Teoria dei giochi. Rappresentazione formale di una situazione in cui un numero di individui interagisce in un contesto di interazione strategica.

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1 Teora de goch Dscplna matematca utlzzata per analzzare comportament strategc n economa, n poltca, e n altr camp caratterzzat da stuazon d confltto. Goco Rappresentazone formale d una stuazone n cu un numero d ndvdu nteragsce n un contesto d nterazone strategca. L aspetto crucale d un goco è l fatto che rsultat per ogn ndvduo dpendono non solo dalla sua scelta ma anche dalle scelte degl altr gocator Non cooperatv Cooperatv (bndng agreements)

2 TIPO: Goch smultane o monostado Goch multstado MODI DI RAPPRESENTARLI Forma normale o strategca (attraverso la matrce de payoff) Forma estesa (albero d goco) Esempo: Goco monostado n forma normale Gocatore 2 p np Gocatore 1 P 10, 6 16, 0 NP 7, 8 10, 3

3 Goco n forma normale { n S,... S ; u } G =,... ; 1 n 1 u n S spazo delle stratege del gocatore -esmo s elemento d S s S Esempo: Pubblctà, Non Pubblctà { P NP} S =, per = 1, 2 Proflo d stratege: combnazone d stratege una per ogn gocatore s, s,..., s ). Esempo: ( s 1, s2) = (P,np) ( 1 2 n Funzone d payoff (de guadagn) u ( s1, s2,..., sn) Esempo precedente: u 1 ( P, np) = 16 u ( P, np) 0 2 =

4 Regola (goco smultaneo) Gocator scelgono smultaneamente una stratega (cascuno scegle la propra azone senza essere a conoscenza d cosa ha scelto l altro). Stratega strettamente domnante Gocatore 2 p np Gocatore 1 P 10, 6 16, 0 NP 7, 8 10, 3

5 Stratega strettamente domnante Se un gocatore ha una stratega che è strettamente mglore d ogn altra a sua dsposzone, qual che sano le scelte degl altr gocator, s dce che dspone d una stratega strettamente domnante. Defnendo proflo resduo d stratege s = ( s1, s2,... s 1, s + 1,..., sn ) s ' S è strettamente domnante per l gocatore -esmo nel goco G = { n S,... S ; u,... } ; 1 n 1 u n se s abbamo che '' ' s u ( s ', s ) u ( s, s ) S '' > ' s massmzza uncamente l payoff del gocatore -esmo per ogn combnazone d stratege che rval possono sceglere s

6 Come trovamo la soluzone? Indvdu razonal che perseguono l propro nteresse ndvduale. Se l gocatore ha una stratega domnante c aspettamo che la utlzz. Se ambedue gocator dspongono d stratege domnant abbamo cas d facle soluzone Gocatore 2 P NP Gocatore 1 P 10, 6 16, 0 NP 7, 8 10, 3 Poch goch hanno stratege domnant. Dobbamo trovare altr mod d rsolvere l goco.

7 Equlbro d Nash Una combnazone d stratege forma un equlbro d Nash se la scelta d cascun gocatore è ottma date le scelte degl altr gocator. In questo caso nessun gocatore vorrà devare unlateralmente dalla stratega prevsta. La soluzone prevsta sarà strategcamente stable. John Nash (Nobel 1994). * * * ( s, s,..., s ) è un equlbro d Nash se 1 2 n u ( s * *, s ) u ( s ', s * s ' S ( dato s * ) ) I gocator nel momento n cu scelgono non sanno cosa faranno gl altr. Ma hanno delle aspettatve relatvamente alle scelte degl avversar. In un equlbro d Nash la stratega scelta da cascun gocatore è la rsposta ottma alle stratege effettvamente persegute da rval.

8 Dlemma del prgonero L equlbro d Nash non comporta necessaramente soluzon Pareto effcent. Due prgoner complc d un reato nterrogat n stanze separate Gocatore 2 nc c Gocatore1 NC 0, 0-5, 1 C 1, -5-3, -3 ( C, c) Equlbro d Nash n stratege pure Soluzone è Confessa, confessa

9 Stuazon nelle qual l persegumento dell nteresse ndvduale porta a stuazon Pareto neffcent. V sono benefc che scaturrebbero dalla cooperazone, ma v è l mpossbltà d raggungere la soluzone cooperatva. In perfetta concorrenza (non v è nterdpendenza strategca) ndvdu egost che perseguono l nteresse ndvduale portano alla massmzzazone del benessere socale. Se v è nterdpendenza strategca, l persegumento dell nteresse ndvduale può non portare alla Pareto effcenza. Cas n cu v può essere un confltto tra ncentv ndvdual e ncentv collettv.