llor esiste un unico numero R \ {} che soddisf = Per ogni numero rele R e per ogni intero reltivo n Z, l potenz di bse ed esponente n e definit d n = (n volte) per n > ; per n =, = ; (n volte) per n <, = ; le potenze con esponente negtivo sono definite solo per =. L potenz non è definit. Le potenze d esponente intero reltivo hnno le seguenti propriet : m n = m+n, ( m ) n = mn, (b) m = m b m, per ogni, b = e m, n Z. Le potenze d esponente reciproco di un numero nturle si definiscono trmite le rdici: 2 =, ( ) 3 = 3, 4 = 4, ( ). Per ogni numero rele positivo e per ogni numero rzionle m n Q, l potenz di bse ed esponente m n e definit d m n n = m = ( n ) m. Ad esempio si h = = 3 4. Le propriet delle potenze d esponente intero reltivo continuno vlere per le potenze d esponente rzionle. Per ogni numero rele positivo > e per ogni numero rele r, si puo definire l potenz r di bse ed esponente r. L costruzione vviene per pprossimzione. Ad esempio, l potenz 2 π si puo ottenere considerndo l successione 3, 3,, 3, 4,... di decimli che pprossimno π, ed usndo l corrispondente successione di potenze d esponente rzionle 2 3, 2 3,, 2 3,4,... per definire per pprossimzione 2 π. Si dimostr che le propriet delle potenze continuno vlere per le potenze d esponente rele. Notzione per gli intervlli e per gli intervlli ilitti Usimo le seguenti notzioni [, b] = { R : b} [, b[ = { R : < b} ], b] = { R : < b} ], b[ = { R : < < b} [, + [ = { R : } ], + [ = { R : > } ], b[ = { R : < b} ], b] = { R : b} Nell notzione ppen introdott, l intorno di rggio r del punto c R si scrive I(, r) = ]c r, c + r[. ; 5

6 Anlisi mtemtic. Lure triennle F.A.I. [7 ottobre 23].5. Funzioni elementri Definizione.6 (Prodotto crtesino). Se A e B sono due insiemi, il prodotto crtesino tr A e B si indic con A B ed è definito come A B := {(, b) : A e b B}. Introducimo or l ide intuitiv di funzione. Sino dti A e B insiemi. Si chim funzione d A B un legge f che ssoci d ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B. L insieme A è detto dominio dell funzione. Prendimo un elemento A; l elemento corrispondente d trmite l funzione f si denot con f (), si legge f di. Alterntivmente, f () si può chimre immgine di ttrverso f. Nell introdurre un funzione f d A B si us l notzione sintetic f : A B, L insieme di tutti i vlori ssunti d f l vrire di A si chim immgine di f e si indic con f (A). QUindi f (A) := { f () : A}. Definizione.7 (Grfico di un funzione). Si f : A B. Il grfico di un funzione è il seguente sottoinsieme del prodotto crtesino A B. Grf( f ) = {(, f ()) : A}. Esempio.8 (Funzione identità). L funzione f : R R che ssoci stesso d ogni R si chim funzione identità. Vedi Figur f : R R, f () =. y Figur : Grfico dell funzione identità. Esempio.9 (Funzione costnte). Dto un numero k R, ponimo f : R R, f () = k. 6

7 Anlisi mtemtic. Lure triennle F.A.I. [7 ottobre 23] y (, k) Figur 2: Grfico di un funzione costnte f () = k. y Figur 3: L funzione vlore ssoluto. Esempio. (Funzione vlore ssoluto). È l funzione f : R R, { se, f () = se. (ii) Esercizio.. Discusso in clsse. Trccire, noto il grfico dell funzione vlore ssoluto, quello delle funzioni g : R R, g() = +, h : R R h() = k : R R, k() = 2. Esempio.2 (Funzioni ffini). Sono funzioni del tipo f : R R, f () = m + q dove m e q rppresentno delle costnti fisste. Il grfico di quest funzione è un rett. m e q hnno un significto prticolre: m è detto coefficiente ngolre o pendenz dell rett; il punto (, q) è il punto in cui l rett tgli l sse delle ordinte. Esercizio. Dt un funzione f : R R, si definisc g : R R, g() = f () +. Che legme c è tr i grfici di f e g? Si definisc poi h() = f ( + ). Che legme c è tr i grfici di f ed h? 7

8 Anlisi mtemtic. Lure triennle F.A.I. [7 ottobre 23] Esercizio. Dt l funzione f : A R, come sono legti il grfico di f e quello di g : A R, g() = f ()? Esempio.3. Funzioni potenz esponente nturle Sono le funzioni f : R R, f () = n, dove n N è un ssegnto numero nturle. Le funzioni potenz con esponente pri hnno grfico simmetrico rispetto ll sse y e sono funzioni pri. Le funzioni potenz con esponente dispri hnno grfico simmetrico rispetto ll origine e sono funzioni dispri. Esempio.4 (Funzione rdice qudrt). È l funzione f : [, + [ R, f () =. Vedere Figur 4. y Figur 4: Funzione rdice qudrt. Esempio.5. Grfici delle funzioni potenz negtive f : R R, f () =, con n N, n distinguendo il cso n pri dl cso n dispri. Esempio.6 (L funzione esponenzile). È l funzione f : R R, f () = e, dove e = è il numero di Nepero. Il grfico è in Figur 5. Osservimo che e > R. L funzione esponenzile h le seguenti due proprietà slienti e + 2 = e e 2 ; (e ) 2 = e 2. (.2) Spesso si scrive nche ep() in luogo di e. Si possono nche considerre funzioni esponenzili di bse b >. Se b > esse hnno un grfico qulittivmente simile quello dell esponenzile in bse e. Se b <, llor il grfico di f () = b si ottiene per riflessione rispetto ll sse y del grfico di g() = (/b). Le proprietà (.2) sussistono nche per funzioni esponenzili di bse qulsisi. Definizione.7 (Funzione monotón). Un funzione f : A R si dice monoton crescente strettmente su un insieme C A se, 2 C, < 2 f ( ) < f ( 2 ); monoton crescente (debolmente) su un insieme C A se, 2 C, < 2 f ( ) f ( 2 ); Per definizione, un funzione f : R R si dice pri se vle f () = f ( ) per ogni R. f si dice invece dispri se f () = f ( ) R. 8

9 Anlisi mtemtic. Lure triennle F.A.I. [7 ottobre 23] y Figur 5: L funzione esponenzile. monoton decrescente strettmente su un insieme C A se, 2 C, < 2 f ( ) > f ( 2 ). monoton decrescente debolmentente su un insieme C A se, 2 C, < 2 f ( ) f ( 2 ). Osservimo che le funzioni costnti sono d un tempo crescenti debolmente e decrescenti debolmente. Esercizio.8. Esercizi per cs. D svolgere usndo l definizione ppen dt. Verificre che l funzione f : R R, f () = 2 è crescente strettmente su [, + [, decrescente strettmente su ], ]. Spiegre perche l funzione 2 non è né crescente né decrescente su R. Verificre che l funzione f : R \ { } R, f () = è crescente su [, + [. + Verificre che l funzione f : R R, f () = è decrescente strettmente su [, + [ e + 2 crescente strettmente su ], ] Esercizio.9. Dt f : R \ {} R, f () = /, verificre che f è decrescente su ], + [ e su ],[. Possimo dire che è decrescente su tutto il suo dominio? (iii) Tr le funzioni crescenti importnti nnoverimo l funzione esponenzile di be e. ep : R R è crescente strettmente. è fcile verificre che ep è crescente su C = Z. L verific per C = R richiede qulche rgionmento in piú..6. Funzioni iniettive suriettive e biiettive (biunivoche). Funzione invers Definizione.2 (funzione iniettiv, suriettiv e biunivoc). Si f : A B un funzione. Si dice che f è iniettiv se per ogni, A con = vle f () = f ( ). Equivlentemente, se per due elementi, A vle f () = f ( ), llor deve essere =. Si dice che f è suriettiv, se per ogni b B esiste lmeno un A tle che f () = b. Si dice che f è biiettiv o biunivoc se f è iniettiv e suriettiv. 9

10 Anlisi mtemtic. Lure triennle F.A.I. [7 ottobre 23] Esercizio.2 (svolto in clsse). Dte le funzioni f : {, 2} {3, 4, 5}, f () = 3, f (2) = 4 g : {, 2, 3} {4, 5}, g() = g(2) = 4, g(3) = 5 h : {, 2} {3, 4}, h() = 3, h(2) = 4, dire per ciscun di esse se è iniettiv suriettiv o biiettiv. Esercizio.22 (svolto in clsse). Dte le funzioni discutere inietticità e suriettività di f, g, h. f : R [, + [, f () = 2, f : [, + [ R, g() = 2, h : [, + [ [, + [, h() = 2, Esercizio.23 (per cs). Verificre che se due funzioni f e g : A B sono crescenti strettmente su C A, llor (i) f + g è cresente strettmente su C; (ii) f è decrescente strettmente su C. È vero che l funzione prodotto h : A B, h() = f ()g() è crescente su C? Osservzione.24. Si verific immeditmente che un funzione strettmente crescente o decrescente è iniettiv. Funzione invers. Or descrivimo l costruzione dell funizione invers. Si f : A B un funzione biunivoc. Fissimo un elemento b B. Poiché f è suriettiv, esiste un elemento A che soddisf f () = b. Tle elemento è unico per l iniettività dell funzione f. L legge che d ogni b B f corrispondere tle si chim funzione invers e si indic con f. Definizione.25 (Funzione invers). Si f : A B un funzione biunivoc. Allor l unic funzione f : B A che soddisf si chim funzione invers di f. f ( f (b)) = b b B (.3) Osservzione.26. Osservimo che se f : A B è un funzione biunivoc e se indichimo con f : B A l invers di f, llor vle nche f ( f ()) = A. (.4) Inftti, se nche per un solo A risultsse f ( f ()) =, poiché f è iniettiv, vremmo che f ( f ( f ())) = f (). M pplicndo (.3) con b = f () otterremmo f () = f (), che è ssurdo. Esempio.27. Trovimo l invers dell funzione f : [, + [ [, + [, f () = 2. Cerchimo un funzione f : [, + [ [, + [ che soddisfi per ogni b f ( f (b)) = b ( f (b)) 2 = b. Pssndo lle rdici, si vede che f () =. Notimo infine che l funzione g : R R, g() = 2 non mmette invers (perché?). L esempio precedente e l figur d esso corrispondente suggeriscono che i grfici di f e f si ottengno l uno dll ltro operndo un riflessione rispetto ll sse formto dll bisettrice del primo e terzo qudrnte. Questo vviene in generle.

11 Anlisi mtemtic. Lure triennle F.A.I. [7 ottobre 23] Osservzione.28 (Legme tr il grfico di f e quello di f ). Si f : A B un funzione biunivoc e si f : B A l su invers. Confrontimo i grfici delle due funzioni. Grf( f ) = {(, f ()) A B : A} Grf( f ) = {(b, f (b) B A : b B} Per confrontre i due grfici, osservimo che per ogni b B c è un unico A tle che f () = b. QUindi possimo riscrivere Grf( f ) = {(b, f (b) : b B} = {( f (), f ( f ())) : A} = {( f (), ) : A} Nell ultim uguglinz bbimo usto (.4). D quest ultim scrittur comprendimo che per ogni punto (, f ()) Grf( f ) c è un punto corrispondente ( f (), ) Grf( f ). Tli punti sono simmetrici rispetto ll rett y =. L funzione logritmo. Si dimostr che dto b >, b = e preso un qulsisi >, l equzione b = mmette un unic soluzione. Tle soluzione si chimo logritmo in bse b di e si indic con log b. In ltre prole, l funzione ep b : R ], + [ ep b () = b è iniettiv e suriettiv e l su invers si chim logritmo: log b : ], + [ R. Se utilizzimo l bse b = e, cioè ep() = e, le proprietà (.3) e (.4) divengono: e log() = > (.5) log(e ) = R. (.6) Osservimo che log > se e solo se > e log < se e solo se < <. Inoltre, usndo le y Figur 6: L funzione logritmo. proprietà dell esponenzile descritte in (.2), si possono provre le proprietà corrispondenti del logritmo. log( 2 ) = log( ) + log( 2 ),, 2 > log α = α log, >, α R. L invers di un funzione monoton è monoton. Proposizione.29. Si f : A B invertibile e monoton crescente strettmente su A. Allor f : B A è crescente strettmente su B. L dimostrzione è immedit, m l omettimo per mncnz di tempo. Osservimo però che come comseguenz di quest proposizione, si può ffermre che il logritmo log = ep è un funzione strettmente crescente su < <. (.7) (iv)

12 Anlisi mtemtic. Lure triennle F.A.I. [7 ottobre 23] Disequzioni con esponenzile e logritmo. Usndo le proprietà di esponenzile e logritmo si deduce che e < b < log b, R, b >. QUindi possimo pplicre il logritmo o l esponenzile un disequzione per risolverl. Lo vedimo nei seguenti esercizi. Esercizio.3 (in prte svolti in clsse). Utilizzndo l ultim formul risolvere le disequzioni seguenti log() log( + ) < < < 3 e < e, e 2 < 2, e +5 > 7 log( + 2 ) > 5, 2 < 3, 2 > 3 2 Funzioni circolri. I grfici di seno e coseno sono nelle figure 7 e 8. Osservimo le proprietà: y Figur 7: Grfico dell funzione seno, su [, 2π]. y Figur 8: Grfico dell funzione coseno, su [, 2π]. sin 2 + cos 2 = per ogni k Z. 2

13 Anlisi mtemtic. Lure triennle F.A.I. [7 ottobre 23] Le funzioni seno e coseno sono periodiche di periodo 2π. Precismente vle sin( + 2kπ) = sin() e cos( + 2kπ) = cos() per ogni k Z. Inoltre, l funzione seno è dispri, mentre l funzione coseno è pri: sin( ) = sin() e cos( ) = cos() R. L funzione tngente è definit come segue: tn : R \ {π/2 + kπ : k Z} R. tn() := sin() cos(). Nel dominio bbimo tolto i punti nei quli si nnull il denomintore cos(). Osservndo il cerchio unitrio, visto che il l ngolo di + π rdinti corrisponde l punto opposto quello cui corrisponde l ngolo, possimo ffermre che sin( + π) = sin() e cos( + π) = cos() per ogni R. Quindi bbimo tn( + π) = tn() per ogni. L funzione tngente è periodic di periodo π. tn( + kπ) = tn() R, k Z. Si verific che ess è nche crescente su ] π/2, π/2[ e su ogni intervllo che si ottiene d esso trslndo di un multiplo di π. Funzioni composte. Definizione.3 (Funzione compost). Dte due funzioni f : A B e g : C D, se B C, possimo definirte l funzione compost g f (che si legge g composto f o g dopo f ) come segue: (g f )() = g( f ()) Esercizio.32. Dte le funzioni f : R R, f () = e e g : R R, g() = sin(), scrivere le funzioni g f e f g. Sino poi h : R R e l : ], + [ R, h() = 3 e l() = log(). Che succede se tentimo di scrivere l funzone l h : R R? Esercizio.33 (svolto in clsse). Dte le funzioni u() = sin( 2 ), v() = log( + 2 ) e w() = + sin(2), scrivere le funzioni indicte come funzioni composte.7. Esercizi per cs. Dt f : N R, f (n) = n k= e k2, verificre, usndo l definizione, che f è crescente su N. 2. Sono dte f : A B e g : B C funzioni strettemnte crescenti. Verificre che g f èstrettmente crescente. 3. Sono dte le funzioni u () = 2 + u 2 () = tn(log()) u 3 () = cos(log 2 ( 2 )), dove bbimo usto l notzione log 2 (z) = (log(z)) 2. Scrivere le funzioni indicte come composizioni di funzioni elementri. 4. Verificre con l definizione che l funzione f : R R, f () = 2 è crescente sull intervllo [ 2, + ]. 3

14 Anlisi mtemtic. Lure triennle F.A.I. [7 ottobre 23] 5. È dt g : R \ { } R, g() = +. Verificre con l definizione che g è iniettiv. Esiste qulche R per cui g() =? Possimo dire che g è suriettiv? Considerimo or f : R \ { } R \ {}, f () =. Verificre che f è suriettiv. + Rileggere e cpire lo svolgimento dell Esercizio.27. Indicndo con f l invers di f e prtendo dll identità f ( f (b)) = b che definisce tle invers, si sostituisc in tle identità l form esplicit di f e si clcoli l funzione f. 2. Limiti di successioni 2.. Definizioni e primi esempi Un successione ( n ) n N è un fmigli di numeri n R indicizzt d un prmetro n N. A volte scriveremo ( n ) invece di ( n ) n N. Esempio: l successione ( n ) n N esplicitmente definit d n = n 2. Elenchimo lcuni sui termini: =, 2 = 2 2 = 4, 3 = 9,..., Di ftto un successione non è nient ltro che un funzione definit sui nturli vlori in R. (v) Definizione 2. (successione convergente). Si ( n ) n N un successione di numeri reli. L successione si dice convergente se esiste L R con l seguente proprietà: per ogni ε > esiste n ε N tle che n L < ε per ogni n n ε. In tl cso si scrive n n = L e si dice che ( n ) tende L per n che tende ll infinito. Si scrive nche n L oppure n = L. Definizione 2.2 (successione divergente). Un successione ( n ) n N si dice divergente + se per ogni M > esiste n M > tle che In tl cso si scrive n n = +. n > M per ogni n n M. Con ovvie modifiche si definisce un successione divergente. Può infine vvenire che un successione non si né convergente, né divergente. Esercizio 2.3. Verificre usndo l definizione che n, per n +. n n+ Esempio 2.4. Verifichimo che n + trovre n ε N tle che n n + < ε n nε. =. Fissimo un numero ε >. Cerchimo di n Riscrivimo n+ < ε nell form equivlente n+ < ε, che vle se e solo se n + > ε, cioè n ε. Or, se ε, tle disuguglinz è ver per ogni n N (il membro di destr è ). Se invece ε <, bsterà scegliere come n ε un qulsisi numero nturle più grnde di /ε. 4

15 Anlisi mtemtic. Lure triennle F.A.I. [7 ottobre 23] Esempio 2.5. Verifichimo che n + e n = +. Si M >. Cerchimo n M N tle che e n > M per ogni n n M. Possimo riscrivere, psndo i logritmi e n > M se e solo se n > log(m). A questo punto è sufficiente scegliere come n M un nturle mggiore di log M e l definizione di ite è verifict. Esercizio 2.6. Verificre i iti n + n n 2 = e n + e n =. Esempio 2.7 (iti di lcune funzioni elementri). Tenimo presente i seguenti iti: log(n) = +, n + n nα = { + se α > se α <. Il cso α = corrisponde ll successione costnte n =, che tende. Esempio 2.8 (successione che non h ite, o oscillnte). L successione n = ( ) n non h ite. Osservimo che i vlori di n sono lterntivmente, +,, +,.... Come esercizio provimo che non è vero che ( ) n =. 2 A tle scopo, è sufficiente vedere che l definizione di ite è violt con l scelt di ε =. Dobbimo dunque fr vedere che per ogni possibile scelt di n ε = n N, si può trovre un nturle n n tle che ( ) n >. (2.) A questo punto bst osservre che per ogni n dispri risult ( ) n =. Pertnto (2.) vle per ogni scelt di n n, dispri. QUesto prov che l ffermzione n + ( ) n = è fls. Proposizione 2.9 (unicità del ite). Se n L e n M, llor L = M. Dimostrzione. Assumimo per ssurdo che n L e n M, supponendo per semplicità che L < M e che M R. Applicndo l definizione di ite con ε = M L 4, trovimo che esiste n N tle che Inoltre esiste n tle che L M L 4 M M L 4 < n ( ) < L + M L 4 ( ) < n < M + M L 4 n n. n n. Unendo le disuguglinze ( ) e ( ) trovimo che per ogni n più grnde di entrmbi n e n vle M M L 4 < n < L + M L 4 M L M L 2 che è in contrddizione con il ftto che stimo ssumendo M L > strettmente. Teorem 2. (permnenz del segno). Se n per ogni n N e se n L, llor L. Il teorem dice in sostnz che le disuguglinze si conservno l ite. Dimostrzione. Supponimo per ssurdo che si n λ, con λ > strettmente. Sceglimo d esempio ε = λ/2 nell definizione di ite. Ciò ssicur che esiste n N tle che λ λ 2 n λ + λ 2, n n. L second disuguglinz divent dunque n λ 2, per ogni n n. Poiché λ 2 è un numero strettmente negtivo, bbimo trovto un ssurdo, visto che per ipotesi n per ogni n N. 2 Con un rgionmento simile si può dimotrre che l ffermzione ( ) n = L è fls per ogni L R. 5

16 Anlisi mtemtic. Lure triennle F.A.I. [7 ottobre 23] Un vrinte del teorem ppen dimostrto, fferm qunto segue. Se ( n ) e (y n ) sono delle successioni per le quli risult n y n per ogni n N e se n L e y n M per n +, llor L M. [Applicre il teorem dell permnenz del segno ll successione n = n y n ] Menzionimo per completezz in queste note nche il teorem dei due crbinieri che si dimostr sempre in modo elementre usndo l definizione di ite. Teorem 2. (Teorem dei due crbinieri). Sino dte tre successioni ( n ), (b n ) e (c n ) tli che n b n c n per ogni n N. Assumimo che n L e c n L. Allor nche l successione centrle b n L, per n +. perché Ad esempio, per il teorem dei due crbinieri, possimo ffermre che vle 2 + ( ) n n + n n 2 + ( )n n 3 n =, n N e le due successioni esterne, n = n e c n = n 3, tendono emtrmbe llo stesso ite L = Limiti di successioni e operzioni lgebriche Teorem 2.2. Sino { n } e {b n } due successioni. Se n n = R e n b n = b R, llor ( n + b n ) = + b, n + ( nb n ) = b; n + n + n b n = b, ptto che si b n = n N e b =. Non risportimo l dimostrzione di questo teorem, che, come quelle precedenti, è un utile esercizio sull definizione di ite. Il comportmento del ite di successioni convergenti e divergenti rispetto ll operzione di somm e dto dl seguente teorem (vi) Teorem 2.3. Si: ( n ) un successione, convergente d un numero L, o divergente + o ; (b n ) un successione, convergente d un numero M, o divergente + o. Allor il comportmento dell successione somm ( n + b n ) e dto dll seguente tbell Ad esempio, n b n ( n + b n ) L M L + M L + + L form indetermint n + n 2 + n 2 = + = + n n + n2 = = n + n + en = + + = +.. 6

17 Anlisi mtemtic. Lure triennle F.A.I. [7 ottobre 23] L form indetermint può produrre qulsisi risultto, come provno i seguenti tre esempi. n n 2 =, (verificto nell lezione precedente). D ltr prte n + n 2 n = +. Per finire n + n2 ( n 3 + n + ) n ( = n + n2 n ) =. n Il comportmento del ite di successioni convergenti e divergenti rispetto ll operzione di prodotto e dto dl seguente Teorem 2.4. Se ( n ) L = e b n oppure b n. Il comportmento dell successione ( n b n ) è dto dll seguente tbell: n b n ( n b n ) L, dove il segno di ( n b n ) e il prodotto dei segni di n e b n. Limiti del tipo dnno luogo forme indeterminte. Ad esempio, due csi di form indeterminte sono n ( + n2 ) = n + n = + mentre n ( + n) = n + n =. Definizione 2.5 (Limite d destr). Sino ( n ) un successione, e λ R. Dicimo che { n } tende λ + per n che tende + se per ogni ε > esiste n ε N tle che λ n < λ + ε, per ogni n n ε. Dicimo che ( n ) tende λ per n che tende + se per ogni ε > si h λ ε < n λ, per ogni n n ε. Ad esempio, L successione ( )n n n + n = + n n 2 n + n 3 =. tende zero, m non lo f né d destr né d sinistr. Teorem 2.6. Si n = L = e si (b n ) un successione termini non nulli b n = per ogni n N e che soddisfi b n +, per n +. Allor { n = L + se L >, n + b n + = se L <. Se b n, i segni vnno cmbiti. Per finire, se n L R e se b n + oppure, llor I quozienti del tipo dnno luogo forme indeterminte. n n b n =. ;. 7

18 Anlisi mtemtic. Lure triennle F.A.I. [7 ottobre 23] Esercizio 2.7 (svolto in clsse). Clcolre l vrire di b R, Esercizio 2.8. Clcolre i iti bn n n + + n ep( + n + n3/2 ) ep(n n + n3 + ) ricordndo le proprietà: e + = + ed e = +. Anlogmente, clcolre log( + n /2 + n /2 ), ricordndo che log(+ ) = Algebr dei numeri reli estesi Considerimo l insieme R = R {, + }; su questo insieme definimo le seguenti operzioni przili, + = + + = + R = + = + R + + = +, = + = form indetermint Si conviene di porre ( ) = + e (+ ) =. Per ciò che rigurd il prodotto, bbimo, se = (+ ) = ± e ( ) = second che si > o <. Il prodotto (± ) è un form indetermint. Pssndo ll divisione, bbimo, se > è un numero rele positivo, + = +, =, + = + e =. Tutti i segni nell ultim formul vnno cmbiti se <. D ultimo, i due quozienti dnno luogo forme indeterminte. 3. Limiti di funzioni e 3.. Punti di ccumulzione e iti di funzioni Definizione 3. (Punto di ccumulzione di un insieme). Si A R e c R = R {± }. SI dice che c è un punto di ccumulzione per A se esiste ( n ) successione in A \ {c} con n c. (vii) Osservimo esplicitmente che dire n successione in A \ {c} signific ffermre che n = c per ogni n N. Esempio 3.2 (Esempi di punti di ccumulzione). 8

19 Anlisi mtemtic. Lure triennle F.A.I. [7 ottobre 23] I punti di ccumulzione dell insieme ], 3[ sono tutti i punti dell intervllo chiuso [, 3]. Ad esempio, per verificre che è di ccumulzione, bst osservre che l successione ( n ) = (/n) ssume sempre vlori in ], 3[ e converge. Un punto interno ll intervllo (d esempio il punto ) èdi ccumulzione perché = n + + /n e risult + /n ], 3[ per ogni n N. COn rgionmenti nloghi si dimostr che i punti di ccumulzione sono tutti i punti di [, 3]. L insieme {, 2, 3} non h punti di ccumulzione. Ad esempio il punto non è di ccumulzione perché un qulsisi successione in {, 2, 3} \ {} = {2, 3} non può convergere d. Per i punti 2 e 3 si rgion llo stesso modo. N h il solo punto di ccumulzione +. Inftti nessun punto p N è di ccumulzione (stesso rgionmento dell esempio precedente). D ltr prte + è di ccumulzione perché + = n + n. Definizione 3.3. Si A R e si f : A R un funzione e si c R un punto di ccumulzione di A. Si L R un numero rele esteso. Si dice che il ite di f () per che tende c è L se per ogni successione ( n ) in A \ {c} vle f ( n ) = L. In tl cso si scrive f () = L. c In ltri termini, f () tende L per che tende c se ( n ) A \ {c}, n = c f ( n ) = L. Esempio 3.4. Verifichimo che c 2 = c 2 per ogni fissto c R. A tle scopo, considerimo un successione ( n ) in R \ {c}che converg c. Dobbimo verificre che f ( n ) f (c), cioè 2 n c 2 2 n c 2 ( n c)( n + c). M quest ultimo ite è verificto perché n c e n + c 2c, per c +. Esempio 3.5. Si f : R R, f () = { se =, 2 se =, Clcolimo f (). Considerimo ( n ) successione che tende, m con n = per ogni n N. Allor srà f ( n ) = per ogni n N. QUindi possimo ffermre che f () =. Osservimo esplicitmente che in questo esempio risult f () = f (). Esempio 3.6 (funzione grdino). Ponimo f : R R, {, per <, f () = se, Ci domndimo qunto vle f (). Provimo d pprossimre con l successione n = n (osservimo che /n = per ogni n) e ottenimo f ( n ) = f (/n) =. Provimo or d pprossimre con l successione y n = n, che ssume vlori negtivi per ogni n. Allor risult f ( /n) = per ogni n N. L conclusione è che il ite f () non esiste (cioè non c è nessun numero L R per il qule risulti ver l ffermzione f () = L). 9

20 Anlisi mtemtic. Lure triennle F.A.I. [7 ottobre 23] Esempio 3.7. Vle n 2 = +. ALcuni iti di funzioni elementri: + α = + e = + e se log : ], + [ R è il logritmo nturle, llor log = + + { + se α >, se α <. e = log() =. Osservimo esplicitmente che per verificre quest ultimo ite, l successione n deve ssumere vlori nel dominio ], + [. I teoremi sui iti (unicità, permnenz del segno, comportmento rispetto somme prodotti quozienti) si trsportno nturlmente dl contesto delle successioni quello delle funzioni Funzioni continue Il clcolo dei iti può essere effettuto, come vedremo, con fcilità per le funzioni continue. Definizione 3.8 (FUnzione continu). Dt f : A R e c A e punto di ccumulzione di A, dicimo che f è continu in c se f () = f (c). c Se dicimo che un funzione f : A R è continu su A R, senz ulteriori specificzioni, intendimo che ess è continu in tutti i punti c A di ccumulzione per A. Le funzioni degli esempi 3.5 e 3.6 sono delle funzioni non continue nei punti e rispettivmente. Enuincimo in modo informle il principio secondo cui tutte le funzioni elementri sono continue nei loro domini nturli. Inoltre tutte le funzioni che si ottengono come somme, prodotti, quozienti ( denomintore non nullo) e composizioni di funzioni elementri sono continue nei domini in cui sono definite. Ad esempio, possimo ffermre vist che 5 e ( + 2 ) = 26e 5, ep( + ) = e 2 log( + 2 ) 3 + sin(π) = log() Menzionimo nche l seguente formulzione equivlente dell definizione di ite, che, cosí come l scrivimo, vle per c ed L reli. Proposizione 3.9 (Definizione ε-δ di ite). Se f : A R, se c R è di ccumulzione per A e se L R, llor c f () = L se e solo se per ogni ε > esiste δ > tle che f () L < ε per ogni A \ {c} che soddisf c < δ Limiti d destr e d sinistr Osservndo l funzione f : R \ {} R, f () =, notimo che clcolndo f () per vicino zero, m positivo, ottenimo un risultto molto grnde. Clcolndo invece f () per vlori di vicini zero, m negtivi, ottenimo un risultto negtivo e molto grnde in vlore ssoluto. 2

21 Anlisi mtemtic. Lure triennle F.A.I. [7 ottobre 23] Scrivimo llor che = +, mentre f () =. + I iti sopr scritti si chimno ite destro, o d destr e ite sinistro, o d sinistr. Un fenomeno nlogo vviene nel cso dell funzione grdino dell Esempio 3.6. In quel cso risult f () = e f () =. + L definizione di ite destro e sinistro può essere formlizzt utilizzndo l nozione di punto di ccumulzione destro/sinistro e modificndo opportunmente l definizione di ite. In quest sede non presenteremo tutto il linguggio e ci ccontenteremo di un discussione un po informle. Esempio 3.. COnsiderimo l funzione sin(). Il grfico suggerisce (e si potrebbe dimostrre) che sin() =. M piú precismente possimo ffermre che vle sin() = + e sin() =. + Osservimo nche che sin() = per = e vicino. In conseguenz di tutte le osservzioni ftte, possimo ffermre che Esempio sin() = = + e = +, 2 4 = sin() = =. log 2 2 = log 2 =, 2 ( 2 ) = + = +, cos = = +, perché cos +, per. + Esercizio 3.2. Clcolre qundo possibile (ltrimenti fre i dovuti commenti) i iti: (viii) ± e/ log( ) ( ) ± e/ log( 2 + ) + cos log + e e 2 + e + sin() e e tn π 2 log(sin 2 ()) log() + log(2 + ) ( ) sin( ) e 2e e 2 sin() 2 e tn π 2 + b cos() + + ep(2 + sin()) per ogni b R Esempio 3.3. Bsndosi sui iti dell funzione e / clcolti nell esercizio precedente, trccire un grfico pprossimtivo di tle funzione. 2

22 Anlisi mtemtic. Lure triennle F.A.I. [7 ottobre 23] 3.4. Limiti notevoli Nell clsse delle forme indeterminte /, descrivimo il comportmento di lcuni modelli stndrd, chimti iti notevoli. Teorem 3.4. Vle sin = e (3.) e =. (3.2) L dimostrzione di questo teorem richiede l conoscenz di un po di trigonometri e di qulche proprietà del numero di Nepero e. Non l presentimo in quest sede. Dl teorem precedente, si ricv che, se f (), per c e f () =, per vicino c, llor sin( f ()) ep( f ()) = e =. c f () c f () Ad esempio, Ancor: Un ltro ite notevole è il seguente sin( 2 ) 2 =. 2 e = log 2 log 2 = log 2. log 2 log( + ) =. (3.3) Usndo (3.3), si può dedurre che, se f () c per c e se f () = per gli {dominio di f } \ {c}, llor log( + f ()) =. (3.4) c f () Esercizio 3.5. Clcolre qundo possibile i seguenti iti: sin( 3) 3 3 e sin cos b sin(2) 2 sin(/) + log( + 3) ( + 2) 2 cos( + 2) per ogni, b ], + [ \ {} ( + b)/ per ogni b R. 4. Derivte sin(), + ( + )/ log( + 2 ) log(2 ) ( ) sin( ) Si f : A R un funzione, si A = ], b[ (intervllo perto, itto o ilitto). Si infine h R tle che + h A. I due punti (, f ( )) e ( + h, f ( + h)) pprtengono l grfico di f. L rett che li contiene h equzione y = f ( + h) f ( ) ( ) + f ( ). h 22

23 Anlisi mtemtic. Lure triennle F.A.I. [7 ottobre 23] Il numero f ( +h) f ( ) h si chim rpporto incrementle (di punto inizile e incremento h). Esso è il coefficiente ngolre dell rett sopr scritt. A prtire dl rpporto incrementle si definisce l derivt lscindo tendere h zero. Lvoreremo con funzioni definite su intervlli perti, definendo l derivt in punti interni tli intervlli. Definizione 4.. Si dt f : ], b[ R e ], b[. f si dice derivbile in se esiste finito f ( + h) f ( ) il ite. Tle ite si chim derivt di f in e si indic con f ( ), h h d D f ( ), d f ( ). In sintesi f f ( ( ) = + h) f ( ). h h Esempio 4.2. Dt f : R R, f () = k, k costnte, si h per R f k k ( ) = =. h h Esempio 4.3. Dt f : R R, f () = m + q, m, q costnti, si h per R f m( + h) + q (m + h) () = = m. h h Terminologi: se un funzione f : ], b[ R è derivbile in ogni ], b[, llor l nuov funzione f () si chim derivt di f. Esempio 4.4. Dt f : R R, f () = 2. f () = h ( + h) 2 2 h Esempio 4.5. Clcolimo d d, per >. d + h = d h h Esempio 4.6. Clcolimo d d e. = h h = h [ + h + ] = 2. d e d e = +h e h h = h 2h + h 2 h + h h = 2. e = h e = e, h h grzie l ite notevole (3.2) (p. 22) dell funzione esponenzile. + h + + h + Definizione 4.7 (rett tngente). Dt f derivbile in, l rett di equzione y = f ( ) + f ( )( ) si chim rett tngente l grfico di f nel punto (, f ( )). Notimo che, tr tutte le rette pssnti per (, f ( )), che sono quelle di equzione y = f ( ) + m( ), l vrire di m R, l rett tngente è esttmente quell il cui coefficiente ngolre è l derivt nel punto. 23

24 Anlisi mtemtic. Lure triennle F.A.I. [7 ottobre 23] Teorem 4.8. Se f : ], b[ R è derivbile in ], b[, llor f è continu in. Dimostrzione. Bst osservre che, per vicino, =, risult per. 4.. Tecniche di derivzione f () f ( ) = f () f ( ) ( ) f ( ) =, Osservzione 4.9. Se f e g : ], b[ R sono derivbili in, llor l loro somm è derivbile e vle ( f + g) () = f () + g (). Inoltre (λ f ) () = λ f (), per ogni λ R. Teorem 4. (Derivte prodotto e quoziente). Se f e g : ], b[ R sono derivili in ], b[, llor il loro prodotto è derivbile in e vle Inoltre, se g() =, llor ( f g) () = f ()g() + g() f () ( f ) D () = f ()g() g() f () g g() 2 Dimostrzione. L prim delle due formule si prov prtendo dll definizione di derivt. ( f g) () = [ f ( + h)g( + h) f ()g()] h h = {[ f ( + h) f ()]g( + h) + f ()[g( + h) g()] h f ( + h) f () g( + h) g() = g( + h) + f () h h h h = f ()g() + g () f (). h Abbimo usto qui il ftto che, poiché g è derivbile in, llor g è continu in. L second ffermzione si prov nlogmente. Ad esempio, oppure D( sin()) = D sin + D sin() = sin + cos() D tn() = D sin() { D sin cos() sin D cos = cos() cos 2 = cos2 + sin 2 cos 2 = cos 2 () + tn 2 (). o nche Esercizio 4.. clcolre con il teorem precedente le derivte delle funzioni f () = 2 sin, f () = cos, f () = e, f () = 2 + log, f () = tn(). Teorem 4.2 (Derivt di funzioni composte). Si f : A B e g : C D con B C e A, B, C, D intervlli perti. Se f è derivbile in qulche A e g è derivbile in f (), llor g f è derivbile in e vle (g f ) () = g ( f ()) f (). 24

25 Anlisi mtemtic. Lure triennle F.A.I. [7 ottobre 23] Omettimo l dimostrzione di questo teorem. Esercizio 4.3. Clcolre le derivte delle seguenti funzioni: d d cos(2), d d e2, d d log( + 32 ), f () = cos, ( > ), f () = sin ( + 2 cos ), f () = ( + e 2 + sin ) 2, f () = /2, f () = ep(sin(2 )), Esercizio 4.4. Clcolre le seguenti derivte: f () = 2 e 2 sin. f () = 2 sin + 2 cos f () = 2 (sin + 2 cos ) f () = (2 3 ) (2 3 + ) f () = ( 2 + ) e f () = f () = log f () = f () = 3 log f () = f () = + log, > f () = f () = sin cos f () = 4 sin(2) 3 cos(3 + ) f () = log( ) f () = f () = e f () = sin 3 + sin( 3 ) f () = tn( ) f () = 4 (2 2 5) 3 f () = (log ) log + 2 f () = 2 2 f () = log log f () = f () = log( 2 + ) f () = 2 f () = ( ) 2, > f () = λe λ, λ > f () = r e, r > f () = ( ) b,, b > f () = 5. Mssimi e minimi di funzioni Definizione 5.. Si f : A R ed A. Il punto si dice di mssimo (oppure di minimo) locle se esiste δ > tle che f () f ( ) (oppure f () f ( )) A, < δ. di mssimo (oppure di minimo) ssoluto se f () f ( ) (oppure f () f ( )) A. + ep( ), Il vlore f ( ) ssunto d f in un punto di mssimo o di minimo si chim mssimo o minimo. I mssimi e minimi di funzioni derivbili possono essere studiti con l iuto dei seguenti teoremi. 25

26 Anlisi mtemtic. Lure triennle F.A.I. [7 ottobre 23] 5.. Teoremi di vlor medio Teorem 5.2 (di Fermt). Si f : ], b[ R e si ], b[ un punto di mssimo o di minimo locle o ssoluto per f. Se f è derivbile in, llor f ( ) =. Dimostrzione. Bst considerre il rpporto incrementle di punto inizile f () f ( ) = R(). Supponimo punto di mssimo. Per vicino, con >, risult R(), perchè f () f ( ) (punto di mssimo) e >. Quindi, poiché le disuguglinze si conservno l ite (Teorem dell permnenz del segno), f ( ) = R(). Vicevers, se è vicino, m <, vle R(), perchè f () f ( ) (punto di mssimo) e >. Quindi si deduce f ( ). Mettendo ssieme i due csi si conclude f ( ) =. Esempio 5.3. L funzione f : R R, f () =, h un punto di minimo ssoluto in =. L funzione f : R R, f () = e 2 h in = un punto di mssimo ssoluto. Teorem 5.4 (di Rolle). Se f : [, b] R è continu in [, b], derivbile in ], b[ e soddisf f () = f (b), llor esiste lmeno un punto c ], b[ in cui vle f (c) =. Dimostrzione. Se f è costnte, llor si puo scegliere un qulsisi c ], b[ e il teorem è provto. Se f non è costnte, llor esiste un punto c ], b[ che è di mssimo o di minimo. 3 In tle punto, per il Teorem di Fermt, vrrà f (c) =. Un generlizzzioe del Teorem di Rolle è il seguente Teorem 5.5 (di Lgrnge). Se f è continu in [, b] e derivbile in ], b[, llor esiste lmeno un punto c ], b[ che soddisf f f (b) f () (c) =. b Il significto geometrico di questo teorem è il seguente: esiste lmeno un c ], b[ tle che l rett tngente l grfico di f nel punto (c, f (c)) è prllel ll rett pssnte per i punti (, f ()) e (b, f (b)). Dimostrzione. Considerimo l equzione dell rett pssnte per (, f ()) e (b, f (b)), L funzione g : [, b] R, y = f () + { g() = f () f () + f (b) f () ( ). b f (b) f () ( ) }, b 3 Qui è coinvolto un teorem importnte sulle funzioni continue: se f è continu su [, b], llor, f mmette mssimo e minimo su [, b]. Questo signific precismente che esistono, 2 [, b] tli che f ( ) f () f ( 2 ) per ogni [, b]. 26

27 Anlisi mtemtic. Lure triennle F.A.I. [7 ottobre 23] soddisf le ipotesi del Teorem di Rolle (inftti si verific subito che g() = g(b) = ). Quindi, il Teorem di Rolle sserisce che esiste lmeno un c ], b[ che soddisf g (c) =. Dunque, poiché g () = f () f (b) f (), b ], b[, srà g (c) = f (b) f () b. Un corollrio del precedente Teorem è l seguente crtterizzzione delle funzioni costnti. Corollrio 5.6 (crtterizzzione delle funzioni costnti). f è costnte su ], b[ se e solo se f () = per ogni ], b[. Dimostrzione. Supponimo che f si costnte su ], b[. Allor f () =, per definizione di derivt. Vicecers, supponimo che f soddisfi f () = per ogni ], b[. Fissimo un qulsisi punto ], b[. Applicndo il Teorem di Lgrnge nell intervllo [, ], ottenimo, per un opportuno c ], [ 4 f () f ( ) = f (c)( ). (5.) M per ipotesi l derivt è null dppertutto. Quindi f () = f ( ) Derivte e monotoni Un ltr ppliczione del Teorem di Lgrnge è l seguente: Teorem 5.7 (Crtterizzzione delle funzioni monotone debolmente). Un funzione f derivbile in ], b[ è monoton crescente debolmente su ], b[ se e solo se f () per ogni ], b[ Dimostrzione. Se f è crescente in ], b[, llor considerimo < + h, dove, + h sono punti in ], b[. Allor per definizione di funzione monoton vle f ( + h) > f (). Prendendo il quoziente, f ( + h) f () h f f ( + h) f () () =. h h Vicevers, se f (), pplicndo il Teorem di Lgrnge (formul (5.)) nell intervllo [, ], con < < < b ottenimo, per un opportuno c ], [ f () f ( ) = f (c)( ), perché per ipotesi f (c). Quindi f () f ( ). Questo rgionmento vle per ogni coppi < di punti nell intervllo ], b[. Quindi f è debolmente crescente. Osservzione 5.8. Rgionndo llo stesso modo (con il Teorem di Lgrnge), si puo riconoscere che un prte del teorem sopr vle per le funzioni strettmente crescenti. Piu precismente, se f soddisf f () > 5 per ogni ], b[, llor f è strettmente crescente su ], b[. Esercizio 5.9. Dire, clcolndo l derivt e studindone il segno, in quli intervlli sono crescenti le funzioni f () = 2, f () = e, f () = + 2, f () = e 2, f () = 3. 4 O in ], [, se <. 5 disuguglinz strett. 27

28 Anlisi mtemtic. Lure triennle F.A.I. [7 ottobre 23] Esercizio 5.. Clcolre le derivte delle seguenti funzioni, dire in quli intervlli ciscun di esse è crescente o decrescente e individurne i punti di mssimo o di minimo locle. f () = + 4, f () = e, f () = 3, f () = 2 e f () = e 2 + e, f () = log, (per >,) f () = e 2, 5.3. Teorem di de l Hôpitl f () = , f () = ( 3). Un ultim ppliczione del Teorem di Lgrnge è l regol di de l Hôpitl. enuncito in un cso prticolre. Dimo qui un f () Teorem 5. (di de l Hôpitl per iti di tipo c g() = ). Sino f e g due funzioni derivbili su ], b[. Si c ], b[ tle che f (c) = g(c) =. Assumimo che si g () = per ogni ], b[, = c. Allor, se il ite f () c g () esiste e vle L, srà nche Esempi. Verificre usndo Hôpitl, che f () c g() = L. e sin log =, =, e + e 2 = 2. cos Dimostrzione del Teorem 5.. Considerimo un punto > c, ], b[. Considerimo l funzione h(t) = f ()g(t) f (t)g(), t ], b[. LA funzione h soddisf le ipotesi del Teorem di Rolle nell intervllo [c, ]. Inftti, h(c) = f ()g(c) f (c)g() =, perché f e g sono nulle in c, mentre h() = f ()g() f ()g() =. Quindi Il Teorem di Rolle sserisce che esiste un punto s ]c, [ in cui h (s) =. Allor 6 f ()g (s) f (s)g() = f () g() = f (s) g (s) Lscindo tendere c, srà nche s c, perché s è compreso tr c ed. Quindi, poiché sppimo che f (s) g L, per s c, vremo (s) come si volev. f () c g() = L, 6 Osservimo che il Teorem di Lgrnge pplicto ll funzione g nell intervllo [c, ], fferm che, per un opportuno c ]c, [, vle g() = g() g(c) = g (c )( c) =, se ], b[ è diverso d c. QUindi nel pssggio precedente è corretto dividere per g(). 28

29 Anlisi mtemtic. Lure triennle F.A.I. [7 ottobre 23] Delle versioni simili del Teor. di de L Hopitl vlgono per iti di tipo f () c g(), e dove f () e g() tendono ll infinito e nche con c = + e. Ad esempio, il ite + è un form indetermint di tipo. Applicndo Hôpitl: 5.4. Esercizi di riepilogo e + H e = + = +. Esercizio 5.2. Applicndo un numero sufficiente di volte il Teorem di de l Hôpitl, dire qunto vle e +. Esercizio 5.3. Clcolre i seguenti iti. + e, Esercizio 5.4. Clcolre i seguenti iti: log, + + e e 2. (e 2 ) + sin, + e + 2, log( + 2 ) e. + e, Esercizio 5.5. Clcolre i iti ± e/, + e2, per ogni possibile R. e/, 2 ( 2 cos + )e/, e 2 4 e , log(e e + ), sin( ) log( + e ), + + 2, e. e e/ Esercizio 5.6. Dire in queli intervlli sono crescenti (o decrescenti) le funzioni f () = + sin, f () = e /, = ; f : ], + [ R, f () = log( + ); Esercizio 5.7. Determinre il mssimo e il minimo vlore ssunti dlle funzioni f : [, 3], f () = 3 e g : [, 2] R, g() = e 2. Esercizio 5.8. È dt l funzione f : R R, f () = f (). ± + 2. Clcolre Stbilire in quli intervlli l funzione è positiv, negtiv, crescente, decrescente e determinre i suoi eventuli punti di mssimo o di minimo. Trccire un grfico qulittivo dell funzione dt che si comptibile con le informzioni cquisite. 29

30 Anlisi mtemtic. Lure triennle F.A.I. [7 ottobre 23] Esercizio 5.9. Dt l funzione f : [, 2] R, f () = (2 ), dire quli sono i suoi punti di mssimo o di minimo. Trccire un grfico qulittivo di f. Esercizio 5.2. Per le tre funzioni f, f 2, f 3 : R R, clcolre qulittivo. ± 5.5. Formul di Tylor f () = e + e, f 2 () = e 2, f 3 () = e 3, f (), dire in quli intervlli esse sono crescenti o decrescenti e trccirne un grfico Prtimo dl cso di un funzione f di un vribile derivbile in R. L definizione di derivt ci dice che f ( + h) f ( ) = f ( ). h h Equivlentemente ( f ( + h) f ( ) ) f ( ) =, o nche h h h ( f ( + h) f ( ) f ( )h ) =. h Quindi dire che un funzione è derivbile in equivle dire che l quntità g(h) f ( + h) f ( ) f ( )h (5.2) tende zero piu rpidmente di h per h. Per descrivere questo fenomeno introducimo l seguente scrittur: Definizione 5.2. Si g : R R un funzione di un vribile con g() = e si k. Si dice che g(h) è un o piccolo di h k per h se Si scrive g() = o( k ). Ad esempio, g(h) = h 2 = o(h). In ftti g(h) h h k =. g(h) =. h h Anlogmente si verific che g() = α = o() ogni volt che α >. Ancor un esempio: g(h) = h( cos h) = o(h 2 ). Inftti g(h) h( cos h) = h h h h 2 = (Hopitl) = sin h =. h Esercizio Verificre che () se g(h) = o(h 2 ), per h, llor g(h) = o(h), per h. (2) l funzione g(h) = sin 2 h soddisf g(h) = o(h), m non soddisf g(h) = o(h 2 ). 3

31 Anlisi mtemtic. Lure triennle F.A.I. [7 ottobre 23] Con l notzione ppen introdott possimo scrivere in sintesi che se f è derivbile in, llor l funzione g in (5.2) è un o piccolo di h per h. Cioè che f ( + h) = f ( ) + f ( )h + o(h). (5.3) L (5.3) si chim Formul di Tylor del primo ordine di f di punto inizile. Un ltro modo di scrivere l (5.3) è ponendo + h =. Allor si ottiene f () = f ( ) + f ( )( ) + o( ),. (5.4) per. Il seguente polinomio di grdo uno nell vribile : T, () = f ( ) + f ( )( ), si chim Polinomio di Tylor di grdo uno dell funzione f e di punto inizile. Per ottenere un pprossimzione migliore di quell dt d (5.3) di un funzione f vicino un punto, è necessrio fre un pprossimzione del secondo ordine. In ess pprirà nche l derivt second di f, che è l derivt dell derivt prim e si indic con f : f () = d d f (). Teorem 5.23 (Formul di Tylor del secondo ordine). Si f : R R derivbile due volte. Assumimo che f : R R si un funzione continu. ALlor vle, per ogni R, f ( + h) = f ( ) + f ( )h + f ( ) h2 2 + o(h2 ). (5.5) L formul (5.5) si chim Formul di Tylor del secondo ordine di f con punto inizile. Il polinomio di grdo due T 2, () = f ( ) + f ( )( ) + f ( )2 ( ) 2 si chim Polinomio di Tylor di grdo 2 di f di punto inizile. Esempio Scrivimo l formul di Tylor di f () = e di punto inizile =. Bst clcolre f () = e =. Poi f () = e. Quindi f () = e =. Infine f () = e e quindi f () = e = In definitiv e h = + h + h2 2 + o(h2 ). Dimostrzione dell Formul di Tylor del secondo ordine. L prov del teorem us ncor l regol di de l Hopitl. Inftti, verificre (5.5) signific vedere che per h. Usndo Hopitl ottenimo come si volev. f ( + h) [ f () + f ()h + f () h2 2 ] h 2, f ( + h) [ f () + f ()h + f () h2 2 ] h h 2 H = h f ( + h) f ()h f ()h 2h H f = ( + h) f ()h =, h 2 3

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